Evklid fazosini ko'rib chiqishda biz kvadrat shaklning ta'rifini kiritdik. Ba'zi matritsalardan foydalanish

shaklning ikkinchi tartibli ko'phadlari tuziladi

Bu kvadrat matritsa tomonidan hosil qilingan kvadratik shakl deb ataladi A.

Kvadrat shakllar n o'lchovli Evklid fazosida ikkinchi tartibli sirtlar bilan chambarchas bog'liq. Dekart koordinata tizimidagi uch o'lchovli Evklid fazomizdagi bunday sirtlarning umumiy tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Yuqori chiziq kvadratik shakldan boshqa narsa emas, agar biz x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z ni qo'ysak:

- simmetrik matritsa (a ij = a ji)

Umumiylik uchun polinom deb faraz qilaylik

chiziqli shakli mavjud. U holda sirtning umumiy tenglamasi kvadrat shakl, chiziqli shakl va ba'zi doimiylarning yig'indisidir.

Kvadrat shakllar nazariyasining asosiy vazifasi o'zgaruvchilarning degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishi yoki boshqacha aytganda, asosni o'zgartirish yordamida kvadrat shaklni eng oddiy shaklga qisqartirishdir.

Yodda tutaylik, ikkinchi tartibli yuzalarni o'rganishda biz koordinata o'qlarini aylantirish orqali xy, xz, yz yoki x i x j (ij) ko'paytmani o'z ichiga olgan atamalardan xalos bo'lishimiz mumkin degan xulosaga keldik. Bundan tashqari, koordinata o'qlarini parallel tarjima qilish orqali siz chiziqli atamalardan xalos bo'lishingiz va natijada umumiy sirt tenglamasini quyidagi shaklga qisqartirishingiz mumkin:

Kvadrat shaklda, uni shaklga qisqartirish

kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish deyiladi.

Koordinata o'qlarining aylanishi bir asosni boshqasiga almashtirish yoki boshqacha aytganda, chiziqli transformatsiyadan boshqa narsa emas.

Kvadrat shaklni matritsa shaklida yozamiz. Buning uchun keling, buni quyidagicha tasavvur qilaylik:

L(x,y,z) = x(a 11 x+a 12 y+a 13 z)+

Y(a 12 x+a 22 y+a 23 z)+

Z(a 13 x+a 23 y+a 33 z)

Matritsa - ustunni kiritamiz

Keyin
- bu yerdaX T =(x,y,z)

Kvadrat shaklning matritsa belgilari. Ushbu formula umumiy holatda aniq amal qiladi:

Kvadrat shaklning kanonik shakli matritsani bildiradi A diagonal ko'rinishga ega:

Keling, X = SY chiziqli transformatsiyasini ko'rib chiqaylik, bu erda S - n tartibli kvadrat matritsa va matritsalar - X va Y ustunlari:

S matritsa chiziqli transformatsiya matritsasi deb ataladi. Bazisli n-tartibli har qanday matritsa ma'lum bir chiziqli operatorga mos kelishini aytib o'tamiz.

X = SY chiziqli transformatsiyasi x 1, x 2, x 3 o‘zgaruvchilarni yangi y 1, y 2, y 3 o‘zgaruvchilari bilan almashtiradi. Keyin:

bu erda B = S T A S

Kanonik shaklga o'tish vazifasi S o'tish matritsasini topishdan iborat bo'lib, B matritsa diagonal shaklga ega bo'ladi:

Demak, matritsali kvadrat shakl A o'zgaruvchilarning chiziqli transformatsiyasidan keyin matritsali yangi o'zgaruvchilardan kvadratik shaklga o'tadi IN.

Keling, chiziqli operatorlarga murojaat qilaylik. Berilgan asos uchun har bir A matritsasi ma'lum bir chiziqli operatorga mos keladi A . Shubhasiz, bu operator o'ziga xos va xos vektorlarning ma'lum bir tizimiga ega. Bundan tashqari, biz Evklid fazosida xos vektorlar tizimi ortogonal bo'lishini ta'kidlaymiz. Xususiy vektor asosda chiziqli operator matritsasi diagonal ko'rinishga ega ekanligini avvalgi ma'ruzamizda isbotlagan edik. Formula (*), biz eslaganimizdek, asosni o'zgartirganda chiziqli operatorning matritsasini o'zgartirish formulasi. Faraz qilaylik, chiziqli operatorning xos vektorlari A A matritsa bilan - bular y 1, y 2, ..., y n vektorlari.

Va bu shuni anglatadiki, agar y 1, y 2, ..., y n xos vektorlar asos qilib olinsa, bu asosdagi chiziqli operatorning matritsasi diagonal bo'ladi.

yoki B = S -1 A S, bu erda S - boshlang'ich bazadan o'tish matritsasi ( e) asosga ( y). Bundan tashqari, ortonormal asosda S matritsa ortogonal bo'ladi.

Bu. kvadrat shaklni kanonik ko'rinishga keltirish uchun dastlabki asosda kvadrat shakl hosil qiluvchi A matritsaga ega bo'lgan, xos vektorlar asosiga o'tadigan chiziqli operatorning xos qiymatlari va xos vektorlarini topish kerak. va yangi koordinatalar sistemasida kvadratik shaklni tuzing.

Keling, aniq misollarni ko'rib chiqaylik. Keling, ikkinchi tartibli chiziqlarni ko'rib chiqaylik.

yoki

Koordinata o'qlarini aylantirish va o'qlarni keyinchalik parallel ko'chirish orqali ushbu tenglamani shaklga keltirish mumkin (o'zgaruvchilar va koeffitsientlar x 1 = x, x 2 = y qayta belgilanadi):

1)
agar chiziq markaziy bo'lsa, 1  0,  2  0

2)
agar chiziq markaziy bo'lmagan bo'lsa, ya'ni bitta of i = 0.

Ikkinchi tartibli chiziqlar turlarini eslaylik. Markaziy chiziqlar:

Markazdan tashqari chiziqlar:

5) x 2 = a 2 ikkita parallel chiziq;

6) x 2 = 0 ikkita birlashtiruvchi chiziq;

7) y 2 = 2px parabola.

1), 2), 7) holatlar bizni qiziqtiradi.

Keling, aniq bir misolni ko'rib chiqaylik.

Chiziq tenglamasini kanonik shaklga keltiring va uni tuzing:

5x 2 + 4xy + 8y 2 - 32x - 56y + 80 = 0.

Kvadrat shaklning matritsasi
. Xarakteristik tenglama:

Uning ildizlari:

Keling, xos vektorlarni topamiz:

 1 = 4 bo'lganda:
u 1 = -2u 2; u 1 = 2c, u 2 = -c yoki g 1 = c 1 (2 i – j).

 2 = 9 bo'lganda:
2u 1 = u 2 ; u 1 = c, u 2 = 2c yoki g 2 = c 2 ( i+2j).

Ushbu vektorlarni normallashtiramiz:

Chiziqli transformatsiya matritsasi yoki g 1, g 2 asosiga o‘tish matritsasini yaratamiz:

- ortogonal matritsa!

Koordinatalarni o'zgartirish formulalari quyidagi shaklga ega:

yoki

Keling, tenglamamizdagi chiziqlarni almashtiramiz va olamiz:

Keling, koordinata o'qlarini parallel tarjima qilaylik. Buning uchun x 1 va y 1 ning to'liq kvadratlarini tanlang:

belgilaylik
. Keyin tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: 4x 2 2 + 9y 2 2 = 36 yoki

Bu yarim o'qlari 3 va 2 bo'lgan ellips.Eski tizimda ellips qurish uchun koordinata o'qlarining aylanish burchagi va ularning siljishini aniqlaymiz.

P keskin:

Tekshiring: x = 0 da: 8y 2 - 56y + 80 = 0 y 2 – 7y + 10 = 0. Demak, y 1,2 = 5; 2

Qachon y = 0: 5x 2 – 32x + 80 = 0 Bu yerda hech qanday ildiz yoʻq, yaʼni oʻq bilan kesishish nuqtalari yoʻq. X!

Kvadrat shakl kanonik deb ataladi, agar barchasi ya'ni.

Har qanday kvadratik shakl chiziqli transformatsiyalar yordamida kanonik shaklga keltirilishi mumkin. Amalda odatda quyidagi usullar qo'llaniladi.

1. Fazoning ortogonal o'zgarishi:

Qayerda - matritsaning xos qiymatlari A.

2. Lagranj usuli - to'liq kvadratlarni ketma-ket tanlash. Masalan, agar

Keyin kvadrat shakl bilan shunga o'xshash protsedura bajariladi va hokazo. Agar kvadrat shaklda hamma narsa lekin bo'lsa keyin dastlabki o'zgartirishdan so'ng masala ko'rib chiqilgan protseduraga tushadi. Shunday qilib, agar, masalan, biz taxmin qilamiz

3. Yakobi usuli (barcha katta voyaga etmaganlar kvadratik shakl noldan farq qiladi):

Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan aniqlanishi mumkin

Ax + Wu + C = 0,

Bundan tashqari, A va B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. A, B va C konstantalarining qiymatlariga qarab, quyidagi maxsus holatlar mumkin:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – toʻgʻri chiziq koordinatadan oʻtadi

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox o'qiga parallel to'g'ri chiziq

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - Oy o'qiga parallel to'g'ri chiziq

B = C = 0, A ≠0 - to'g'ri chiziq Oy o'qiga to'g'ri keladi

A = C = 0, B ≠0 - to'g'ri chiziq Ox o'qiga to'g'ri keladi

To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday boshlang'ich sharoitga qarab turli shakllarda taqdim etilishi mumkin.

Kosmosdagi to'g'ri chiziqni belgilash mumkin:

1) ikkita tekislikning kesishish chizig'i sifatida, ya'ni. tenglamalar tizimi:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) uning ikkita M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2) nuqtalari bo'yicha, u holda ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamalar bilan beriladi:

= ; (3.3)

3) unga tegishli M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta va vektor. a(m, n, p), unga mos keladigan. Keyin to'g'ri chiziq tenglamalar bilan aniqlanadi:

. (3.4)

(3.4) tenglamalar chaqiriladi chiziqning kanonik tenglamalari.

Vektor a chaqirdi to'g'ri yo'nalish vektori.

(3.4) munosabatlarning har birini t parametriga tenglashtirib chiziqning parametrik tenglamalarini olamiz:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Noma’lumlar uchun chiziqli tenglamalar sistemasi sifatida (3.2) yechish tizimi x Va y, biz chiziqning tenglamalariga kelamiz prognozlar yoki uchun to'g'ri chiziqning berilgan tenglamalari:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

(3.6) tenglamalardan kanonik tenglamalarga o'tishimiz mumkin, topish z Har bir tenglamadan va olingan qiymatlarni tenglashtirish:

.

Umumiy tenglamalardan (3.2) kanonik tenglamalarga boshqa yo'l bilan o'tishingiz mumkin, agar siz ushbu chiziqda biron bir nuqta va uning yo'nalishi vektorini topsangiz. n= [n 1 , n 2 ], qaerda n 1 (A 1, B 1, C 1) va n 2 (A 2, B 2, C 2) - berilgan tekisliklarning normal vektorlari. Agar maxrajlardan biri bo'lsa m, n yoki R(3.4) tenglamalarda nolga teng bo'lib chiqadi, keyin mos keladigan kasrning numeratori nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni. tizimi

tizimiga tengdir ; bunday to'g'ri chiziq Ox o'qiga perpendikulyar.

Tizim x = x 1, y = y 1 sistemaga ekvivalent; to'g'ri chiziq Oz o'qiga parallel.

Koordinatalarga nisbatan har bir birinchi darajali tenglama x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

tekislikni belgilaydi va aksincha: har qanday tekislikni (3.1) tenglama bilan ifodalash mumkin, bu deyiladi. tekislik tenglamasi.

Vektor n(A, B, C) tekislikka ortogonal deyiladi normal vektor samolyot. (3.1) tenglamada A, B, C koeffitsientlari bir vaqtning o'zida 0 ga teng emas.

(3.1) tenglamaning maxsus holatlari:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - tekislik koordinatadan o'tadi.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - tekislik Oz o'qiga parallel.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - tekislik Oz o'qi orqali o'tadi.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - tekislik Oyz tekisligiga parallel.

Koordinata tekisliklari tenglamalari: x = 0, y = 0, z = 0.

To'g'ri chiziq tekislikka tegishli yoki bo'lmasligi mumkin. Agar uning kamida ikkita nuqtasi tekislikda yotsa, u tekislikka tegishli.

Agar chiziq tekislikka tegishli bo'lmasa, u unga parallel yoki kesishishi mumkin.

Chiziq tekislikka parallel bo'ladi, agar u shu tekislikda yotgan boshqa chiziqqa parallel bo'lsa.

To'g'ri chiziq tekislikni turli burchaklarda kesishi va, xususan, unga perpendikulyar bo'lishi mumkin.

Tekislikka nisbatan nuqta quyidagi tarzda joylashishi mumkin: unga tegishli yoki unga tegishli emas. Agar nuqta shu tekislikda joylashgan to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa, u tekislikka tegishlidir.

Kosmosda ikkita chiziq kesishishi, parallel yoki kesishishi mumkin.

Proyeksiyalarda chiziq segmentlarining parallelligi saqlanib qoladi.

Agar chiziqlar kesishsa, u holda ularning bir xil nomdagi proyeksiyalarining kesishish nuqtalari bir xil bog'lanish chizig'ida bo'ladi.

Kesish chiziqlari bir tekislikka tegishli emas, ya'ni. kesishmaydi yoki parallel emas.

chizmada alohida olingan bir xil nomdagi chiziqlarning proyeksiyalari kesishuvchi yoki parallel chiziqlar xususiyatiga ega.

Ellips. Ellips - nuqtalarning geometrik joylashuvi bo'lib, ular uchun ikkita sobit nuqta (fokuslar)gacha bo'lgan masofalar yig'indisi ellipsning barcha nuqtalari uchun bir xil doimiy qiymatga ega (bu doimiy qiymat fokuslar orasidagi masofadan kattaroq bo'lishi kerak).

Ellipsning eng oddiy tenglamasi

Qayerda a- ellipsning yarim katta o'qi, b- ellipsning yarim kichik o'qi. Agar 2 c- fokuslar orasidagi masofa, keyin esa orasidagi masofa a, b Va c(Agar a > b) munosabatlar mavjud

a 2 - b 2 = c 2 .

Ellipsning ekssentrikligi bu ellips fokuslari orasidagi masofaning uning katta o'qi uzunligiga nisbati.

Ellipsning eksantrikligi bor e < 1 (так как c < a) va uning o'choqlari katta o'qda yotadi.

Rasmda ko'rsatilgan giperbolaning tenglamasi.

Variantlar:
a, b - yarim o'qlar;
- fokuslar orasidagi masofa;
- ekssentriklik;
- asimptotlar;
- direktorlar.
Rasmning markazida ko'rsatilgan to'rtburchak asosiy to'rtburchak, uning diagonallari asimptotadir.

Bu usul kvadrat shakldagi to'liq kvadratlarni ketma-ket tanlashdan iborat.

Kvadrat shakli berilsin

Eslatib o'tamiz, matritsaning simmetriyasi tufayli

,

Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud:

1. Kvadratchalar koeffitsientlaridan kamida bittasi noldan farq qiladi. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz taxmin qilamiz (buga har doim o'zgaruvchilarni tegishli qayta raqamlash orqali erishish mumkin);

2. Barcha koeffitsientlar

lekin noldan farqli koeffitsient mavjud (aniqlik uchun, shunday bo'lsin).

Birinchi holda kvadratik shaklni quyidagicha o'zgartiring:

,

va boshqa barcha atamalar bilan belgilanadi.

(n-1) o'zgaruvchilarning kvadratik shaklidir.

Ular unga xuddi shunday munosabatda bo'lishadi va hokazo.

e'tibor bering, bu

Ikkinchi holat o'zgaruvchilarni almashtirish

birinchisiga tushadi.

1-misol: Degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya orqali kvadrat shaklni kanonik shaklga keltiring.

Yechim. Noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalarni to'playmiz , va ularni to'liq kvadratga qo'shing

.

(Chunki .)

yoki

(3)

yoki


(4)

va noma'lumdan
shakl shaklini oladi. Keyinchalik taxmin qilamiz

yoki

va noma'lumdan
shakl kanonik shaklni oladi

(3) ga nisbatan tenglikni hal qilaylik
:

yoki

Chiziqli transformatsiyalarning ketma-ket bajarilishi
Va
, Qayerda

,

matritsaga ega

Noma'lumlarni chiziqli o'zgartirish
kvadratik shaklni beradi kanonik shaklga (4). O'zgaruvchilar
yangi o'zgaruvchilar bilan bog'liq
munosabatlar

LU dekompozitsiyasi bilan 2_1-seminarda tanishdik

2_1-seminardagi gaplarni eslaylik

Bayonotlar(Qarang: L.5, 176-bet)

Ushbu skript Lagrange usulida LU rolini tushunish uchun mo'ljallangan, siz F9 tugmasi yordamida EDITOR bloknotida u bilan ishlashingiz kerak.

Va quyida berilgan topshiriqlarda chiziqli algebra masalalarini hisoblash va tushunishga yordam beradigan o'zingizning M-funksiyalaringizni yaratish yaxshiroqdir (ushbu ish doirasida)

Ax=X."*A*X % kvadrat shaklni olamiz

Ax=simple(Ax) % uni soddalashtiring

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% A matritsa satrlarini qayta joylashtirmasdan LU parchalanishini toping

% Matritsani eshelon shakliga o'tkazishda

% satr almashtirishsiz M1 va U3 matritsasini olamiz

% U A dan olinadi U3=M1*A,

Bu elementar transformatsiyalar matritsasi bilan %

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

%biz U3=M1*A olamiz, bu yerda

4.0000 -2.0000 2.0000

% M1 dan belgilarni o'zgartirish orqali L1 ni olish oson

% birinchi ustunda birinchisidan tashqari barcha satrlarda.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 shunday

A_=L1*U % bu bizga kerak bo'lgan LU parchalanishi

% Asosiy diagonaldagi elementlar U -

% y i ^2 kvadratlarning koeffitsientlari

% konvertatsiya qilingan kvadratik shaklda

% bizning holatlarimizda faqat bitta koeffitsient mavjud

% yangi koordinatalarda faqat 4y 1 2 kvadrat bo'lishini anglatadi,

% qolgan 0y 2 2 va 0y 3 2 koeffitsientlari nolga teng

L1 matritsaning % ustunlari Y ning X ga parchalanishidir

% birinchi ustunda y1=x1-0,5x2+0,5x3 ni ko'ramiz

% soniyada biz y2=x2 ni ko'ramiz; uchinchisiga ko'ra y3=x3.

% agar L1 transpozitsiya qilinsa,

% bu T=L1."

% T - (X) dan (Y) ga o'tish matritsasi: Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – o'zgartirilgan kvadrat shakl matritsasi

% Eslatma U=A2*L1." va A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% Shunday qilib, biz A_=L1* A2*L1 parchalanishini oldik." yoki A_=T."* A2*T

o'zgaruvchilarning o'zgarishini ko'rsatadigan %

% y1=x1-0,5x2+0,5x3

% va kvadrat shaklning yangi koordinatalarda ifodalanishi

A_=T."*A2*T % T=L1." (X) dan (Y) ga o'tish matritsasi: Y=TX

isequal(A,A_) % asl A ga mos kelishi kerak

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % (Y) dan (X) ga o‘tish matritsasini toping.

% Transformatsiyani topamiz,

% kvadratik Ax=X."*A*X

% yangi turga Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay =4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% soniyali transformatsiya matritsasi,

% kompilyatsiya qilish ancha oson.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Q1*Q2, X=R*Z

R=Q1*Q2 % degeneratsiz chiziqli transformatsiya

% operator matritsasini kanonik shaklga keltirish.

det(R) % determinant nolga teng emas - transformatsiya degenerativ emas

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 yaxshi

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Keling, to'rtburchaklarni qisqartirish algoritmini tuzamiz ratsional shakl ortogonal aylantirish orqali kanonik shaklga:

Ta'rif 10.4.Kanonik ko'rinish kvadratik shakl (10.1) quyidagi shakl deyiladi: . (10.4)

Xo'sh vektorlar asosida kvadratik shakl (10.1) kanonik ko'rinishga ega ekanligini ko'rsatamiz. Mayli

- xos qiymatlarga mos keladigan normalangan xos vektorlar l 1 , l 2 , l 3 matritsalar (10.3) ortonormal asosda. Keyin eski bazadan yangisiga o'tish matritsasi matritsa bo'ladi

. Yangi asosda matritsa A(9.7) diagonal shaklni oladi (xususiy vektorlar xossasi bilan). Shunday qilib, formulalar yordamida koordinatalarni o'zgartirish:

,

yangi asosda koeffitsientlari xos qiymatlarga teng bo'lgan kvadratik shaklning kanonik shaklini olamiz. l 1, l 2, l 3:

Izoh 1. Geometrik nuqtai nazardan ko'rib chiqilayotgan koordinata transformatsiyasi eski koordinata o'qlarini yangilari bilan birlashtirgan holda koordinatalar tizimining aylanishidir.

Izoh 2. Agar (10.3) matritsaning har qanday xos qiymatlari mos kelsa, ularning har biriga mos ortonormal xos vektorlarga birlik vektor ortogonal qo'shishimiz mumkin va shu bilan kvadrat shakl kanonik shaklni oladigan asosni qurishimiz mumkin.

Kvadrat shaklni kanonik shaklga keltiramiz

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Uning matritsasi shaklga ega. 9-ma'ruzada ko'rib chiqilgan misolda ushbu matritsaning xos qiymatlari va ortonormal xos vektorlari topilgan:

Keling, ushbu vektorlardan bazisga o'tish matritsasini yaratamiz:

(vektorlarning tartibi o'zgartirilib, ular o'ng qo'lli uchlikni hosil qiladi). Formulalar yordamida koordinatalarni o'zgartiramiz:

.

Shunday qilib, kvadratik shakl kvadrat shakl matritsasining xos qiymatlariga teng koeffitsientlar bilan kanonik shaklga keltiriladi.

11-ma'ruza.

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar. Ellips, giperbola va parabola, ularning xossalari va kanonik tenglamalari. Ikkinchi tartibli tenglamani kanonik shaklga keltirish.

Ta'rif 11.1.Ikkinchi tartibli egri chiziqlar tekislikda aylana konusning uning cho'qqisidan o'tmaydigan tekisliklar bilan kesishish chiziqlari deyiladi.

Agar bunday tekislik konusning bitta bo'shlig'ining barcha generatrislarini kesib o'tsa, u holda u bo'limda chiqadi. ellips, ikkala bo'shliqning generatrislari kesishmasida - giperbola, va agar kesish tekisligi har qanday generatorga parallel bo'lsa, u holda konusning kesimi parabola.

Izoh. Barcha ikkinchi tartibli egri chiziqlar ikki o'zgaruvchida ikkinchi darajali tenglamalar bilan belgilanadi.

Ellips.

Ta'rif 11.2.Ellips tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun ikkita sobit nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi bo'ladi F 1 va F nayranglar, doimiy qiymatdir.

Izoh. Nuqtalar mos kelganda F 1 va F 2 ellips aylanaga aylanadi.

Dekart sistemasini tanlab ellips tenglamasini chiqaramiz

y M(x,y) o'qi shunday koordinatalar Oh to‘g‘ri chiziqqa to‘g‘ri keldi F 1 F 2, boshlanish

r 1 r 2 koordinatalari - segmentning o'rtasi bilan F 1 F 2. Buning uzunligi bo'lsin

segment 2 ga teng Bilan, keyin tanlangan koordinatalar tizimida

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Nuqtaga ruxsat bering M(x, y) ellipsda yotadi va

gacha bo'lgan masofalar yig'indisi F 1 va F 2 ga teng A.

Keyin r 1 + r 2 = 2a, Lekin,

shuning uchun yozuvni kiritish b² = a²- c² va oddiy algebraik o'zgarishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz olamiz kanonik ellips tenglamasi: (11.1)

Ta'rif 11.3.Eksantriklik ellipsning kattaligi deyiladi e=s/a (11.2)

Ta'rif 11.4.Direktor D i fokusga mos keladigan ellips F i F i o'qiga nisbatan OU o'qiga perpendikulyar Oh masofada a/e kelib chiqishidan.

Izoh. Koordinatalar tizimining boshqa tanlovi bilan ellipsni kanonik tenglama (11.1) bilan emas, balki boshqa turdagi ikkinchi darajali tenglama bilan aniqlash mumkin.

Ellips xususiyatlari:

1) Ellipsda ikkita o'zaro perpendikulyar simmetriya o'qi (ellipsning asosiy o'qlari) va simmetriya markazi (ellips markazi) mavjud. Agar ellips kanonik tenglama bilan berilgan bo'lsa, uning asosiy o'qlari koordinata o'qlari, markazi esa koordinata o'qlaridir. Ellipsning asosiy o'qlari bilan kesishishidan hosil bo'lgan segmentlarning uzunliklari 2 ga teng bo'lgani uchun A va 2 b (2a>2b), u holda fokuslardan o'tuvchi bosh o'q ellipsning katta o'qi, ikkinchi asosiy o'q esa kichik o'q deb ataladi.

2) butun ellips to'rtburchak ichida joylashgan

3) Ellipsning ekssentrikligi e< 1.

Haqiqatan ham,

4) Ellipsning direktrisalari ellipsdan tashqarida joylashgan (chunki ellips markazidan direktrisagacha bo'lgan masofa a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, va butun ellips to'rtburchakda yotadi)

5) Masofa nisbati r i ellips nuqtasidan fokusgacha F i masofaga d i bu nuqtadan fokusga mos keladigan direktrisa ellipsning ekssentrisitetiga teng.

Isbot.

Nuqtadan masofalar M(x, y) ellipsning fokuslarigacha quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Direktrisa tenglamalarini tuzamiz:

(D 1), (D 2). Keyin Bu yerdan r i / d i = e, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.

Giperbola.

Ta'rif 11.5.Giperbola- tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun ikkita sobit nuqtagacha bo'lgan masofalar farqining moduli F 1 va F Ushbu samolyotning 2 tasi, deyiladi nayranglar, doimiy qiymatdir.

Giperbolaning kanonik tenglamasini ellips tenglamasining hosilasiga o'xshash tarzda, xuddi shu yozuvdan foydalangan holda chiqaramiz.

|r 1 - r 2 | = 2a, qaerdan belgilasak b² = c² - a², bu yerdan olishingiz mumkin

- kanonik giperbola tenglamasi. (11.3)

Ta'rif 11.6.Eksantriklik giperbolaga miqdor deyiladi e = c/a.

Ta'rif 11.7.Direktor D i fokusga mos keladigan giperbola F i, bilan bir xil yarim tekislikda joylashgan to'g'ri chiziq deyiladi F i o'qiga nisbatan OU o'qiga perpendikulyar Oh masofada a/e kelib chiqishidan.

Giperbolaning xossalari:

1) Giperbolada ikkita simmetriya o'qi (giperbolaning asosiy o'qlari) va simmetriya markazi (giperbolaning markazi) mavjud. Bunday holda, bu o'qlardan biri giperbolaning uchlari deb ataladigan ikkita nuqtada giperbola bilan kesishadi. U giperbolaning haqiqiy o'qi deb ataladi (o'qi Oh koordinata tizimini kanonik tanlash uchun). Boshqa o'qning giperbola bilan umumiy nuqtalari yo'q va uning xayoliy o'qi deb ataladi (kanonik koordinatalarda - o'q). OU). Uning ikkala tomonida giperbolaning o'ng va chap shoxlari joylashgan. Giperbolaning o'choqlari uning haqiqiy o'qida joylashgan.

2) Giperbolaning shoxlari tenglamalar bilan aniqlangan ikkita asimptotaga ega

3) Giperbola (11.3) bilan bir qatorda kanonik tenglama bilan aniqlangan konjugat giperbolani ham ko'rib chiqishimiz mumkin.

ular uchun haqiqiy va xayoliy o'q bir xil asimptotalarni saqlagan holda almashtiriladi.

4) Giperbolaning ekssentrikligi e> 1.

5) Masofa nisbati r i giperbola nuqtasidan fokusgacha F i masofaga d i shu nuqtadan fokusga mos keladigan direktrisa giperbolaning ekssentrikligiga teng.

Isbot ellips uchun bo'lgani kabi amalga oshirilishi mumkin.

Parabola.

Ta'rif 11.8.Parabola tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun qandaydir sobit nuqtagacha bo'lgan masofa F bu tekislik qandaydir qo'zg'almas to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofaga teng. Nuqta F chaqirdi diqqat parabola va to'g'ri chiziq uning direktor.

Parabola tenglamasini chiqarish uchun biz Dekartni tanlaymiz

koordinata tizimi, uning kelib chiqishi o'rta bo'lishi uchun

D M(x,y) perpendikulyar FD, direktivada e'tibordan chetlashtirilgan

r su, va koordinata o'qlari parallel joylashgan edi va

direktorga perpendikulyar. Segmentning uzunligi bo'lsin FD

D O F x ga teng R. Keyin tenglikdan r = d shunga amal qiladi

chunki

Algebraik o'zgarishlardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi shaklga keltirish mumkin: y² = 2 px, (11.4)

chaqirdi kanonik parabola tenglamasi. Kattalik R chaqirdi parametr parabolalar.

Parabolaning xossalari:

1) Parabola simmetriya o'qiga ega (parabola o'qi). Parabolaning o'qni kesishgan nuqtasi parabolaning cho'qqisi deyiladi. Agar parabola kanonik tenglama bilan berilgan bo'lsa, uning o'qi o'qi bo'ladi Oh, tepasi esa koordinatalarning kelib chiqishi hisoblanadi.

2) Butun parabola tekislikning o'ng yarim tekisligida joylashgan Ooh.

Izoh. Ellips va giperbola direktrisalarining xossalari va parabolaning ta'rifidan foydalanib, quyidagi fikrni isbotlashimiz mumkin:

Bog'lanish bo'lgan tekislikdagi nuqtalar to'plami e ba'zi bir qo'zg'almas nuqtagacha bo'lgan masofa qandaydir to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa doimiy qiymat bo'lib, u ellipsdir (bilan e<1), гиперболу (при e>1) yoki parabola (bilan e=1).

Tegishli ma'lumotlar.