Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Identifikatsiyalar. Ifodalarning bir xil transformatsiyalari. 7-sinf.

x=5 va y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 ifodalar qiymatini topamiz. x=6 va y=5 uchun ifodalar qiymati 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

Xulosa: Biz bir xil natijaga erishdik. Tarqatish xususiyatidan kelib chiqadiki, umuman olganda, har qanday uchun o'zgaruvchilar qiymatlari 3(x+y) va 3x+3y ifodalarning qiymatlari teng. 3(x+y) = 3x+3y

Endi 2x+y va 2xy ifodalarini ko'rib chiqamiz. x=1 va y=2 uchun ular qabul qiladi teng qiymatlar: 2x+y=2*1+2=4 2xy=2*1*2=4 bilan x=3, y=4 ifoda qiymatlari har xil 2x+y=2*3+4=10 2xy=2* 3*4 =24

XULOSA: 3(x+y) va 3x+3y ifodalar bir xil darajada teng, lekin 2x+y va 2xy ifodalari bir xil darajada teng emas. Ta'rif: o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun qiymatlari teng bo'lgan ikkita ifoda bir xil teng deb ataladi.

Identifikatsiya 3(x+y) va 3x+3y tengligi x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri. Bunday tengliklar identifikatsiya deb ataladi. Ta'rif: o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tenglik identifikatsiya deb ataladi. Haqiqiy son tengliklari ham identifikatsiya hisoblanadi. Biz allaqachon kimliklarga duch kelganmiz.

Identifikatsiyalar sonlar ustidagi amallarning asosiy xossalarini ifodalovchi tenglikdir. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Identifikatsiyaning boshqa misollarini keltirish mumkin: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Bir ifodani boshqa bir xil teng ifoda bilan almashtirish identifikatsiyani o'zgartirish yoki oddiygina ifodani o'zgartirish deyiladi.

Shunga o'xshash shartlarni keltirish uchun siz ularning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani umumiy harf qismiga ko'paytirishingiz kerak. 1-misol. 5x +2x-3x=x(5+2-3)=4x o'xshash shartlarni beraylik.

Qavslar oldiga ortiqcha belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini saqlab qolgan holda, qavslar qoldirilishi mumkin. 2-misol. 2a + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c ifodasidagi qavslarni oching.

Qavslar oldidan minus belgisi bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini o'zgartirish orqali qavslarni olib tashlash mumkin. 3-misol. a – (4 b – c) = a – 4 b + c ifodasidagi qavslarni oching.

Uyga vazifa: 5-band, No 91, 97, 99 Dars uchun rahmat!

Mavzu bo'yicha: uslubiy ishlanmalar, taqdimotlar va eslatmalar

"Ifodalarni ifodalash va o'zgartirish" bo'limida talabalarni Yagona davlat imtihoniga tayyorlash metodikasi

Ushbu loyiha o'quvchilarni 9-sinfda davlat imtihonlariga tayyorlash maqsadida ishlab chiqilgan. davlat imtihoni 11-sinfda....

Shunday qilib, do'stlar, so'nggi darsda biz bilan uchrashdik so'zlar nimani anglatishini tushundik "iboraning ma'nosi yo'q". Va endi buni aniqlash vaqti keldi Ifodani konvertatsiya qilish nima? Va eng muhimi - nima uchun kerak?

Ifodani konvertatsiya qilish nima?

Javob oddiy, odobsiz.) Bu ifoda bilan har qanday harakat. Va tamom. Siz bu o'zgarishlarning barchasini birinchi sinfdan beri qilyapsiz. Hech narsa tom ma'noda emas, albatta... Quyida bu haqda batafsilroq.)

Masalan, juda ajoyib raqamli ifodani olaylik, deylik 3+2. Qanday qilib uni aylantirish mumkin? Ha, juda oddiy! Hech bo'lmaganda uni oling va hisoblang:

3+2 = 5

Bu bolalar bog'chasi hisoblash bo'ladi ifodani aylantirish. Xuddi shu iborani boshqacha yozishingiz mumkin:

3+2 = 2+3

Ammo bu erda biz hech narsani hisobga olmadik. Biz shunchaki ifodamizni oldik va qayta yozdik boshqa shaklda. Bu ifodaning o‘zgarishi ham bo‘ladi. Buni boshqa yo'l bilan yozishingiz mumkin. Masalan, bu kabi:

3+2 = 10-5

Va bu yozuv - ifodaning transformatsiyasi ham.

Yoki shunday:

3+2 = 10:2

Shuningdek, ifodaning o'zgarishi!

Agar siz va men katta bo'lsak va algebra bilan do'st bo'lsak, biz yozamiz:

Algebra bilan tanish bo'lgan har bir kishi, hatto hech narsani taranglashtirmasdan yoki hisoblamasdan, o'ng va chap tomonda oddiy beshlik borligini tushunadi. Sinab ko'ring va sinab ko'ring.)

Va agar biz haqiqatan ham katta bo'lsak, quyidagi dahshatli voqealarni yozishimiz mumkin:

jurnal 2 8+ jurnal 2 4 = jurnal 2 32

Yoki hatto bular:

5 gunoh 2 x+5 cos 2 x=5 tgx ctgx

Bu ilhomlantiradimi? Va, shubhasiz, siz xohlagancha bunday o'zgarishlarni amalga oshirishingiz mumkin! Tasavvur imkoni boricha. Va matematika bilimlari to'plami.)

Ma'nosini tushundingizmi?

Har qanday ifoda ustidagi harakat har qanday uni boshqa shaklda yozish deyiladi ifodani aylantirish. Va bu hammasi. Hammasi juda oddiy.

Oddiylik, albatta, har doim yaxshi va yoqimli narsa, lekin har qanday soddalik uchun siz biron bir joyda to'lashingiz kerak, ha.... Bu erda bitta muhim "lekin" bor. Bu sirli o'zgarishlar har doim biriga bo'ysunadi muhim qoida. Bu qoida shunchalik muhimki, uni ishonch bilan chaqirish mumkin asosiy qoida hamma matematika. Va bu oddiy qoidani buzish muqarrar xatolarga olib keladi. Biz bunga kiramizmi?)

Aytaylik, biz o'z ifodamizni tasodifiy, ko'kdan tashqari, shunday o'zgartirdik:

3+2 = 6+1

Konvertatsiya? Albatta. Biz ifodani boshqa shaklda yozdik! Lekin... bu erda nima bo'ldi?

Javob: unday emas.) Gap shundaki, transformatsiyalar "tasodifiy vaahmoqdan" ular matematikaga umuman qiziqmaydilar.) Nima uchun? Chunki barcha matematika o'zgarishlarga asoslangan tashqi ko'rinish, lekin ifodaning mohiyati o'zgarmaydi. Bu uning qat'iy talabidir. Va bu talabni buzish xatolarga olib keladi. Uch plyus ikkita sizga yoqqan har qanday shaklda yozilishi mumkin. Qaysi misolda talab qilsa, biz uni shu shaklda yozamiz. Lekin tabiatan Bu har doim beshta bo'lishi kerak. Qaysi shaklda bo'lishidan qat'iy nazar, biz xuddi shu 3+2 ni yozamiz. Ammo, agar to'satdan, 3+2 ifodasini boshqa shaklda yozgandan so'ng, besh o'rniga siz bilan yakun topasiz yigirma besh, bir joyda siz yo'lda xato qildingiz. Qaytib keling va xatoni tuzating.)

Va endi dono yashil fikrlar vaqti keldi.)

Eslab qoling:

1. Ifoda ustidagi har qanday harakat, uni boshqa shaklda yozish ifodaning transformatsiyasi deyiladi.

2. Transformatsiyalar,mohiyatini o‘zgartirmaydigan iboralar, bir xil ekanligi aytiladi.

3. Barcha matematika iboralarni bir xil o'zgartirishlar asosida qurilgan.

Aynan identifikatsiya o'zgarishlari va bizni asta-sekin, asta-sekin o'zgartirishga imkon bering murakkab misol oddiy, oq va bekamu ifodaga, saqlash misolning mohiyati. Agar biz to'satdan o'zgarishlarimiz zanjirida biror joyda xatoga yo'l qo'ysak va qandaydir bir qadamda biz EMAS o'zgarishlarni amalga oshirsak, keyin qaror qabul qilamiz. butunlay boshqacha misol. Boshqa javoblar bilan, ha... Endi to'g'ri javoblar bilan hech qanday aloqasi bo'lmaydi.) Keling, shaxsni buzamiz va boshqa joyda aralashib ketamiz - keling, buni allaqachon hal qilishni boshlaylik. uchinchi misol. Va shunga o'xshash, murabbolar soniga qarab, poezd va mashina haqidagi muammodan siz bir yarim qazuvchi muammosiga kelishingiz mumkin.)

Yana bir misol. Algebrani bor kuchi bilan o'rganayotgan maktab o'quvchilari uchun. Aytaylik, (40+7) 2 ifodaning qiymatini topishimiz kerak. Qanday qilib chiqib ketishingiz mumkin, ya'ni. bizning g'azablangan ifodamizni o'zgartirasizmi? Siz oddiygina qavs ichidagi ifodani hisoblashingiz mumkin (biz 47 ni olamiz), ustun bilan o'z-o'zidan ko'paytirasiz va (agar hisoblasangiz) 2209 ni olishingiz mumkin. Yoki formuladan foydalanishingiz mumkin.

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

Biz olamiz: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

Lekin! Kvadratlashganda oddiygina yozish vasvasasi bor (aytaylik, formulani bilmaslik tufayli):

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

Afsuski, bu oddiy va ravshan ko'rinadigan o'tishda bizning o'zgarishlarimizning o'ziga xosligi buzilgan. Chapda hamma narsa bo'lishi kerak, 2209, lekin o'ngda allaqachon boshqa raqam. 1649. Matematika qiling va hamma narsa aniq bo'ladi. Mana bir xil EMAS transformatsiyaning odatiy misoli. Va shunga ko'ra chiqdi xatolar.)

Bu har qanday vazifani hal qilishning asosiy qoidasi: transformatsiyalarning o'ziga xosligini saqlab qolish.

Men aniqlik uchun 3+2 va (40+7) 2 sonli ifodalar bilan misol keltirdim.

Nima haqida algebraik ifodalar? Hammasi bir xil! Faqat algebraik ifodalarda identifikatsiya o'zgarishlari ko'rsatilgan formulalar va qoidalar. Aytaylik, algebrada formula mavjud:

a(b-c) = ab - ac

Bu shuni anglatadiki, har qanday misolda biz ifoda o'rniga barcha huquqlarga egamiz a(b-c) muqobil iborani yozishingiz mumkin ab - ac. Va teskari. Bizga bu ikki ifodani tanlash uchun matematika beradi. Va qaysi birini yozish kerak - dan aniq misol bog'liq.

Yoki mashhur:

a 2 - b 2 = (a- b)(a+ b)

Yana ikkita mumkin bo'lgan variant. Ikkalasi ham to'g'ri.) Bu ham bir xil transformatsiya. Nimani yozish foydaliroq - kvadratlar farqi yoki qavslar mahsuloti - sizga misol aytib beradi.)

Yana bir misol. Matematikadagi eng muhim va zarur transformatsiyalardan biri kasrning asosiy xossasi. Siz havolani batafsil o'qishingiz va ko'rishingiz mumkin (men darsni o'tkazganimda), lekin bu erda men sizga qoidani eslatib o'taman:

Agar kasrning soni va maxraji ko'paytirilsa (bo'linadi). bir xilson yoki nolga teng bo'lmagan ifodada kasr o'zgarmaydi.

Bu xususiyatdan foydalangan holda identifikatsiya o'zgarishlariga misol:

Ehtimol, siz taxmin qilganingizdek, bu ulug'vor zanjir cheksiz davom ettirilishi mumkin ...) Ijodiy impuls etarli bo'lsa. Har xil kamchiliklar va ildizlar, sizni bezovta qilishlariga yo'l qo'ymang. Bu hammasi bir xil kasr. tomonidan uning mohiyati. Uchdan ikkisi. 2/3. Shunchaki turli shakllarda qayd etilgan.:) Juda muhim mulk. Aynan shu narsa sizga ko'pincha har xil turdagi yirtqich hayvonlarni oq va bekamu ko'rinishga aylantirishga imkon beradi.)

Albatta, bir xil o'zgarishlarni belgilaydigan ko'plab formulalar va qoidalar mavjud. Men hatto ko'p gapirgan bo'lardim. Ammo eng muhimlari, siz hech bo'lmaganda uch darajali matematikada qila olasiz bu taqiqlangan, juda maqbul miqdor.

Mana bir nechta asosiy o'zgarishlar:

1. Monomiylar va ko'phadlar bilan ishlash. Shu kabi atamalarni qisqartirish (yoki qisqacha o'xshash);

2. Qavslarni kengaytirish va yopish ;

3. Faktorizatsiya ;

4. va kvadratik trinomial kengayish.

5. Kasr va kasrli ifodalar bilan ishlash.

Ushbu beshta asosiy transformatsiyalar keng qo'llaniladi hamma matematikada. Boshlang'ichdan yuqoriga. Va agar siz ushbu besh oddiy narsadan kamida bittasini o'zlashtirmasangiz, unda barcha matematikada bo'lgani kabi muqarrar ravishda katta muammolarga duch kelasiz. o'rta maktab, va o'rta maktabda va undan ham ko'proq universitetda. Shuning uchun, keling, ulardan boshlaylik. Ushbu bo'limdagi keyingi darslarda.)

Bundan ham sovuqroq o'zgarishlar mavjud. Ilg'or maktab o'quvchilari va talabalar uchun.) Bo'lsin:

6., va ular bilan bog'liq hamma narsa;

7. Tanlash to'liq kvadrat kvadrat uchburchakdan;

8. Ko‘phadlarni bo‘linishi burchak yoki Horner sxemasiga ko'ra ;

9. Parchalanish ratsional kasr elementar (eng oddiy) kasrlar yig'indisiga. Ishlayotganda talabalar uchun eng foydali xususiyat

Xo'sh, transformatsiyalarning o'ziga xosligi va uni kuzatishning ahamiyati haqida hamma narsa aniqmi? Ajoyib! Keyin keyingi bosqichga o'tish va ibtidoiy arifmetikadan butunlay jiddiyroq algebraga o'tish vaqti keldi. Va uning ko'zlarida porlash bilan.)

Identifikatsiya o'zgarishlari

1. Identifikatsiya tushunchasi. Shaxs o'zgarishlarining asosiy turlari va ularni o'rganish bosqichlari.

Ifodalar va formulalarning turli xil o'zgarishlarini o'rganish maktab matematika kursida o'qish vaqtining eng kichik qismini oladi. Arifmetik amallarning xususiyatlariga asoslangan eng oddiy ^"" shakllanishlar allaqachon ishlab chiqarilgan boshlang'ich maktab. Ammo transformatsiyalarni amalga oshirish uchun ko'nikma va ko'nikmalarni rivojlantirishning asosiy yukini maktab algebra kursi 1 zimmasiga oladi >buning sababi:

amalga oshirilayotgan transformatsiyalar sonining keskin ortishi, ularning xilma-xilligi bilan;

faoliyatning murakkablashishi bilan ularni asoslash va qo'llash shartlarini aniqlashtirish;

i) o'ziga xoslik, bir xil transformatsiya, ekvivalent transformatsiya, mantiqiy oqibatning umumlashtirilgan tushunchalarini aniqlash va o'rganish bilan.

Shaxsni o'zgartirish liniyasi asosiy maktab algebra kursida quyidagi rivojlanishni oladi:

, 4b sinflari - qavslarni ochish, o'xshash atamalarni keltirish, qavsdan koeffitsientni olib tashlash;

7 Sinf - butun va kasrli ifodalarni bir xil o'zgartirishlar;

H sinf - to'rtta ildizli iboralarni bir xil o'zgartirish;

( > sinf - Trigonometrik ifodalarni bir xil o'zgartirishlar va ratsional ko'rsatkichli darajani o'z ichiga olgan ifodalar.

Shaxsni o'zgartirish chizig'i algebra kursining muhim mafkuraviy yo'nalishlaridan biridir. Shuning uchun 5-6-sinflarda matematikani o'qitish shunday tuzilganki, bu sinflarda o'qiyotgan o'quvchilar eng oddiy shaxsni o'zgartirish ko'nikmalariga ega bo'ladilar ("shaxsni o'zgartirish" atamasidan foydalanmasdan). Bu ko‘nikmalar o‘xshash atamalarni keltirish, qavslarni ochish va yopish, ko‘rsatkichni qavs ichidan chiqarish va hokazo mashqlarni bajarish orqali rivojlantiriladi. Raqamli va alfavitli ifodalarning eng oddiy o'zgarishlari ham ko'rib chiqiladi. O`qitishning bu darajasida arifmetik amallarning qonuniyatlari va xossalari asosida bevosita bajariladigan o`zgartirishlar o`zlashtiriladi.

5-6-sinflarda yechishda arifmetik amallarning xossalari va qonuniyatlari faol qo‘llaniladigan hamda shaxsni o‘zgartirish ko‘nikmalari shakllantiriladigan masalalarning asosiy turlariga quyidagilar kiradi:

o'rganilayotgan sonlar to'plamining raqamlari bo'yicha amallarni bajarish algoritmlarini asoslash;

raqamli ifodaning qiymatlarini eng oqilona tarzda hisoblash;

qiymatlarni solishtirish raqamli ifodalar belgilangan harakatlarni bajarmasdan;

harfli ifodalarni soddalashtirish;

ikki to‘g‘ridan-to‘g‘ri iboralar ma’nolarining tengligini isbotlash va h.k.

153 raqamini raqamli hadlar yig'indisi sifatida tasavvur qiling; ikki sonning ayirmasi, ikki sonning ko'paytmasi sifatida.

27 raqamini uchta bir xil omilning mahsuloti sifatida tasavvur qiling.

Bir xil sonni turli xil yozuv shakllarida ifodalash bo'yicha ushbu mashqlar identifikatsiyani o'zgartirish tushunchasini o'zlashtirishga yordam beradi. Dastlab, bu g'oyalar o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin, ammo keyinchalik ular maqsadli bo'lishi mumkin. Masalan, raqamli atamalar yig‘indisi ko‘rinishidagi tasvirlash natural sonlarni “ustun”ga qo‘shish qoidalarini tushuntirish uchun, “qulay” sonlar yig‘indisi yoki ayirmasi ko‘rinishidagi ko‘rinishda tezkor hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun foydalaniladi. turli hosilalar, omillar mahsuloti ko'rinishidagi vakillik turli kasrli ifodalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.

928 36 + 72 36 ifoda qiymatini toping.

Ushbu ifodaning qiymatini hisoblashning oqilona usuli qo'shishga nisbatan ko'paytirishning distributiv qonunidan foydalanishga asoslangan: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

IN maktab kursi Matematikada alfavit-raqamli ifodalar va formulalarni o'zgartirishni qo'llashni o'zlashtirishda quyidagi bosqichlarni ajratib ko'rsatish mumkin.

bosqich. Algebra fanining boshlanishi. Bu bosqichda transformatsiyalarning differensiyalanmagan tizimi qo'llaniladi; u formulaning bir yoki ikkala qismida amallarni bajarish qoidalari bilan ifodalanadi.

Misol. Tenglamalarni yeching:

a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; V) 6 (2 - 4u) + 5u = 3 (1 - Zu).

Yechimning umumiy g'oyasi bu formulalarni bir nechta qoidalar yordamida soddalashtirishdir. Birinchi vazifada identifikatsiyani qo'llash orqali soddalashtirishga erishiladi: 5x- bx= (5 - 3)x. Ushbu o'ziga xoslikka asoslangan identifikatsiya konvertatsiyasi bu tenglamani uning ekvivalenti Urshshomiga aylantiradi. 2x - 2.

Ikkinchi tenglama uni hal qilish uchun nafaqat bir xil, balki tubdan o'zgartirishni ham talab qiladi; bu erda tenglama shartlarini tenglamaning bir qismidan ikkinchisiga o'zgartirilgan chic bilan o'tkazish printsipi qo'llaniladi. b) kabi oddiy vazifani yechishda transformatsiyalardagi ikkala mon ham bir xil, ham ekvivalent ishlatiladi. Ushbu qoida, shuningdek, uchinchisi kabi og'irroq vazifalarga ham tegishli.

Birinchi bosqichning maqsadi eng oddiy tenglamalarni tezda yechish, funktsiyalarni aniqlaydigan formulalarni soddalashtirish va harakatlar xususiyatlariga asoslangan hisob-kitoblarni oqilona bajarishga o'rgatishdir.

tit. Muayyan turdagi transformatsiyalardan foydalanish ko'nikmalarini shakllantirishII egilish Aynilik va bir xil transformatsiya tushunchalari 7-sinf kursida aniq kiritiladi.Masalan, Yu.N.Makarychevning “Algebra 7” darsligida bir xil teng iboralar tushunchasi kiritilgan: “Muvofiq qiymatlari boʻlgan ikkita ifoda. har qanday qiymatlar o'zgaruvchilari uchun teng, splash xuddi shunday teng" keyin identifikatsiya tushunchasi: "O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun juftlangan tenglik deyiladi. shaxs."

11 ta misol keltirilgan:

Darslikda A.G. Mordkovich "Algebra 7" darhol o'ziga xoslikning aniq kontseptsiyasini taqdim etadi: "Identifikatsiya- bu tenglik, haqiqat har qanday maqbul uchun uning tarkibiga kiritilgan o'zgaruvchilarning qiymatlari."

Identifikatsiyani o'zgartirish kontseptsiyasini joriy qilishda, birinchi navbatda, shaxsning o'zgarishini o'rganishning maqsadga muvofiqligidan voz kechish kerak. Buning uchun iboralarning ma'nosini topish uchun turli mashqlarni ko'rib chiqishingiz mumkin.

liiiipiiMep, 37.1x + 37.ly ifoda qiymatini toping. X= 0,98, y = 0,02. Ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalanib, 37.1l + 37.1 ifodasi da 37.1(x +) ifodasi bilan ifodalanishi mumkin y), xuddi shunga teng. Bundan ham ko'proq og'riqli qurt 1 quyidagi mashqning yechimi: ifoda qiymatini toping

()-(a-6)_ p r i. a) d = z > ^ = 2; b) A = 121, Kommersant - 38; c) a = 2,52, b= 1 -.

ab 9

11 Amalga oshirilgan o'zgarishlardan so'ng, ushbu ifodaning qiymatlari to'plami bitta 4 raqamidan iborat ekanligi ma'lum bo'ldi.

Yu.N.Makarychevning “Algebra 7” darsligida identifikatorni o‘zgartirish tushunchasini kiritish misolni ko‘rib chiqish bilan asoslanadi: “Xy ifodasining qiymatini x = 2,3 da topish; y = 0,8; z = 0.2, siz 3 bosqichni bajarishingiz kerak: xy - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11Kuronian algebrasi va tahlil tamoyillariga xos bo'lgan o'zgartirishning bir turini ta'kidlash joiz. Bu iboralarni o'z ichiga olgan transformatsiyalardir oldingi o'tishlar, Va farqlash va integratsiya qoidalariga asoslangan transformatsiyalar. Ushbu "analitik" transformatsiyalar va "algebraik" o'zgarishlar o'rtasidagi asosiy farq o'zgaruvchilar identifikatsiyalar orqali o'tadigan to'plamning tabiatidir. Algebraik identifikatsiyalarda o'zgaruvchilar oralig'i raqamli maydonlar analitik to‘plamlarda esa bu to‘plamlar aniqlanadi ko'p funktsiyalar. Masalan, differensial yig'indi qoidasi: (Z"+g)" bu yerda/va to'plam bo'ylab o'tadigan g-o'zgaruvchilar

I I lekin ta'rifning umumiy sohasi bilan differentsiallanuvchi funktsiyalar. Tashqi tomondan, bu o'zgarishlar algebraik turdagi transformatsiyalarga o'xshaydi, shuning uchun ular ba'zan "chegaralar algebrasi", "differensiallanish algebrasi" deb ham aytiladi.

Maktab algebrasi kursida o'rganiladigan o'ziga xosliklar va algebra kursining algebraik materiali va tahlil boshlanishiga bo'linishi mumkin. ikki sinf.

Birinchisi qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlaridan iborat, adolatli

aw v.

iiioGom kommutativ halqasi va identifikatsiyalari - =-,a* 0, har qanday holatda adolatli

Ohm maydoni.

Ikkinchi sinf arifmetik ifodalar va asosiy elementar funktsiyalarni bog'laydigan identifikatsiyalar, shuningdek, elementar kompozitsiyalardan iborat.Hixfunktsiyalari. Bu sinfdagi aksar identifikatsiyalar ham umumiy matematik asosga ega, ya'ni kuch, ko'rsatkichli va logarifmik funksiyalar turli son guruhlari izomorfizmlaridir. Masalan, bayonot shunday bo'ladi: haqiqiy sonlarning musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ guruhiga qo'shimchalar guruhining noyob uzluksiz izomorf xaritasi mavjud bo'lib, uning ostida birlik ma'lum bir raqam bilan taqqoslanadi. a> 0, a F 1; bu xaritalash bazaga ega minus funksiya bilan beriladi A:/(X)= A. Xuddi shunday iboralar kuch va logarifmik funksiyalar uchun ham mavjud.

Ikkala sinfning o'ziga xosligini o'rganish metodologiyasi ko'plab umumiy xususiyatlarga ega. Umuman olganda, maktab matematika kursida o'rganiladigan shaxsiyat o'zgarishlariga quyidagilar kiradi:

radikallar va darajalarni kasr ko'rsatkichlari bilan o'z ichiga olgan ifodalarni o'zgartirish;

chegaraga o'tishlari bo'lgan iboralarni o'zgartirish va differensiallik va integrasiya qoidalariga asoslangan transformatsiyalar.

Ushbu natijani faqat ikkita amalni bajarish orqali olish mumkin - agar siz ifodadan foydalansangiz x (y-z), ifodaga bir xilda teng xy-xz: x(y-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Biz ifodani almashtirish orqali hisob-kitoblarni soddalashtirdik xy-xz bir xil teng ifoda x(y - z).

Bir ifodani boshqa bir xil teng ifoda bilan almashtirish deyiladi bir xil transformatsiya yoki oddiygina ifodani o'zgartirish".

Ushbu bosqichda har xil turdagi o'zgarishlarni o'zlashtirish qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini kiritishdan boshlanadi. Keyin ko'rsatkichlar operatsiyasi bilan bog'liq bo'lgan o'zgarishlar elementar funktsiyalarning turli sinflari bilan ko'rib chiqiladi - eksponentsial, kuch, logarifmik, trigonometrik. Ushbu turdagi transformatsiyalarning har biri o'rganish bosqichidan o'tadi, bunda diqqat ularning xarakterli xususiyatlarini o'zlashtirishga qaratilgan.

Materiallar to'planishi bilan bir xil va ekvivalent o'zgarishlar tushunchalarini aniqlash va shu asosda kiritish mumkin bo'ladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, o'ziga xoslikni o'zgartirish tushunchasi maktab algebrasi kursida to'liq umumiylikda emas, balki faqat ifodalarga qo'llaniladi. Transformatsiyalar ikki sinfga bo'linadi: identifikatsiya o'zgarishlari ifodalarning transformatsiyalari va ekvivalent - formulalarni o'zgartirish. Formulaning bir qismini soddalashtirish zarurati tug'ilganda, ushbu formulada identifikatsiyani qo'llash uchun argument bo'lib xizmat qiladigan ifoda ajratiladi. Masalan, tenglamalar 5x - 3x - 2 va 2x = 2 Ular nafaqat ekvivalent, balki bir xil deb hisoblanadi.

Algebra darsliklarida Sh.A. Alimova va boshqalar tomonidan 7-8-sinflarda o‘ziga xoslik tushunchasi aniq kiritilmagan va faqat 9-sinfda “Trigonometrik o‘xshashliklar” mavzusida 1-masalani yechishda: “Isbotlang, qachon afkk, Kimga < eZ , 1 + karyola 2 a = -\- tengligi to'g'ri" bu tushuncha kiritilgan. Bu yerda o‘quvchilarga bu gunoh tushuntiriladi A

belgilangan tenglik "hamma uchun adolatli" qabul qilinadigan qiymatlar va ular. uning chap va o'ng qismlari mantiqiy bo'lishi uchun. Bunday tengliklar deyiladi identifikatsiyalar, Bunday tenglikni isbotlash masalalari esa shaxsni isbotlash masalalari deb ataladi”.

III bosqich. Transformatsiyalar (sintez)ning yaxlit tizimini tashkil etish.

Ushbu bosqichning asosiy maqsadi turli xil o'quv vazifalarini hal qilishda foydalanish uchun mos keladigan moslashuvchan va kuchli apparatni shakllantirishdir.

Transformatsiyalarni o'rganishning ikkinchi bosqichini qo'llash asosiy maktabning butun algebra kursida sodir bo'ladi. Uchinchi bosqichga o'tish o'zgarishlarning alohida turlari bo'yicha qismlarga bo'lib o'rganilgan allaqachon ma'lum bo'lgan materialni tushunish jarayonida kursni yakuniy takrorlash paytida amalga oshiriladi.

Algebra kursida va tahlilning boshlanishida, asosan allaqachon shakllangan o'zgarishlarning yaxlit tizimi asta-sekin takomillashishda davom etmoqda. Unga ba'zi yangi o'zgarishlar turlari ham qo'shiladi (masalan, trigonometrik va logarifmik funktsiyalar bilan bog'liq), lekin ular faqat uni boyitadi, imkoniyatlarini kengaytiradi, lekin tuzilishini o'zgartirmaydi.

Ushbu yangi o'zgarishlarni o'rganish metodologiyasi algebra kursida qo'llaniladigan usuldan deyarli farq qilmaydi.

Algebra kurenlari va tahlil tamoyillariga xos bo'lgan bir turdagi o'zgarishlarni qayd etish lozim. Bu iboralarni o'z ichiga olgan transformatsiyalardir o'tish joylarini cheklash, Va farqlash va integratsiya qoidalariga asoslangan transformatsiyalar. Ushbu "analitik" o'zgarishlar va "algebraik" o'zgarishlar o'rtasidagi asosiy farq identifikatsiyadagi o'zgaruvchilar ishlaydigan to'plamning tabiatidir. Algebraik identifikatsiyalarda o'zgaruvchilar oralig'i raqamli maydonlar va analitikda bu to'plamlar aniq ko'p funktsiyalar. Masalan, summani farqlash qoidasi: ( f + g )" = f + g "; Bu yerga fug - umumiy ta'rif sohasiga ega bo'lgan bir nechta, ammo differentsial bo'ladigan funktsiyalar orqali ishlaydigan o'zgaruvchilar. Tashqi tomondan, bu o'zgarishlar algebraik turdagi transformatsiyalarga o'xshaydi, shuning uchun ular ba'zan "chegaralar algebrasi", "differensiallanish algebrasi" deb ham aytiladi.

Maktab algebrasi kursida o'rganiladigan o'ziga xosliklar va algebra kursining algebraik materiali va tahlil boshlanishiga bo'linishi mumkin. ikki sinf.

Birinchisi qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlaridan iborat, adolatli

har qanday kommutativ halqa va identifikatsiyalar - = -,a*0, har qandayida amal qiladi

bilan ac

Ikkinchi sinf arifmetik amallar va asosiy elementar funktsiyalarni, shuningdek, elementar funksiyalarning kompozitsiyalarini bog'laydigan identifikatsiyalar orqali hosil bo'ladi. Bu sinfning ko'pgina identifikatorlari ham umumiy matematik asosga ega, ya'ni kuch, eksponensial va logarifmik funktsiyalar turli son guruhlarining izomorfizmlaridir. Misol uchun, quyidagi bayonot amal qiladi: haqiqiy sonlarning musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ guruhiga qo'shilish guruhining yagona uzluksiz izomorf xaritalashi mavjud bo'lib, uning ostida bitta raqam berilgan raqam bilan taqqoslanadi. a> 0, a F 1; bu xaritalash i asosli eksponensial funktsiya tomonidan berilgan: / (x) = a*. Xuddi shunday iboralar kuch va logarifmik funksiyalar uchun ham mavjud.

Ikkala sinfning o'ziga xosligini o'rganish metodologiyasi ko'plab umumiy xususiyatlarga ega. Umuman olganda, maktab matematika kursida o'rganiladigan shaxsiyat o'zgarishlariga quyidagilar kiradi:

algebraik ifodalarni o'zgartirishlar;

radikallar va darajalarni kasr ko'rsatkichlari bilan o'z ichiga olgan ifodalarni o'zgartirish;

trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish;

darajalar va logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalarni aylantirish;

chegaraga o'tishlarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirish va differensiatsiya va integratsiya qoidalariga asoslangan transformatsiyalar.

2. Shaxs o'zgarishlarini o'rganishda vazifalar tizimini tashkil etish xususiyatlari

Har qanday vazifalar tizimini tashkil etishning asosiy printsipi ularning taqdimotidir oddiydan murakkabga talabalarning amalga oshirilishi mumkin bo'lgan qiyinchiliklarni bartaraf etish va yaratish zarurligini hisobga olgan holda muammoli vaziyatlar. Ushbu asosiy tamoyil ushbu o'quv materialining xususiyatlariga nisbatan spetsifikatsiyani talab qiladi. Mavzu bo'yicha mashqlar tizimiga misol keltiramiz: “Yig'indi kvadrati va

ikki raqamning farqi."

Mashqlarning asosiy tizimi shu erda tugaydi. Bunday tizim asosiy materialni assimilyatsiya qilishni ta'minlashi kerak.

Quyidagi mashqlar (17-19) o'quvchilar e'tiborini odatiy xatolarga qaratishga imkon beradi va qiziqish va ijodiy qobiliyatlarini rivojlantirishga hissa qo'shadi.

Har bir aniq holatda, tizimdagi mashqlar soni kamroq yoki ko'proq bo'lishi mumkin, ammo ularni amalga oshirish ketma-ketligi bir xil bo'lishi kerak.

Matematik usullarda turli xil vazifalar tizimini tavsiflash uchun boshqa tushuncha qo'llaniladi: mashqlar tsikli. Mashqlar sikli o'rganishning bir necha jihatlari va materialni tartibga solish usullari mashqlar ketma-ketligiga birlashtirilganligi bilan tavsiflanadi. Shaxsning o'zgarishi bilan bog'liq holda, tsikl g'oyasini quyidagicha berish mumkin.

Mashqlarning 11-sikl bir o'ziga xoslikni o'rganish bilan bog'liq bo'lib, uning atrofida u bilan tabiiy aloqada bo'lgan boshqa o'ziga xosliklar birlashtirilgan. Bilan birga "loop stop ijrochi talab qiladigan vazifalarni o‘z ichiga oladi tanib olish< ii ichida ko'rib chiqilayotgan shaxsning qo'llanilishi ham. O'rganilayotgan identifikator turli raqamli domenlarda hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ishlatiladi.

Har bir tsikldagi vazifalar quyidagilarga bo'linadi ikki guruh. TO birinchi Bularga shaxs bilan dastlabki tanishish vaqtida bajariladigan vazifalar kiradi. Ular bir mavzu bilan birlashtirilgan bir nechta darslarda bajariladi. Ikkinchi guruh mashqlar o'rganilayotgan shaxsni turli ilovalar bilan bog'laydi. Ushbu guruhdagi mashqlar odatda turli mavzularda tarqalgan.

Ta'riflangan tsikl tuzilishi o'zgarishlarning muayyan turlarini qo'llash bo'yicha ko'nikmalarni rivojlantirish bosqichini anglatadi. Yakuniy bosqichda - (Tane sintezi), tsikllar o'zgartiriladi. Birinchidan, shdapii ikkala guruhi birlashib, hosil qiladi "o'chirilgan" tsikl , va birinchi guruhdan so'z tuzilishi yoki yozishning murakkabligi jihatidan eng oddiylari chiqarib tashlanadi. Qolgan turdagi vazifalar yanada murakkablashadi. Ikkinchidan, turli xil identifikatsiyalar bilan bog'liq bo'lgan davrlarning birlashishi mavjud va shuning uchun muayyan identifikatsiyaning qo'llanilishini tan olish uchun harakatlarning roli oshadi.

Keling, tsiklning aniq misolini ko'rib chiqaylik.

Misol. X identifikatsiyasi uchun vazifalar tsikli -y 2 = (x-y)(x + y).

Ushbu tsiklning birinchi guruhi vazifalari quyidagicha yakunlanadi:

joriy sharoitlar. Talabalar identifikatsiyaning formulasi bilan (aniqrog'i ikkita formula bilan tanishdilar: "Ikki ifodaning kvadratlari ayirmasi yig'indining ko'paytmasiga va bu iboralarning ayirmasiga teng" va "Yig'inning mahsuloti". va ikki ifodaning farqi bu ifodalarning kvadratlari ayirmasiga teng”), uning formula shaklida qayd etilishi va isboti . Quyida ushbu identifikatsiyaga asoslangan transformatsiyadan foydalanishning bir nechta misollari keltirilgan. Nihoyat, talabalar mustaqil ravishda mashqlarni bajarishga kirishadilar.

Birinchi guruh vazifalari

Ikkinchi guruh vazifalari

(Har bir guruhning vazifalari multimedia proyektori yordamida talabalarga taqdim etilishi mumkin)

Keling, ushbu vazifa turlari tizimini uslubiy tahlil qilaylik.

a0 vazifasi o'rganilayotgan shaxsning tuzilishini tuzatishga qaratilgan. Bunga harflarni almashtirish orqali erishiladi (x va y) shaxsni boshqa harflar bilan yozishda. Ushbu turdagi vazifalar og'zaki ifoda va shaxsning ramziy shakli o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlashtirishga imkon beradi.

Vazifa a 2) bu o'ziga xoslik va sonlar tizimi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatishga qaratilgan. Bu erda o'zgartirilayotgan ibora sof harfli emas, balki harf-raqamli. Amalga oshirilgan harakatlarni tavsiflash uchun kontseptsiyadan foydalanish kerak almashtirish identifikatsiyadagi harflar soni. Qobiliyatni rivojlantirish

almashtirish amalini qo'llash va uni tushunishni chuqurlashtirish d 2) turdagi vazifalarni bajarishda I gm amalga oshiriladi.

Shaxsni o'zlashtirishning keyingi bosqichi a) topshirig'ida tasvirlangan. Bu vazifada transformatsiya uchun taklif qilingan ifoda kvadratchalar shakliga ega emas; transformatsiya faqat qachon mumkin bo'ladi ... h(chp1k 121 raqamini sonning kvadrati sifatida ifodalash mumkinligini payqaydi. Shunday qilib, Priyum, bu vazifa bir qadamda emas, ikki bosqichda bajariladi: bo'lakdaiiiu kamaytirish imkoniyati yuzaga keladi berilgan ifoda kvadratlar farqiga, ikkinchisida identifikator yordamida transformatsiya amalga oshiriladi.

Shaxsni o'zlashtirishning birinchi bosqichlarida har bir bosqich qayd etiladi:

I " I /s 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + Kimga), kelajakda ba'zi tanib olish operatsiyalari o'quvchilar tomonidan og'zaki bajariladi.

dd misolida bu o'ziga xoslik va monomiallar bilan harakatlar bilan bog'liq bo'lgan boshqalar o'rtasida aloqa o'rnatish talab qilinadi; d 3) kvadratlar farqi uchun identifikatsiya ikki marta qo'llanilishi kerak; g) talabalar irratsional sonlar maydoniga kirib, ma'lum bir psixologik to'siqni engib o'tishlari kerak.

b) tipidagi vazifalar ishni almashtirish ko'nikmalarini rivojlantirishga qaratilgan (,v - y)(x + y) farq bilan X 2 - y 2 . Xuddi shunday rolni c) tipidagi vazifalar bajaradi. d) tipidagi misollarda transformatsiyalar yo`nalishlaridan birini tanlash talab qilinadi.

Umuman olganda, birinchi guruhning vazifalari shaxsning tuzilishini o'zlashtirishga, eng oddiy va eng muhim holatlarda almashtirish operatsiyasiga va o'ziga xoslik tomonidan amalga oshiriladigan o'zgarishlarning qaytarilishi g'oyasiga qaratilgan.

Birinchi |ni ko'rib chiqishda biz aniqlagan asosiy xususiyatlar va maqsadlar tsikl vazifalari xarobalari, identifikatsiyadan foydalanish süngülerini tashkil etuvchi mashqlar har qanday tsikliga murojaat qiling. Har qanday yangi kiritilgan identifikatsiya uchun tsikldagi vazifalar guruhi bu erda tasvirlangan xususiyatlarni saqlab qolishi kerak; farqlar faqat vazifalar sonida bo'lishi mumkin.

1 Tsikldagi ikkinchi vazifalar guruhi, birinchisidan farqli o'laroq, ushbu o'ziga xoslikning o'ziga xos xususiyatlarini maksimal darajada ishlatish va hisobga olishga qaratilgan. Ushbu guruhning vazifalari kvadratlarning farqlari uchun identifikatsiyadan foydalanish ko'nikmalari allaqachon ishlab chiqilganligini taxmin qiladi (eng oddiy hollarda); tspi, bu guruhning vazifalari - matematika kursining boshqa mavzulari bilan bog'liq materiallardan foydalanish bilan birgalikda uning turli vaziyatlarda turli xil qo'llanilishini ko'rib chiqish orqali o'ziga xoslikni tushunishni chuqurlashtirish.

l vazifaning yechimini ko'rib chiqamiz):

x 3 - 4x = 15 o x 3 - 9x = 15 - 5x o x(x~3)(x + 3) = 5(3 - x) ox = 3 yoki \{\ 1-3) = -5. Tenglama x(x + 3) = -5 haqiqiy ildizlar ega emas, shuning uchun \ 3 - tenglamaning yagona ildizi.

Ko'ramizki, kvadratlar farqi uchun identifikatsiyadan foydalanish o'zgarishlarni amalga oshirishning etakchi g'oyasi bo'lgan misol yechimining bir qismidir.

Uchun identifikatsiyalar bilan bog'liq vazifalar davrlari elementar funktsiyalar, o'ziga xos xususiyatlarga ega, buning sababi shundaki, Birinchidan. Tegishli identifikatsiyalar funktsional materialni o'rganish bilan bog'liq holda o'rganiladi va, /va>-“touykh, ular birinchi guruh o'ziga xosliklaridan kechroq paydo bo'ladi va ular bilan o'rganiladi

bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish uchun allaqachon shakllangan ko'nikmalardan foydalanish. Elementar funktsiyalar bilan bog'liq bo'lgan identifikatsiya o'zgarishlaridan foydalanishning muhim qismi irratsional va transsendental tenglamalarni hal qilishga to'g'ri keladi. Shaxslarni assimilyatsiya qilish bilan bog'liq tsikllar faqat eng ko'plarini o'z ichiga oladi oddiy tenglamalar, lekin allaqachon bu erda bunday tenglamalarni yechish usulini o'zlashtirish ustida ishlash tavsiya etiladi: noma'lumni algebraik tenglama bilan almashtirish orqali uni kamaytirish.

Ushbu yechim uchun qadamlar ketma-ketligi quyidagicha:

a) funksiyani toping<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

b) almashtirishni amalga oshirish da= sr(x) va F(y) = 0 tenglamani yeching;

v) tenglamalarning har birini yechish <р(х) = Qayerda (y k ) - F(y) = 0 tenglamaning ildizlar to‘plami.

Elementar funktsiyalarga ega bo'lgan identifikatsiyalarni o'rganishda e'tiborga olinishi kerak bo'lgan yangi masala - bu ta'rif sohasini ko'rib chiqish. Mana uchta vazifaga misollar:

a) y = 4 log 2 x funksiyaning grafigini tuzing.

b) log tenglamani yeching X + log(x - 3) = 1.

c) log (x - 5) + log (x + 5) = log ( log (x - 5) formulasi qaysi to'plamda joylashgan. X 2 - 25) o'ziga xoslikmi?

A) masalani yechishda o‘quvchilar yo‘l qo‘yadigan odatiy xato bu tenglikdan foydalanishdir A Shartni hisobga olmagan holda 1-chi Kommersant > 0. Bunda, oxir-oqibat, kerakli grafik to'g'ri javob o'rniga parabola ko'rinishiga ega bo'lib chiqadi - parabolaning o'ng filiali. b) topshiriqda funksiyalarni aniqlash sohalarini hisobga olish zarur bo'lganda tenglamalar va tengsizliklarning murakkab tizimlarini olish manbalaridan biri, v) topshiriq esa tayyorgarlik mashg'uloti sifatida xizmat qilishi mumkin bo'lgan mashqni ko'rsatadi.

Bu vazifalarni birlashtirgan g'oya - funksiyani aniqlash sohasini o'rganish zarurati - tashqi ko'rinishda heterojen bo'lgan bunday vazifalarni solishtirish orqaligina ochib berilishi mumkin. Bu fikrning matematika uchun ahamiyati juda katta. U bir nechta mashqlar tsikllari uchun asos bo'lib xizmat qilishi mumkin - elementar funktsiyalarning har bir sinfi uchun.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, maktabda shaxsiyatning o'zgarishini o'rganish katta ahamiyatga ega tarbiyaviy ahamiyatga ega. Ba'zi hisob-kitoblarni amalga oshirish, hisob-kitoblarni amalga oshirish va ob'ektni uzoq vaqt davomida diqqat bilan kuzatib borish qobiliyati turli xil kasb egalari uchun, ular aqliy yoki jismoniy mehnat sohasida ishlashidan qat'i nazar, zarurdir. "Ifodalarning bir xil o'zgarishlari" bo'limining o'ziga xosligi shundaki, u talabalarga ushbu muhim kasbiy ahamiyatga ega bo'lgan ko'nikmalarni rivojlantirish uchun keng imkoniyatlar ochadi.

Ular algebrada amallar va ularning xossalarini o'rganish bilan bir qatorda, kabi tushunchalarni ham o'rganadilar ifoda, tenglama, tengsizlik . Ular bilan dastlabki tanishish boshlang'ich matematika kursida sodir bo'ladi. Ular, qoida tariqasida, qat'iy ta'riflarsiz, ko'pincha g'ayrioddiy tarzda kiritiladi, bu o'qituvchidan nafaqat ushbu tushunchalarni bildiruvchi atamalardan foydalanishda juda ehtiyot bo'lishni, balki ularning bir qator xususiyatlarini bilishni ham talab qiladi. Shuning uchun ushbu bo'limdagi materialni o'rganishni boshlashda oldimizga qo'yadigan asosiy vazifamiz ifodalar (sonli va o'zgaruvchilar bilan), sonli tengliklar va sonli tengsizliklar, tenglamalar va tengsizliklar haqidagi bilimlarni aniqlashtirish va chuqurlashtirishdir.

Ushbu tushunchalarni o'rganish matematik tildan foydalanish bilan bog'liq bo'lib, u yoki bu fan bilan birga yaratilgan va ishlab chiqilgan sun'iy tillarni anglatadi. Boshqa har qanday matematik til kabi uning o'z alifbosi bor. Kursimizda algebra va arifmetika o'rtasidagi munosabatlarga ko'proq e'tibor berish zarurligi sababli qisman taqdim etiladi. Ushbu alifbo quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlari; ularning yordami bilan raqamlar maxsus qoidalarga muvofiq yoziladi;

2) operatsiya belgilari +, -, , :;

3) munosabatlar belgilari<, >, =, M;

4) lotin alifbosining kichik harflari, ular raqamlarni belgilash uchun ishlatiladi;

5) qavslar (yumaloq, jingalak va boshqalar), ular texnik belgilar deb ataladi.

Bu alifbodan foydalanib, algebrada so'zlar hosil bo'lib, ularni ifodalar deb ataydi va so'zlardan - sonli tengliklar, sonli tengsizliklar, tenglamalar, o'zgaruvchilar bilan tengsizliklar - jumlalar olinadi.

Ma'lumki, 3 + 7, 24: 8, 3 yozuvlari × 2 - 4, (25 + 3)× 2 -17 chaqiriladi raqamli ifodalar. Ular raqamlar, harakat belgilari va qavslardan tuzilgan. Agar biz ifodada ko'rsatilgan barcha amallarni bajarsak, biz chaqirilgan raqamni olamiz raqamli ifodaning qiymati . Demak, sonli ifodaning qiymati 3 ga teng × 2 - 4 2 ga teng.

Qiymatlarini topib bo'lmaydigan raqamli iboralar mavjud. Bunday iboralar haqida ular aytadilar mantiqiy emas .

Masalan, ifoda 8: (4 - 4) mantiqiy emas, chunki uning qiymatini topib bo'lmaydi: 4 - 4 = 0 va nolga bo'linib bo'lmaydi. 7-9 iborasi ham natural sonlar to'plamida ko'rib chiqilsa, mantiqiy bo'lmaydi, chunki 7-9 ifodaning ma'nosini bu to'plamda topib bo'lmaydi.

2a + 3 yozuvini ko'rib chiqing. U raqamlar, harakat belgilari va a harfidan tuzilgan. Agar siz a o'rniga raqamlarni qo'ysangiz, siz turli xil raqamli ifodalarni olasiz:

a = 7 bo'lsa, u holda 2 × 7 + 3;

a = 0 bo'lsa, u holda 2 × 0 + 3;

a = - 4 bo'lsa, u holda 2 × (- 4) + 3.

2a + 3 yozuvida bunday harf deyiladi o'zgaruvchan , va yozuvning o'zi 2a + 3 - o'zgaruvchi bilan ifoda.

Matematikadagi o'zgaruvchi odatda lotin alifbosining har qanday kichik harfi bilan belgilanadi. Boshlang'ich maktabda o'zgaruvchini belgilash uchun harflardan tashqari boshqa belgilar ham qo'llaniladi, masalan. Keyin o'zgaruvchiga ega ifoda quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: 2 × + 3.

O'zgaruvchiga ega bo'lgan har bir ifoda raqamlar to'plamiga mos keladi, ularning almashtirilishi mantiqiy raqamli ifoda hosil qiladi. Ushbu to'plam deyiladi ifoda doirasi .

Masalan, 5 ifodasini aniqlash sohasi: (x - 7) 7 raqamidan tashqari barcha haqiqiy sonlardan iborat, chunki x = 7 da 5: (7 - 7) ifodasi mantiqiy emas.

Matematikada bir, ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifodalar ko'rib chiqiladi.

Masalan, 2a + 3 - bitta o'zgaruvchiga ega ifoda va (3x + 8y) × 2 - uchta o'zgaruvchiga ega ifoda. Uch o'zgaruvchiga ega bo'lgan ifodadan raqamli ifodani olish uchun har bir o'zgaruvchi o'rniga ifodaning aniqlanish sohasiga tegishli raqamlarni almashtirish kerak.

Shunday qilib, biz matematik til alifbosidan sonli ifodalar va o‘zgaruvchili ifodalar qanday hosil bo‘lishini aniqladik. Agar biz rus tiliga o'xshashlik qilsak, iboralar matematik tilning so'zlaridir.

Ammo, matematik tilning alifbosidan foydalanib, bunday yozuvlarni shakllantirish mumkin, masalan: (3 + 2)) - × 12 yoki 3x – y: +)8, uni na sonli ifoda, na o‘zgaruvchili ifoda deb atash mumkin emas. Bu misollar shuni ko'rsatadiki, matematik til alifbosining qaysi belgilari sonli va o'zgaruvchan ifodalarni shakllantirish uchun ishlatilishini tavsiflash bu tushunchalarning ta'rifi emas. Raqamli ifodaning ta'rifini beraylik (o'zgaruvchilari bo'lgan ifoda xuddi shunday aniqlanadi).

Ta'rif.Agar f va q sonli ifodalar bo'lsa, u holda (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) - sonli ifodalar. Har bir raqam sonli ifoda hisoblanadi.

Agar biz ushbu ta'rifga aniq amal qilsak, biz juda ko'p qavs yozishimiz kerak edi, masalan, (7) + (5) yoki (6): (2). Belgilanishni qisqartirish uchun bir nechta ifoda qo'shilsa yoki ayirilsa va bu amallar chapdan o'ngga bajarilsa, qavs yozmaslikka kelishib oldik. Xuddi shunday, bir nechta sonlarni ko'paytirish yoki bo'lishda qavs yozilmaydi va bu amallar chapdan o'ngga tartibda bajariladi.

Masalan, ular shunday yozadilar: 37 – 12 + 62 - 17+13 yoki 120:15-7:12.

Bundan tashqari, birinchi navbatda ikkinchi bosqich (ko'paytirish va bo'lish), keyin esa birinchi bosqich (qo'shish va ayirish) amallarini bajarishga kelishib oldik. Shuning uchun (12-4:3) + (5-8:2-7) ifodasi quyidagicha yoziladi: 12 – 4: 3 + 5 – 8: 2 - 7.

Vazifa. x = 6 uchun 3x (x - 2) + 4 (x - 2) ifodaning qiymatini toping.

Yechim

1 yo'l. Bu ifodadagi o‘zgaruvchi o‘rniga 6 raqamini qo‘yaylik: 3 × 6-(6 - 2) + 4×(6 - 2). Olingan raqamli ifodaning qiymatini topish uchun biz ko'rsatilgan barcha amallarni bajaramiz: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Shuning uchun , qachon X= 6 3x (x-2) + 4(x-2) ifodaning qiymati 88 ga teng.

2-usul. Ushbu ifodaga 6 raqamini almashtirishdan oldin uni soddalashtiramiz: 3x (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2)(3x + 4). Va keyin, o'rniga natijada ifodani almashtiring X 6 raqami, quyidagi amallarni bajaring: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4× (18 + 4) = 4×22 = 88.

Quyidagilarga e'tibor qarataylik: masalani yechishning birinchi usulida ham, ikkinchisida ham bir ifodani boshqasiga almashtirdik.

Masalan, 18×4 + 4×4 ifodasi 72+16 ifodasi, 3x (x - 2) + 4(x - 2) ifodasi - ifoda bilan almashtirildi. (X - 2)(3x + 4) va bu almashtirishlar bir xil natijaga olib keldi. Matematikada berilgan masalaning yechimini tasvirlashda biz shunday qildik, deyishadi identifikatsiya o'zgarishlari ifodalar.

Ta'rif.Ikki ifoda bir xil teng deyiladi, agar ifodalarni aniqlash sohasidagi o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun ularning mos keladigan qiymatlari teng bo'lsa.

Bir xil teng ifodalarga 5(x + 2) va ifodalarni misol qilib keltirish mumkin 5x+ 10, chunki har qanday haqiqiy qiymatlar uchun X ularning qiymatlari tengdir.

Agar ma'lum bir to'plamdagi ikkita bir xil teng iborani teng belgi bilan bog'lasak, deyilgan gapni olamiz shaxs ushbu to'plamda.

Masalan, 5(x + 2) = 5x + 10 haqiqiy sonlar to'plamidagi identifikatsiyadir, chunki barcha haqiqiy sonlar uchun 5(x + 2) va 5x + 10 ifodalarining qiymatlari bir xil. Umumiy kvantlovchining yozuvidan foydalanib, bu tenglikni quyidagicha yozish mumkin: (" x O R) 5(x + 2) = 5x + 10. Haqiqiy son tengliklari ham birlik deb hisoblanadi.

Ayrim to'plamdagi ifodani unga teng bo'lgan boshqasi bilan almashtirish deyiladi ushbu to'plamda berilgan ifodaning bir xil o'zgarishi.

Shunday qilib, 5(x + 2) ifodasini bir xil teng 5x + 10 ifodasi bilan almashtirib, biz birinchi ifodani bir xil o'zgartirishni amalga oshirdik. Ammo ikkita ibora berilganda, ular bir xil yoki teng emasligini qanday aniqlash mumkin? O'zgaruvchilar uchun ma'lum raqamlarni qo'yish orqali ifodalarning mos qiymatlarini toping? Bu uzoq vaqt talab etadi va har doim ham mumkin emas. Ammo iboralarni bir xil o'zgartirishni amalga oshirishda qanday qoidalarga rioya qilish kerak? Ushbu qoidalarning ko'pchiligi bor, ular orasida algebraik operatsiyalarning xususiyatlari mavjud.

Vazifa. ax - bx + ab - b 2 ifodasini ko'paytiring.

Yechim. Bu ifodaning hadlarini ikkitaga guruhlaymiz (birinchisi ikkinchisi, uchinchisi to‘rtinchisi bilan): ax - bx+ ab - b 2 = (ax-bx)+(ab-b 2). Bu o'zgartirish haqiqiy sonlarni qo'shishning assotsiativ xususiyatiga asoslangan holda mumkin.

Olingan ifodadagi har bir qavsdan umumiy koeffitsientni chiqaramiz: (ax - bx) + (ab - b 2) = x(a - b) + b(a - b) - bu transformatsiya taqsimotga asoslangan holda mumkin. haqiqiy sonlarni ayirishga nisbatan ko‘paytirish xossasi.

Hosil boʻlgan ifodada atamalar umumiy koʻrsatkichga ega boʻlib, uni qavs ichidan chiqaramiz: x(a - b) + b(a - b) = (a - b)(x - b). Amalga oshirilgan o'zgartirishning asosi - qo'shishga nisbatan ko'paytirishning distributiv xususiyati.

Demak, ax - bx + ab - b 2 = (a - b)(x -b) .

Matematikaning boshlang'ich kursida, qoida tariqasida, faqat sonli ifodalarni bir xil o'zgartirishlar amalga oshiriladi. Bunday o‘zgartirishlarning nazariy asosini qo‘shish va ko‘paytirish xossalari, turli qoidalar tashkil etadi: songa yig‘indini, yig‘indiga sonni qo‘shish, yig‘indidan sonni ayirish va hokazo.

Masalan 35 × 4 mahsulotini topish uchun siz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Amalga oshirilgan o'zgartirishlar quyidagilarga asoslanadi: ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanish xususiyati; o'nlik sanoq sistemasida sonlarni yozish printsipi (35 = 30 + 5); natural sonlarni ko'paytirish va qo'shish qoidalari.

Ikki algebraik ifoda berilsin:

Keling, x harfining turli raqamli qiymatlari uchun ushbu ifodalarning har birining qiymatlari jadvalini tuzamiz.

Ko'ramizki, x harfiga berilgan barcha qiymatlar uchun ikkala iboraning ma'nolari teng bo'lib chiqdi. X ning boshqa har qanday qiymati uchun ham xuddi shunday bo'ladi.

Buni tekshirish uchun birinchi ifodani o'zgartiramiz. Tarqatish qonuniga asoslanib, biz yozamiz:

Raqamlarda ko'rsatilgan amallarni bajarib, biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, birinchi ifoda, uni soddalashtirgandan so'ng, ikkinchi ifoda bilan aynan bir xil bo'lib chiqdi.

Endi x ning har qanday qiymati uchun ikkala ifodaning qiymatlari teng ekanligi aniq.

Ularga kiritilgan harflarning har qanday qiymatlari uchun qiymatlari teng bo'lgan iboralar bir xil yoki bir xil deb ataladi.

Bu ularning bir xil iboralar ekanligini anglatadi.

Keling, bitta muhim eslatmani aytaylik. Keling, iboralarni olaylik:

Oldingi jadvalga o'xshash jadvalni tuzib, biz har ikkala ifoda x ning istalgan qiymati uchun teng raqamli qiymatlarga ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Faqat ikkinchi ifoda 6 ga teng bo'lganda va birinchisi o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki maxraj nolga aylanadi. (Yodda tutingki, siz nolga bo'la olmaysiz.) Bu ifodalarni bir xil deb ayta olamizmi?

Biz ilgari har bir iborani faqat qabul qilinadigan harf qiymatlari uchun, ya'ni ifoda o'z ma'nosini yo'qotmaydigan qiymatlar uchun ko'rib chiqishga kelishib oldik. Bu shuni anglatadiki, bu erda ikkita iborani taqqoslashda biz faqat ikkala ibora uchun maqbul bo'lgan harf qiymatlarini hisobga olamiz. Shuning uchun biz qiymatni istisno qilishimiz kerak. X ning boshqa barcha qiymatlari uchun ikkala ifoda ham bir xil raqamli qiymatga ega bo'lganligi sababli, biz ularni bir xil deb hisoblash huquqiga egamiz.

Yuqoridagilarga asoslanib, biz bir xil iboralarga quyidagi ta'rifni beramiz:

1. Ifodalar, agar ular tarkibidagi harflarning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun bir xil raqamli qiymatlarga ega bo'lsa, bir xil deb ataladi.

Agar ikkita bir xil iborani teng belgi bilan bog'lasak, biz o'ziga xoslikni olamiz. Ma'nosi:

2. Identifikatsiya - bu unga kiritilgan harflarning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri keladigan tenglik.

Biz allaqachon kimliklarga duch kelganmiz. Demak, masalan, biz qo‘shish va ko‘paytirishning asosiy qonunlarini ifodalagan barcha tengliklar aynanlikdir.

Masalan, qo`shishning kommutativ qonunini ifodalovchi tengliklar

va ko'paytirishning assotsiativ qonuni

har qanday harf qiymatlari uchun amal qiladi. Bu shuni anglatadiki, bu tengliklar o'ziga xoslikdir.

Barcha haqiqiy arifmetik tengliklar ham identifikatsiya deb hisoblanadi, masalan:

Algebrada ko'pincha ifodani unga o'xshash boshqasi bilan almashtirish kerak bo'ladi. Masalan, siz ifoda qiymatini topmoqchi bo'lsin

Agar bu ifodani unga o'xshash ifoda bilan almashtirsak, hisob-kitoblarni ancha soddalashtiramiz. Tarqatish qonuniga asoslanib, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Ammo qavs ichidagi raqamlar qo‘shilib 100 ga yetadi. Bu bizda identifikatsiyaga ega ekanligini anglatadi:

O'ng tarafdagi a o'rniga 6,53 ni qo'yib, biz darhol (ongimizda) bu ifodaning son qiymatini (653) topamiz.

Bir ifodani boshqasiga o'xshash boshqa ifoda bilan almashtirish bu ifodaning bir xil o'zgarishi deyiladi.

Eslatib o'tamiz, harflarning har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun har qanday algebraik ifoda ba'zidir

raqam. Bundan kelib chiqadiki, oldingi bobda berilgan arifmetik amallarning barcha qonunlari va xossalari algebraik ifodalar uchun amal qiladi. Demak, arifmetik amallarning qonunlari va xossalarini qo‘llash berilgan algebraik ifodani unga o‘xshash ifodaga aylantiradi.