Ikki yoki undan ortiq sonning eng katta umumiy boʻluvchisini topishni oʻrganish uchun tabiiy, tub va murakkab sonlar nima ekanligini tushunishingiz kerak.
Natural son - bu butun ob'ektlarni hisoblash uchun ishlatiladigan har qanday son.
Agar natural sonni faqat o'ziga va bittaga bo'lish mumkin bo'lsa, u tub son deyiladi.
Barcha natural sonlarni o'ziga va bittaga bo'lish mumkin, lekin yagona juft tub son 2 ga teng, qolgan barcha sonlarni ikkiga bo'lish mumkin. Shuning uchun faqat toq sonlar tub bo'lishi mumkin.
Juda ko'p tub sonlar mavjud, ularning to'liq ro'yxati yo'q. GCDni topish uchun bunday raqamlar bilan maxsus jadvallardan foydalanish qulay.
Aksariyat natural sonlarni faqat bittaga emas, balki boshqa sonlarga ham boʻlish mumkin. Shunday qilib, masalan, 15 raqamini boshqa 3 va 5 ga bo'lish mumkin. Ularning barchasi 15 sonining bo'luvchilari deb ataladi.
Shunday qilib, har qanday A ning bo'luvchisi uni qoldiqsiz bo'lish mumkin bo'lgan sondir. Agar sonda ikkitadan ortiq tabiiy omillar bo'lsa, u kompozitsion deyiladi.
30 soni 1, 3, 5, 6, 15, 30 kabi bo'luvchilarga ega bo'lishi mumkin.
Siz 15 va 30 sonining 1, 3, 5, 15 bo'luvchilari bir xil ekanligini ko'rasiz. Bu ikki sonning eng katta umumiy bo'luvchisi 15 dir.
Shunday qilib, A va B sonlarining umumiy bo'luvchisi ularni to'liq bo'lish mumkin bo'lgan sondir. Eng kattasi, ularni bo'lish mumkin bo'lgan maksimal umumiy son deb hisoblanishi mumkin.
Muammolarni hal qilish uchun quyidagi qisqartirilgan yozuv ishlatiladi:
GCD (A; B).
Masalan, gcd (15; 30) = 30.
Natural sonning barcha bo'luvchilarini yozish uchun quyidagi yozuvdan foydalaning:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
Bu misolda natural sonlar faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega. Ular nisbatan tub deb ataladi, shuning uchun birlik ularning eng katta umumiy bo'luvchisidir.
Raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini qanday topish mumkin
Bir nechta raqamlarning gcd ni topish uchun sizga kerak bo'ladi:
Har bir natural sonning barcha bo‘luvchilarini alohida toping, ya’ni ularni ko‘paytiruvchilarga (tut sonlar) ko‘paytiring;
Berilgan raqamlarning barcha bir xil omillarini tanlang;
Ularni birga ko'paytiring.
Misol uchun, 30 va 56 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini hisoblash uchun siz quyidagilarni yozasiz:
Chalkashmaslik uchun vertikal ustunlar yordamida omillarni yozish qulay. Chiziqning chap tomonida dividendni, o'ng tomonida esa bo'linuvchini joylashtirishingiz kerak. Dividend ostida siz natijani ko'rsatishingiz kerak.
Shunday qilib, o'ng ustunda yechim uchun zarur bo'lgan barcha omillar bo'ladi.
Qulaylik uchun bir xil bo'luvchilarni (topilgan omillar) tagiga chizish mumkin. Ularni qayta yozish va ko'paytirish va eng katta umumiy bo'luvchini yozish kerak.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Bu raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini topish qanchalik oson. Agar siz ozgina mashq qilsangiz, buni deyarli avtomatik ravishda qilishingiz mumkin.
Ammo ko'pgina natural sonlar boshqa natural sonlarga ham bo'linadi.
Masalan:
12 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga bo‘linadi;
36 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga, 18 ga, 36 ga bo‘linadi.
Raqam butunga bo'linadigan raqamlar (12 uchun bular 1, 2, 3, 4, 6 va 12) deyiladi. raqamlarning bo'luvchilari. Natural sonning bo'luvchisi a- berilgan sonni ajratuvchi natural son a izsiz. Ikkidan ortiq bo'luvchiga ega bo'lgan natural son deyiladi kompozitsion .
E'tibor bering, 12 va 36 raqamlari umumiy omillarga ega. Bu raqamlar: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sonlarning eng katta boʻluvchisi 12. Bu ikki sonning umumiy boʻluvchisi. a Va b- bu ikkala berilgan sonning qoldiqsiz bo'linadigan soni a Va b.
Umumiy ko'paytmalar bir nechta sonlar - bu raqamlarning har biriga bo'linadigan son. Masalan, 9, 18 va 45 raqamlari 180 ga umumiy karrali. Lekin 90 va 360 ham ularning umumiy karralilaridir. Barcha umumiy ko'paytmalar orasida har doim eng kichigi bo'ladi, bu holda u 90 ga teng. Bu raqam deyiladi eng kichigiumumiy ko'p (CMM).
LCM har doim tabiiy son bo'lib, u aniqlangan raqamlarning eng kattasidan kattaroq bo'lishi kerak.
Eng kichik umumiy ko'p (LCM). Xususiyatlari.
Kommutativlik:
Assotsiativlik:
Xususan, agar va umumiy sonlar bo'lsa, u holda:
Ikki butun sonning eng kichik umumiy karrali m Va n boshqa barcha umumiy karralarning bo‘luvchisidir m Va n. Bundan tashqari, umumiy ko'paytmalar to'plami m, n LCM ko'paytmalari to'plamiga to'g'ri keladi( m, n).
ning asimptotiklarini ba'zi bir son nazariy funktsiyalari bilan ifodalash mumkin.
Shunday qilib, Chebishev funktsiyasi. Shuningdek:
Bu Landau funktsiyasining ta'rifi va xususiyatlaridan kelib chiqadi g(n).
tub sonlarni taqsimlash qonunidan kelib chiqadigan narsa.
Eng kichik umumiy karrali (LCM) topish.
NOC( a, b) bir necha usul bilan hisoblanishi mumkin:
1. Agar eng katta umumiy boʻluvchi maʼlum boʻlsa, uning LCM bilan bogʻlanishidan foydalanishingiz mumkin:
2. Ikkala sonning tub ko‘rsatkichlarga kanonik ajralishi ma’lum bo‘lsin:
Qayerda p 1 ,...,p k- har xil tub sonlar, va d 1 ,...,d k Va e 1 ,...,e k— manfiy bo'lmagan butun sonlar (agar mos keladigan tub son kengaytmada bo'lmasa, ular nolga teng bo'lishi mumkin).
Keyin MOQ ( a,b) formula bilan hisoblanadi:
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, LCM parchalanishi raqamlarning kamida bitta parchalanishiga kiritilgan barcha tub omillarni o'z ichiga oladi. a, b, va bu ko'paytuvchining ikkita ko'rsatkichidan eng kattasi olinadi.
Misol:
Bir nechta raqamlarning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblash ikkita raqamning LCM ning bir nechta ketma-ket hisoblariga qisqartirilishi mumkin:
Qoida. Bir qator raqamlarning LCM ni topish uchun sizga kerak bo'ladi:
- sonlarni tub omillarga ajratish;
- eng katta parchalanishni (berilganlarning eng ko'p sonining omillari ko'paytmasini) kerakli mahsulotning omillariga o'tkazing va keyin birinchi raqamda ko'rinmaydigan yoki unda ko'rinadigan boshqa raqamlarning parchalanishidan omillarni qo'shing. kamroq marta;
— tub omillarning hosilasi berilgan sonlarning LKM i bo‘ladi.
Har qanday ikki yoki undan ortiq natural sonlar o'z LCMga ega. Agar raqamlar bir-biriga karrali bo'lmasa yoki kengayishda bir xil omillarga ega bo'lmasa, ularning LCM bu raqamlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi.
28 (2, 2, 7) sonining asosiy omillari 3 (21 raqami) koeffitsienti bilan to'ldiriladi, natijada olingan mahsulot (84) 21 va 28 ga bo'linadigan eng kichik son bo'ladi.
Eng katta 30 sonning tub omillari 25 sonining 5 koeffitsienti bilan to'ldiriladi, natijada olingan 150 ko'paytma eng katta son 30 dan katta va barcha berilgan sonlarga qoldiqsiz bo'linadi. Bu barcha berilgan raqamlarning ko'paytmasi bo'lgan mumkin bo'lgan eng kichik mahsulot (150, 250, 300...).
2,3,11,37 sonlar tub sonlar, shuning uchun ularning LKM ko‘rsatkichi berilgan sonlar ko‘paytmasiga teng.
Qoida. Tub sonlarning LCM ni hisoblash uchun bu raqamlarning barchasini birga ko'paytirish kerak.
Boshqa variant:
Bir nechta raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM) ni topish uchun sizga kerak bo'ladi:
1) har bir sonni uning tub omillarining mahsuloti sifatida ifodalang, masalan:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) barcha tub omillarning kuchlarini yozing:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) bu sonlarning har birining barcha tub bo‘luvchilarini (ko‘paytiruvchilarini) yozing;
4) bu raqamlarning barcha kengayishlarida topilgan har birining eng katta darajasini tanlang;
5) bu kuchlarni ko'paytiring.
Misol. Raqamlarning LCM ni toping: 168, 180 va 3024.
Yechim. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Biz barcha tub bo'luvchilarning eng katta kuchlarini yozamiz va ularni ko'paytiramiz:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
LCM - eng kam umumiy ko'paytma. Berilgan barcha sonlarni qoldiqsiz bo'ladigan son.
Masalan, berilgan sonlar 2, 3, 5 bo'lsa, LCM=2*3*5=30 bo'ladi.
Va agar berilgan raqamlar 2,4,8 bo'lsa, LCM =8
GCD nima?
GCD eng katta umumiy bo'luvchidir. Berilgan sonlarning har birini qoldiq qoldirmasdan bo‘lish uchun ishlatilishi mumkin bo‘lgan son.
Agar berilgan sonlar tub bo'lsa, gcd bittaga teng bo'lishi mantiqan to'g'ri.
Va agar berilgan raqamlar 2, 4, 8 bo'lsa, GCD 2 ga teng.
Biz buni umumiy ma'noda ta'riflamaymiz, shunchaki misol bilan yechimni ko'rsatamiz.
126 va 44 ikkita raqam berilgan. GCD ni toping.
Keyin bizga formaning ikkita raqami berilsa
Keyin GCD sifatida hisoblanadi
bu erda min - pn sonining barcha kuchlarining minimal qiymati
va NOC sifatida
bu erda max - pn sonining barcha kuchlarining maksimal qiymati
Yuqoridagi formulalarga qarab, berilgan qiymatlarning kamida bitta jufti orasida nisbatan tub sonlar mavjud bo'lganda, ikki yoki undan ortiq raqamlarning gcd qiymati birga teng bo'lishini osongina isbotlashingiz mumkin.
Shuning uchun 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 kabi raqamlarning gcd si nimaga teng degan savolga hech narsani hisoblamasdan javob berish oson.
3 va 7 raqamlari bir-biriga teng, shuning uchun gcd = 1
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
24654, 25473 va 954 uchta raqam berilgan
Har bir raqam quyidagi omillarga bo'linadi
Yoki muqobil shaklda yozsak
Ya'ni, bu uchta raqamning gcd qiymati uchtaga teng
Xo'sh, biz LCMni shunga o'xshash tarzda hisoblashimiz mumkin va u teng
Bizning bot sizga ikkita, uch yoki o'nta butun sonlarning GCD va LCM ni hisoblashda yordam beradi.
GCD ning eng katta umumiy boʻluvchisini topamiz (36; 24)
Yechim bosqichlari
№1 usul
36
- kompozit raqam
24
- kompozit raqam
Keling, 36 raqamini kengaytiraylik
36:
2
= 18
18:
2
= 9
- tub son 2 ga bo'linadi
9:
3
=
3
- tub son 3 ga bo'linadi.
Keling, 24 raqamini ajratamiz asosiy omillarga ajrating va ularni yashil rang bilan ajratib ko'rsating. Biz tub sonlardan bo'linuvchini eng kichik tub son 2 dan boshlab, qism tub son bo'lguncha tanlashni boshlaymiz.
24:
2
= 12
- tub son 2 ga bo'linadi
12:
2
= 6
- tub son 2 ga bo'linadi
6:
2
=
3
Biz bo'linishni yakunlaymiz, chunki 3 - tub son
2) Uni ko'k rang bilan ajratib ko'rsating va umumiy omillarni yozing
36
=
2
⋅
2
⋅
3
⋅
3
24
=
2
⋅
2
⋅
2
⋅
3
Umumiy omillar (36; 24): 2, 2, 3
3) Endi GCD ni topish uchun umumiy omillarni ko'paytirish kerak
Javob: GCD (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
№ 2 usul
1) (36; 24) sonlarning barcha mumkin bo‘lgan bo‘luvchilarini toping. Buning uchun 36 sonni navbat bilan 1 dan 36 gacha bo‘luvchilarga, 24 sonini 1 dan 24 gacha bo‘luvchilarga ajratamiz.Agar son qoldiqsiz bo‘linadigan bo‘lsa, bo‘luvchini bo‘luvchilar ro‘yxatiga yozamiz.
36 raqami uchun
36:
1
= 36;
36:
2
= 18;
36:
3
= 12;
36:
4
= 9;
36:
6
= 6;
36:
9
= 4;
36:
12
= 3;
36:
18
= 2;
36:
36
= 1;
24 raqami uchun Qoldiqsiz bo'linadigan barcha holatlarni yozamiz:
24:
1
= 24;
24:
2
= 12;
24:
3
= 8;
24:
4
= 6;
24:
6
= 4;
24:
8
= 3;
24:
12
= 2;
24:
24
= 1;
2) Keling, raqamlarning barcha umumiy bo'luvchilarini yozamiz (36; 24) va eng kattasini yashil rang bilan ajratib ko'rsatamiz, bu raqamlarning (36; 24) gcd ning eng katta umumiy bo'luvchisi bo'ladi.
Raqamlarning umumiy omillari (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12
Javob: GCD (36 ; 24) = 12
LCMning eng kichik umumiy karrali topilsin (52; 49)
Yechim bosqichlari
№1 usul
1) Raqamlarni tub omillarga ajratamiz. Buni amalga oshirish uchun, keling, har bir son tub ekanligini tekshirib ko'ramiz (agar son tub bo'lsa, uni tub omillarga bo'lish mumkin emas va uning o'zi parchalanishdir)
52
- kompozit raqam
49
- kompozit raqam
Keling, 52 raqamini kengaytiraylik asosiy omillarga ajrating va ularni yashil rang bilan ajratib ko'rsating. Biz tub sonlardan bo'linuvchini eng kichik tub son 2 dan boshlab, qism tub son bo'lguncha tanlashni boshlaymiz.
52:
2
= 26
- tub son 2 ga bo'linadi
26:
2
=
13
- tub son 2 ga bo'linadi.
Biz bo'linishni yakunlaymiz, chunki 13 - tub son
Keling, 49 raqamini kengaytiraylik asosiy omillarga ajrating va ularni yashil rang bilan ajratib ko'rsating. Biz tub sonlardan bo'linuvchini eng kichik tub son 2 dan boshlab, qism tub son bo'lguncha tanlashni boshlaymiz.
49:
7
=
7
- tub son 7 ga bo'linadi.
7 tub son bo‘lgani uchun bo‘linishni yakunlaymiz
2) Eng avvalo eng katta sonning, keyin esa kichikroq sonning omillarini yozing. Keling, etishmayotgan omillarni topamiz, kichik sonni kengaytirishda ko'k rang bilan kattaroq sonni kengaytirishga kiritilmagan omillarni ajratib ko'rsatamiz.
52
= 2 ∙ 2 ∙ 13
49
=
7
∙
7
3) Endi, LCM ni topish uchun siz ko'k rang bilan belgilangan etishmayotgan omillar bilan kattaroq sonning omillarini ko'paytirishingiz kerak.
LCM (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
№ 2 usul
1) raqamlarning barcha mumkin bo'lgan karralarini toping (52; 49). Buning uchun navbatma-navbat 52 sonini 1 dan 49 gacha bo‘lgan sonlarga, 49 sonini esa 1 dan 52 gacha bo‘lgan sonlarga ko‘paytiramiz.
Barcha ko'paytmalarni tanlang 52 yashil rangda:
52 ∙ 1 =
52
;
52 ∙ 2 =
104
;
52 ∙ 3 =
156
;
52 ∙ 4 =
208
;
52 ∙ 5 =
260
;
52 ∙ 6 =
312
;
52 ∙ 7 =
364
;
52 ∙ 8 =
416
;
52 ∙ 9 =
468
;
52 ∙ 10 =
520
;
52 ∙ 11 =
572
;
52 ∙ 12 =
624
;
52 ∙ 13 =
676
;
52 ∙ 14 =
728
;
52 ∙ 15 =
780
;
52 ∙ 16 =
832
;
52 ∙ 17 =
884
;
52 ∙ 18 =
936
;
52 ∙ 19 =
988
;
52 ∙ 20 =
1040
;
52 ∙ 21 =
1092
;
52 ∙ 22 =
1144
;
52 ∙ 23 =
1196
;
52 ∙ 24 =
1248
;
52 ∙ 25 =
1300
;
52 ∙ 26 =
1352
;
52 ∙ 27 =
1404
;
52 ∙ 28 =
1456
;
52 ∙ 29 =
1508
;
52 ∙ 30 =
1560
;
52 ∙ 31 =
1612
;
52 ∙ 32 =
1664
;
52 ∙ 33 =
1716
;
52 ∙ 34 =
1768
;
52 ∙ 35 =
1820
;
52 ∙ 36 =
1872
;
52 ∙ 37 =
1924
;
52 ∙ 38 =
1976
;
52 ∙ 39 =
2028
;
52 ∙ 40 =
2080
;
52 ∙ 41 =
2132
;
52 ∙ 42 =
2184
;
52 ∙ 43 =
2236
;
52 ∙ 44 =
2288
;
52 ∙ 45 =
2340
;
52 ∙ 46 =
2392
;
52 ∙ 47 =
2444
;
52 ∙ 48 =
2496
;
52 ∙ 49 =
2548
;
Barcha ko'paytmalarni tanlang 49 yashil rangda:
49 ∙ 1 =
49
;
49 ∙ 2 =
98
;
49 ∙ 3 =
147
;
49 ∙ 4 =
196
;
49 ∙ 5 =
245
;
49 ∙ 6 =
294
;
49 ∙ 7 =
343
;
49 ∙ 8 =
392
;
49 ∙ 9 =
441
;
49 ∙ 10 =
490
;
49 ∙ 11 =
539
;
49 ∙ 12 =
588
;
49 ∙ 13 =
637
;
49 ∙ 14 =
686
;
49 ∙ 15 =
735
;
49 ∙ 16 =
784
;
49 ∙ 17 =
833
;
49 ∙ 18 =
882
;
49 ∙ 19 =
931
;
49 ∙ 20 =
980
;
49 ∙ 21 =
1029
;
49 ∙ 22 =
1078
;
49 ∙ 23 =
1127
;
49 ∙ 24 =
1176
;
49 ∙ 25 =
1225
;
49 ∙ 26 =
1274
;
49 ∙ 27 =
1323
;
49 ∙ 28 =
1372
;
49 ∙ 29 =
1421
;
49 ∙ 30 =
1470
;
49 ∙ 31 =
1519
;
49 ∙ 32 =
1568
;
49 ∙ 33 =
1617
;
49 ∙ 34 =
1666
;
49 ∙ 35 =
1715
;
49 ∙ 36 =
1764
;
49 ∙ 37 =
1813
;
49 ∙ 38 =
1862
;
49 ∙ 39 =
1911
;
49 ∙ 40 =
1960
;
49 ∙ 41 =
2009
;
49 ∙ 42 =
2058
;
49 ∙ 43 =
2107
;
49 ∙ 44 =
2156
;
49 ∙ 45 =
2205
;
49 ∙ 46 =
2254
;
49 ∙ 47 =
2303
;
49 ∙ 48 =
2352
;
49 ∙ 49 =
2401
;
49 ∙ 50 =
2450
;
49 ∙ 51 =
2499
;
49 ∙ 52 =
2548
;
2) Keling, raqamlarning barcha umumiy karralarini yozamiz (52; 49) va eng kichigini yashil rang bilan ajratib ko'rsatamiz, bu raqamlarning eng kichik umumiy karrali bo'ladi (52; 49).
Sonlarning umumiy karralilari (52; 49): 2548
Javob: LCM (52; 49) = 2548
Eng katta umumiy bo'luvchi
Ta'rif 2
Agar natural a soni $b$ natural soniga boʻlinadigan boʻlsa, $b$ $a$ ning boʻluvchisi, $a$ esa $b$ ning karrali deb ataladi.
$a$ va $b$ natural sonlar boʻlsin. $c$ soni $a$ va $b$ ning umumiy boʻluvchisi deyiladi.
$a$ va $b$ sonlarining umumiy boʻluvchilari toʻplami chekli, chunki bu boʻluvchilarning hech biri $a$ dan katta boʻla olmaydi. Bu shuni anglatadiki, bu bo'luvchilar orasida eng kattasi mavjud bo'lib, u $a$ va $b$ sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi deb ataladi va quyidagi belgi bilan belgilanadi:
$GCD\(a;b)\ yoki \D\(a;b)$
Ikki sonning eng katta umumiy boʻluvchisini topish uchun sizga kerak boʻladi:
- 2-bosqichda topilgan raqamlarning ko'paytmasini toping. Olingan son kerakli eng katta umumiy bo'luvchi bo'ladi.
1-misol
$121$ va $132.$ sonlarining gcd ni toping
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Ushbu raqamlarni kengaytirishga kiritilgan raqamlarni tanlang
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
2-bosqichda topilgan raqamlarning ko'paytmasini toping. Olingan son kerakli eng katta umumiy bo'luvchi bo'ladi.
$GCD=2\cdot 11=22$
2-misol
$63$ va $81$ monomiallarining gcd ni toping.
Taqdim etilgan algoritmga muvofiq topamiz. Buning uchun:
Raqamlarni tub omillarga aylantiramiz
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Biz bu raqamlarni kengaytirishga kiritilgan raqamlarni tanlaymiz
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
2-bosqichda topilgan sonlarning ko'paytmasini topamiz. Olingan son kerakli eng katta umumiy bo'luvchi bo'ladi.
$GCD=3\cdot 3=9$
Raqamlarning bo'linuvchilari to'plamidan foydalanib, ikkita raqamning gcd ni boshqa yo'l bilan topishingiz mumkin.
3-misol
$48$ va $60$ raqamlarining gcd ni toping.
Yechim:
$48$ sonining boʻluvchilar toʻplamini topamiz: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Endi $60$ sonining bo'luvchilar to'plamini topamiz:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Ushbu to‘plamlarning kesishishini topamiz: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu to‘plam $48$ va $60 sonlarining umumiy bo‘luvchilari to‘plamini aniqlaydi. $. Ushbu to'plamdagi eng katta element $12$ bo'ladi. Bu $48$ va $60$ sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi $12$ ekanligini anglatadi.
NPL ta'rifi
Ta'rif 3
Natural sonlarning umumiy karralari$a$ va $b$ - bu $a$ va $b$ ning koʻpaytmasi boʻlgan natural son.
Raqamlarning umumiy karralilari asl sonlarga qoldiqsiz boʻlinadigan sonlardir.Masalan, $25$ va $50$ raqamlari uchun umumiy koʻpaytmalar $50.100.150.200$ va boshqalar boʻladi.
Eng kichik umumiy karrali eng kichik umumiy karra deb ataladi va LCM$(a;b)$ yoki K$(a;b) $ bilan belgilanadi.
Ikki raqamning LCM ni topish uchun sizga kerak:
- Komil sonlarni tub omillarga aylantirish
- Birinchi raqamning bir qismi bo'lgan omillarni yozing va ularga ikkinchisining bir qismi bo'lgan va birinchisiga kirmaydigan omillarni qo'shing.
4-misol
$99$ va $77$ raqamlarining LCM ni toping.
Taqdim etilgan algoritmga muvofiq topamiz. Buning uchun
Komil sonlarni tub omillarga aylantirish
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Birinchisiga kiritilgan omillarni yozing
ularga ikkinchisining bir qismi bo'lgan va birinchisining bir qismi bo'lmagan ko'paytirgichlarni qo'shing
2-bosqichda topilgan raqamlarning ko'paytmasini toping. Olingan son kerakli eng kichik umumiy karrali bo'ladi
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Raqamlarning bo'linuvchilari ro'yxatini tuzish ko'pincha juda ko'p mehnat talab qiladigan ishdir. GCD ni topishning Evklid algoritmi deb ataladigan usuli mavjud.
Evklid algoritmi asoslangan bayonotlar:
Agar $a$ va $b$ natural sonlar va $a\vdots b$ boʻlsa, $D(a;b)=b$
Agar $a$ va $b$ natural sonlar boʻlsa, $b
$D(a;b)= D(a-b;b)$ dan foydalanib, biz ko'rib chiqilayotgan sonlarni, ulardan biri ikkinchisiga bo'linadigan juft songa yetguncha ketma-ket kamaytirishimiz mumkin. Shunda bu sonlarning kichigi $a$ va $b$ raqamlari uchun kerakli eng katta umumiy boʻluvchi boʻladi.
GCD va LCM xususiyatlari
- Har qanday umumiy karrali $a$ va $b$ K$(a;b)$ ga boʻlinadi
- Agar $a\vdots b$ bo'lsa, K$(a;b)=a$
Agar K$(a;b)=k$ va $m$ natural son boʻlsa, K$(am;bm)=km$
Agar $d$ $a$ va $b$ uchun umumiy boʻluvchi boʻlsa, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
Agar $a\vdots c$ va $b\vdots c$ boʻlsa, $\frac(ab)(c)$ $a$ va $b$ ning umumiy karrali boʻladi.
Har qanday $a$ va $b$ natural sonlari uchun tenglik amal qiladi
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
$a$ va $b$ sonlarining har qanday umumiy boʻluvchisi $D(a;b)$ sonining boʻluvchisidir.
