Koshi bo'yicha funksiyaning cheksiz va cheksiz chegaralarining ta'riflari. Ikki tomonlama va bir tomonlama chegaralarning ta'riflari (chap va o'ng). Koshi ta'rifidan foydalanib, cheksizlikdagi chegara teng ekanligini ko'rsatish kerak bo'lgan muammolarni hal qilish misollari. qiymatni belgilang, .

Tarkib

Shuningdek qarang: Bir nuqtaning qo'shnisi
Geyne va Koshi bo'yicha funksiya limitining universal ta'rifi

Funktsiyaning cheksiz chegarasi

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Koshi chegarasini aniqlash
a soni funksiyaning chegarasi deyiladi f (x) chunki x cheksizlikka intiladi (), agar
1) shunday |x| mavjud >
2) har qanday kichik, musbat son e uchun > 0 , N e soni mavjud >K, e ga qarab, barcha x, |x| uchun qaysi > N e, funktsiya qiymatlari a nuqtaning e-qo'shnisiga tegishli:
|f (x) - a|< ε .
Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi quyidagicha belgilanadi:
.
Yoki da.

Quyidagi belgilar ham tez-tez ishlatiladi:
.

Keling, mavjudlik va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalangan holda ushbu ta'rifni yozamiz:
.
Bu qiymatlar funktsiya sohasiga tegishli deb taxmin qiladi.

Bir tomonlama chegaralar

Cheksizlikdagi funksiyaning chap chegarasi:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Ko'pincha funksiya faqat ijobiy yoki uchun aniqlangan holatlar mavjud salbiy qiymatlar o'zgaruvchi x (aniqrog'i nuqta yaqinida yoki ). Shuningdek, x ning ijobiy va salbiy qiymatlari uchun cheksizlik chegaralari bo'lishi mumkin turli ma'nolar. Keyin bir tomonlama chegaralar qo'llaniladi.

Cheksizlikda chap chegara yoki x ning minus cheksizlikka () moyilligi kabi chegara quyidagicha aniqlanadi:
.
Cheksizlikda o'ng chegara yoki chegara x plyus cheksizlikka ():
.
Cheksizlikdagi bir tomonlama chegaralar ko'pincha quyidagicha belgilanadi:
; .

Funktsiyaning cheksiz chegarasi

Funktsiyaning cheksiz chegarasi:
|f(x)| > M |x| uchun > N

Koshi bo'yicha cheksiz chegara ta'rifi
Funksiya chegarasi f (x) chunki x cheksizlikka intiladi (), cheksizlikka teng, Agar
1) cheksizlikda nuqtaning shunday qo'shnisi bor |x| > K, qaysi funktsiya aniqlangan (bu erda K - musbat son);
2) har kim uchun, xohlaganingizcha katta raqam M > 0 , bunday raqam mavjud N M >K, M ga qarab, barcha x uchun, |x| > N M, funktsiya qiymatlari cheksizlikdagi nuqta qo'shnisiga tegishli:
|f (x) | > M.
Cheksiz chegara x cheksizlikka moyil bo'lib, quyidagicha ifodalanadi:
.
Yoki da.

Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, funksiyaning cheksiz chegarasini aniqlashni quyidagicha yozish mumkin:
.

Xuddi shunday, ma'lum belgilarning cheksiz chegaralarining ta'riflari quyidagilarga teng va kiritiladi:
.
.

Cheksizlikda bir tomonlama chegaralarning ta'riflari.
Chap chegaralar.
.
.
.
To'g'ri chegaralar.
.
.
.

Geyne bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash

a soni (cheklangan yoki cheksizda) f funksiyaning chegarasi deyiladi (x) x nuqtada 0 :
,
Agar
1) cheksizlikda x nuqtaning shunday qo'shnisi bor 0 , funksiya aniqlangan (bu yerda yoki yoki );
2) har qanday ketma-ketlik uchun (xn), x ga yaqinlashish 0 : ,
kimning elementlari mahallaga, ketma-ketlikka tegishli (f(xn)) ga birlashadi:
.

Agar qo'shnilik sifatida cheksizdagi belgisiz nuqtaning qo'shniligini olsak: , u holda funksiya chegarasining ta'rifini olamiz, chunki x cheksizlikka intiladi, . Cheksizlikdagi x nuqtaning chap yoki o'ng tomonini oladigan bo'lsak 0 : yoki , u holda biz chegaraning ta'rifini olamiz, chunki x mos ravishda minus cheksizlikka va ortiqcha cheksizlikka intiladi.

Limitning Geyn va Koshi ta'riflari ekvivalentdir.

Misollar

1-misol

Buni ko'rsatish uchun Koshining ta'rifidan foydalanish
.

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:
.
Funksiyani aniqlash sohasini topamiz. Kasrning ayiruvchisi va maxraji ko'p nomli bo'lganligi sababli, funksiya maxraj yo'qolgan nuqtalardan tashqari barcha x uchun aniqlanadi. Keling, ushbu nuqtalarni topamiz. Kvadrat tenglamani yechish. ;
.
Tenglamaning ildizlari:
; .
O'shandan beri, keyin va.
Shuning uchun funktsiya da aniqlanadi. Buni keyinroq ishlatamiz.

Koshi bo'yicha funksiyaning cheksiz chegarasining ta'rifini yozamiz:
.
Keling, farqni o'zgartiramiz:
.
Hisob va maxrajni ga bo'ling va ko'paytiring -1 :
.

Mayli.
Keyin
;
;
;
.

Shunday qilib, biz buni qachon topdik,
.
.
Bundan kelib chiqadi
da , va .

Siz uni har doim oshirishingiz mumkinligi sababli, keling . Keyin har kim uchun,
da .
Bu degani.

2-misol

Mayli.
Limitning Koshi ta'rifidan foydalanib, quyidagilarni ko'rsating:
1) ;
2) .

1) Yechim x minus cheksizlikka intiladi

Chunki funksiya barcha x uchun aniqlangan.
Minus cheksizlikka teng funksiya chegarasining ta’rifini yozamiz:
.

Mayli. Keyin
;
.

Shunday qilib, biz buni qachon topdik,
.
Ijobiy raqamlarni kiriting va:
.
Bundan kelib chiqadiki, har qanday musbat M soni uchun raqam mavjud, shuning uchun uchun,
.

Bu degani.

2) Yechim x plyus cheksizlikka intiladi

Keling, asl funktsiyani o'zgartiraylik. Kasrning soni va maxrajini ko'paytiring va kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llang:
.
Bizda ... bor:

.
Funktsiyaning o'ng chegarasining ta'rifini quyidagiga yozamiz:
.

Belgini kiritamiz: .
Keling, farqni o'zgartiramiz:
.
Numerator va maxrajni quyidagicha ko'paytiring:
.

Mayli
.
Keyin
;
.

Shunday qilib, biz buni qachon topdik,
.
Ijobiy raqamlarni kiriting va:
.
Bundan kelib chiqadi
da va .

Bu har qanday ijobiy raqam uchun amal qiladi, shuning uchun
.

Adabiyotlar:
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.

Shuningdek qarang:

Cheklovlarni qanday topishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun ushbu maqolada biz bu haqda sizga aytib beramiz. Biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, odatda o'qituvchilar uni ma'ruzalarda berishadi. Shunday qilib, "zerikarli nazariya" daftaringizga yozib qo'yilishi kerak. Agar bunday bo'lmasa, siz kutubxonadan olingan darsliklarni o'qishingiz mumkin. ta'lim muassasasi yoki boshqa Internet manbalarida.

Demak, limit tushunchasi oliy matematikani o‘rganishda, ayniqsa integral hisobiga duch kelganingizda va chegara va integral o‘rtasidagi bog‘liqlikni tushunganingizda juda muhimdir. Joriy materialda biz ko'rib chiqamiz oddiy misollar, shuningdek, ularni hal qilish usullari.

Yechimlarga misollar

1-misol

Hisoblang a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Yechim

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Odamlar ko'pincha bizga ushbu chegaralarni ularni hal qilishda yordam so'rab yuborishadi. Biz ularni alohida misol sifatida ajratib ko'rsatishga qaror qildik va bu chegaralarni qoida tariqasida faqat eslab qolish kerakligini tushuntirishga qaror qildik. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. ta'minlaymiz batafsil yechim. Hisoblash jarayonini ko'rishingiz va ma'lumot olishingiz mumkin. Bu sizga o'qituvchingizdan o'z vaqtida baho olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Shakl noaniqligi bilan nima qilish kerak: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3-misol

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ yeching.

Yechim

Har doimgidek, biz $ x $ qiymatini chegara belgisi ostidagi ifodaga almashtirishdan boshlaymiz. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Endi nima bo'ladi? Oxirida nima bo'lishi kerak? Bu noaniqlik bo'lgani uchun, bu hali javob emas va biz hisoblashni davom ettiramiz. Numeratorlarda ko‘phad mavjud bo‘lgani uchun uni maktabdan hammaga tanish bo‘lgan $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ formulasi yordamida faktorlarga ajratamiz. Esingizdami? Ajoyib! Endi davom eting va uni qo'shiq bilan ishlating :) Biz $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ sonini topamiz Yuqoridagi o'zgarishlarni hisobga olgan holda hal qilishni davom ettiramiz: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Oxirgi ikki misoldagi chegarani cheksizlikka suramiz va noaniqlikni ko'rib chiqamiz: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5-misol

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hisoblang

Yechim

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nima qilsa bo'ladi? Nima qilishim kerak? Vahima qo'ymang, chunki imkonsiz narsa mumkin. Numeratorda ham, maxrajdagi ham x ni chiqarib, keyin uni qisqartirish kerak. Shundan so'ng, chegarani hisoblashga harakat qiling. Kel urinib ko'ramiz... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-misoldagi ta'rifdan foydalanib va ​​cheksizlikni x o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty))))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Javob

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlarni hisoblash algoritmi

Shunday qilib, keling, misollarni qisqacha umumlashtiramiz va chegaralarni echish algoritmini tuzamiz:

1. X nuqtani chegara belgisidan keyingi ifodaga almashtiring. Agar ma'lum bir son yoki cheksizlik olingan bo'lsa, u holda chegara butunlay hal qilinadi. Aks holda, bizda noaniqlik bor: "nol nolga bo'linadi" yoki "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" va ko'rsatmalarning keyingi bosqichlariga o'ting.
2. "Nolning nolga bo'linishi" noaniqligini bartaraf qilish uchun siz numerator va denominatorni faktorga kiritishingiz kerak. Shunga o'xshashlarni kamaytiring. Chegara belgisi ostidagi ifodaga x nuqtasini almashtiring.
3. Agar noaniqlik "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" bo'lsa, u holda biz sonni ham, x maxrajini ham eng katta darajada chiqaramiz. Biz X harflarini qisqartiramiz. Biz chegara ostidagi x qiymatlarini qolgan ifodaga almashtiramiz.

Ushbu maqolada siz hisoblash kursida tez-tez ishlatiladigan chegaralarni echish asoslarini o'rgandingiz. Albatta, bu imtihonchilar tomonidan taklif qilinadigan barcha turdagi muammolar emas, balki faqat eng oddiy chegaralardir. Boshqa turdagi topshiriqlar haqida keyingi maqolalarda gaplashamiz, lekin oldinga siljish uchun avval ushbu saboqni o'rganishingiz kerak. Keling, agar ildizlar, darajalar mavjud bo'lsa, nima qilish kerakligini muhokama qilaylik, cheksiz kichik ekvivalent funktsiyalarni, ajoyib chegaralarni, L'Hopital qoidasini o'rganamiz.

Agar siz chegaralarni o'zingiz aniqlay olmasangiz, vahima qo'ymang. Biz har doim yordam berishdan xursandmiz!

Chegaralarni topish masalalarini hal qilishda, ularni har safar qayta hisoblab chiqmaslik uchun ba'zi chegaralarni eslab qolishingiz kerak. Ushbu ma'lum chegaralarni birlashtirib, biz § 4da ko'rsatilgan xususiyatlardan foydalangan holda yangi chegaralarni topamiz. Qulaylik uchun biz eng tez-tez uchraydigan chegaralarni taqdim etamiz: Limitlar 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -o X 6 lim f(x) = f(a), agar f (x) uzluksiz bo'lsa x a Agar funktsiya uzluksiz ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda chegarani topish o'rniga funktsiya qiymatini hisoblaymiz. 1-misol. Limni toping (x*-6l:+ 8). Ko'p bo'lgani uchun - X->2

a'zo funksiya uzluksiz, u holda lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 2-misol. lim -r ni toping. . Birinchidan, maxraj chegarasini topamiz: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; u X-Y1 nolga teng emas, ya'ni biz 4 § 4 xossasini qo'llashimiz mumkin, keyin x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. limiti X X maxraji nolga teng, shuning uchun 4-§ ning 4-xususiyatini qo‘llash mumkin emas.Hisob o‘zgarmas son va maxraj [x2x) -> -0 uchun x - - 1 bo‘lgani uchun, u holda butun kasr ichida cheksiz ortadi. mutlaq qiymat, ya'ni lim "1 X-*- - 1 x* + x 4-misol. lim \-ll*" ni toping!"" "Maxraj chegarasi nolga teng: lim (xr-6lg+ 8) = 2*-6 - 2 + 8 = 0, shuning uchun 4-§ ning X xossasi 4 tatbiq etilmaydi.Lekin hisoblagichning chegarasi ham nolga teng: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Demak, ayiruvchi va maxraj chegaralari bir vaqtning o'zida nolga teng.Biroq, 2 soni ham ayirmaning, ham maxrajning ildizi bo'lgani uchun kasrni x-2 ayirmasi bilan kamaytirish mumkin (Bezout teoremasiga ko'ra).Haqiqatan ham, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4 "shuning uchun xr--f- 6 g x-3 -1 1 5-misol. lim xn (n butun son , musbat) ni toping.n butun son, musbat).X -> - CO Bizda xn = x x... x bor.Har bir omil mutlaq ortadi. qiymat, salbiy qolgan, keyin holda hatto daraja mahsulot cheksiz o'sadi, ijobiy bo'lib qoladi, ya'ni lim *n = + oo (juft n uchun). *-* -o Toq daraja bo'lganda mahsulotning mutlaq qiymati ortadi, lekin u manfiy bo'lib qoladi, ya'ni lim xn = - oo (n toq uchun). p -- 00 7-misol. limni toping. x x-*- co * Agar m>pu bo'lsa, yozishimiz mumkin: m = n + kt bu erda k>0. Shuning uchun xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu Biz 6-misolga keldik.Agar ti uTL xm I lim lim t.X - O x-* yu L X ->co Bu yerda pay o‘zgarmas bo‘lib qoladi, maxraj esa mutlaq qiymatda ortadi. shuning uchun lim -l = 0. X-*oo X* Ushbu misolning natijasini quyidagi shaklda eslab qolish tavsiya etiladi: Quvvat funktsiyasi qanchalik tez o'sadi ko'proq ko'rsatkich daraja. $xv_Zxg + 7

Misollar

8-misol. lim g L -g-= ni toping.Ushbu misolda x-*® "J* "G bX -ox-o va ayiruvchi va maxraj cheksiz ortadi. Keling, son va maxrajni ham eng yuqori darajaga ajratamiz. ning x, ya'ni xb da, keyin 3 7_ 9-misol. Lirani toping... O'zgartirishlarni amalga oshirib, lirani olamiz... ^ = lim X CO + 3 7 3 lim -5 = 0, lim -, = 0 bo'lgani uchun, u holda rad-*® X X-+-CD X chegarasi nolga teng, pay chegarasi esa 1. Demak, butun kasr cheksiz ortadi, ya’ni t.7x hm X-+ yu 10-misol. Limni topaylik. cos*-funksiya uzluksiz ekanligini yodda tutib limit S maxrajini hisoblang: lira (2 + cos x) = 2 + qulay = 2. Keyin x->- S lim (l-fsin*) 15-misol. lim * ni toping.<*-e>2 va lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO tugmasini bosing (l: - a)2 = z; chunki (l;-a)2 har doim x bilan manfiy bo'lmagan va cheksiz o'sadi, keyin x - ±oo uchun yangi o'zgaruvchi z-*oc. Shuning uchun biz qt £ ni olamiz<*-«)* = X ->± 00 s=lim eg = oo (§5-ga qarang). g -*■ co Xuddi shunday lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, chunki x ± oo g m - (x- a)z x ->±oo kabi cheksiz kamayadi (§ dagi eslatmaga qarang).

Ketma-ketlik va funksiya chegaralarining ta'rifi, chegaralarning xossalari, birinchi va ikkinchi diqqatga sazovor chegaralar, misollar.

Doimiy raqam A chaqirdi chegara ketma-ketliklar(x n ), agar har qanday ixtiyoriy kichik musbat son e > 0 uchun N soni mavjud bo'lsa, barcha qiymatlar x n, buning uchun n>N, tengsizlikni qanoatlantiring

Uni quyidagicha yozing: yoki x n → a.

Tengsizlik (6.1) qo'sh tengsizlikka ekvivalentdir

a - e< x n < a + ε которое означает, что точки x n, ba'zi n>N sonidan boshlab, interval ichida yotadi (a-e , a+e), ya'ni. nuqtaning istalgan kichik e-mahallasiga tushadi A.

Limitga ega ketma-ketlik deyiladi konvergent, aks holda - turlicha.

Funksiya chegarasi tushunchasi ketma-ketlik chegarasi tushunchasini umumlashtirishdir, chunki ketma-ketlik chegarasi butun son argumentining x n = f(n) funksiyasining chegarasi sifatida qaralishi mumkin. n.

f(x) funksiya berilgan bo'lsin a - chegara nuqtasi bu funktsiyani aniqlash sohasi D(f), ya'ni. shunday nuqta, har qanday qo'shnisi D(f) to'plamining nuqtalarini o'z ichiga oladi a. Nuqta a D(f) to‘plamga tegishli bo‘lishi mumkin yoki bo‘lmasligi mumkin.

Ta'rif 1. A doimiy soni deyiladi chegara funktsiyalari f(x) da x→ a, agar argument qiymatlarining har qanday ketma-ketligi (x n) uchun moyil bo'lsa A, mos keladigan ketma-ketliklar (f(x n)) bir xil A chegarasiga ega.

Ushbu ta'rif deyiladi Geyne bo'yicha funktsiya chegarasini aniqlash, yoki " ketma-ket tilda”.

Ta'rif 2. A doimiy soni deyiladi chegara funktsiyalari f(x) da x→a, agar ixtiyoriy, ixtiyoriy kichik musbat son e berilgan bo‘lsa, shunday d >0 ni (e ga qarab) topish mumkinki, bu hamma uchun x, raqamning e-mahallasida yotgan A, ya'ni. Uchun x, tengsizlikni qondirish
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ushbu ta'rif deyiladi Koshi bo'yicha funktsiya chegarasini aniqlash orqali, yoki “e - d tilida"

1 va 2 ta'riflar ekvivalentdir. Agar f(x) funksiyasi x → a bo'lsa chegara, A ga teng, bu shaklda yoziladi

Ketma-ketlik (f(x n)) har qanday yaqinlashish usuli uchun cheksiz ortib borayotgan (yoki kamaygan) taqdirda x chegarangizga A, u holda f(x) funksiyasi borligini aytamiz cheksiz chegara, va uni quyidagi shaklda yozing:

Chegarasi nolga teng bo'lgan o'zgaruvchi (ya'ni ketma-ketlik yoki funksiya) chaqiriladi cheksiz kichik.

Chegarasi cheksizlikka teng bo'lgan o'zgaruvchi deyiladi cheksiz katta.

Amalda chegarani topish uchun quyidagi teoremalardan foydalaniladi.

Teorema 1 . Agar har bir chegara mavjud bo'lsa

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Izoh. 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ koʻrinishdagi ifodalar noaniqdir, masalan, ikkita cheksiz kichik yoki cheksiz katta miqdorlarning nisbati va bunday turdagi chegarani topish “noaniqlikni ochish” deb ataladi.

Teorema 2.

bular. Doimiy ko'rsatkichli quvvatga asoslangan chegaraga borish mumkin, xususan,

Teorema 3.

(6.11)

Qayerda e» 2.7 - tayanch tabiiy logarifm. Formulalar (6.10) va (6.11) birinchi diqqatga sazovor chegara va ikkinchi ajoyib chegara deb ataladi.

(6.11) formulaning oqibatlari amalda ham qo'llaniladi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

xususan chegara,

Agar x → a va bir vaqtning o'zida x > a bo'lsa, u holda x →a + 0 yozing. Agar, xususan, a = 0 bo'lsa, 0+0 belgisi o'rniga +0 yozing. Xuddi shunday, agar x→a va bir vaqtning o'zida x bo'lsa va shunga mos ravishda chaqiriladi to'g'ri chegara Va chap chegara funktsiyalari f(x) nuqtada A. f(x) funksiyaning x→ a bo‘lgan chegarasi bo‘lishi uchun bu zarur va yetarli . f(x) funksiya chaqiriladi davomiy nuqtada chegara bo'lsa x 0

(6.15)

Shart (6.15) quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

ya'ni funksiya belgisi ostidagi chegaraga o'tish, agar u berilgan nuqtada uzluksiz bo'lsa, mumkin.

Agar (6.15) tenglik buzilgan bo'lsa, unda biz aytamiz da x = x o funktsiyasi f(x) Unda bor bo'shliq y = 1/x funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Ushbu funktsiyani aniqlash sohasi to'plamdir R, x = 0 dan tashqari x = 0 nuqta D(f) to'plamining chegara nuqtasidir, chunki uning har qanday qo'shnisida, ya'ni. 0 nuqtasini o'z ichiga olgan har qanday ochiq oraliqda D(f) nuqtalari mavjud, lekin uning o'zi bu to'plamga tegishli emas. f(x o)= f(0) qiymati aniqlanmagan, shuning uchun x o = 0 nuqtada funksiya uzilishga ega.

f(x) funksiya chaqiriladi nuqtada o'ngda uzluksiz x o chegarasi bo'lsa

Va nuqtada chapda uzluksiz x o, chegara bo'lsa

Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi x o bu nuqtada ham o'ngga, ham chapga uning uzluksizligiga teng.

Funktsiya bir nuqtada uzluksiz bo'lishi uchun x o, masalan, o'ng tomonda, birinchidan, chekli chegara bo'lishi kerak, ikkinchidan, bu chegara f(x o) ga teng bo'lishi kerak. Shuning uchun, agar bu ikki shartdan kamida bittasi bajarilmasa, u holda funktsiya uzilishga ega bo'ladi.

1. Agar chegara mavjud bo'lsa va f(x o ga teng bo'lmasa), ular shunday deyishadi funktsiyasi f(x) nuqtada x o bor birinchi turdagi yorilish, yoki sakrash.

2. Agar chegara +∞ yoki -∞ bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa, unda ular buni aytadilar nuqta x o funktsiya uzilishga ega ikkinchi tur.

Masalan, y = ctg x funksiyasi x → +0 sifatida +∞ ga teng chegaraga ega, ya'ni x=0 nuqtada ikkinchi turdagi uzilishga ega. Funktsiya y = E(x) (ning butun qismi x) butun abstsissali nuqtalarda birinchi turdagi uzilishlar yoki sakrashlar mavjud.

Intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lgan funksiya chaqiriladi davomiy V . Uzluksiz funksiya qattiq egri chiziq bilan ifodalanadi.

Ba'zi bir miqdorning uzluksiz o'sishi bilan bog'liq ko'plab muammolar ikkinchi ajoyib chegaraga olib keladi. Bunday vazifalarga, masalan, quyidagilar kiradi: konlarning murakkab foiz qonuni bo'yicha o'sishi, mamlakat aholisining ko'payishi, radioaktiv moddalarning parchalanishi, bakteriyalarning ko'payishi va boshqalar.

Keling, ko'rib chiqaylik Ya. I. Perelmanning misoli, raqamning talqinini berish e Murakkab foizlar muammosida. Raqam e chegarasi bor . Jamg'arma kassalarida har yili asosiy kapitalga foizli pul qo'shiladi. Agar qo'shilish tez-tez amalga oshirilsa, kapital tezroq o'sib boradi, chunki foizlarni shakllantirishda katta miqdor ishtirok etadi. Keling, sof nazariy, juda soddalashtirilgan misolni olaylik. 100 denier bankka qo'yilsin. birliklar yillik 100% asosida. Agar foizli pul asosiy kapitalga faqat bir yildan so'ng qo'shilsa, bu muddatga kelib 100 den. birliklar 200 pul birligiga aylanadi. Keling, 100 dengizchi nimaga aylanishini ko'rib chiqaylik. birlik, agar foizli pul har olti oyda asosiy kapitalga qo'shilsa. Olti oydan keyin 100 den. birliklar 100 × 1,5 = 150 ga o'sadi va yana olti oydan keyin - 150 × 1,5 = 225 (den. birlik). Agar qo'shilish har 1/3 yilda amalga oshirilsa, bir yildan keyin 100 den. birliklar 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. birlik) ga aylanadi. Biz foizli pulni 0,1 yilga, 0,01 yilga, 0,001 yilga va hokazolarni qo'shish shartlarini oshiramiz. Keyin 100 dendan. birliklar bir yildan keyin shunday bo'ladi:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. birlik),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. birlik),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. birlik).

Foizlarni qo'shish shartlarini cheksiz qisqartirish bilan to'plangan kapital cheksiz ravishda o'smaydi, balki taxminan 271 ga teng bo'lgan ma'lum chegaraga yaqinlashadi. Yillik 100% stavkada qo'yilgan kapital, hatto hisoblangan foizlar bo'lsa ham, 2,71 baravardan ko'proqqa ko'payishi mumkin emas. chegarasi tufayli poytaxtga har soniya qo'shildi

3.1-misol. Sonlar ketma-ketligi chegarasining taʼrifidan foydalanib, x n =(n-1)/n ketma-ketlikning 1 ga teng chegarasi borligini isbotlang.

Yechim. Biz isbotlashimiz kerakki, qanday e > 0 ni olsak ham, uning uchun N natural son borki, hamma n > N uchun |x n -1|< ε

Har qanday e > 0 ni oling. X n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n ekan, N ni topish uchun 1/n tengsizlikni yechish kifoya.<ε. Отсюда n>1/e va shuning uchun N ni 1/e N = E(1/e) ning butun qismi sifatida qabul qilish mumkin. Shu bilan biz chegara ekanligini isbotladik.

3.2-misol. Umumiy had bilan berilgan ketma-ketlikning chegarasini toping .

Yechim. Yig‘indi teoremasining chegarasini qo‘llaymiz va har bir hadning chegarasini topamiz. n → ∞ sifatida, har bir hadning pay va maxraji cheksizlikka intiladi va biz qism chegarasi teoremasini bevosita qo'llay olmaymiz. Shuning uchun birinchi navbatda biz o'zgartiramiz x n, birinchi hadning sonini va maxrajini ga bo'lish n 2, ikkinchisi esa n. So'ngra, qismning chegarasi va yig'indi teoremasining chegarasini qo'llagan holda, biz topamiz:

3.3-misol. . Toping.

Yechim.

Bu yerda biz daraja chegarasi teoremasidan foydalandik: daraja chegarasi asos chegarasining darajasiga teng.

3.4-misol. toping ( ).

Yechim. Farqi chegarasi teoremasini qo'llash mumkin emas, chunki bizda ∞-∞ ko'rinishdagi noaniqlik mavjud. Umumiy atama formulasini o'zgartiramiz:

3.5-misol. f(x)=2 1/x funksiya berilgan. Hech qanday chegara yo'qligini isbotlang.

Yechim. Ketma-ket orqali funksiya chegarasining 1 ta’rifidan foydalanamiz. 0 ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ( x n ) olaylik, ya'ni. f(x n)= qiymati turli ketma-ketliklar uchun turlicha harakat qilishini ko'rsatamiz. x n = 1/n bo'lsin. Shubhasiz, keyin chegara Keling, shunday qilib tanlaylik x n umumiy atama x n = -1/n bo'lgan ketma-ketlik, shuningdek, nolga moyil. Shuning uchun hech qanday chegara yo'q.

3.6-misol. Hech qanday chegara yo'qligini isbotlang.

Yechim. x 1 , x 2 ,..., x n ,... qaysi uchun ketma-ketlik boʻlsin
. (f(x n)) = (sin x n) ketma-ketligi turli x n → ∞ uchun qanday harakat qiladi

Agar x n = p n bo'lsa, u holda sin x n = sin (s n) = hamma uchun 0 n va chegara Agar
x n =2 p n+ p /2, keyin sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = hamma uchun 1 n va shuning uchun chegara. Demak, u mavjud emas.

Limitlar barcha matematika talabalariga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi. Cheklovni hal qilish uchun, ba'zida siz juda ko'p hiyla-nayranglardan foydalanishingiz va turli xil echim usullaridan ma'lum bir misol uchun mos keladiganini tanlashingiz kerak.

Ushbu maqolada biz sizning imkoniyatlaringiz chegaralarini tushunishga yoki nazorat chegaralarini tushunishga yordam bermaymiz, lekin biz savolga javob berishga harakat qilamiz: oliy matematikada chegaralarni qanday tushunish kerak? Tushunish tajriba bilan birga keladi, shuning uchun biz tushuntirishlar bilan chegaralarni hal qilishning bir nechta batafsil misollarini keltiramiz.

Matematikada limit tushunchasi

Birinchi savol: bu chegara nima va nimaning chegarasi? Raqamli ketma-ketliklar va funksiyalarning chegaralari haqida gapirish mumkin. Bizni funktsiyaning chegarasi tushunchasi qiziqtiradi, chunki o'quvchilar ko'p uchraydigan narsa. Lekin birinchi navbatda, chegaraning eng umumiy ta'rifi:

Aytaylik, o'zgaruvchan qiymat bor. Agar o'zgarish jarayonida bu qiymat cheksiz ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashsa a , Bu a - bu qiymatning chegarasi.

Muayyan intervalda aniqlangan funksiya uchun f(x)=y bunday raqam chegara deb ataladi A , bu funksiya qachonga intiladi X , ma'lum bir nuqtaga moyil A . Nuqta A funksiya aniqlangan intervalga tegishli.

Bu og'ir tuyuladi, lekin u juda oddiy yozilgan:

Lim- ingliz tilidan chegara- chegara.

Chegarani aniqlashning geometrik tushuntirishi ham mavjud, ammo bu erda biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, chunki biz masalaning nazariy tomoniga emas, balki amaliy tomoniga ko'proq qiziqamiz. Buni aytganda X ba'zi qiymatga intiladi, bu o'zgaruvchining raqam qiymatini olmasligini, lekin unga cheksiz yaqinlashishini bildiradi.

Keling, aniq bir misol keltiraylik. Vazifa chegarani topishdir.

Ushbu misolni hal qilish uchun biz qiymatni almashtiramiz x=3 funksiyaga aylanadi. Biz olamiz:

Aytgancha, agar siz matritsalar bo'yicha asosiy operatsiyalarga qiziqsangiz, ushbu mavzu bo'yicha alohida maqolani o'qing.

Misollarda X har qanday qiymatga moyil bo'lishi mumkin. Bu har qanday raqam yoki cheksizlik bo'lishi mumkin. Mana bir misol qachon X cheksizlikka intiladi:

Nima ekanligi intuitiv ravishda aniq kattaroq raqam maxrajda funksiya qabul qiladigan qiymat qanchalik kichik bo'lsa. Shunday qilib, cheksiz o'sish bilan X ma'nosi 1/x kamayadi va nolga yaqinlashadi.

Ko'rib turganingizdek, chegarani hal qilish uchun siz faqat funktsiyaga intiladigan qiymatni almashtirishingiz kerak. X . Biroq, bu eng oddiy holat. Ko'pincha chegarani topish unchalik aniq emas. Chegaralar ichida turning noaniqliklari mavjud 0/0 yoki cheksizlik/cheksizlik . Bunday hollarda nima qilish kerak? Fokuslarga murojaat qiling!

Ichidagi noaniqliklar

Infinity/infinity shaklining noaniqligi

Cheklov bo'lsin:

Funktsiyada cheksizlikni almashtirishga harakat qilsak, biz sonda ham, maxrajda ham cheksizlikka ega bo'lamiz. Umuman olganda, bunday noaniqliklarni hal qilishda san'atning ma'lum bir elementi borligini aytish kerak: siz noaniqlik yo'qolishi uchun funktsiyani qanday o'zgartirishingiz mumkinligini payqashingiz kerak. Bizning holatlarimizda biz hisoblagich va maxrajni ajratamiz X oliy darajadagi. Nima bo'ladi?

Yuqorida muhokama qilingan misoldan bilamizki, maxrajda x ni o'z ichiga olgan atamalar nolga moyil bo'ladi. Keyin chegaraning yechimi:

Turi noaniqliklarini hal qilish uchun cheksizlik/cheksizlik son va maxrajni ga bo'ling X eng yuqori darajada.

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud har qanday ish turi

Boshqa turdagi noaniqlik: 0/0

Har doimgidek, funktsiyaga qiymatlarni almashtirish x=-1 beradi 0 son va maxrajda. Bir oz ko'proq diqqat bilan qarang va buni bizning numeratorimizda ko'rasiz kvadrat tenglama. Keling, ildizlarni topamiz va yozamiz:

Keling, kamaytiramiz va olamiz:

Shunday qilib, agar siz noaniqlik turiga duch kelsangiz 0/0 – son va maxrajni ko‘paytiruvchi.

Misollarni echishni osonlashtirish uchun biz ba'zi funktsiyalar chegaralari bilan jadvalni taqdim etamiz:

L'Hopital qoidasi ichida

Ikkala turdagi noaniqlikni bartaraf etishning yana bir kuchli usuli. Usulning mohiyati nimada?

Agar chegarada noaniqlik mavjud bo'lsa, noaniqlik yo'qolguncha pay va maxrajning hosilasini oling.

L'Hopital qoidasi quyidagicha ko'rinadi:

Muhim nuqta : ayiruvchi va maxrajning hosilalari boʻluvchi va ayiruvchi oʻrniga turish chegarasi mavjud boʻlishi kerak.

Va endi - haqiqiy misol:

Oddiy noaniqlik mavjud 0/0 . Numerator va maxrajning hosilalarini olaylik:

Voila, noaniqlik tez va oqlangan tarzda hal qilinadi.

Umid qilamizki, siz ushbu ma'lumotni amalda qo'llay olasiz va "Oliy matematikada chegaralarni qanday hal qilish kerak" degan savolga javob topasiz. Agar siz ketma-ketlik chegarasini yoki bir nuqtada funktsiya chegarasini hisoblashingiz kerak bo'lsa va bu ish uchun mutlaqo vaqt yo'q bo'lsa, tez va batafsil yechim uchun professional talabalar xizmatiga murojaat qiling.