Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari quyidagilardir: tenglamalarni eng oddiyga qisqartirish (foydalanish) trigonometrik formulalar), yangi o'zgaruvchilarni kiritish, faktorizatsiya. Keling, ulardan foydalanishni misollar bilan ko'rib chiqaylik. Trigonometrik tenglamalar yechimlarini yozish formatiga e'tibor bering.

Majburiy shart muvaffaqiyatli yechim trigonometrik tenglamalar - trigonometrik formulalarni bilish (6-ishning 13-mavzu).

Misollar.

1. Eng soddaga qisqartirilgan tenglamalar.

1) tenglamani yeching

Yechim:

Javob:

2) tenglamaning ildizlarini toping

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, segmentga tegishli.

Yechim:

Javob:

2. Kvadratga keltiruvchi tenglamalar.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 tenglamani yeching.

Yechim: Foydalanish gunoh formulasi 2 x = 1 - cos 2 x, biz olamiz

Javob:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx tenglamasini yeching.

Yechim: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 formulasidan foydalanib, olamiz

Javob:

3) qaror qabul qiling tgx tenglamasi– 2ctgx + 1 = 0

Yechim:

Javob:

3. Bir jinsli tenglamalar

1) 2sinx – 3cosx = 0 tenglamasini yeching

Yechish: cosx = 0 bo'lsin, keyin 2sinx = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat. Bu cosx ≠ 0 ni bildiradi va biz tenglamani cosx ga bo'lishimiz mumkin. olamiz

Javob:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tenglamasini yeching

Yechim:

Biz 1 = sin 2 x + cos 2 x va sin 2x = 2 sinxcosx formulalaridan foydalanamiz, biz olamiz

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Cosx = 0 bo'lsin, keyin sin 2 x = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat.
Bu cosx ≠ 0 degan ma'noni anglatadi va biz tenglamani cos 2 x ga bo'lishimiz mumkin . olamiz

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y ni belgilaymiz
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .

Javob: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k,k

4. Shaklning tenglamalari a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Tenglamani yeching.

Yechim:

Javob:

5. Faktorlarga ajratish yo‘li bilan yechilgan tenglamalar.

1) sin2x – sinx = 0 tenglamasini yeching.

Tenglamaning ildizi f (X) = φ ( X) faqat 0 raqami sifatida xizmat qilishi mumkin. Keling, buni tekshiramiz:

cos 0 = 0 + 1 - tenglik to'g'ri.

0 raqami bu tenglamaning yagona ildizidir.

Javob: 0.

Buyurtma berishingiz mumkin batafsil yechim sizning vazifangiz !!!

Belgi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglik trigonometrik funktsiya(`sin x, cos x, tan x` yoki `ctg x`) trigonometrik tenglama deyiladi va biz ularning formulalarini keyinroq ko`rib chiqamiz.

Eng oddiy tenglamalar `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, bu yerda `x` topiladigan burchak, `a` istalgan son. Keling, ularning har biri uchun ildiz formulalarini yozamiz.

1. `sin x=a` tenglamasi.

`|a|>1` uchun uning yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tenglama

`|a|>1` uchun - sinus holatida bo'lgani kabi, haqiqiy sonlar orasida yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` mavjud cheksiz to'plam qarorlar.

Ildiz formulasi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklarda sinus va kosinus uchun maxsus holatlar.

3. `tg x=a` tenglama

Har qanday `a` qiymatlari uchun cheksiz ko'p yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tenglama

Shuningdek, "a" ning har qanday qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Ildiz formulasi: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar

Sinus uchun:
Kosinus uchun:
Tangens va kotangens uchun:
Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechish formulalari:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

Har qanday trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat:

• uni eng oddiyga aylantirish yordamida;
• yuqorida yozilgan ildiz formulalari va jadvallar yordamida olingan eng oddiy tenglamani yeching.

Keling, misollar yordamida asosiy yechim usullarini ko'rib chiqaylik.

Algebraik usul.

Bu usul o'zgaruvchini almashtirish va uni tenglikka almashtirishni o'z ichiga oladi.

Misol. Tenglamani yeching: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

almashtiring: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, keyin `2y^2-3y+1=0`,

biz ildizlarni topamiz: `y_1=1, y_2=1/2`, undan ikkita holat kelib chiqadi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Javob: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizatsiya.

Misol. Tenglamani yeching: `sin x+cos x=1`.

Yechim. Tenglikning barcha shartlarini chapga siljiymiz: `sin x+cos x-1=0`. dan foydalanib, biz chap tomonni aylantiramiz va faktorlarga ajratamiz:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Javob: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Bir jinsli tenglamaga keltirish

Birinchidan, ushbu trigonometrik tenglamani ikkita shakldan biriga qisqartirishingiz kerak:

`a sin x+b cos x=0` (birinchi darajali bir jinsli tenglama) yoki `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

Keyin ikkala qismni birinchi holat uchun "cos x \ne 0" ga, ikkinchisi uchun "cos^2 x \ne 0" ga bo'ling. Biz `tg x` uchun tenglamalarni olamiz: `a tg x+b=0` va `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ularni ma'lum usullar yordamida yechish kerak.

Misol. Tenglamani yeching: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Yechim. O'ng tomonni `1=sin^2 x+cos^2 x` shaklida yozamiz:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Bu ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama bo'lib, biz uning chap va o'ng tomonlarini `cos^2 x \ne 0` ga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ga olib keladigan `tg x=t` almashtirishni kiritamiz. Bu tenglamaning ildizlari `t_1=-2` va `t_2=1`. Keyin:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Javob. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Yarim burchakka o'tish

Misol. Tenglamani yeching: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Yechim. Keling, formulalarni qo'llaylik ikki burchak, natijada: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Yuqorida tavsiflangan algebraik usulni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yordamchi burchakning kiritilishi

`a sin x + b cos x =c` trigonometrik tenglamada a,b,c koeffitsientlar va x o'zgaruvchi bo'lib, ikkala tomonni `sqrt (a^2+b^2)` ga bo'ling:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinus xossalariga ega, ya'ni kvadratlari yig'indisi 1 ga teng, modullari esa 1 dan katta emas. Ularni quyidagicha belgilaymiz: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, keyin:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik:

Misol. Tenglamani yeching: `3 sin x+4 cos x=2`.

Yechim. Tenglikning ikkala tomonini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ga ajratsak, biz quyidagilarga erishamiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ni belgilaymiz. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` bo`lgani uchun yordamchi burchak sifatida `\varphi=arcsin 4/5` ni olamiz. Keyin tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus uchun burchaklar yig'indisi formulasini qo'llagan holda, biz tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kasrli ratsional trigonometrik tenglamalar

Bular soni va maxraji trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan tenglikdir.

Misol. Tenglamani yeching. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Yechim. Tenglikning o'ng tomonini `(1+cos x)` ga ko'paytiring va bo'ling. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Maxraj nolga teng bo'lmasligini hisobga olsak, Z`da `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ni olamiz.

Kasrning ayiruvchisini nolga tenglashtiramiz: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Keyin `sin x=0` yoki `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ekanligini hisobga olsak, yechimlar `x=2\pi n, n \da Z` va `x=\pi /2+2\pi n` bo`ladi. , `n \in Z`.

Javob. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometriya, xususan, trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. O'qish 10-sinfda boshlanadi, har doim yagona davlat imtihoniga topshiriqlar mavjud, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini eslab qolishga harakat qiling - ular sizga albatta foydali bo'ladi!

Biroq, ularni eslab qolishning hojati yo'q, asosiysi, mohiyatini tushunish va uni chiqarib olishdir. Bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Videoni tomosha qilib o'zingiz ko'ring.

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.

Trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat: tenglama transformatsiyasi eng oddiy olish uchun yozing (yuqoriga qarang) va yechimnatijada eng oddiy trigonometrik tenglama. Yetti bor trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

1. Algebraik usul.

(o'zgaruvchan almashtirish va almashtirish usuli).

2. Faktorizatsiya.

Misol 1. Tenglamani yeching: gunoh x+cos x = 1 .

Yechish.Tenglamaning barcha shartlarini chapga siljiymiz:

Gunoh x+cos x – 1 = 0 ,

Keling, ifodani o'zgartiramiz va faktorlarga ajratamiz

Tenglamaning chap tomoni:

2-misol. Tenglamani yeching: cos 2 x+ gunoh x cos x = 1.

Yechim: cos 2 x+ gunoh x cos x– gunoh 2 x- chunki 2 x = 0 ,

Gunoh x cos x– gunoh 2 x = 0 ,

Gunoh x· (cos x– gunoh x ) = 0 ,

Misol 3. Tenglamani yeching: chunki 2 x-cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Yechim: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 chunki 4 x chunki 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (chunki 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 gunoh 3 x gunoh x = 0 ,

1). chunki 4 x= 0, 2). gunoh 3 x= 0, 3). gunoh x = 0 ,

3. ga qisqartirish bir jinsli tenglama. Tenglama chaqirdi dan bir hil haqida gunoh Va cos , Agar hammasi nisbatan bir xil darajadagi shartlar gunoh Va cos bir xil burchak. Bir hil tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi: A) barcha a'zolarini chap tomonga siljitish; b) barcha umumiy omillarni qavs ichidan chiqaring; V) barcha omillar va qavslarni nolga tenglashtiring; G) nolga teng qavslar beradi bo'linishi kerak bo'lgan kichik darajadagi bir hil tenglama cos(yoki gunoh) oliy o'quv yurtlarida; d) natijani yeching algebraik tenglama nisbatansarg'ish . gunoh 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 5cos 2 x = 2. Yechim: 3sin 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 5 chunki 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Gunoh 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 3 chunki 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 tan x + 3 = 0 , bu yerdan y 2 + 4y +3 = 0 , Bu tenglamaning ildizlari:y 1 = - 1, y 2 = - 3, shuning uchun 1) sarg'ish x= –1, 2) sarg'ish x = –3,

4. Yarim burchakka o'tish.

Keling, ushbu usulni misol yordamida ko'rib chiqaylik:

MISOL Tenglamani yeching: 3 gunoh x– 5 cos x = 7.

Yechimi: 6 gunoh ( x/ 2) chunki ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 gunoh² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 gunoh² ( x/ 2) - 6 gunoh ( x/ 2) chunki ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Yordamchi burchakning kiritilishi.

Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing:

a gunoh x + b cos x = c ,

Qayerda a, b, c- koeffitsientlar;x- noma'lum.

Endi tenglamaning koeffitsientlari sinus va kosinus xususiyatlariga ega, aynan: har birining moduli (mutlaq qiymat). ulardan 1 tadan ko'p bo'lmagan, va ularning kvadratlari yig'indisi 1 ga teng. Keyin biz belgilashimiz mumkin ularga mos ravishda Qanaqasiga cos va gunoh (bu erda - deb atalmish yordamchi burchak), Vatenglamamizni oling