3 ta noma'lumli 3 ta tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

3-tartibli determinantlardan foydalanib, bunday tizimning yechimi ikkita tenglamalar tizimi bilan bir xil shaklda yozilishi mumkin, ya'ni.

(2.4)

agar 0. Bu yerga

Bu bor Kramer qoidasi uchta tizimga yechimlar chiziqli tenglamalar uchta noma'lum bilan.

2.3-misol. Kramer qoidasidan foydalanib chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim . Tizimning bosh matritsasining determinantini topish

0 bo'lgani uchun tizim yechimini topish uchun biz Kramer qoidasini qo'llashimiz mumkin, lekin avval yana uchta determinantni hisoblaymiz:

Imtihon:

Shunday qilib, yechim to'g'ri topildi. 

uchun olingan Kramer qoidalari chiziqli tizimlar 2 va 3-tartiblar, xuddi shu qoidalarni har qanday tartibli chiziqli tizimlar uchun shakllantirish mumkinligini ko'rsating. Haqiqatan ham sodir bo'ladi

Kramer teoremasi. Tizimning asosiy matritsasining nolga teng bo'lmagan aniqlovchisi bo'lgan kvadratik chiziqli tenglamalar tizimi (0) bitta va bitta yechimga ega va bu yechim formulalar yordamida hisoblanadi

(2.5)

Qayerda  – asosiy matritsaning determinanti,  i – matritsa determinanti, asosiysidan olingan, o'rnini bosuvchiibepul shartlar ustuni.

E'tibor bering, agar =0 bo'lsa, Kramer qoidasi qo'llanilmaydi. Bu shuni anglatadiki, tizim yoki umuman yechimga ega emas yoki cheksiz ko'p echimlarga ega.

Kramer teoremasini shakllantirgandan so'ng, tabiiy ravishda yuqori darajali determinantlarni hisoblash masalasi tug'iladi.

2.4. n-tartibdagi aniqlovchilar

Qo'shimcha kichik M ij element a ij oʻchirish yoʻli bilan berilgandan olingan aniqlovchidir i th qator va j th ustun. Algebraik to‘ldiruvchi A ij element a ij(-1) belgisi bilan olingan bu elementning minori deyiladi i + j, ya'ni. A ij = (–1) i + j M ij .

Masalan, elementlarning kichik va algebraik to’ldiruvchilarini topamiz a 23 va a 31 saralash

olamiz



Algebraik to'ldiruvchi tushunchasidan foydalanib, biz formula qilishimiz mumkin determinant kengayish teoremasin-satr yoki ustun bo'yicha tartib.

2.1 teorema. Matritsa determinantiAma'lum bir qator (yoki ustun) ning barcha elementlarining algebraik to'ldiruvchilari bo'yicha ko'paytmalari yig'indisiga teng:

(2.6)

Ushbu teorema determinantlarni hisoblashning asosiy usullaridan biri, ya'ni deb ataladigan narsa asosida yotadi. buyurtmani qisqartirish usuli. Aniqlovchining kengayishi natijasida n Har qanday satr yoki ustun ustidagi tartib bo'lsa, biz n ta determinantni olamiz ( n-1) tartib. Bunday determinantlar kamroq bo'lishi uchun eng ko'p nolga ega bo'lgan satr yoki ustunni tanlash tavsiya etiladi. Amalda determinantning kengayish formulasi odatda quyidagicha yoziladi:

bular. algebraik qo'shimchalar kichiklar nuqtai nazaridan aniq yoziladi.

Misollar 2.4. Determinantlarni avval ularni qator yoki ustunlarga saralash orqali hisoblang. Odatda, bunday hollarda eng ko'p nolga ega ustun yoki qatorni tanlang. Tanlangan satr yoki ustun o'q bilan ko'rsatiladi.



2.5. Determinantlarning asosiy xossalari

Determinantni har qanday satr yoki ustunga kengaytirsak, biz n ta determinantni olamiz ( n-1) tartib. Keyin bu determinantlarning har biri ( n–1) tartibni aniqlovchilar yig‘indisiga ham ajratish mumkin ( n-2) tartib. Ushbu jarayonni davom ettirib, 1-tartibli determinantlarga erishish mumkin, ya'ni. determinanti hisoblangan matritsaning elementlariga. Shunday qilib, 2-tartibli determinantlarni hisoblash uchun siz ikkita hadning yig'indisini, 3-tartibli determinantlar uchun - 6 ta hadning yig'indisini, 4-tartibli determinantlar uchun - 24 ta hadlarni hisoblashingiz kerak bo'ladi. Aniqlovchining tartibi ortishi bilan atamalar soni keskin ortadi. Bu shuni anglatadiki, juda yuqori darajadagi determinantlarni hisoblash hatto kompyuterning imkoniyatlaridan tashqarida ancha mehnat talab qiladigan vazifaga aylanadi. Biroq, determinantlarni boshqa yo'l bilan, determinantlarning xususiyatlaridan foydalangan holda hisoblash mumkin.

Mulk 1 . Undagi satrlar va ustunlar almashtirilsa, determinant o'zgarmaydi, ya'ni. matritsani ko'chirishda:

.

Bu xossa determinantning satr va ustunlari tengligini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, determinantning ustunlari haqidagi har qanday bayonot uning satrlari uchun ham to'g'ri keladi va aksincha.

Mulk 2 . Ikki qator (ustun) almashtirilganda determinant belgini o'zgartiradi.

Natija . Agar determinant ikkita bir xil qatorga (ustunlarga) ega bo'lsa, u nolga teng.

Mulk 3 . Har qanday qatordagi (ustundagi) barcha elementlarning umumiy koeffitsienti aniqlovchi belgisidan chiqarilishi mumkin.

Masalan,

Natija . Agar determinantning ma'lum bir satri (ustun) ning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinantning o'zi nolga teng bo'ladi..

Mulk 4 . Agar bir qator (ustun) elementlari boshqa qator (ustun) elementlariga qo‘shilsa, istalgan songa ko‘paytirilsa, determinant o‘zgarmaydi..

Masalan,

Mulk 5 . Matritsalar ko'paytmasining aniqlovchisi matritsalar determinantlarining ko'paytmasiga teng:

Kramer usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechishda determinantlardan foydalanishga asoslangan. Bu yechim jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi.

Kramer usulidan har bir tenglamada qancha noma’lum bo‘lsa, shuncha chiziqli tenglamalar sistemasini yechish mumkin. Agar sistemaning determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda yechimda Kramer usulidan foydalanish mumkin, lekin nolga teng bo'lsa, unday emas. Bundan tashqari, yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar tizimini yechishda Kramer usulidan foydalanish mumkin.

Ta'rif. Noma'lumlar uchun koeffitsientlardan tuzilgan determinant tizimning determinanti deb ataladi va (delta) bilan belgilanadi.

Aniqlovchilar

mos keladigan noma'lumlar koeffitsientlarini erkin shartlar bilan almashtirish yo'li bilan olinadi:

;

.

Kramer teoremasi. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lmasa, chiziqli tenglamalar tizimi bitta yagona yechimga ega va noma'lum determinantlar nisbatiga teng. Maxrajda sistemaning determinanti, hisoblagich esa ushbu noma'lumning koeffitsientlarini erkin hadlar bilan almashtirish orqali tizimning aniqlovchisidan olingan aniqlovchini o'z ichiga oladi. Bu teorema har qanday tartibli chiziqli tenglamalar tizimi uchun amal qiladi.

1-misol. Chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Ga binoan Kramer teoremasi bizda ... bor:

Shunday qilib, (2) tizimning yechimi:

onlayn kalkulyator, hal qiluvchi usul Kramer.

Chiziqli tenglamalar tizimini echishda uchta holat

dan aniq bo'lganidek Kramer teoremasi, chiziqli tenglamalar tizimini echishda uchta holat yuzaga kelishi mumkin:

Birinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega

(tizim izchil va aniq)

Ikkinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega

(tizim izchil va noaniq)

** ,

bular. noma'lumlar va erkin hadlar koeffitsientlari proportsionaldir.

Uchinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari yo'q

(tizim mos kelmaydi)

Shunday qilib, tizim m bilan chiziqli tenglamalar n o'zgaruvchilar deb ataladi qo'shma bo'lmagan, agar u bitta yechimga ega bo'lmasa va qo'shma, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Bir vaqtning o'zida bitta yechimga ega bo'lgan tenglamalar tizimi deyiladi aniq, va bir nechta - noaniq.

Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishga misollar

Tizim berilsin

.

Kramer teoremasi asosida

………….
,

Qayerda
-

tizim determinanti. Qolgan determinantlarni ustunni tegishli o'zgaruvchining (noma'lum) koeffitsientlari bilan erkin shartlar bilan almashtirish orqali olamiz:

2-misol.

.

Shunday qilib, tizim aniq. Uning yechimini topish uchun determinantlarni hisoblaymiz

Kramer formulalari yordamida biz quyidagilarni topamiz:

Demak, (1; 0; -1) tizimning yagona yechimidir.

3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz Kramerning echish usuli yordamida onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Agar chiziqli tenglamalar tizimida bir yoki bir nechta tenglamalarda o'zgaruvchilar bo'lmasa, determinantda mos keladigan elementlar nolga teng! Bu keyingi misol.

3-misol. Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

.

Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:

Tenglamalar tizimiga va tizimning determinantiga diqqat bilan qarang va determinantning bir yoki bir nechta elementlari nolga teng bo'lgan savolga javobni takrorlang. Demak, determinant nolga teng emas, shuning uchun sistema aniq. Uning yechimini topish uchun noma’lumlar uchun determinantlarni hisoblaymiz

Kramer formulalari yordamida biz quyidagilarni topamiz:

Demak, sistemaning yechimi (2; -1; 1) bo'ladi.

3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz Kramerning echish usuli yordamida onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Sahifaning yuqorisi

Biz birgalikda Cramer usuli yordamida tizimlarni hal qilishda davom etamiz

Yuqorida aytib o'tilganidek, agar tizimning determinanti nolga teng bo'lsa va noma'lumlarning determinantlari nolga teng bo'lmasa, tizim mos kelmaydi, ya'ni uning yechimlari yo'q. Keling, quyidagi misol bilan tushuntiramiz.

6-misol. Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:

Tizimning determinanti nolga teng, shuning uchun chiziqli tenglamalar tizimi yoki mos kelmaydigan va aniq, yoki mos kelmaydigan, ya'ni yechimlari yo'q. Aniqlik uchun biz noma'lumlar uchun determinantlarni hisoblaymiz

Noma'lumlarning determinantlari nolga teng emas, shuning uchun tizim mos kelmaydi, ya'ni uning yechimlari yo'q.

3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz Kramerning echish usuli yordamida onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Chiziqli tenglamalar sistemalari bilan bog'liq masalalarda o'zgaruvchilarni bildiruvchi harflardan tashqari, boshqa harflar ham mavjud. Bu harflar raqamni ifodalaydi, ko'pincha haqiqiydir. Amalda izlash masalalari shunday tenglamalar va tenglamalar sistemalariga olib keladi umumiy xususiyatlar har qanday hodisa yoki narsalar. Ya'ni, siz biron bir narsani ixtiro qilganmisiz yangi material yoki qurilma va uning namunaning kattaligi yoki sonidan qat'iy nazar umumiy bo'lgan xususiyatlarini tavsiflash uchun siz chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz kerak, bu erda o'zgaruvchilar uchun ba'zi koeffitsientlar o'rniga harflar mavjud. Misollar uchun uzoqdan izlash shart emas.

Quyidagi misol shunga o'xshash masala uchun, faqat ma'lum bir haqiqiy sonni bildiruvchi tenglamalar, o'zgaruvchilar va harflar soni ortadi.

8-misol. Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:

Noma'lumlar uchun determinantlarni topish

Chiziqli tenglamalar tizimi birgalikda ko'rib chiqiladigan bir nechta chiziqli tenglamalar to'plamidir.

Tizimda noma'lumlar sonining istalgan soniga ega bo'lgan tenglamalar bo'lishi mumkin.

Tenglamalar tizimining yechimi - bu tizimning barcha tenglamalarini qanoatlantiradigan, ya'ni ularni o'ziga xoslikka aylantiradigan noma'lum qiymatlar to'plami.

Yechimga ega bo'lgan tizim izchil deb ataladi, aks holda u nomuvofiq deb ataladi.

Tizimni hal qilish uchun turli usullar qo'llaniladi.

Mayli
(tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng).

Kramer usuli

Uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini echishni ko'rib chiqing:

(7)

Noma'lum narsalarni topish uchun
Kramer formulasini qo'llaymiz:

(8)

Qayerda - elementlari noma'lumlar koeffitsientlari bo'lgan tizimning determinanti:

.

determinantning birinchi ustunini almashtirish orqali olinadi bepul a'zolar ustuni:

.

Xuddi shunday:

;
.

1-misol. Tizimni Kramer formulasidan foydalanib yeching:

.

Yechish: (8) formulalardan foydalanamiz:

;

;

;

;

Javob:
.

Har qanday tizim uchun bilan chiziqli tenglamalar noma'lumlarni aytish mumkin:

Matritsali yechim

Uchta noma’lumli uchta chiziqli tenglamaning (7) tizimini matritsali usul yordamida yechishni ko‘rib chiqaylik.

Matritsalarni ko'paytirish qoidalaridan foydalanib, ushbu tenglamalar tizimini quyidagicha yozish mumkin:
, Qayerda

.

Matritsa bo'lsin degenerativ bo'lmagan, ya'ni.
. Chapdagi matritsa tenglamasining ikkala tomonini matritsaga ko'paytirish
, matritsaga teskari , biz olamiz:
.

Shuni hisobga olib
, bizda ... bor

(9)

2-misol. Matritsa usuli yordamida tizimni yeching:

.

Yechish: Matritsalarni kiritamiz:

- noma'lumlar koeffitsientlaridan;

- bepul a'zolar ustuni.

Keyin tizimni matritsali tenglama sifatida yozish mumkin:
.

(9) formuladan foydalanamiz. Teskari matritsani topamiz
formula (6) bo'yicha:

;

.

Demak,

Olingan:

.

Javob:
.

Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli (Gauss usuli)

Amaldagi usulning asosiy g'oyasi noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishdir. Keling, ushbu usulning ma'nosini uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimidan foydalanib tushuntiramiz:

.

Buni taxmin qilaylik
(Agar
, keyin biz birinchi tenglama sifatida koeffitsienti bo'lgan tenglamani tanlab, tenglamalar tartibini o'zgartiramiz. nolga teng emas).

Birinchi qadam: a) tenglamani bo'ling
yoqilgan
; b) olingan tenglamani ga ko'paytiring
va dan ayirish
; c) keyin natijani ga ko'paytiring
va dan ayirish
. Birinchi qadam natijasida biz tizimga ega bo'lamiz:

,

Ikkinchi qadam: biz tenglama bilan shug'ullanamiz
Va
tenglamalar bilan aynan bir xil
.

Natijada, asl tizim bosqichma-bosqich deb ataladigan shaklga aylanadi:

O'zgartirilgan tizimdan barcha noma'lumlar qiyinchiliksiz ketma-ket aniqlanadi.

Izoh. Amalda tenglamalar tizimining o'zini emas, balki koeffitsientlar, noma'lumlar va erkin atamalar matritsasini bosqichma-bosqich shaklga keltirish qulayroqdir.

3-misol. Tizimni Gauss usuli yordamida yeching:

.

Bir matritsadan ikkinchi matritsaga o'tishni ~ ekvivalentlik belgisi yordamida yozamiz.

~
~
~
~

~
.

Olingan matritsadan foydalanib, o'zgartirilgan tizimni yozamiz:

.

Javob:
.

Eslatma: Agar tizim yagona yechimga ega bo'lsa, u holda qadam tizimi uchburchakka, ya'ni oxirgi tenglamada bitta noma'lum bo'lgan tenglamaga qisqartiriladi. Noaniq tizimda, ya'ni noma'lumlar soni bo'lgan tizimda ko'proq raqam chiziqli mustaqil tenglamalar, uchburchak tizim bo'lmaydi, chunki oxirgi tenglamada bir nechta noma'lum bo'ladi (tizimda cheksiz miqdordagi echimlar mavjud). Tizim nomuvofiq bo'lsa, uni bosqichma-bosqich shaklga keltirgandan so'ng, u kamida bittasini o'z ichiga oladi. shaklning qiymati
, ya'ni barcha noma'lumlar nol koeffitsientga ega bo'lgan tenglama va o'ng qism noldan farq qiladi (tizimda echimlar yo'q). Gauss usuli ixtiyoriy chiziqli tenglamalar tizimiga nisbatan qo'llaniladi (har qanday
Va ).

Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimi uchun mavjudlik teoremasi

Chiziqli tenglamalar tizimini Gauss usuli yordamida yechishda bu sistema mos yoki nomuvofiq degan savolga javob faqat hisob-kitoblar oxirida berilishi mumkin. Biroq, ko'pincha tenglamalar tizimining mosligi yoki nomuvofiqligi haqidagi savolni yechimlarning o'zini topmasdan hal qilish muhimdir. Bu savolga quyidagi Kroneker-Kapelli teoremasi javob beradi.

Tizim berilsin
bilan chiziqli tenglamalar noma'lum:

(10)

Tizim (10) izchil bo'lishi uchun tizim matritsasining darajasi zarur va etarli.

.

uning kengaytirilgan matritsasi darajasiga teng edi

.

Bundan tashqari, agar
, u holda tizim (10) yagona yechimga ega; agar
, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Chiziqli tenglamalarning bir hil tizimini (barcha erkin shartlar nolga teng) ko'rib chiqaylik:

.

Ushbu tizim har doim mos keladi, chunki u nol yechimga ega.

Quyidagi teorema tizimning noldan boshqa yechimlarga ham ega bo'lish shartlarini beradi.

Terema. Chiziqli tenglamalarning bir hil sistemasi nol yechimga ega bo‘lishi uchun uning determinanti bo‘lishi zarur va yetarlidir. nolga teng edi:

.

Shunday qilib, agar
, keyin yechim yagona bo'ladi. Agar
, keyin cheksiz ko'p boshqa nolga teng bo'lmagan echimlar mavjud. Ishda uchta noma'lum bo'lgan uchta chiziqli tenglamalardan iborat bir jinsli tizim uchun echimlarni topish usullaridan birini ko'rsatamiz.
.

Buni isbotlash mumkin, agar
, va birinchi va ikkinchi tenglamalar nomutanosib (chiziqli mustaqil), keyin uchinchi tenglama birinchi ikkitasining natijasidir. Uchta noma’lumli bir jinsli uchta tenglama sistemasining yechimi uchta noma’lumli ikkita tenglamaning yechimiga keltiriladi. Erkin noma'lum deb ataladigan narsa paydo bo'ladi, unga o'zboshimchalik bilan qiymatlar berilishi mumkin.

4-misol. Tizimning barcha yechimlarini toping:

.

Yechim. Ushbu tizimning determinanti

.

Shuning uchun tizim mavjud nol yechimlar. Birinchi ikkita tenglama, masalan, proportsional emasligini sezishingiz mumkin, shuning uchun ular chiziqli mustaqildir. Uchinchisi, birinchi ikkitasining natijasidir (agar siz birinchi tenglamaga ikkinchisini ikki marta qo'shsangiz, ma'lum bo'ladi). Uni rad etib, biz uchta noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini olamiz:

.

Faraz qilsak, masalan,
, olamiz

.

Ikki chiziqli tenglamalar tizimini yechish, biz ifodalaymiz Va orqali :
. Shunday qilib, tizimning yechimini quyidagicha yozish mumkin:
, Qayerda - ixtiyoriy raqam.

5-misol. Tizimning barcha yechimlarini toping:

.

Yechim. Bu sistemada faqat bitta mustaqil tenglama (qolgan ikkitasi unga proporsional) mavjudligini ko'rish oson. Uchta nomaʼlumli uchta tenglamadan iborat sistema uchta nomaʼlumli bitta tenglamaga keltirildi. Ikki bepul noma'lum paydo bo'ladi. Masalan, birinchi tenglamadan topish
o'zboshimchalik uchun Va , biz ushbu tizim uchun echimlarni olamiz. Yechimning umumiy shakli yozilishi mumkin, bu erda Va - ixtiyoriy raqamlar.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

Tizimni yechish uchun Kramer qoidasini tuzing bilan chiziqli tenglamalar noma'lum.

Tizimlarni yechishning matritsa usulining mohiyati nimada?

Chiziqli tenglamalar tizimini yechishda Gauss usuli qanday?

Kroneker-Kapelli teoremasini ayting.

Bir hil chiziqli tenglamalar sistemasining nolga teng bo‘lmagan yechimlari mavjudligi uchun zarur va yetarli shartni tuzing.

O'z-o'zini hal qilish uchun misollar

Tizimlarning barcha yechimlarini toping:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Qaysi qiymatlarda ekanligini aniqlang Va tenglamalar tizimi

a) yagona yechimga ega;

b) yechimi yo‘q;

v) cheksiz ko'p yechimlarga ega.

16.
; 17.
;

Quyidagi bir jinsli sistemalarning barcha yechimlarini toping:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Misollarga javoblar

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- ixtiyoriy raqam.

6.
, Qayerda - ixtiyoriy raqam.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Qayerda - ixtiyoriy raqam.

12. , qayerda Va - ixtiyoriy raqamlar.

13.
; 14.
Qayerda Va - ixtiyoriy raqamlar.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; V)
.

17. a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., qaerda - ixtiyoriy raqam.

21. , qayerda - ixtiyoriy raqam.

22. , qayerda - ixtiyoriy raqam.

23. , qayerda Va - ixtiyoriy raqamlar.

Amaliy ish

“Kramer usuli yordamida uchinchi tartibli chiziqli tenglamalar tizimini yechish”

Ishning maqsadlari:

SLEni yechish usullari haqida tushunchani kengaytirish va Kramor usuli yordamida SLEni yechish algoritmini ishlab chiqish;

talabalarning mantiqiy tafakkurini, topish qobiliyatini rivojlantirish oqilona qaror vazifalar;

o‘quvchilarda o‘z yechimlarini shakllantirishda yozma matematik nutqning aniqligi va madaniyatini tarbiyalash.

Asosiy nazariy material.

Kramer usuli. Chiziqli tenglamalar tizimlari uchun qo'llanilishi.

Noma’lum N ta chiziqli algebraik tenglamalar (SLAE) tizimi berilgan, ularning koeffitsientlari matritsaning elementlari, erkin hadlari esa sonlardir.

Koeffitsientlar yonidagi birinchi indeks koeffitsient qaysi tenglamada joylashganligini, ikkinchisi esa noma'lumlarning qaysi birida joylashganligini ko'rsatadi.

Agar matritsa determinanti nolga teng bo'lmasa

u holda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimi tizimning har bir tenglamasini to'g'ri tenglikka aylantiradigan tartiblangan raqamlar to'plamidir. Agar tizimning barcha tenglamalarining o'ng tomonlari nolga teng bo'lsa, u holda tenglamalar tizimi bir jinsli deb ataladi. Agar ularning ba'zilari noldan farq qilsa - heterojen Agar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo`lsa, u mos keluvchi, aks holda mos kelmaydigan deb ataladi. Agar sistemaning yechimi yagona bo'lsa, chiziqli tenglamalar tizimi aniq deyiladi. Qo'shma tizimning yechimi yagona bo'lmagan taqdirda, tenglamalar tizimi noaniq deb ataladi. Ikki chiziqli tenglamalar tizimi ekvivalent (yoki ekvivalent) deb ataladi, agar bitta tizimning barcha echimlari ikkinchisining echimi bo'lsa va aksincha. Ekvivalent transformatsiyalar yordamida ekvivalent (yoki ekvivalent) tizimlarni olamiz.

SLAE ning ekvivalent transformatsiyasi

1) tenglamalarni qayta tartibga solish;

2) tenglamalarni nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish);

3) ba'zi tenglamaga ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytiriladigan boshqa tenglamani qo'shish.

SLAE yechimini turli yo'llar bilan topish mumkin, masalan, Kramer formulalari yordamida (Kramer usuli)

Kramer teoremasi. Agar noma'lum chiziqli algebraik tenglamalar tizimining determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda bu tizim Kramer formulalari yordamida topiladigan yagona yechimga ega: - th ustunni erkin atamalar ustuni bilan almashtirish orqali hosil qilingan aniqlovchilar.

Agar , va ulardan kamida bittasi noldan farq qilsa, SLAE hech qanday yechimga ega emas. Agar , keyin SLAE ko'p echimlarga ega.

Uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimi berilgan. Tizimni Kramer usuli yordamida yeching

Yechim.

Noma’lumlar uchun koeffitsient matritsasining determinantini topamiz

dan boshlab, u holda berilgan tenglamalar sistemasi izchil va yagona yechimga ega. Determinantlarni hisoblaymiz:

Kramer formulalari yordamida biz noma'lumlarni topamiz

Shunday qilib tizimning yagona yechimi.

To'rtta chiziqli algebraik tenglamalar tizimi berilgan. Tizimni Kramer usuli yordamida yeching.

Noma’lumlar uchun koeffitsient matritsasining determinantini topamiz. Buning uchun uni birinchi qator bo'ylab kengaytiramiz.

Determinantning komponentlarini topamiz:

Topilgan qiymatlarni determinantga almashtiramiz

Determinant, shuning uchun tenglamalar tizimi izchil va yagona yechimga ega. Determinantlarni Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz:

Baholash mezonlari:

Ish "3" baholanadi, agar: tizimlardan biri mustaqil ravishda to'liq va to'g'ri hal qilingan bo'lsa.

Ish "4" baholanadi, agar: har qanday ikkita tizim mustaqil ravishda to'liq va to'g'ri hal qilingan bo'lsa.

Ish "5" baholanadi, agar: uchta tizim mustaqil ravishda to'liq va to'g'ri hal qilingan bo'lsa.

Kurs ishi: Aniqlovchilar va chiziqli tenglamalar sistemalari

1. Ikkinchi va uchinchi tartiblarning aniqlovchilari va ularning xossalari

1.1. Matritsa va ikkinchi tartibli determinant tushunchasi

To'rtburchaklar jadvali,

matritsa. Matritsani ko'rsatish uchun ikkita vertikaldan foydalaning

tire yoki qavs. Masalan:

1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

6 11 2 -6 11 2

Agar matritsaning satrlari soni uning ustunlari soniga to'g'ri kelsa, u holda matritsa deyiladi.

kvadrat. Matritsani tashkil etuvchi raqamlar uni chaqiradi elementlar.

To'rt elementdan iborat kvadrat matritsani ko'rib chiqing:

(3.1) matritsaga mos keladigan ikkinchi tartibli determinant sondir

va belgisi bilan belgilanadi

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra

Berilgan determinantning matritsasini tashkil etuvchi elementlar odatda deyiladi

bu determinantning elementlari.

Quyidagi bayonot haqiqatdir: ikkinchisining determinanti uchun

tartib nolga teng edi, uning satrlari elementlari (yoki

ustunlariga ko'ra) proportsional edi.

Bu gapni isbotlash uchun har birini ta'kidlash kifoya

nisbatlar /

tenglikka tengdir

Va oxirgi tenglik (3.2) ga ko'ra, aniqlovchining yo'qolishiga tengdir.

1.2. Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi

Biz ikkinchi tartibli determinantlarni o'rganish uchun qanday ishlatilishini ko'rsatamiz

ikkita noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlarini topish

(koeffitsientlar,

va bepul a'zolar,

berilgan hisoblanadi). Eslatib o'tamiz, bir juft raqam

Chaqirildi

(3.3) sistemaning yechimi, agar bu raqamlar o'rnida almashtirilsa

va ushbu tizimga

ikkala tenglamani (3.3) birliklarga aylantiradi.

(3.3) sistemaning birinchi tenglamasini - ga ko'paytirish

Va ikkinchisi - on -i

keyin hosil bo'lgan tengliklarni qo'shib, biz olamiz

Xuddi shunday, (3.3) tenglamalarni - va mos ravishda ko'paytirish orqali biz quyidagilarga erishamiz:

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Ushbu belgi va ikkinchi tartibli determinant uchun ifodadan foydalanish

(3.4) va (3.5) tenglamalarni quyidagicha qayta yozish mumkin:

Aniqlovchi,

sistemaning noma'lumlari uchun koeffitsientlardan tashkil topgan (3.3) odatda deyiladi

bu tizimning hal qiluvchi omili. E'tibor bering, determinantlar

va dan olinadi

tizim determinanti

uning birinchi yoki ikkinchi ustunini bo'sh ustunlar bilan almashtirish orqali

Ikki holat o'zini namoyon qilishi mumkin: 1) tizim determinanti

noldan farq qiladi; 2) bu aniqlovchi nolga teng.

Keling, avvalo ishni ko'rib chiqaylik

0. (3.7) tenglamalardan darhol noma’lumlar uchun formulalarni olamiz,

chaqirdi Kramer formulalari:

Olingan Kramer formulalari (3.8) sistema (3.7) yechimini beradi va shuning uchun isbotlaydi

yechimning asl tizimga xosligi (3.3). Darhaqiqat, tizim (3.7)

(3.3) tizimning natijasidir, shuning uchun (3.3) tizimning har qanday yechimi (in

agar mavjud bo'lsa!) tizimning yechimi bo'lishi kerak (3.7). Shunday qilib,

hozirgi kunga qadar agar dastlabki tizim (3.3) uchun mavjudligi isbotlangan

0 eritmasi bo'lsa, u holda bu yechim Kramer formulalari (3.8) bilan yagona aniqlanadi.

Yechimning mavjudligini tekshirish oson, ya'ni. nima haqida

0 ikkita raqam va

Kramer formulalari bilan aniqlanadi (3.8). noma'lum o'rniga qo'yiladi

tenglamalar (3.3), bu tenglamalarni birliklarga aylantiring. (O'quvchiga taqdim etamiz

aniqlovchilar uchun ifodalarni o‘zingiz yozing

Va ko'rsatilgan identifikatorlar to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qiling.)

Quyidagi xulosaga kelamiz: aniqlovchi bo'lsa

tizimi (3.3) noldan farq qiladi, u holda mavjud va bundan tashqari, buning yagona yechimi

Kramer formulalari (3.8) bilan aniqlangan tizim.

Keling, determinant bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik

tizimi teng nol. Ular o'zlarini tanishtirishlari mumkin ikkita kichik harf: Balki

hal qiluvchi omillardan biri bo‘ladi

yoki dan farq qiladi

nol; b) ikkala aniqlovchi

va nolga teng. (Agar

aniqlovchi va

ikki saralashdan biri

va nolga teng, u holda

bu ikki aniqlovchining ikkinchisi nolga teng. Aslida, ruxsat bering

masalan = 0

Keyin bu nisbatlardan biz buni olamiz

a) kichik harfda (3.7) tengliklardan kamida bittasi imkonsiz bo'lib chiqadi, ya'ni.

(3.7) sistemaning yechimlari yo'q va shuning uchun dastlabki tizimning yechimlari yo'q

(3.3) (buning natijasi tizim (3.7)).

b) kichik harfda (3.3) dastlabki sistemaning cheksiz ko'p yechimlari mavjud. IN

aslida tenglikdan

0 va bo'lim oxiridagi bayonotdan. 1.1 tizimning ikkinchi tenglamasi degan xulosaga kelamiz

(3.3) birinchisining natijasidir va uni bekor qilish mumkin. Lekin bir tenglama bilan

ikkita noma'lum

cheksiz ko'p echimlarga ega (koeffitsientlardan kamida bittasi

Yoki boshqacha

nolga teng va u bilan bog'langan noma'lumni (3.9) tenglamadan aniqlash mumkin.

o'zboshimchalik bilan qiymatni belgilang boshqa noma'lum).

Shunday qilib, determinant bo'lsa

sistema (3.3) nolga teng bo'lsa, u holda (3.3) tizimning hech qanday yechimi yo'q (da).

determinantlardan kamida bittasi bo'lsa

yoki boshqacha

nol) yoki cheksiz ko'p echimlarga ega (qachon bo'lsa

0). Oxirida

holatda ikkita tenglama (3.3) bittaga, uni yechishda esa bittaga almashtirilishi mumkin

noma'lum o'zboshimchalik bilan o'rnatiladi.

Izoh. Bo'sh a'zolar bo'lgan holatda

va nolga teng,

chiziqli sistema (3.3) deyiladi bir hil. E'tibor bering, bir hil

Tizim har doim arzimas yechimga ega:

0, = 0 (bu ikki

raqamlar ikkala bir hil tenglamani ham o'ziga xoslikka aylantiradi).

Agar bir jinsli sistemaning determinanti bo'lsa

noldan farq qilsa, bu tizim faqat ahamiyatsiz yechimga ega. Agar

= 0 bo'lsa, u holda bir jinsli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega(chunki

bir hil sistema uchun hech qanday yechimlar imkoniyati istisno qilinmaydi). Shunday qilib

yo'l, bir hil sistema faqat va agar bo'lsa, notrivial yechimga ega

uning determinanti nolga teng bo'lgan holatda.