Argumentning barcha qiymatlari uchun bajarilgan (umumiy doiradan).

Universal almashtirish formulalari.

Ushbu formulalar yordamida bitta argumentning turli trigonometrik funktsiyalarini o'z ichiga olgan har qanday ifodani bitta funktsiyaning oqilona ifodasiga aylantirish oson. tg (a /2):

So'mlarni mahsulotga va mahsulotlarni summaga aylantirish formulalari.

Ilgari yuqoridagi formulalar hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ishlatilgan. Ular logarifmik jadvallar, keyinroq esa slayd qoidasi yordamida hisoblangan, chunki logarifmlar raqamlarni ko'paytirish uchun eng mos keladi. Shuning uchun har bir asl ifoda logarifmlash uchun qulay bo'lgan shaklga, ya'ni mahsulotlarga qisqartirildi. Masalan:

2 gunoh α gunoh b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 gunoh α cos b = gunoh (α - b) + gunoh (α + b).

burchak qayerda, xususan,

Tangens va kotangens funksiyalar uchun formulalar yuqoridagilardan osonlik bilan olinadi.

Darajani pasaytirish formulalari.

sin 2 a = (1 - cos 2a)/2;	cos 2 a = (1 + cos 2a)/2;
gunoh 3α = (3 gunohα - gunoh 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Ushbu formulalar yordamida trigonometrik tenglamalar kuchlari pastroq tenglamalarga osonlikcha keltiriladi. Xuddi shu tarzda, ko'proq uchun kamaytirish formulalari olinadi yuqori darajalar gunoh Va cos.

Trigonometrik funktsiyalarni bir xil argumentlardan biri orqali ifodalash.

Ildiz oldidagi belgi chorak burchakning joylashishiga bog'liq α .

Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatlar berilgan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - bir nechta burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalaydi va hokazo.

Ushbu maqolada biz trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli bo'lgan barcha asosiy trigonometrik formulalarni tartibda sanab o'tamiz. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlari bo'yicha guruhlaymiz va jadvallarga kiritamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatni aniqlang. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bitta trigonometrik funktsiyani boshqa har qanday ko'rinishda ifodalash imkonini beradi.

Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang.

Qisqartirish formulalari

Qisqartirish formulalari sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular davriylik xususiyatini aks ettiradi. trigonometrik funktsiyalar, simmetriya xossasi, shuningdek, berilgan burchak bilan siljish xossasi. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi.

Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollari maqolada o'rganilishi mumkin.

Qo'shish formulalari

Trigonometrik qo'shish formulalari Ikki burchak yig‘indisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini ko‘rsating. Bu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni olish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi.

Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak

Yarim burchak formulalari

Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funksiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar formulalardan kelib chiqadi ikki burchak.

Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin.

Darajani pasaytirish formulalari

Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar dan o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan tabiiy darajalar trigonometrik funktsiyalarni sinus va kosinuslarga birinchi darajali, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Asosiy maqsad trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi formulalari trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda juda foydali bo'lgan funksiyalar mahsulotiga o'tishdir. Bu formulalardan yechishda ham keng foydalaniladi trigonometrik tenglamalar, chunki ular sinus va kosinuslarning yig'indisi va farqini faktorlarga ajratish imkonini beradi.

Sinuslar, kosinuslar va kosinuslar bo'yicha ko'paytma uchun formulalar

Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo`yicha ko`paytmasi formulalari yordamida amalga oshiriladi.

Universal trigonometrik almashtirish

Biz trigonometriyaning asosiy formulalarini ko'rib chiqishni trigonometrik funktsiyalarni yarim burchakning tangensi bo'yicha ifodalovchi formulalar bilan yakunlaymiz. Bu almashtirish chaqirildi universal trigonometrik almashtirish. Uning qulayligi shundan iboratki, barcha trigonometrik funktsiyalar ildizlarsiz ratsional ravishda yarim burchakning tangensi bilan ifodalanadi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy. - M.: Ta'lim, 1990. - 272 b.: kasal. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: kasal. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi ko'rinish, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.

IN identifikatsiya o'zgarishlari trigonometrik ifodalar quyidagi algebraik usullardan foydalanish mumkin: bir xil atamalarni qo'shish va ayirish; umumiy omilni qavs ichidan chiqarish; bir xil miqdorga ko'paytirish va bo'lish; qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash; ajratish to'liq kvadrat; parchalanish kvadratik trinomial multiplikatorlar bo'yicha; transformatsiyalarni soddalashtirish uchun yangi o'zgaruvchilarni kiritish.

Kasrlarni o'z ichiga olgan trigonometrik ifodalarni o'zgartirganda, siz mutanosiblik, kasrlarni kamaytirish yoki kasrlarni o'zgartirish xususiyatlaridan foydalanishingiz mumkin. umumiy maxraj. Bundan tashqari, siz kasrning butun qismini tanlashdan foydalanishingiz mumkin, kasrning soni va maxrajini bir xil miqdorga ko'paytirasiz, shuningdek, agar iloji bo'lsa, hisoblagich yoki maxrajning bir xilligini hisobga olishingiz mumkin. Agar kerak bo'lsa, kasrni bir nechta oddiy kasrlarning yig'indisi yoki farqi sifatida ifodalashingiz mumkin.

Bundan tashqari, trigonometrik ifodalarni o'zgartirish uchun barcha kerakli usullarni qo'llashda doimiy ravishda maydonni hisobga olish kerak. qabul qilinadigan qiymatlar konvertatsiya qilinadigan ifodalar.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol.

A = (sin (2x – p) cos (3p – x) + sin (2x – 9p/2) cos (x + p/2)) 2 + (cos (x – p/2) cos ( 2x – 7p) ni hisoblang. /2) +
+ gunoh (3p/2 – x) gunoh (2x –5p/2)) 2

Yechim.

Qisqartirish formulalaridan quyidagicha:

sin (2x – p) = -sin 2x; cos (3p – x) = -cos x;

sin (2x – 9p/2) = -cos 2x; cos (x + p/2) = -sin x;

cos (x – p/2) = sin x; cos (2x – 7p/2) = -sin 2x;

sin (3p/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5p/2) = -cos 2x.

Shunday qilib, argumentlarni qo'shish formulalari va asosiy trigonometrik identifikatsiya tufayli biz olamiz

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Javob: 1.

2-misol.

M = cos a + cos (a + b) · cos g + cos b – sin (a + b) · sin g + cos g ifodasini hosilaga aylantiring.

Yechim.

Argumentlarni qo'shish formulalari va trigonometrik funktsiyalar yig'indisini tegishli guruhlashdan keyin mahsulotga aylantirish uchun formulalardan bizda mavjud

M = (cos (a + b) cos g – sin (a + b) sin g) + cos a + (cos b + cos g) =

2cos ((b + g)/2) cos ((b – g)/2) + (cos a + cos (a + b + g)) =

2cos ((b + g)/2) cos ((b – g)/2) + 2cos (a + (b + g)/2) cos ((b + g)/2)) =

2cos ((b + g)/2) (cos ((b – g)/2) + cos (a + (b + g)/2)) =

2cos ((b + g)/2) 2cos ((b – g)/2 + a + (b + g)/2)/2) cos ((b – g)/2) – (a + ( b +) g)/2)/2) =

4cos ((b + g)/2) cos ((a +b)/2) cos ((a + g)/2).

Javob: M = 4cos ((a + b)/2) · cos ((a + g)/2) · cos ((b + g)/2).

3-misol.

A = cos 2 (x + p/6) – cos (x + p/6) cos (x – p/6) + cos 2 (x – p/6) ifodasi R dan barcha x uchun bitta olishini ko‘rsating va bir xil ma'no. Ushbu qiymatni toping.

Yechim.

Bu muammoni hal qilishning ikkita usuli bor. Birinchi usulni qo'llash orqali to'liq kvadratni ajratib, tegishli asosiy trigonometrik formulalarni qo'lga kiritamiz.

A = (cos (x + p/6) – cos (x – p/6)) 2 + cos (x – p/6) cos (x – p/6) =

4sin 2 x sin 2 p/6 + 1/2(cos 2x + cos p/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Muammoni ikkinchi usulda yechish, A ni R dan x ning funksiyasi sifatida ko'rib chiqing va uning hosilasini hisoblang. O'zgarishlardan keyin biz olamiz

A´ = -2cos (x + p/6) sin (x + p/6) + (sin (x + p/6) cos (x – p/6) + cos (x + p/6) sin (x) + p/6)) – 2cos (x – p/6) sin (x – p/6) =

Sin 2(x + p/6) + sin ((x + p/6) + (x – p/6)) – sin 2(x – p/6) =

Sin 2x – (sin (2x + p/3) + gunoh (2x – p/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos p/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Demak, oraliqda differentsiallanuvchi funksiyaning doimiylik kriteriyasidan kelib chiqib, shunday xulosaga kelamiz:

A(x) ≡ (0) = cos 2 p/6 - cos 2 p/6 + cos 2 p/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Javob: x € R uchun A = 3/4.

Trigonometrik identifikatsiyani isbotlashning asosiy usullari:

A) tegishli transformatsiyalar orqali identifikatsiyaning chap tomonini o'ngga qisqartirish;
b) identifikatsiyaning o'ng tomonini chapga qisqartirish;
V) identifikatsiyaning o'ng va chap tomonlarini bir xil shaklga qisqartirish;
G) isbotlanayotgan shaxsning chap va o'ng tomonlari orasidagi farqni nolga kamaytirish.

4-misol.

cos 3x = -4cos x · cos (x + p/3) · cos (x + 2p/3) ekanligini tekshiring.

Yechim.

Ushbu identifikatsiyaning o'ng tomonini mos keladigan tarzda o'zgartirish trigonometrik formulalar, bizda ... bor

4cos x cos (x + p/3) cos (x + 2p/3) =

2cos x (cos ((x + p/3) + (x + 2p/3)) + cos ((x + p/3) – (x + 2p/3)))) =

2cos x (cos (2x + p) + cos p/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Shaxsning o'ng tomoni chapga qisqartiriladi.

5-misol.

Sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g – 2cos a · cos b · cos g = 2 bo‘lishini isbotlang, agar a, b, g ba’zi uchburchakning ichki burchaklari bo‘lsa.

Yechim.

a, b, g lar qandaydir uchburchakning ichki burchaklari ekanligini hisobga olsak, shuni olamiz

a + b + g = p va demak, g = p – a – b.

sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g – 2cos a · cos b · cos g =

Sin 2 a + sin 2 b + sin 2 (p – a – b) – 2cos a · cos b · cos (p – a – b) =

Sin 2 a + sin 2 b + sin 2 (a + b) + (cos (a + b) + cos (a – b) · (cos (a + b) =

Sin 2 a + sin 2 b + (sin 2 (a + b) + cos 2 (a + b)) + cos (a – b) (cos (a + b) =

1/2 · (1 – cos 2a) + ½ · (1 – cos 2b) + 1 + 1/2 · (cos 2a + cos 2b) = 2.

Asl tenglik isbotlangan.

6-misol.

Uchburchakning a, b, g burchaklaridan biri 60° ga teng boʻlishi uchun sin 3a + sin 3b + sin 3g = 0 boʻlishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

Yechim.

Bu muammoning sharti zaruriyat va etarlilikni isbotlashni o'z ichiga oladi.

Avval isbot qilaylik zaruriyat.

Buni ko'rsatish mumkin

sin 3a + sin 3b + sin 3g = -4cos (3a/2) cos (3b/2) cos (3g/2).

Demak, cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 ekanligini hisobga olsak, agar a, b yoki g burchaklardan biri 60° ga teng boʻlsa, shunday xulosaga kelamiz.

cos (3a/2) cos (3b/2) cos (3g/2) = 0 va demak, sin 3a + sin 3b + sin 3g = 0.

Keling, hozir isbotlaylik adekvatlik belgilangan shart.

Agar sin 3a + sin 3b + sin 3g = 0 bo'lsa, u holda cos (3a/2) cos (3b/2) cos (3g/2) = 0 va shuning uchun

yo cos (3a/2) = 0, yoki cos (3b/2) = 0, yoki cos (3g/2) = 0.

Demak,

yoki 3a/2 = p/2 + pk, ya'ni. a = p/3 + 2pk/3,

yoki 3b/2 = p/2 + pk, ya'ni. b = p/3 + 2pk/3,

yoki 3g/2 = p/2 + pk,

bular. g = p/3 + 2pk/3, bu yerda k s Z.

a, b, g uchburchakning burchaklari ekanligidan, bizda bor

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Shuning uchun a = p/3 + 2pk/3 yoki b = p/3 + 2p/3 yoki

g = p/3 + 2pk/3 barcha kōZ faqat k = 0 mos keladi.

Bundan kelib chiqadiki, yo a = p/3 = 60°, yoki b = p/3 = 60° yoki g = p/3 = 60°.

Bayonot isbotlangan.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik ifodalarni qanday soddalashtirishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.