Ma'ruza 4
Mavzu: Grin formulasi. Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi shartlari.
Green formulasi.
Grin formulasi tekislikdagi yopiq G kontur ustidagi egri chiziqli integral bilan berilgan kontur bilan chegaralangan mintaqa ustidagi qo'sh integral o'rtasidagi bog'lanishni o'rnatadi.
Yopiq kontur ustidagi chiziq integrali G belgisi bilan belgilanadi.Yopiq kontur G bu konturning qaysidir B nuqtasidan boshlanib, B nuqtada tugaydi.Yopiq kontur integrali B nuqtani tanlashga bogliq emas.
Ta'rif 1. G konturini chetlab o'tish ijobiy hisoblanadi, agar G konturini chetlab o'tishda D maydoni chap tomonda qolsa. G + - zanjir G musbat yo'nalishda chetlab o'tiladi, G - - sxema salbiy yo'nalishda chetlab o'tiladi, ya'ni. qarama-qarshi yo'nalishda
| G + |
| X |
| Y |
| c |
| d |
| X= x 1 (y) |
| X=x2(y) |
| a |
| b |
| B |
| C |
| Y=y2(x) |
| Y= y 1 (x) |
| m |
| n |
.
Xuddi shunday isbotlangan:
(1) va (2) tengliklardan biz quyidagilarni olamiz:
Demak,
Grin formulasi qilingan farazlar ostida isbotlangan.
Eslatma 1. Agar D mintaqasining G chegarasi 0X yoki 0Y o'qiga parallel bo'lgan ba'zi to'g'ri chiziqlar bilan ikkidan ortiq nuqtada kesishsa, Grin formulasi o'z kuchida qoladi. Bundan tashqari, Green formulasi n-bog'langan mintaqalar uchun ham amal qiladi.
Egri chiziqli integralning tekislikdagi integrasiya yo`lidan mustaqilligi shartlari.
Ushbu bo'limda egri chiziqli integral integrallash yo'liga bog'liq emas, balki integrallashning boshlang'ich va yakuniy nuqtalariga bog'liq bo'lgan shartlarni bilib olamiz.
Teorema 1. Egri chiziqli integral uchun 
oddiy bog'langan domendagi integratsiya yo'liga bog'liq emas, bu sohadagi har qanday yopiq bo'lakli silliq kontur ustidan olingan bu integral nolga teng bo'lishi zarur va etarli.
Isbot: zarurat. Berilgan: integratsiya yo'liga bog'liq emas. Har qanday yopiq bo'lakli silliq kontur ustidagi egri chiziqli integral nolga teng ekanligini isbotlash talab qilinadi.
Ko'rib chiqilayotgan D sohada ixtiyoriy bo'lak-silliq yopiq kontur G olinsin.G konturining ixtiyoriy B va C nuqtalarini olaylik.
| G |
| D |
| n |
| m |
| B |
| C |
, ya'ni.
Adekvatlik. Berilgan: egri chiziqli integral 
har qanday yopiq bo'lakli silliq kontur bo'ylab nolga teng.
Biz integralning integratsiya yo'liga bog'liq emasligini isbotlashimiz kerak.
B va C nuqtalarini bog'laydigan ikkita bo'lakli silliq kontur ustidagi egri chiziqli integralni ko'rib chiqing. Shartga ko'ra:
Bular. egri chiziqli
integral integratsiya yo'liga bog'liq emas.
Teorema 2. Ular oddiy bog'langan sohada qisman hosilalar bilan birga uzluksiz bo'lsin D. Egri chiziqli integral uchun 
integratsiya yo'liga bog'liq emas, D domenida identifikatsiyani ushlab turish uchun zarur va etarli.
Isbot: yetarlilik. Berilgan: . Buni isbotlash talab qilinadi integratsiya yo'liga bog'liq emas. Buning uchun buni isbotlash kifoya har qanday yopiq bo'lakli silliq kontur bo'ylab nolga teng. Green formulasiga ko'ra bizda quyidagilar mavjud:
Zaruriyat. Berilgan: 1-teorema bo'yicha egri chiziqli integral integratsiya yo'liga bog'liq emas. Buni isbotlash talab qilinadi
2-turdagi egri chiziqli integralni ko'rib chiqaylik, bu erda L- egri chiziqli ulanish nuqtalari M Va N. Funktsiyalarga ruxsat bering P(x, y) Va Q(x, y) ba'zi sohalarda uzluksiz qisman hosilalarga ega D, u butun egri chiziqni o'z ichiga oladi L. Ko'rib chiqilayotgan egri chiziqli integral egri chiziq shakliga bog'liq bo'lmagan sharoitlarni aniqlaylik. L, lekin faqat nuqtalarning joylashgan joyida M Va N.
Keling, ikkita ixtiyoriy egri chizamiz MPN Va MQN, hududda yotgan D va ulanish nuqtalari M Va N(1-rasm).
M N Guruch. 1. P
Faraz qilaylik, ya'ni
Keyin qayerda L– egri chiziqlardan tashkil topgan yopiq kontur MPN Va N.Q.M.(shuning uchun uni o'zboshimchalik deb hisoblash mumkin). Demak, 2-turdagi egri chiziqli integralning integrallash yo`lidan mustaqilligi sharti har qanday yopiq kontur ustidagi bunday integral nolga teng bo`lishi shartiga ekvivalentdir.
Teorema 1. Ba'zi bir mintaqaning barcha nuqtalarida bo'lsin D funktsiyalari uzluksizdir P(x, y) Va Q(x, y) va ularning qisman hosilalari va . Keyin, har qanday yopiq kontur uchun tartibda L, hududda yotgan D, shart bajarildi
Mintaqaning barcha nuqtalarida = bo'lishi zarur va etarli D.
Isbot .
1) yetarlilik: shart = qanoatlansin. Ixtiyoriy yopiq tsiklni ko'rib chiqing L hududda D, hududni cheklash S, va uning uchun Green formulasini yozing:
Shunday qilib, etarliligi isbotlangan.
2) Zarurlik: shart mintaqaning har bir nuqtasida qondirilgan deb faraz qiling D, lekin bu mintaqada kamida bitta nuqta bor, bunda - ≠ 0. Masalan, nuqtada bo'lsin. P(x 0 , y 0)- > 0. Tengsizlikning chap tomonida uzluksiz funksiya mavjud bo'lgani uchun u musbat va ba'zi bir kichik mintaqada ba'zi d > 0 dan katta bo'ladi. D` nuqtani o'z ichiga oladi R. Demak,
Bu yerdan, Green formulasidan foydalanib, biz buni, qaerdan olamiz L`- hududni cheklovchi kontur D`. Bu natija shartga ziddir. Shuning uchun, = mintaqaning barcha nuqtalarida D, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.
Eslatma 1 . Xuddi shunday, uch o'lchovli fazo uchun egri chiziqli integralning mustaqilligi uchun zarur va etarli shartlar mavjudligi isbotlanishi mumkin.
integratsiya yo'lidan quyidagilar:
Eslatma 2. Agar shartlar (28/1.18) bajarilsa, ifoda Pdx + Qdy + Rdz ba’zi funksiyalarning umumiy differensialligidir Va. Bu bizga egri chiziqli integralni hisoblashni qiymatlar orasidagi farqni aniqlashga kamaytirishga imkon beradi. Va integratsiya konturining yakuniy va boshlang'ich nuqtalarida, beri
Bunday holda, funktsiya Va formuladan foydalanib topish mumkin
qayerda ( x 0 , y 0 , z 0)– hududdan nuqta D, a C- ixtiyoriy doimiy. Haqiqatan ham, funktsiyaning qisman hosilalari ekanligini tekshirish oson Va, (28/1.19) formula bilan berilgan, teng P, Q Va R.
Ostrogradskiy-yashil formula
Bu formula C yopiq kontur ustidagi egri chiziqli integral bilan bu kontur bilan chegaralangan maydon ustidagi qo'sh integral o'rtasidagi bog'lanishni o'rnatadi.
Ta'rif 1. D hududi, agar uni birinchi turdagi cheklangan sonli hududlarga va bundan mustaqil ravishda ikkinchi turdagi sonli hududlarga bo'lish mumkin bo'lsa, uni oddiy mintaqa deyiladi.
Teorema 1. P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar oddiy sohada aniqlansin va ularning qisman hosilalari bilan birga uzluksiz va
Keyin formula o'zini tutadi
Bu erda C - D maydonining yopiq konturi.
Bu Ostrogradskiy-Yashil formula.
Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi shartlari
Ta'rif 1. Yopiq kvadrat maydoni D oddiy bog'langan deyiladi, agar har qanday yopiq egri chiziq l D doimiy ravishda nuqtaga deformatsiyalanishi mumkin bo'lsa, bu egri chiziqning barcha nuqtalari D mintaqasiga tegishli bo'ladi ("teshiksiz" mintaqa - D 1) , agar bunday deformatsiyaning iloji bo'lmasa, u holda mintaqa ko'paytmali bog'langan deb ataladi ("teshiklar" bilan - D 2).
Ta’rif 2. Agar AB egri chizig’i bo’yicha egri chiziqli integralning qiymati A va B nuqtalarni bog’lovchi egri chiziq turiga bog’liq bo’lmasa, bu egri chiziq integrali integrallash yo’liga bog’liq deyiladi:
Teorema 1. P(x,y) va Q(x,y) uzluksiz funksiyalar, ularning qisman hosilalari bilan birga yopiq oddiy bog’langan D sohada aniqlansin. Keyin quyidagi 4 ta shart ekvivalentdir:
1) yopiq kontur ustidagi egri chiziqli integral
bu erda C D dagi har qanday yopiq tsikl;
2) yopiq kontur ustidagi egri chiziqli integral D mintaqasida integrallash yo'liga bog'liq emas, ya'ni.
3) P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko‘rinish D sohasidagi ba’zi F funksiyaning to‘liq differentsialidir, ya’ni F funksiya mavjudki, (x,y) D tenglik. ushlab turadi
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) barcha (x,y) D nuqtalari uchun quyidagi shart bajariladi:
Keling, buni diagramma yordamida isbotlaymiz.
Keling, buni isbotlaylik.
1 berilgan bo'lsin), ya'ni. = 0 2 §1 xususiyati bo'yicha, bu = 0 (1 §1 xususiyat bo'yicha) .
Keling, buni isbotlaylik.
Bu cr.int berilgan. integratsiya yo'liga bog'liq emas, balki faqat yo'lning boshi va oxirini tanlashga bog'liq
Funktsiyani ko'rib chiqing
P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko'rinishi F(x,y) funksiyaning to'liq differentsial ekanligini ko'rsatamiz, ya'ni. , Nima
Keling, shaxsiy o'sishni belgilaylik
x F (x,y)= F(x + x, y) -F (x,y)= = == =
(1-§, BB* Oy 3-xususiyati bo'yicha) = = P (c,y)x (o'rtacha qiymat teoremasi bo'yicha, c -const), bu erda x (P funksiyaning uzluksizligi tufayli). Biz (5) formulani oldik. Formula (6) ham xuddi shunday olinadi. Keling, buni isbotlaylik. Formula berilgan dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Shubhasiz = P (x, y). Keyin Teorema shartlariga ko'ra (7) va (8) tengliklarning o'ng tomonlari uzluksiz funksiyalar bo'lsa, unda aralash hosilalarning tengligi haqidagi teorema bo'yicha chap tomonlari ham teng bo'ladi, ya'ni. bu Keling, buni 41 tadan isbotlaylik. D 1 mintaqasini chegaralovchi D mintaqasidan istalgan yopiq konturni tanlaymiz. P va Q funktsiyalari Ostrogradskiy-Grin shartlarini qondiradi: Tenglik (4) tufayli (9) ning chap tomonida integral 0 ga teng, ya'ni tenglikning o'ng tomoni ham tengdir. Izoh 1. 1-teorema uchta mustaqil teorema shaklida tuzilishi mumkin Teorema 1*. Oddiy bog'langan kvadrat shaklidagi D domeni egri intga ega bo'lishi uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas edi, shuning uchun (.1) shart bajariladi, ya'ni. Teorema 2*. Oddiy bog'langan kvadrat shaklidagi D domeni egri intga ega bo'lishi uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas edi, shuning uchun (3) shart bajariladi: P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko’rinish D sohasidagi ba’zi F funksiyaning to’liq differentsialidir. Teorema 3*. Oddiy bog'langan kvadrat shaklidagi D domeni egri intga ega bo'lishi uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas edi, shuning uchun (4) shart bajariladi: Izoh 2. 2* teoremada D domenini ko'paytmali bog'lash ham mumkin. Egri chiziqli integralni ko'rib chiqing ba'zi bir tekislik egri chizig'i bo'ylab olingan L va N nuqtalarni bog'lovchi. Funksiyalarning ko'rib chiqilayotgan D mintaqasida uzluksiz qisman hosilalari bor deb faraz qilamiz.Yozma egri chiziqli integral qanday sharoitlarda L egri chizig'ining shakliga bog'liq emasligini aniqlaymiz. , lekin faqat M va N boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining holatiga bog'liq. Ko'rib chiqilayotgan D mintaqasida yotgan va M va N nuqtalarni tutashtiruvchi ikkita ixtiyoriy MPN va MQN egri chiziqlarini ko'rib chiqamiz (351-rasm). Mayli Keyin, egri chiziqli integrallarning 1 va 2 xossalariga asoslanib (§ 1), biz bor ya'ni yopiq pastadir ustidagi chiziqli integrali Oxirgi formulada chiziqli integrali egri chiziqlardan tashkil topgan L yopiq kontur ustida olinadi. Bu L konturni ixtiyoriy deb hisoblash mumkin. Demak, har qanday ikkita M va N nuqtalar uchun chiziqli integrali ularni tutashtiruvchi egri chiziq shakliga bog’liq bo’lmay, faqat shu nuqtalarning holatiga bog’liq bo’lishi shartidan kelib chiqadiki, har qanday yopiq kontur bo’yicha chiziqli integrali tengdir. nolga. Teskari xulosa ham to'g'ri: agar har qanday yopiq kontur ustidagi egri chiziqli integral nolga teng bo'lsa, u holda bu egri chiziqli integral har qanday ikkita nuqtani bog'laydigan egri chiziqning shakliga bog'liq emas, balki faqat shu nuqtalarning holatiga bog'liq. Darhaqiqat, (2) tenglik (1) tenglikni anglatadi. 2-bandning 4-misolida egri chiziqli integral integrallash yo‘liga bog‘liq emas, 3-misolda egri chiziqli integral integrallash yo‘liga bog‘liq, chunki bu misolda yopiq kontur ustidagi integral nolga teng emas, lekin shunday bo‘ladi: ko'rib chiqilayotgan kontur bilan chegaralangan maydon; 1 va 2-misollarda chiziqli integrallar ham integrallash yo'liga bog'liq. Tabiiyki, savol tug'iladi: har qanday yopiq kontur bo'ylab egri chiziqli integral nolga teng bo'lishi uchun funktsiyalar qanday shartlarni qondirishi kerak. Bu savolga javob quyidagi teorema bilan beriladi: Teorema. Funktsiyalar qisman hosilalari bilan birgalikda D sohasining barcha nuqtalarida uzluksiz bo'lsin. Keyin, D mintaqasida yotgan har qanday yopiq kontur L ustidagi egri chiziqli integral nolga teng bo'lishi uchun, ya'ni, tenglik amalga oshishi uchun zarur va yetarlidir mintaqaning barcha issiqlarida Isbot. Keling, D sohasida ixtiyoriy yopiq L konturni ko'rib chiqamiz va uning uchun Green formulasini yozamiz: Agar (3) shart bajarilsa, chap tomondagi qo'sh integral xuddi shunday nolga teng va demak, Shunday qilib, (3) shartning etarliligi isbotlangan. Endi bu shartning zarurligini isbotlaymiz, ya’ni D sohasidagi har qanday yopiq egri chiziq uchun (2) tenglik qanoatlansa, bu soha shartining har bir nuqtasida (3) ham qanoatlantirilishini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, aksincha, tenglik (2) bajarilgan, ya'ni. va shart (3) qoniqtirilmaydi, ya'ni. hech bo'lmaganda bir nuqtada. Masalan, bir nuqtada biz tengsizlikka ega bo'lamiz Tengsizlikning chap tomoni uzluksiz funktsiyani o'z ichiga olganligi sababli, u nuqtani o'z ichiga olgan etarlicha kichik D sohasining barcha nuqtalarida ijobiy va ma'lum bir sondan katta bo'ladi. Keling, farqning ushbu sohasi bo'yicha qo'sh integralni olaylik. Bu ijobiy ma'noga ega bo'ladi. Haqiqatan ham, Ammo Grin formulasiga ko'ra, oxirgi tengsizlikning chap tomoni nolga teng bo'lgan mintaqa chegarasi bo'ylab egri chiziqli integralga teng. Binobarin, oxirgi tengsizlik (2) shartga zid keladi va shuning uchun uning hech bo'lmaganda bir nuqtada noldan farq qiladi degan taxmin noto'g'ri. Bu yerdan shundan kelib chiqadi bu hududning barcha nuqtalarida Shunday qilib, teorema to'liq isbotlangan. § 9 ch.da. XIII shartning bajarilishi ifoda qandaydir funksiyaning to‘liq differentsial ekanligiga ekvivalent ekanligi isbotlandi, ya’ni. Ammo bu holda vektor gradienti vektorga teng bo'lgan funksiyaning gradienti mavjud bo'lsa, bu vektorning potensiali deyiladi. Bu holda egri chiziqli integral ekanligini isbotlaylik Har qanday L egri chizig'i uchun M va N nuqtalarini bog'laydigan (M) funktsiya qiymatlari va ushbu nuqtalardagi farqga teng: Isbot. Agar funktsiyaning to'liq differensiali bo'lsa, u holda egri chiziqli integral shaklni oladi Ushbu integralni hisoblash uchun M va nuqtalarni bog'laydigan L egri chizig'ining parametrik tenglamalarini yozamiz integral quyidagi aniq integralga keltiriladi: Qavs ichidagi ifoda Shuning uchun funksiyaning to‘liq hosilasi bo‘lgan funksiya Ko'rib turganimizdek, jami differensialning chiziqli integrali integratsiya bajariladigan egri chiziqning shakliga bog'liq emas. Xuddi shunday bayonot fazoviy egri chiziq ustidagi egri chiziqli integral uchun ham amal qiladi (quyida 7-§ ga qarang). Izoh. Ba'zan ba'zi funktsiyaning yoy uzunligi L bo'ylab egri chiziqli integrallarni hisobga olish kerak
