Integralni topish kerak bo'lgan funksiyani kiriting

Noaniq integralni hisoblagandan so'ng, siz bepul olishingiz mumkin Batafsil Yechim siz kiritgan integral.

f(x) funksiyaning noaniq integralining yechimini topamiz (funksiyaning antihosilasi).

Misollar

Darajadan foydalanish
(kvadrat va kub) va kasrlar

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadrat ildiz

Sqrt(x)/(x + 1)

Kub ildizi

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Sinus va kosinusdan foydalanish

2*sin(x)*cos(x)

arksin

X*arcsin(x)

yoy kosinus

X*arccos(x)

Logarifmni qo'llash

X*log(x, 10)

Tabiiy logarifm

Ko'rgazma ishtirokchisi

Tg(x)*sin(x)

Kotangent

Ctg(x)*cos(x)

Irratsional kasrlar

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Arkotangent

X*arsctg(x)

Giperbolik sinus va kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Giperbolik tangens va kotangens

Ctgh(x)/tgh(x)

Giperbolik arksin va arkkosin

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Giberbolik arktangent va arkkotangent

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Ifodalar va funksiyalarni kiritish qoidalari

Ifodalar funktsiyalardan iborat bo'lishi mumkin (belgilar alifbo tartibida): mutlaq(x) Mutlaq qiymat x
(modul x yoki |x|) arccos(x) Funktsiya - yoy kosinus x arccosh(x) dan yoy kosinus giperbolik x arcsin(x) Arcsine dan x arcsinh(x) dan arksinus giperbolik x arktan(x) Funktsiya - ning arttangensi x arctgh(x) dan arktangens giperbolik x e e taxminan 2,7 ga teng bo'lgan raqam Exp(x) Funktsiya - ko'rsatkichi x(sifatida e^x) log(x) yoki ln(x) ning natural logarifmi x
(Olish uchun log7(x), log(x)/log(7) (yoki, masalan, uchun) kiritishingiz kerak log10(x)=log (x)/log (10)) pi Raqam "Pi" dir, bu taxminan 3,14 ga teng gunoh(x) Funktsiya - sinus x cos(x) Funktsiya - kosinus x sinh(x) Funktsiya - dan sinus giperbolik x cosh(x) Funktsiya - dan kosinus giperbolik x sqrt(x) Funktsiya - Kvadrat ildiz dan x sqr(x) yoki x^2 Funktsiya - Kvadrat x tan(x) Funktsiya - dan tangens x tgh(x) Funktsiya - tangent giperbolik dan x cbrt(x) Funktsiya - kub ildizi x

Ifodalarda quyidagi amallardan foydalanish mumkin: Haqiqiy raqamlar sifatida kiriting 7.5 , Yo'q 7,5 2*x- ko'paytirish 3/x- bo'linish x^3- eksponentatsiya x+7- qo'shimcha x - 6- ayirish
Boshqa xususiyatlar: qavat(x) Funktsiya - yaxlitlash x pastga (misol qavat(4,5)==4,0) shift(x) Funktsiya - yaxlitlash x yuqoriga (misol shift(4,5)==5,0) belgisi(x) Funktsiya - Belgi x erf(x) Xato funktsiyasi (yoki ehtimollik integrali) laplace(x) Laplas funktsiyasi

Kasrli ratsional funktsiyaning noaniq integralini topish masalasi oddiy kasrlarni integrallashdan kelib chiqadi. Shuning uchun, avvalo, kasrlarni eng oddiyga parchalash nazariyasi bo'limi bilan tanishishingizni tavsiya qilamiz.

Misol.

Noaniq integralni toping.

Yechim.

Integratsiya hisobining darajasi maxraj darajasiga teng bo'lganligi sababli, biz birinchi navbatda ko'phadni ko'phadga ustun bilan bo'lish orqali butun qismni tanlaymiz:

Shunung uchun, .

Olingan to'g'ri ratsional kasrning oddiy kasrlarga parchalanishi shaklga ega . Demak,

Olingan integral uchinchi turdagi eng oddiy kasrning integralidir. Bir oz oldinga qarab, biz uni differentsial belgi ostida qabul qilish orqali olishingiz mumkinligini ta'kidlaymiz.

Chunki , Bu . Shunung uchun

Demak,

Endi to'rt turdagi har bir oddiy kasrlarni integrallash usullarini tavsiflashga o'tamiz.

Birinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash

To'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli ushbu muammoni hal qilish uchun idealdir:

Misol.

Funktsiyaning anti hosilalari to'plamini toping

Yechim.

Qarama-qarshi hosila xossalari, anti hosilalar jadvali va integrasiya qoidasidan foydalanib noaniq integralni topamiz.

Sahifaning yuqorisi

Ikkinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash

Ushbu muammoni hal qilish uchun to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli ham mos keladi:

Misol.

Yechim.

Sahifaning yuqorisi

Uchinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash

Avval noaniq integralni keltiramiz jami sifatida:

Birinchi integralni differensial belgi ostida yig'ish orqali olamiz:

Shunung uchun,

Olingan integralning maxrajini aylantiramiz:

Demak,

Uchinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash formulasi quyidagi shaklni oladi:

Misol.

Noaniq integralni toping .

Yechim.

Olingan formuladan foydalanamiz:

Agar bizda ushbu formula bo'lmasa, nima qilgan bo'lardik:

Sahifaning yuqorisi

To'rtinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash

Birinchi qadam, uni differentsial belgi ostida qo'yishdir:

Ikkinchi bosqich - bu shaklning integralini topish . Bu turdagi integrallar takrorlanish formulalari yordamida topiladi. (Takrorlanish formulalari yordamida integratsiya bo'limiga qarang.) Quyidagi takroriy formula bizning holatimizga mos keladi:

Misol.

Noaniq integralni toping

Yechim.

Ushbu turdagi integrallar uchun biz almashtirish usulidan foydalanamiz. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz (integratsiya ir. bo'limiga qarang ratsional funktsiyalar):

O'zgartirishdan keyin bizda:

Biz to'rtinchi turdagi kasrning integralini topishga keldik. Bizning holatlarimizda koeffitsientlar mavjud M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Va n=3. Biz takroriy formulani qo'llaymiz:

Teskari almashtirishdan so'ng biz natijaga erishamiz:

Integratsiya trigonometrik funktsiyalar

1.Shaklning integrallari Quyidagi formulalar yordamida trigonometrik funktsiyalar mahsulotini yig'indiga aylantirish orqali hisoblanadi: Masalan, 2. Shaklning integrallari , Qayerda m yoki n– toq musbat son, uni differentsial belgi ostida yig‘ish yo‘li bilan hisoblanadi. Masalan, 3.Shaklning integrallari , Qayerda m Va n-hatto musbat raqamlar darajani kamaytirish uchun formulalar yordamida hisoblanadi: Masalan, 4.Integrallar qayerda o'zgaruvchini o'zgartirish orqali hisoblanadi: yoki Masalan, 5. Shaklning integrallari universal trigonometrik almashtirish yordamida ratsional kasrlarning integrallariga keltiriladi (chunki =[hisob va maxraj ga bo'lingandan keyin ]= ; Masalan, Shuni ta'kidlash kerakki, universal almashtirishdan foydalanish ko'pincha noqulay hisob-kitoblarga olib keladi.

§5. Eng oddiy irratsionalliklarning integratsiyasi

Keling, irratsionallikning eng oddiy turlarini birlashtirish usullarini ko'rib chiqaylik. 1. Ushbu turdagi funktsiyalar 3-turdagi eng oddiy ratsional kasrlar bilan bir xil tarzda integrallanadi: maxrajda kvadrat trinomiya ajratiladi. mukammal kvadrat va yangi o'zgaruvchi kiritiladi. Misol. 2. (integral belgisi ostida - argumentlarning ratsional funktsiyasi). Ushbu turdagi integrallar almashtirish yordamida hisoblanadi. Xususan, shaklning integrallarida biz belgilaymiz . Agar integralda ildizlar bo'lsa turli darajalar: , keyin qayerni belgilang n– raqamlarning eng kichik umumiy karrali m,k. 1-misol. 2-misol. -noto'g'ri ratsional kasr, butun qismni tanlang: – – – 3.Shaklning integrallari trigonometrik almashtirishlar yordamida hisoblab chiqiladi:

44

45 Aniq integral

Aniq integral- juftliklar to'plamida aniqlangan qo'shimcha monoton normallashtirilgan funktsional funktsiya, birinchi komponenti integrallanadigan funktsiya yoki funktsional, ikkinchisi esa ushbu funktsiyani (funktsional) ko'rsatuvchi to'plamdagi domendir.

Ta'rif

Bu belgilansin. Keling, uni bir nechta ixtiyoriy nuqtalari bo'lgan qismlarga ajratamiz. Keyin ular segment bo'linganligini aytishadi.Keyin, ixtiyoriy nuqtani tanlang , ,

Intervaldagi funksiyaning aniq integrali integral yig‘indilarining chegarasi bo‘lib, bo‘linish darajasi nolga intiladi, agar u bo‘linish va nuqtalarni tanlashdan mustaqil ravishda mavjud bo‘lsa, ya’ni.

Agar belgilangan chegara mavjud bo'lsa, u holda funksiya Riemann integrallanishi deyiladi.

Belgilar

· - pastki chegara.

· - yuqori chegara.

· - integral funksiya.

· - qisman segment uzunligi.

· - mos keladigan bo'limdagi funksiyaning integral yig'indisi.

· - qisman segmentning maksimal uzunligi.

Xususiyatlari

Agar funktsiya Rieman integrallanishi mumkin bo'lsa, u bilan chegaralangan bo'ladi.

Geometrik ma'no

Aniq integral figuraning maydoni sifatida

Raqamli aniq integral maydoniga teng x o'qi, to'g'ri chiziqlar va funktsiya grafigi bilan chegaralangan raqam.

Nyuton-Leybnits teoremasi

[tahrir]

("Nyuton-Leybnits formulasidan" yo'naltirildi)

Nyuton-Leybnits formulasi yoki tahlilning asosiy teoremasi ikki amal orasidagi munosabatni beradi: aniq integralni olish va antiderivativni hisoblash.

Isbot

Integrallanuvchi funksiya intervalda berilgan bo'lsin. Keling, shuni ta'kidlashdan boshlaylik

ya'ni segment ustidagi aniq integralda qaysi harf (yoki) belgi ostida ekanligi muhim emas.

Keling, ixtiyoriy qiymat o'rnatamiz va yangi funktsiyani aniqlaymiz . ning barcha qiymatlari uchun aniqlanadi, chunki biz bilamizki, agar on ning integrali bo'lsa, unda on ning integrali ham bor, bu erda. Eslatib o'tamiz, biz ta'rif bo'yicha ko'rib chiqamiz

(1)

e'tibor bering, bu

Intervalda uzluksiz ekanligini ko'rsatamiz. Aslida, ruxsat bering; Keyin

va agar , keyin

Shunday qilib, u uzilishlar bor yoki yo'qligidan qat'i nazar, uzluksizdir; ustida integral bo'lishi muhim ahamiyatga ega.

Rasmda grafik ko'rsatilgan. O'zgaruvchan raqamning maydoni . Uning o'sishi rasmning maydoniga teng , u o'zining chegaralanganligi tufayli uzluksizlik yoki uzilish nuqtasi bo'lishidan qat'i nazar, aniq nolga moyil bo'ladi, masalan, nuqta.

Endi funksiya faqat integrallanuvchi emas, balki nuqtada uzluksiz bo'lsin. Keling, bu nuqtada hosila teng ekanligini isbotlaylik

(2)

Aslida, ko'rsatilgan nuqta uchun

(1) , (3)

ni qo'yamiz va u ga nisbatan doimiy bo'lgani uchun ,TO . Bundan tashqari, bir nuqtada uzluksizligi tufayli har qanday kishi uchun shunday bo'lishi mumkin.

buni isbotlaydi chap tomoni bu tengsizlik uchun o(1) dir.

(3) dagi chegaraga o'tish nuqtada hosilasining mavjudligini va (2) tenglikning haqiqiyligini ko'rsatadi. Bu erda biz mos ravishda o'ng va chap lotinlar haqida gapirganda.

Agar funktsiya uzluksiz bo'lsa, yuqorida isbotlangan narsaga asoslanib, mos keladigan funktsiya

(4)

ga teng hosilaga ega. Shuning uchun funktsiya ga qarshi hosiladir.

Bu xulosa ba'zan o'zgaruvchan yuqori chegara integral teoremasi yoki Barrou teoremasi deb ataladi.

Biz oraliqda uzluksiz ixtiyoriy funktsiya bu oraliqda (4) tenglik bilan aniqlangan anti hosilaga ega ekanligini isbotladik. Bu intervalda uzluksiz har qanday funksiya uchun antiderivativ mavjudligini isbotlaydi.

Keling, o'zboshimchalik bilan bo'lsin funktsiyaga qarshi hosila kuni . Biz bilamizki , qayerda ba'zi doimiy. Bu tenglikni faraz qilib va ​​buni hisobga olsak, olamiz.

Shunday qilib, . Lekin

Noto'g'ri integral

[tahrir]

Vikipediyadan olingan material - bepul ensiklopediya

Aniq integral chaqirdi sizniki emas, agar kamida bittasi bo'lsa quyidagi shartlar:

· limit a yoki b (yoki ikkala chegara) cheksizdir;

· f(x) funksiyasi segment ichida bir yoki bir nechta uzilish nuqtalariga ega.

[tahrirlash]Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar

. Keyin:

1. Agar va integral deyiladi . Ushbu holatda konvergent deyiladi.

, yoki oddiygina farqli.

va dan to'plamda aniqlangan va uzluksiz bo'lsin . Keyin:

1. Agar , keyin belgi ishlatiladi va integral deyiladi birinchi turdagi noto'g'ri Riman integrali. Ushbu holatda konvergent deyiladi.

2. Agar chekli bo‘lmasa ( yoki ), u holda integral ga ajraladi deyiladi , yoki oddiygina farqli.

Agar funktsiya butun son chizig'ida aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, u holda bu funktsiyaning ikkita bilan noto'g'ri integrali bo'lishi mumkin. cheksiz chegaralar integratsiya, formula bilan aniqlanadi:

, bu yerda c - ixtiyoriy son.

[tahrir] Birinchi turdagi noto'g'ri integralning geometrik ma'nosi

Noto'g'ri integral cheksiz uzun kavisli trapezoidning maydonini ifodalaydi.

[tahrir] Misollar

[tahrirlash]Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar

ga aniqlangan bo'lsin, x=a nuqtada cheksiz uzilishga duchor bo'lsin . Keyin:

1. Agar , keyin belgi ishlatiladi va integral deyiladi

divergent deb ataladi , yoki oddiygina farqli.

ga aniqlangan bo'lsin, x=b va da cheksiz uzilishga duchor bo'ladi . Keyin:

1. Agar , keyin belgi ishlatiladi va integral deyiladi ikkinchi turdagi noto'g'ri Riman integrali. Bu holda integral konvergent deb ataladi.

2. Agar yoki bo'lsa, belgi bir xil bo'lib qoladi va divergent deb ataladi , yoki oddiygina farqli.

Agar funksiya segmentning ichki nuqtasida uzilishga uchrasa, ikkinchi turdagi noto'g'ri integrali quyidagi formula bilan aniqlanadi:

[tahrir] Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallarning geometrik ma'nosi

Noto'g'ri integral cheksiz uzun kavisli trapetsiya maydonini ifodalaydi

[tahrir] Misol

[tahrirlash]Alohida holat

Funktsiya butun son chizig'ida aniqlangan va nuqtalarda uzilishga ega bo'lsin.

Keyin noto'g'ri integralni topishimiz mumkin

[tahrirlash] Koshi mezoni

1. va dan to'plamda aniqlansin .

Keyin birlashadi

2. va ustida aniqlansin .

Keyin birlashadi

[tahrirlash]Mutlaq yaqinlashuv

Integral chaqirdi mutlaqo konvergent, Agar birlashadi.
Agar integral absolyut yaqinlashsa, u yaqinlashadi.

[tahrirlash]Shartli yaqinlashuv

Integral deyiladi shartli konvergent, agar u yaqinlashsa, lekin ajralib chiqsa.

48 12. Noto'g'ri integrallar.

Aniq integrallarni ko'rib chiqishda biz integratsiya mintaqasi cheklangan deb taxmin qildik (aniqrog'i, bu segment [ a ,b ]); Aniq integral mavjudligi uchun integral [ bilan chegaralangan bo'lishi kerak. a ,b ]. Bu ikkala shart ham qondiriladigan aniq integrallarni chaqiramiz (integrallash sohasining ham, integrandning ham chegaralanganligi) Shaxsiy; Ushbu talablar buzilgan integrallar (ya'ni, integratsiya yoki integratsiya sohasi cheksiz yoki ikkalasi ham) sizniki emas. Ushbu bo'limda biz noto'g'ri integrallarni o'rganamiz.

• 12.1. Cheklanmagan oraliqdagi noto'g'ri integrallar (birinchi turdagi noto'g'ri integrallar).
• 12.1.1. Cheksiz oraliqdagi noto'g'ri integralning ta'rifi. Misollar.
• 12.1.2. Noto'g'ri integral uchun Nyuton-Leybnits formulasi.
• 12.1.3. Salbiy bo'lmagan funktsiyalarni taqqoslash mezonlari.
• 12.1.3.1. Taqqoslash belgisi.
• 12.1.3.2. O'zining ekstremal shaklida taqqoslash belgisi.
• 12.1.4. Noto'g'ri integrallarning cheksiz oraliqda mutlaq yaqinlashuvi.
• 12.1.5. Abel va Dirixlet yaqinlashuvi uchun testlar.
• 12.2. Cheklanmagan funksiyalarning noto'g'ri integrallari (ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar).
• 12.2.1. Cheklanmagan funksiyaning noto'g'ri integralining ta'rifi.
• 12.2.1.1. Singulyarlik integratsiya oralig'ining chap uchida joylashgan.
• 12.2.1.2. Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash.
• 12.2.1.3. Integratsiya oralig'ining o'ng oxiridagi yagonalik.
• 12.2.1.4. Integratsiya oralig'ining ichki nuqtasida yagonalik.
• 12.2.1.5. Integratsiya oralig'ida bir nechta xususiyatlar.
• 12.2.2. Salbiy bo'lmagan funktsiyalarni taqqoslash mezonlari.
• 12.2.2.1. Taqqoslash belgisi.
• 12.2.2.2. O'zining ekstremal shaklida taqqoslash belgisi.
• 12.2.3. Uzluksiz funksiyalarning noto'g'ri integrallarining mutlaq va shartli yaqinlashuvi.
• 12.2.4. Abel va Dirixlet yaqinlashuvi uchun testlar.

12.1. Cheklanmagan oraliqdagi noto'g'ri integrallar

(birinchi turdagi noto'g'ri integrallar).

12.1.1. Cheksiz oraliqdagi noto'g'ri integralning ta'rifi. Funktsiyaga ruxsat bering f (x ) yarim o'qda aniqlanadi va har qanday oraliqda integrallanadi [ dan, bu holatlarning har birida tegishli chegaralarning mavjudligi va chekliligini nazarda tutadi. Endi misollarning yechimlari oddiyroq ko'rinadi: .

12.1.3. Salbiy bo'lmagan funktsiyalarni taqqoslash mezonlari. Ushbu bo'limda biz barcha integrallar ta'rifning butun sohasi bo'yicha manfiy emas deb hisoblaymiz. Hozirgacha biz integralning yaqinlashishini uni hisoblash yo'li bilan aniqladik: agar mavjud bo'lsa yakuniy chegara mos keladigan tendentsiyaga ega bo'lgan antiderivativ ( yoki ), keyin integral yaqinlashadi, aks holda u ajralib chiqadi. Biroq, amaliy muammolarni hal qilishda, birinchi navbatda, yaqinlashuv faktini aniqlash va shundan keyingina integralni hisoblash muhim (bundan tashqari, antiderivativ ko'pincha quyidagi ko'rinishda ifodalanmaydi). elementar funktsiyalar). Keling, manfiy bo'lmagan funksiyalarning noto'g'ri integrallarining yaqinlashuvi va divergensiyasini ularni hisoblamasdan o'rnatishga imkon beradigan bir qator teoremalarni tuzamiz va isbotlaymiz.
12.1.3.1. Taqqoslash belgisi. Funktsiyalarga ruxsat bering f (x ) Va g (x ) integral

MAVZU: Ratsional kasrlarni integrallash.

Diqqat! Integrallashning asosiy usullaridan biri: ratsional kasrlarni integrallashini o'rganayotganda, qat'iy isbotlash uchun murakkab sohadagi ko'phadlarni ko'rib chiqish talab etiladi. Shuning uchun kerak oldindan o'rganing ba'zi xususiyatlar murakkab sonlar va ular bo'yicha operatsiyalar.

Oddiy ratsional kasrlarni integrallash.

Agar P(z) Va Q(z) murakkab sohadagi polinomlar, keyin ular ratsional kasrlardir. U deyiladi to'g'ri, agar daraja P(z) kamroq daraja Q(z) , Va noto'g'ri, agar daraja R darajasidan kam emas Q.

Har qanday noto'g'ri kasr quyidagicha ifodalanishi mumkin: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – darajasi darajadan kichik bo'lgan polinom Q(z).

Shunday qilib, ratsional kasrlarni integrallash ko'phadlarni, ya'ni darajali funksiyalarni va to'g'ri kasrlarni integrallashga to'g'ri keladi, chunki u to'g'ri kasrdir.

Ta'rif 5. Eng oddiy (yoki elementar) kasrlar kasrlarning quyidagi turlari hisoblanadi:

1) , 2) , 3) , 4) .

Keling, ular qanday integratsiyalashganini bilib olaylik.

3) (ilgari o'rganilgan).

Teorema 5. Har bir to'g'ri kasrni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin (isbotsiz).

Xulosa 1. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va ko'phadning ildizlari orasida faqat oddiy haqiqiy ildizlar bo'lsa, kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga ajratishda faqat 1-turdagi oddiy kasrlar bo'ladi:

1-misol.

Xulosa 2. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va ko'phadning ildizlari orasida faqat bir nechta haqiqiy ildizlar bo'lsa, kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga ajratishda faqat 1 va 2 turdagi oddiy kasrlar bo'ladi. :

2-misol.

Xulosa 3. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va ko'phadning ildizlari orasida faqat oddiy murakkab qo'shma ildizlar bo'lsa, kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga ajratishda faqat 3-turdagi oddiy kasrlar bo'ladi:

3-misol.

Xulosa 4. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va ko'phadning ildizlari orasida faqat bir nechta murakkab konjugat ildizlar bo'lsa, kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga parchalashda faqat 3 va 4 ning oddiy kasrlari bo'ladi. turlari:

Berilgan kengayishlarda noma'lum koeffitsientlarni aniqlash uchun quyidagi amallarni bajaring. Noma'lum koeffitsientlarni o'z ichiga olgan kengaytmaning chap va o'ng tomonlari ko'paytiriladi Ikki polinomning tengligi olinadi. Undan quyidagi koeffitsientlar uchun tenglamalar olinadi:

1. tenglik X ning har qanday qiymatlari uchun haqiqiydir (qisman qiymat usuli). Bunday holda, istalgan m noma'lum koeffitsientlarni topishga imkon beradigan istalgan miqdordagi tenglamalar olinadi.

2. koeffitsientlar X ning bir xil darajalari uchun mos keladi (noaniq koeffitsientlar usuli). Bunda m - noma'lumli tenglamalar sistemasi olinadi, undan noma'lum koeffitsientlar topiladi.

3. birlashgan usul.

Misol 5. Kasrni kengaytiring eng oddiygacha.

Yechim:

A va B koeffitsientlari topilsin.

1-usul - shaxsiy qiymat usuli:

2-usul - aniqlanmagan koeffitsientlar usuli:

Javob:

Ratsional kasrlarni integrallash.

Teorema 6. Har qanday ratsional kasrning maxraji nolga teng bo'lmagan har qanday oraliqda noaniq integrali mavjud bo'lib, elementar funksiyalar, ya'ni ratsional kasrlar, logarifmlar va arktangentlar orqali ifodalanadi.

Isbot.

Ratsional kasrni quyidagi shaklda tasavvur qilaylik: . Bunda oxirgi had to'g'ri kasr bo'lib, 5-teoremaga ko'ra u oddiy kasrlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin. Shunday qilib, ratsional kasrning integrallanishi ko'phadning integrasiyasiga keltiriladi S(x) va oddiy kasrlar, ularning antiderivativlari, ko'rsatilgandek, teoremada ko'rsatilgan shaklga ega.

Izoh. Bu holatda asosiy qiyinchilik maxrajning omillarga bo'linishi, ya'ni uning barcha ildizlarini izlashdir.

Misol 1. Integralni toping

Integratsiya to'g'ri ratsional kasrdir. Maxrajning kamaytirilmaydigan omillarga kengayishi ko'rinishga ega bo'lib, bu integratsiyaning oddiy kasrlar yig'indisiga kengayishi quyidagi ko'rinishga ega ekanligini anglatadi:

Kengayish koeffitsientlarini kombinatsiyalangan usul yordamida topamiz:

Shunday qilib,

2-misol. Integralni toping

Integratsiya funktsiyasi - noto'g'ri kasr, shuning uchun biz butun qismni tanlaymiz:

Integrallarning birinchisi jadval shaklida, ikkinchisini esa to'g'ri kasrni oddiy kasrlarga ajratish orqali hisoblaymiz:

Aniqlanmagan koeffitsientlar usulidan foydalanib, biz:

Shunday qilib,

To'rt turdagi eng oddiy, elementar, kasrlarning integrallarini hisoblash formulalarini chiqarish berilgan. To'rtinchi turdagi kasrlardan murakkabroq integrallar qisqartirish formulasi yordamida hisoblanadi. To'rtinchi turdagi kasrni integrallash misoli ko'rib chiqiladi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Noaniq integrallar jadvali
Noaniq integrallarni hisoblash usullari

Ma'lumki, ba'zi bir x o'zgaruvchining har qanday ratsional funktsiyasini ko'phadga va eng oddiy, elementar kasrlarga ajratish mumkin. To'rt xil oddiy kasrlar mavjud:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Bu yerda a, A, B, b, c haqiqiy sonlar. Tenglama x 2 + bx + c = 0 ega emas haqiqiy ildizlar.

Birinchi ikki turdagi kasrlarni integrallash

Birinchi ikkita kasrni integrallash integrallar jadvalidagi quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:
,
, n ≠ - 1 .

1. Birinchi turdagi kasrlarni integrallash

Birinchi turdagi kasr t = x - a almashtirish orqali jadval integraliga keltiriladi:
.

2. Ikkinchi turdagi kasrlarni integrallash

Ikkinchi turdagi kasr bir xil almashtirish orqali jadval integraliga keltiriladi t = x - a:

.

3. Uchinchi turdagi kasrlarni integrallash

Uchinchi turdagi kasrning integralini ko'rib chiqamiz:
.
Biz uni ikki bosqichda hisoblaymiz.

3.1. Qadam 1. Numeratordagi maxrajning hosilasini tanlang

Kasr sonidagi maxrajning hosilasini ajratib olaylik. Belgilaymiz: u = x 2 + bx + c. Farq qilaylik: u' = 2 x + b. Keyin
;
.
Lekin
.
Modul belgisini qoldirdik, chunki .

Keyin:
,
Qayerda
.

3.2. 2-qadam. A = 0, B = 1 bilan integralni hisoblang

Endi qolgan integralni hisoblaymiz:
.

Kasrning maxrajini ga keltiramiz kvadratlar yig'indisi:
,
Qayerda.
Biz ishonamizki, x tenglama 2 + bx + c = 0 ildizlari yo'q. Shunung uchun .

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz
,
.
.

Shunday qilib,
.

Shunday qilib, uchinchi turdagi kasrning integralini topdik:

,
Qayerda.

4. To'rtinchi turdagi kasrlarni integrallash

Va nihoyat, to'rtinchi turdagi kasrning integralini ko'rib chiqing:
.
Biz uni uch bosqichda hisoblaymiz.

4.1) Numeratordagi maxrajning hosilasini tanlang:
.

4.2) Integralni hisoblang
.

4.3) Integrallarni hisoblash
,
kamaytirish formulasidan foydalaning:
.

4.1. 1-qadam. Maxrajning hosilasini payda ajratib olish

dagi kabi maxrajning hosilasini sanoqda ajratib olaylik. u = x ni belgilaymiz 2 + bx + c. Farq qilaylik: u' = 2 x + b. Keyin
.

.
Lekin
.

Nihoyat bizda:
.

4.2. 2-qadam. n = 1 bilan integralni hisoblang

Integralni hisoblang
.
Uning hisob-kitobi maqolada keltirilgan.

4.3. Qadam 3. Kamaytirish formulasini chiqarish

Endi integralni ko'rib chiqing
.

taqdim etamiz kvadratik trinomial kvadratlar yig'indisiga:
.
Bu yerga .
Keling, almashtirishni amalga oshiramiz.
.
.

Biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz va qismlarga birlashamiz.




.

ga ko'paytiring 2(n - 1):
.
Keling, x va I n ga qaytaylik.
,
;
;
.

Shunday qilib, men uchun biz kamaytirish formulasini oldik:
.
Ushbu formulani izchil qo'llagan holda, biz I n integralini I ga kamaytiramiz 1 .

Misol

Integralni hisoblang

1. Maxrajning hosilasini payda ajratib olaylik.
;
;


.
Bu yerga
.

2. Eng oddiy kasrning integralini hisoblaymiz.

.

3. Biz qisqartirish formulasini qo'llaymiz:

integral uchun.
Bizning holatda b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Bu formulani n = uchun yozamiz 2 va n = 3 :
;
.
Bu yerdan

.

Nihoyat bizda:

.
uchun koeffitsientni toping.
.

Shuningdek qarang:

Oldingi paragraflarda aytilganlarning barchasi ratsional kasrlarni integrallashning asosiy qoidalarini shakllantirishga imkon beradi.

1. Agar ratsional kasr noto'g'ri bo'lsa, u ko'phad va to'g'ri ratsional kasrning yig'indisi sifatida ifodalanadi (2-bandga qarang).

Bu noto'g'ri ratsional kasrni ko'phad va to'g'ri ratsional kasrning integrasiyasiga kamaytiradi.

2. To‘g‘ri kasrning maxrajini ko‘paytiring.

3. To'g'ri ratsional kasr oddiy kasrlar yig'indisiga parchalanadi. Bu to'g'ri ratsional kasrning integrasiyasini oddiy kasrlarning integrasiyasiga kamaytiradi.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol. Toping.

Yechim. Integral ostida noto'g'ri ratsional kasr joylashgan. Butun qismni tanlab, biz olamiz

Demak,

Shuni ta'kidlab, to'g'ri ratsional kasrni kengaytiramiz

oddiy kasrlarga:

(18-formulaga qarang). Shunung uchun

Shunday qilib, biz nihoyat bor

2-misol. Toping

Yechim. Integral ostida to'g'ri ratsional kasr joylashgan.

Uni oddiy kasrlarga kengaytirib (16-formulaga qarang), biz olamiz