Ushbu dars uchun mo'ljallangan o'z-o'zini o'rganish"Dihedral burchak" mavzusi. Ushbu darsda talabalar eng muhim geometrik shakllardan biri bo'lgan ikki burchakli burchak bilan tanishadilar. Shuningdek, darsda biz ko'rib chiqilayotgan chiziqli burchakni qanday aniqlashni o'rganamiz geometrik shakl va rasmning negizida ikki burchakli burchak nima.

Keling, tekislikdagi burchak nima ekanligini va u qanday o'lchanganini takrorlaymiz.

Guruch. 1. Samolyot

a tekislikni ko'rib chiqamiz (1-rasm). Nuqtai nazardan HAQIDA ikkita nur chiqadi - OB Va O.A.

Ta'rif. Bir nuqtadan chiqadigan ikkita nurdan hosil bo'lgan figuraga burchak deyiladi.

Burchak gradus va radian bilan o'lchanadi.

Keling, radian nima ekanligini eslaylik.

Guruch. 2. Radian

Agar yoy uzunligi radiusga teng bo'lgan markaziy burchakka ega bo'lsak, unda bunday markaziy burchak 1 radian burchak deb ataladi. ,∠ AOB= 1 rad (2-rasm).

Radianlar va darajalar o'rtasidagi bog'liqlik.

xursand.

Biz tushundik, xursandman. (). Keyin,

Ta'rif. Ikki burchakli burchak to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan figuraga deyiladi A va umumiy chegaraga ega bo'lgan ikkita yarim tekislik A, bir xil tekislikka tegishli emas.

Guruch. 3. Yarim tekisliklar

Ikkita a va b yarim tekisliklarni ko'rib chiqamiz (3-rasm). Ularning umumiy chegara - A. Bu raqam ikki burchakli burchak deb ataladi.

Terminologiya

a va b yarim tekisliklar ikki burchakli burchakning yuzlaridir.

Streyt A ikki burchakli burchakning chetidir.

Umumiy chekkada A dihedral burchak, ixtiyoriy nuqtani tanlang HAQIDA(4-rasm). Nuqtadan a yarim tekislikda HAQIDA perpendikulyarni tiklang O.A to'g'ri chiziqqa A. Xuddi shu nuqtadan HAQIDA ikkinchi yarim tekislikda b perpendikulyar quramiz OB chetiga A. Burchak oldi AOB, bu dihedral burchakning chiziqli burchagi deb ataladi.

Guruch. 4. Ikki burchakli burchakni o'lchash

Berilgan ikki burchakli burchak uchun barcha chiziqli burchaklarning tengligini isbotlaylik.

Ikki burchakli burchakka ega bo'lsin (5-rasm). Keling, bir nuqtani tanlaylik HAQIDA va davr O 1 to'g'ri chiziqda A. Nuqtaga mos chiziqli burchak yasaymiz HAQIDA, ya'ni ikkita perpendikulyar chizamiz O.A Va OB a va b tekisliklarda mos ravishda chetiga A. Biz burchakni olamiz AOB- dihedral burchakning chiziqli burchagi.

Guruch. 5. Dalilning tasviri

Nuqtai nazardan O 1 ikkita perpendikulyar chizamiz OA 1 Va OB 1 chetiga A a va b tekisliklarda mos ravishda ikkinchi chiziqli burchakni olamiz A 1 O 1 B 1.

Nurlar O 1 A 1 Va O.A koordinatali, chunki ular bir yarim tekislikda yotadi va bir xil chiziqqa ikkita perpendikulyar kabi bir-biriga parallel. A.

Xuddi shunday, nurlar Taxminan 1da 1 Va OB birgalikda boshqariladi, demak ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 ko'p yo'nalishli tomonlari bo'lgan burchaklar sifatida, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.

Chiziqli burchak tekisligi dihedral burchakning chetiga perpendikulyar.

isbotlash: A ⊥ AOB.

Guruch. 6. Dalilning tasviri

Isbot:

O.A ⊥ A qurilish bo'yicha, OB ⊥ A qurilish bo'yicha (6-rasm).

Biz chiziqni topamiz A kesishgan ikkita chiziqqa perpendikulyar O.A Va OB samolyotdan AOB, bu to'g'ri ekanligini anglatadi A tekislikka perpendikulyar OAV, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.

Dihedral burchak uning chiziqli burchagi bilan o'lchanadi. Bu shuni anglatadiki, chiziqli burchakda qancha gradus radian bo'lsa, uning dihedral burchagida ham shuncha gradus radian mavjud. Bunga muvofiq ikki burchakli burchaklarning quyidagi turlari ajratiladi.

O'tkir (6-rasm)

Dihedral burchak o'tkir, agar uning chiziqli burchagi o'tkir bo'lsa, ya'ni. .

To'g'ri (7-rasm)

Ikki burchakli burchak, uning chiziqli burchagi 90 ° bo'lsa, to'g'ri bo'ladi - obtuse (8-rasm)

Dihedral burchak, uning chiziqli burchagi o'tkir bo'lsa, to'liq bo'ladi, ya'ni. .

Guruch. 7. To'g'ri burchak

Guruch. 8. Ketma-ket burchak

Haqiqiy figuralarda chiziqli burchaklar yasashga misollar

ABCD- tetraedr.

1. Ikki burchakli burchakning qirrali chiziqli burchagini qurish AB.

Guruch. 9. Muammo uchun rasm

Qurilish:

Biz chekka tomonidan hosil qilingan ikki burchakli burchak haqida gapiramiz AB va qirralar ABD Va ABC(9-rasm).

Keling, to'g'ridan-to'g'ri qilaylik DN tekislikka perpendikulyar ABC, N- perpendikulyarning asosi. Keling, moyillikni chizamiz DM to'g'ri chiziqqa perpendikulyar AB,M- eğimli asos. Uchta perpendikulyar teoremaga ko'ra, qiyshiqning proyeksiyasi degan xulosaga kelamiz NM chiziqqa ham perpendikulyar AB.

Ya'ni, nuqtadan M chetiga ikkita perpendikulyar tiklanadi AB ikki tomondan ABD Va ABC. Biz chiziqli burchakni oldik DMN.

e'tibor bering, bu AB, chiziqli burchak tekisligiga perpendikulyar bo'lgan dihedral burchakning chekkasi, ya'ni tekislik. DMN. Muammo hal qilindi.

Izoh. Dihedral burchakni quyidagicha belgilash mumkin: DABC, Qayerda

AB- chekka va nuqtalar D Va BILAN burchakning turli tomonlarida yotadi.

2. Ikki burchakli burchakning qirrali chiziqli burchagini quring AC.

Keling, perpendikulyar chizamiz DN samolyotga ABC va moyil DN to'g'ri chiziqqa perpendikulyar AC. Uch perpendikulyar teoremadan foydalanib, biz buni topamiz NN- qiya proyeksiya DN samolyotga ABC, chiziqqa ham perpendikulyar AC.DNH- qirrali ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi AC.

Tetraedrda DABC barcha qirralari teng. Nuqta M- qovurg'aning o'rtasi AC. Burchak ekanligini isbotlang DMV- chiziqli ikki burchakli burchak SIZD, ya'ni qirrasi bo'lgan dihedral burchak AC. Uning yuzlaridan biri ACD, ikkinchi - IIV(10-rasm).

Guruch. 10. Muammo uchun rasm

Yechim:

Uchburchak ADC- teng qirrali, DM- median, shuning uchun balandlik. Ma'nosi, DM ⊥ AC. Xuddi shunday, uchburchak AINC- teng qirrali, INM- median, shuning uchun balandlik. Ma'nosi, VM ⊥ AC.

Shunday qilib, nuqtadan M qovurg'alar AC dihedral burchak ikki perpendikulyar tiklandi DM Va VM dihedral burchakning yuzlarida bu chetiga.

Shunday qilib, ∠ DMIN dihedral burchakning chiziqli burchagi bo'lib, buni isbotlash kerak edi.

Shunday qilib, biz ikki tomonlama burchakni, ikki tomonlama burchakning chiziqli burchagini aniqladik.

Keyingi darsda biz chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligini ko'rib chiqamiz, keyin figuralar asosidagi ikki burchakli burchak nima ekanligini bilib olamiz.

"Diedral burchak", "Geometrik figuralar negizida ikki tomonlama burchak" mavzulari bo'yicha adabiyotlar ro'yxati

1. Geometriya. 10-11-sinflar: umumiy ta'lim uchun darslik ta'lim muassasalari/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 b.: kasal.
2. Geometriya. 10-sinf: darslik ta'lim muassasalari matematikani chuqur va maxsus o'rganish bilan / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-nashr, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 b.: kasal.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Uy vazifasi“Diedral burchak” mavzusida, figuralar asosidagi ikki burchakli burchakni aniqlash

Geometriya. 10-11-sinflar: umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik (asosiy va ixtisoslashtirilgan darajalar) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, tuzatilgan va kengaytirilgan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: kasal.

2, 3-topshiriqlar 67-bet.

Chiziqli ikki burchakli burchak nima? Uni qanday qurish kerak?

ABCD- tetraedr. Qirrali ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini tuzing:

A) IND b) DBILAN.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kub Dihedral burchakning chiziqli burchagini qurish A 1 ABC qovurg'a bilan AB. Uning daraja o'lchovini aniqlang.

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar qiziqsangiz bu ish, iltimos, toʻliq versiyasini yuklab oling.

Dars maqsadlari: ikki burchakli burchak va uning chiziqli burchagi tushunchasi bilan tanishtirish;

ushbu tushunchalarni qo'llash bo'yicha vazifalarni ko'rib chiqish;

tekisliklar orasidagi burchakni topishning konstruktiv mahoratini rivojlantirish;

ushbu tushunchalarni qo'llash bo'yicha vazifalarni ko'rib chiqing.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

Dars mavzusini ma'lum qilish, dars maqsadlarini shakllantirish.

II. Talabalar bilimini yangilash (slayd 2, 3).

1. Yangi materialni o'rganishga tayyorgarlik.

Tekislikdagi burchak nima deyiladi?

Fazodagi chiziqlar orasidagi burchak nima deb ataladi?

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak nima deyiladi?

Uchta perpendikulyar teoremani ayting

III. Yangi materialni o'rganish.

• Ikki burchakli burchak tushunchasi.

MN toʻgʻri chiziqdan oʻtuvchi ikkita yarim tekislikdan hosil boʻlgan figuraga ikki burchakli burchak deyiladi (4-slayd).

Yarim tekisliklar yuzlar, MN to'g'ri chiziq ikki burchakli burchakning chetidir.

Kundalik hayotda qanday ob'ektlar dihedral burchak shakliga ega? (5-slayd)

• ASN va SND tekisliklar orasidagi burchak ASND ikki burchakli burchak, bu erda SN - chekka. A va D nuqtalar bu burchakning yuzlarida yotadi. AFD burchagi - ACHD dihedral burchagining chiziqli burchagi (slayd 6).

• Chiziqli burchakni qurish algoritmi (7-slayd).

1 yo'l. Chekkada istalgan O nuqtani oling va ROK - chiziqli burchakni olish uchun ushbu nuqtaga perpendikulyarlarni (PO DE, KO DE) o'tkazing.

2-usul. Bir yarim tekislikda K nuqtasini oling va undan ikkinchi yarim tekislikka va chetga (KO va KR) ikkita perpendikulyar tushiring, so'ngra teskari TTP teoremasi PODE bo'yicha.

• Ikki burchakli burchakning barcha chiziqli burchaklari tengdir (slayd 8). Isbot: OA va O 1 A 1 nurlari birgalikda yo‘naltirilgan, OB va O 1 B 1 nurlari ham birgalikda yo‘naltirilgan, BOA va B 1 O 1 A 1 burchaklar tomonlari birgalikda yo‘naltirilgan burchaklar bilan teng.

• Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovi uning chiziqli burchagining daraja o'lchovidir (slayd 9).

IV. O'rganilgan materialni birlashtirish.

• Masalalarni yechish (tayyor chizmalardan og'zaki). (10-12-slaydlar)

1. RAVS – piramida; burchak ACB 90 ° ga teng, to'g'ri chiziq PB ABC tekisligiga perpendikulyar. RSV burchagi ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi ekanligini isbotlang

2. RAVS - piramida; AB = BC, D - AC segmentining o'rtasi, PB to'g'ri chiziq ABC tekisligiga perpendikulyar. PDB burchagi AC qirrali ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi ekanligini isbotlang.

3. PABCD – piramida; PB to'g'ri chiziq ABC tekisligiga perpendikulyar, BC doimiy to'g'ri chiziqqa perpendikulyar. RKB burchagi CD qirrali ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi ekanligini isbotlang.

• Chiziqli burchakni qurish masalalari (13-14-slaydlar).

1. Ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini AC bilan tuzing, agar RABC piramidasida ABC yuzi muntazam uchburchak, O medianalarning kesishish nuqtasi bo‘lsa, PO to‘g‘ri chiziq ABC tekisligiga perpendikulyar bo‘lsa.

2. ABCD rombi berilgan.RS to'g'ri chiziq ABCD tekisligiga perpendikulyar.

Ikki burchakli burchakning VD qirrali chiziqli burchagini va AD qirrali ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini tuzing.

• Hisoblash vazifasi. (15-slayd)

ABCD parallelogrammasida ADC burchagi 120 0 ga teng, AD = 8 sm,

DC = 6 sm, RS to'g'ri chiziq ABC tekisligiga perpendikulyar, RS = 9 sm.

AD qirrasi bilan dihedral burchakning o'lchamini va parallelogrammning maydonini toping.

V. Uyga vazifa (16-slayd).

22-b., No 168, 171.

Ishlatilgan kitoblar:

1. Geometriya 10-11 L.S.Atanasyan.
2. M.V.Sevostyanova (Murmansk), 198-maktabda matematika jurnali tomonidan "Diedral burchaklar" mavzusidagi masalalar tizimi ...

Ikki burchakli burchakning chetiga perpendikulyarlar o'rtasida, ikkala yuzda bir xil nuqtadan tiklangan.

Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.

Boshqa lug'atlarda "LINEAR ANGLE" nima ekanligini ko'ring:

Moltke kreyser "Moltke" Nyu-Yorkda 1912 yilda Asosiy ma'lumotlar turi ... Vikipediya

Er. bir tomondan sinish, burilish, tizza, tirsak, protrusion yoki burma (depressiya). Chiziqli burchak, har qanday ikkita qarama-qarshi chiziq va ularning oralig'i; burchak tekisligi yoki tekisliklarda, ikkita tekislik yoki devorning uchrashishi; burchak qalin, tanasi, birida uchrashish ... Izohli lug'at Dahl

Jang kemasi ... Vikipediya

Va ichida vektor maydoni L - har bir e vektorini D to'plamining vektor poro bilan (Lda joylashgan va chiziqli operatorni aniqlash sohasi deb ataladi) Ae bilan belgilangan boshqa vektorga bog'laydigan (va chiziqli operatorning qiymati deb ataladigan) xaritalash. vektor e). Quyidagilar yakunlandi. sharoitlar… Jismoniy ensiklopediya

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang Jang kemasi(ma'nolari). "Dreadnought" jangovar kemalar sinfining ajdodi ... Vikipediya

Ushbu maqolaning mazmunini "Shon-sharaf (jangovar)" maqolasiga ko'chirish kerak. Siz maqolalarni birlashtirib, loyihaga yordam berishingiz mumkin. Agar birlashishning maqsadga muvofiqligini muhokama qilish zarur bo'lsa, ushbu shablonni shablon bilan almashtiring ((birlashtirish uchun)) ... Vikipediya

"Dihedral burchak" - B nuqtasidan tekislikgacha bo'lgan masofani toping. C burchagi o'tkir. ABC uchburchagi toʻgʻri burchakli. C burchagi to'g'ri burchakli. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa. DAVS tetraedrida barcha qirralar teng. Eğimlilar orasidagi burchak. Eğimli asoslar orasidagi masofa. Ikki burchakli burchakning chiziqli burchaklari tengdir. Chiziqli burchakni qurish algoritmi.

"Dihedral burchak geometriyasi" - burchak RSV - qirrasi AC bilan dihedral burchak uchun chiziqli. Dihedral burchakning chetini va yuzlarini toping (qarang). Model katta hajmli yoki katlamali bo'lishi mumkin. Ikki burchakli burchakning chetiga perpendikulyar tekislik bilan kesilishi. Qirralar. CP chizig'i CA chetiga perpendikulyar (uchta perpendikulyar teorema bo'yicha). burchak RKV - RSAV bilan dihedral burchak uchun chiziqli.

"Uchburchak burchak" - Uchburchak burchaklarning tenglik belgilari. Berilgan: Oabc – uchburchak burchak; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. 6-dars. Oqibatlari. 1) To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun quyidagi formula qo'llaniladi: Uch kosinuslar formulasi. . Oabc uchburchak burchagi berilgan. Uchburchak burchak. Teorema. O'ngda uchburchak piramida tekis tepa burchagi 120 ° dan kam.

"Uchburchak va ko'p burchakli burchaklar" - Dodekaedrning uchburchak burchaklari. Rombsimon dodekaedrning uch va tetraedral burchaklari. Oktaedrning tetraedr burchaklari. Tetraedrning uchburchak burchaklari. Ko'p burchakli burchaklarni o'lchash. Vazifa. Ko'p yuzli burchaklar. Ikosaedrning beshburchak burchaklari. Vertikal ko'p burchakli burchaklar. Piramidaning uchburchak burchagi. SA1…An qavariq n-qirrali burchak boʻlsin.

“To‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchak” - Kenarlari 1 ga teng bo‘lgan A...F1 muntazam 6-prizmasida AC1 to‘g‘ri chiziq bilan ADE1 tekislik orasidagi burchakni toping. Kenarlari 1 ga teng boʻlgan A...F1 muntazam 6-prizmasida AA1 toʻgʻri chiziq bilan ACE1 tekislik orasidagi burchakni toping. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak. Kenarlari 1 ga teng A...F1 muntazam 6-prizmasida AB1 to’g’ri chiziq bilan ADE1 tekislik orasidagi burchakni toping.

"Ko'p yuzli burchak" - Qavariq ko'p burchakli burchaklar. Ko'p yuzli burchaklar. Yuzlar soniga ko'ra ko'pburchakli burchaklar uchburchak, tetraedr, pentaedr va boshqalar C) ikosahedr. Uchburchak burchakning ikkita tekis burchaklari 70 ° va 80 ° dir. Demak, ? ASB+? BSC+? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Hammasi bo'lib 9 ta taqdimot mavjud

Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

DIHEDRAL BURCHAK Matematika o'qituvchisi GOU 10-sonli o'rta maktab Eremenko M.A.

Darsning asosiy vazifalari: Ikki burchakli burchak va uning chiziqli burchagi tushunchasi bilan tanishtirish.Ushbu tushunchalarni qo‘llash bo‘yicha vazifalarni ko‘rib chiqish.

Ta'rif: Ikki burchakli burchak umumiy chegara to'g'ri chiziqqa ega bo'lgan ikkita yarim tekislikdan hosil bo'lgan figuradir.

Ikki burchakli burchakning kattaligi uning chiziqli burchagining kattaligidir. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - chiziqli ikki burchakli burchak ACD B

Ikki burchakli burchakning barcha chiziqli burchaklari bir-biriga teng ekanligini isbotlaylik. AOB va A 1 OB 1 ikkita chiziqli burchaklarni ko'rib chiqamiz. OA va OA 1 nurlari bir yuzda yotadi va OO 1 ga perpendikulyar bo'ladi, shuning uchun ular ko'proq yo'nalishlidir. OB va OB 1 nurlari ham birgalikda boshqariladi. Shuning uchun, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (birga yo'nalishli tomonlari bo'lgan burchaklar kabi).

Ikki burchakli burchaklarga misollar:

Ta'rif: Kesishuvchi ikkita tekislik orasidagi burchak bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklarning eng kichigidir.

1-topshiriq: A ... D 1 kubida ABC va CDD 1 tekisliklari orasidagi burchakni toping. Javob: 90 o.

2-masala: A ... D 1 kubida ABC va CDA 1 tekisliklari orasidagi burchakni toping. Javob: 45 o.

3-masala: A ... D 1 kubida ABC va BDD 1 tekisliklari orasidagi burchakni toping. Javob: 90 o.

4-masala: A ... D 1 kubida ACC 1 va BDD 1 tekisliklar orasidagi burchakni toping. Javob: 90 o.

5-masala: A ... D 1 kubida BC 1 D va BA 1 D tekisliklari orasidagi burchakni toping. Yechish: B D ning o’rta nuqtasi O bo’lsin. A 1 OC 1 – ikki burchakli burchak A 1 B D C 1 ning chiziqli burchagi.

6-masala: DABC tetraedrida barcha qirralar teng, M nuqta AC chetining o'rtasi. ∠ DMB BACD dihedral burchakning chiziqli burchagi ekanligini isbotlang.

Yechish: ABC va ADC uchburchaklari muntazamdir, shuning uchun BM ⊥ AC va DM ⊥ AC va demak, ∠ DMB DACB dihedral burchakning chiziqli burchagidir.

7-masala: AC tomoni a tekislikda yotgan ABC uchburchakning B cho’qqisidan bu tekislikka BB 1 perpendikulyar chizilgan. Agar AB=2, ∠VAS=150 0 va VASV 1 dihedral burchak 45 0 ga teng bo‘lsa, B nuqtadan AC to‘g‘ri chiziq va a tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.

Yechim: ABC - to'g'ri uchburchak o'tmas burchak bilan A, shuning uchun BC balandlikning asosi AC tomonining davomida yotadi. VC - B nuqtasidan ACgacha bo'lgan masofa. BB 1 - B nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa

2) AC ⊥BK bo'lgani uchun, u holda AC⊥KB 1 (teorema bo'yicha, teoremaning teskarisi taxminan uchta perpendikulyar). Demak, ∠VKV 1 BASV 1 va ∠VKV 1 =45 0 dihedral burchakning chiziqli burchagidir. 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· sin 30 0, VK =1. ∆VKV 1: VV 1 =VK· sin 45 0 , VV 1 =