X teng. Kvadrat tengsizliklar. Kvadrat tenglamaning ildizlari

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Nima bo'ldi "kvadrat tengsizlik"? Savol yo'q!) Agar olsangiz har qanday kvadrat tenglama va undagi belgini almashtiring "=" (teng) har qanday tengsizlik belgisiga ( > ≥ < ≤ ≠ ), kvadrat tengsizlikni olamiz. Masalan:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Xo'sh, tushunasiz ...)

Bu yerda tenglamalar va tengsizliklarni bog‘laganim bejiz emas. Gap shundaki, hal qilishda birinchi qadam har qanday kvadrat tengsizlik - bu tengsizlik tuzilgan tenglamani yeching. Shu sababli, kvadrat tenglamalarni yechishning mumkin emasligi avtomatik ravishda tengsizliklarda to'liq muvaffaqiyatsizlikka olib keladi. Maslahat aniqmi?) Agar biror narsa bo'lsa, har qanday kvadrat tenglamalarni qanday yechish kerakligini ko'rib chiqing. U erda hamma narsa batafsil tasvirlangan. Va bu darsda biz tengsizliklar bilan shug'ullanamiz.

Yechish uchun tayyor tengsizlik quyidagi ko'rinishga ega: chap tomonda kvadrat trinomial mavjud ax 2 +bx+c, o'ngda - nol. Tengsizlik belgisi mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin. Birinchi ikkita misol bu erda allaqachon qaror qabul qilishga tayyor. Uchinchi misol hali tayyorlanishi kerak.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Qadim zamonlardan beri amaliy masalalarni yechishda miqdor va miqdorlarni solishtirish zarur bo‘lib kelgan. Shu bilan birga, bir jinsli miqdorlarni solishtirish natijalarini bildiruvchi ko‘proq va kamroq, balandroq va past, engilroq va og‘irroq, sokinroq va balandroq, arzonroq va qimmatroq kabi so‘zlar paydo bo‘lgan.

Ko'p va kamroq tushunchalari predmetlarni sanash, miqdorlarni o'lchash va taqqoslash bilan bog'liq holda paydo bo'lgan. Misol uchun, Qadimgi Yunoniston matematiklari har qanday uchburchakning tomoni boshqa ikki tomonning yig'indisidan kichik ekanligini va katta tomoni uchburchakdagi katta burchakka qarama-qarshi ekanligini bilishgan. Arximed, aylanani hisoblashda, har qanday doiraning perimetri diametrining ettidan biridan kam bo'lgan, lekin diametrining o'ndan etmish barobaridan ortiq bo'lgan ortiqcha diametri uch baravarga teng ekanligini aniqladi.

> va b belgilaridan foydalanib sonlar va miqdorlar orasidagi munosabatlarni ramziy ravishda yozing. Ikki raqam belgilardan biri bilan bog'langan yozuvlar: > (kattaroq), siz raqamli tengsizliklarga ham duch keldingiz. kichik sinflar. Bilasizki, tengsizliklar to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) to'g'ri raqamli tengsizlik, 0,23 > 0,235 - noto'g'ri sonli tengsizlik.

Noma'lumlarni o'z ichiga olgan tengsizliklar noma'lumlarning ba'zi qiymatlari uchun to'g'ri, boshqalari uchun noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, 2x+1>5 tengsizlik x = 3 uchun to'g'ri, x = -3 uchun noto'g'ri. Bitta noma'lum bo'lgan tengsizlik uchun siz vazifani qo'yishingiz mumkin: tengsizlikni hal qiling. Amalda tengsizliklarni yechish masalalari tenglamalarni yechish masalalaridan kam bo'lmagan holda qo'yiladi va yechiladi. Masalan, ko'p iqtisodiy muammolar chiziqli tengsizliklar sistemalarini o'rganish va yechishga keltiriladi. Matematikaning ko'pgina bo'limlarida tengsizliklar tenglamalarga qaraganda ko'proq uchraydi.

Ba'zi tengsizliklar yagona bo'lib xizmat qiladi yordamchi, ma'lum bir ob'ektning mavjudligini isbotlash yoki rad etish imkonini beradi, masalan, tenglamaning ildizi.

Raqamli tengsizliklar

Butun sonlarni solishtira olasizmi? o'nli kasrlar. Taqqoslash qoidalarini bilasizmi? oddiy kasrlar maxrajlari bir xil, lekin sanoqlari har xil; soni bir xil, lekin maxrajlari har xil. Bu erda siz har qanday ikkita raqamni ularning farqining belgisini topib, qanday taqqoslashni o'rganasiz.

Raqamlarni solishtirish amaliyotda keng qo'llaniladi. Misol uchun, iqtisodchi rejalashtirilgan ko'rsatkichlarni haqiqiy ko'rsatkichlar bilan taqqoslaydi, shifokor bemorning haroratini normal bilan solishtiradi, torner ishlov beriladigan qismning o'lchamlarini standart bilan taqqoslaydi. Bunday hollarda ba'zi raqamlar taqqoslanadi. Raqamlarni solishtirish natijasida sonli tengsizliklar yuzaga keladi.

Ta'rif. Raqam a ko'proq raqam b, agar farq a-b ijobiy. Agar a-b farqi manfiy bo'lsa, a soni b sonidan kichikdir.

Agar a b dan katta bo'lsa, ular yozadilar: a > b; agar a b dan kichik bo'lsa, u holda ular yozadilar: a Shunday qilib, a > b tengsizlik a - b farqining ijobiy ekanligini bildiradi, ya'ni. a - b > 0. Tengsizlik a ixtiyoriy ikkita a va b sonlar uchun quyidagi uchta munosabatdan a > b, a = b, a a va b sonlarni solishtirish deganda >, = yoki belgilarning qaysi biri ekanligini aniqlash kerak. Teorema. Agar a > b va b > c bo'lsa, a > c.

Teorema. Agar tengsizlikning ikkala tomoniga bir xil son qo'shilsa, tengsizlik belgisi o'zgarmaydi.
Natija. Har qanday atama tengsizlikning bir qismidan ikkinchisiga bu hadning belgisini teskarisiga o'zgartirish orqali o'tkazilishi mumkin.

Teorema. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil musbat songa ko'paytirilsa, u holda tengsizlikning belgisi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xilga ko'paytirilsa manfiy raqam, keyin tengsizlik belgisi teskari tomonga o'zgaradi.
Natija. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil musbat songa bo'linsa, tengsizlikning belgisi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil manfiy songa bo'linsa, tengsizlikning belgisi teskari tomonga o'zgaradi.

Bilasizmi, sonli tengliklarni qo‘shish va hadga ko‘paytirish mumkin. Keyinchalik, tengsizliklar bilan o'xshash harakatlarni qanday bajarishni o'rganasiz. Tengsizliklarni atama bo'yicha qo'shish va ko'paytirish qobiliyati amalda ko'pincha qo'llaniladi. Ushbu harakatlar iboralarning ma'nolarini baholash va taqqoslash muammolarini hal qilishga yordam beradi.

Turli masalalarni yechishda ko'pincha tengsizliklarning chap va o'ng tomonlarini had bo'yicha qo'shish yoki ko'paytirish kerak bo'ladi. Shu bilan birga, ba'zan tengsizliklar qo'shiladi yoki ko'payadi, deyiladi. Masalan, sayyoh birinchi kuni 20 km dan ortiq, ikkinchi kuni esa 25 km dan ortiq yo‘l bosib o‘tgan bo‘lsa, u holda ikki kunda 45 km dan ortiq yo‘l bosib o‘tganligini aytishimiz mumkin. Xuddi shunday, agar to'rtburchakning uzunligi 13 sm dan kam bo'lsa va kengligi 5 sm dan kam bo'lsa, biz ushbu to'rtburchakning maydoni 65 sm2 dan kam deb aytishimiz mumkin.

Ushbu misollarni ko'rib chiqishda quyidagilar ishlatilgan: Tengsizliklarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari:

Teorema. Xuddi shu belgili tengsizliklarni qo'shganda bir xil belgili tengsizlik olinadi: a > b va c > d bo'lsa, a + c > b + d.

Teorema. Chap va o'ng tomonlari musbat bo'lgan bir xil belgili tengsizliklarni ko'paytirishda bir xil ishorali tengsizlik hosil bo'ladi: a > b, c > d va a, b, c, d musbat sonlar bo'lsa, u holda ac > bd.

> (katta) va 1/2, 3/4 b, c belgisi bo'lgan tengsizliklar qat'iy tengsizliklar belgilari bilan bir qatorda > va Xuddi shu tarzda \(a \geq b \) tengsizlik a soni ekanligini bildiradi. b dan katta yoki teng, ya'ni .va kam emas b.

\(\geq \) belgisi yoki \(\leq \) belgisi bo'lgan tengsizliklar qat'iy bo'lmagan deb ataladi. Masalan, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) qat`iy tengsizliklar emas.

Qattiq tengsizliklarning barcha xossalari qat'iy bo'lmagan tengsizliklar uchun ham amal qiladi. Bundan tashqari, agar qat'iy tengsizliklar uchun belgilar > qarama-qarshi hisoblangan bo'lsa va siz bir qator amaliy muammolarni hal qilish uchun tenglama yoki tenglamalar tizimi ko'rinishidagi matematik modelni yaratishingiz kerakligini bilsangiz. Keyinchalik buni bilib olasiz matematik modellar Ko'p muammolarni hal qilish uchun noma'lumlar bilan tengsizliklar mavjud. Biz tengsizlikni yechish tushunchasini kiritamiz va yo'qligini tekshirishni ko'rsatamiz berilgan raqam muayyan tengsizlikni yechish.

Shaklning tengsizliklari
\(ax > b, \to'rtta ax, bunda a va b raqamlar berilgan, x esa noma'lum bo'lganlar deyiladi. chiziqli tengsizliklar noma'lum biri bilan.

Ta'rif. Bitta noma'lumli tengsizlikning yechimi noma'lumning qiymati bo'lib, bu tengsizlik haqiqiy sonli tengsizlikka aylanadi. Tengsizlikni yechish uning barcha yechimlarini topish yoki yo'qligini aniqlash demakdir.

Siz tenglamalarni eng oddiy tenglamalarga qisqartirish orqali hal qildingiz. Xuddi shunday, tengsizliklarni yechishda xossalardan foydalanib, ularni oddiy tengsizliklar shakliga keltirishga harakat qilinadi.

Bitta o‘zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklarni yechish

Shaklning tengsizliklari
\(ax^2+bx+c >0 \) va \(ax^2+bx+c bu erda x o'zgaruvchi, a, b va c ba'zi raqamlar va \(a \neq 0 \) deb ataladi. bitta o'zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklar.

Tengsizlikning yechimi
\(ax^2+bx+c >0 \) yoki \(ax^2+bx+c ni \(y= ax^2+bx+c \) funksiyasi musbat yoki manfiy qabul qiladigan intervallarni topish deb hisoblash mumkin. qiymatlar Buning uchun \(y= ax^2+bx+c\) funksiya grafigi koordinata tekisligida qanday joylashishini tahlil qilish kifoya: parabolaning shoxlari qayerga yo'naltirilgan - yuqoriga yoki pastga, parabola x o'qini kesib o'tadi va agar kesishsa, unda qaysi nuqtalarda.

Bitta o‘zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklarni yechish algoritmi:
1) diskriminantni toping kvadratik trinomial\(ax^2+bx+c\) va trinomning ildizlari bor yoki yoʻqligini aniqlang;
2) agar trinomialning ildizlari bo'lsa, ularni x o'qi bo'ylab belgilang va belgilangan nuqtalar orqali shoxlari > 0 uchun yuqoriga yoki 0 uchun pastga yoki 3 uchun pastga yo'naltirilgan sxematik parabolani chizing) x o'qi bo'yicha oraliqlarni toping, ular uchun parabolalar x o'qi ustida joylashgan (agar ular \(ax^2+bx+c >0\) tengsizlikni yechishsa) yoki x o'qidan pastda (agar ular tengsizlik
\(ax^2+bx+c Tengsizliklarni interval usuli yordamida yechish

Funktsiyani ko'rib chiqing
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Bu funksiyaning sohasi barcha raqamlar to'plamidir. Funksiyaning nollari -2, 3, 5 raqamlari. Ular funksiyaning aniqlanish sohasini \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; () intervallariga ajratadi. 3; 5) \) va \( (5; +\infty)\)

Keling, ko'rsatilgan intervallarning har birida ushbu funktsiyaning belgilari qanday ekanligini bilib olaylik.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) ifodasi uchta omilning mahsulotidir. Ushbu omillarning har birining ko'rib chiqilayotgan intervallardagi belgisi jadvalda ko'rsatilgan:

Umuman olganda, funktsiya formula bilan berilgan bo'lsin
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
bu yerda x o'zgaruvchi, x 1, x 2, ..., x n esa bir-biriga teng bo'lmagan sonlar. x 1 , x 2 , ..., x n raqamlari funksiyaning nollaridir. Ta'rif sohasi funksiyaning nolga bo'linadigan intervallarning har birida funksiyaning belgisi saqlanib qoladi va noldan o'tganda uning belgisi o'zgaradi.

Bu xususiyat shaklning tengsizliklarini yechish uchun ishlatiladi
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) bu erda x 1, x 2, ..., x n bir-biriga teng bo'lmagan sonlar

Ko'rib chiqilgan usul tengsizliklarni yechish interval usuli deyiladi.

Tengsizliklarni interval usuli yordamida yechishga misollar keltiramiz.

Tengsizlikni yeching:

\(x(0,5-x)(x+4) Shubhasiz, f(x) = x(0,5-x)(x+4) funksiyaning nollari \(x=0, \; x= \ nuqtalardir. frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Funktsiyaning nollarini raqamlar o'qida chizamiz va har bir oraliqdagi belgini hisoblaymiz:

Funktsiya noldan kichik yoki teng bo'lgan intervallarni tanlaymiz va javobni yozamiz.

Javob:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \o'ng) \chashka \left[ 4; \; +\infty \o'ng) \)

Barcha yangi video darslardan xabardor bo'lish uchun veb-saytimizning youtube kanaliga o'ting.

Birinchidan, kuchlarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.

Raqamning mahsuloti a o'z-o'zidan n marta uchraydi, bu ifodani a … a=a n shaklida yozishimiz mumkin

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Quvvat yoki eksponensial tenglamalar - bu o'zgaruvchilar darajalarda (yoki ko'rsatkichlarda) bo'lgan tenglamalar va asos sondir.

Eksponensial tenglamalarga misollar:

Ushbu misolda 6 raqami asos bo'lib, u har doim pastda va o'zgaruvchidir x daraja yoki ko'rsatkich.

Keling, ko'rsatkichli tenglamalarga ko'proq misollar keltiraylik.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Endi ko'rsatkichli tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz?

Oddiy tenglamani olaylik:

2 x = 2 3

Bu misolni hatto boshingizda ham hal qilish mumkin. Ko'rinib turibdiki, x = 3. Axir, chap va o'ng tomonlar teng bo'lishi uchun x o'rniga 3 raqamini qo'yish kerak.
Keling, ushbu qarorni qanday rasmiylashtirishni ko'rib chiqaylik:

2 x = 2 3
x = 3

Bunday tenglamani yechish uchun biz olib tashladik bir xil asoslar(ya'ni, ikki) va qolganini yozdi, bu darajalar. Biz izlagan javobni oldik.

Endi qarorimizni umumlashtiramiz.

Eksponensial tenglamani yechish algoritmi:
1. Tekshirish kerak xuddi shu tenglamaning o'ng va chapda asoslari bormi. Agar sabablar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.
2. Asoslar bir xil bo‘lgandan keyin, tenglashtirmoq daraja va hosil bo'lgan yangi tenglamani yeching.

Endi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

Keling, oddiy narsadan boshlaylik.

Chap va o'ng tomonlardagi asoslar 2 raqamiga teng, ya'ni biz bazani tashlab, ularning darajalarini tenglashtirishimiz mumkin.

x+2=4 Eng oddiy tenglama olinadi.
x=4 – 2
x=2
Javob: x=2

Quyidagi misolda siz asoslar boshqacha ekanligini ko'rishingiz mumkin: 3 va 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Birinchidan, to'qqiztasini o'ng tomonga siljiting, biz quyidagilarni olamiz:

Endi siz bir xil asoslarni qilishingiz kerak. Biz 9=32 ekanligini bilamiz. (a n) m = a nm quvvat formulasidan foydalanamiz.

3 3x = (3 2) x+8

Biz 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 ni olamiz

3 3x = 3 2x+16 Endi chap va o'ng tomonlarda asoslar bir xil va uchtaga teng ekanligi aniq bo'ldi, ya'ni biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtirishimiz mumkin.

3x=2x+16 eng oddiy tenglamani olamiz
3x - 2x=16
x=16
Javob: x=16.

Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Avvalo, biz tayanchlarga qaraymiz, ikkita va to'rtinchi bazalar. Va biz ular bir xil bo'lishi kerak. Biz to'rtlikni (a n) m = a nm formulasidan foydalanib o'zgartiramiz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Shuningdek, biz a n a m = a n + m formulasidan foydalanamiz:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tenglamaga qo'shing:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Ammo boshqa 10 va 24 raqamlari bizni bezovta qiladi.Ular bilan nima qilish kerak? Agar siz diqqat bilan qarasangiz, chap tomonda bizda 2 2 marta takrorlanganligini ko'rishingiz mumkin, mana javob - biz qavs ichidan 2 2 marta qo'yishimiz mumkin:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Biz butun tenglamani 6 ga bo'lamiz:

Tasavvur qilaylik 4=2 2:

2 2x = 2 2 asoslar bir xil, biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtiramiz.
2x = 2 eng oddiy tenglamadir. Uni 2 ga bo'ling va biz olamiz
x = 1
Javob: x = 1.

Keling, tenglamani yechamiz:

9 x – 12*3 x +27= 0

Keling, aylantiramiz:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bizning asoslarimiz bir xil, uchtaga teng.Ushbu misolda birinchi uchtasi ikkinchisidan (faqat x) ikki marta (2x) darajaga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin. Bunday holda, siz hal qilishingiz mumkin almashtirish usuli. Raqamni eng kichik daraja bilan almashtiramiz:

Keyin 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Tenglamadagi barcha x kuchlarni t bilan almashtiramiz:

t 2 - 12t+27 = 0
Biz kvadrat tenglamani olamiz. Diskriminant orqali yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

O'zgaruvchiga qaytish x.

t 1 ni oling:
t 1 = 9 = 3 x

Anavi,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Javob: x 1 = 2; x 2 = 1.

Veb-saytda siz o'zingizni qiziqtirgan barcha savollarni QAROR QILIShga yordam berish bo'limida berishingiz mumkin, biz sizga albatta javob beramiz.

Guruhga qo'shiling

y=k/y funksiyani ko‘rib chiqaylik. Bu funksiyaning grafigi chiziq bo‘lib, matematikada giperbola deb ataladi. Umumiy shakl giperbolalar quyidagi rasmda ko'rsatilgan. (Grafikda y ga teng k funksiyasi x ga bo'lingan, bu uchun k birga teng.)

Ko'rinib turibdiki, grafik ikki qismdan iborat. Bu qismlar giperbolaning shoxlari deb ataladi. Shuni ham ta'kidlash joizki, giperbolaning har bir tarmog'i koordinata o'qlariga yaqinroq va yaqinroq yo'nalishlardan biriga yaqinlashadi. Bu holda koordinata o'qlari asimptotlar deb ataladi.

Umuman olganda, funksiya grafigi cheksiz yaqinlashib, lekin ularga etib bormaydigan har qanday to'g'ri chiziqlar asimptotalar deyiladi. Giperbola, xuddi parabola kabi, simmetriya o'qlariga ega. Yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan giperbola uchun bu y=x chiziqdir.

Endi ikkitasini hal qilaylik umumiy holatlar giperbola. y = k/x funksiyaning grafigi k ≠0 uchun shoxlari yo birinchi va uchinchi koordinata burchaklarida, k>0 uchun yoki ikkinchi va to‘rtinchi koordinata burchaklarida joylashgan giperbola bo‘ladi. k uchun<0.

y = k/x funksiyaning asosiy xossalari, k>0 uchun

y = k/x funksiya grafigi, k>0 uchun

5. x>0 da y>0; y6. Funktsiya (-∞;0) oraliqda ham, (0;+∞) oraliqda ham kamayadi.

10. Funktsiya qiymatlari diapazoni ikkita ochiq intervalli (-∞;0) va (0;+∞).

y = k/x funksiyaning asosiy xossalari, k uchun<0

y = k/x funksiyaning grafigi, k da<0

1. (0;0) nuqta giperbolaning simmetriya markazi.

2. Koordinata o'qlari - giperbolaning asimptotalari.

4. Funktsiyaning aniqlanish sohasi x=0 dan tashqari barcha x dir.

5. x0 da y>0.

6. Funksiya (-∞;0) oraliqda ham, (0;+∞) oraliqda ham ortadi.

7. Funktsiya pastdan ham, yuqoridan ham cheklanmaydi.

8. Funksiya maksimal va minimal qiymatga ega emas.

9. Funksiya (-∞;0) oraliqda va (0;+∞) oraliqda uzluksizdir. X=0 da bo'shliq bor.

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati mutlaqo zarur.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bunda a, b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar, a ≠ 0 bo'ladi.

Muayyan yechim usullarini o'rganishdan oldin, barcha kvadrat tenglamalarni uchta sinfga bo'lish mumkinligini unutmang:

Ildizlari yo'q;
Aynan bitta ildizga ega bo'ling;
Ular ikki xil ildizga ega.

Bu kvadrat tenglamalar va chiziqli tenglamalar o'rtasidagi muhim farq, bu erda ildiz har doim mavjud va noyobdir. Tenglamaning nechta ildizi borligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin.U holda diskriminant oddiygina D = b 2 - 4ac soni bo'ladi.

Ushbu formulani yoddan bilishingiz kerak. Endi u qaerdan kelgani muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminant belgisi bilan kvadrat tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

Agar D< 0, корней нет;
Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
Agar D > 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

Iltimos, diqqat qiling: diskriminant ildizlarning sonini ko'rsatadi, ammo ularning belgilari emas, chunki ko'pchilik negadir ishonadi. Misollarni ko'rib chiqing va siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar nechta ildizga ega:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Demak, diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani xuddi shunday tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Qolgan oxirgi tenglama:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, bu zerikarli, lekin siz qiyinchiliklarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz uchun tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz o'zingizni tushunsangiz, bir muncha vaqt o'tgach, barcha koeffitsientlarni yozishingiz shart emas. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Aksariyat odamlar buni 50-70 ta echilgan tenglamadan keyin biror joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari

Endi yechimning o'ziga o'taylik. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Asosiy ildiz formulasi kvadrat tenglama

D = 0 bo'lganda, siz ushbu formulalarning har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil raqamni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \o'ng))=3. \\ \end (tekislash)\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Har qanday formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblasangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha, formulaga salbiy koeffitsientlarni almashtirishda xatolar yuzaga keladi. Bu erda yana yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulaga tom ma'noda qarang, har bir qadamni yozing - va juda tez orada siz xatolardan xalos bo'lasiz.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Shunday bo'ladiki, kvadrat tenglama ta'rifda berilganidan biroz farq qiladi. Masalan:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Bu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini payqash oson. Bunday kvadrat tenglamalarni echish standart tenglamalarga qaraganda osonroq: ular hatto diskriminantni hisoblashni ham talab qilmaydi. Shunday qilib, keling, yangi kontseptsiyani kiritamiz:

ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementning koeffitsienti nolga teng.

Albatta, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda juda qiyin holat mumkin: b = c = 0. Bu holda, tenglama ax 2 = 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bitta ildizga ega: x. = 0.

Keling, qolgan holatlarni ko'rib chiqaylik. b = 0 bo'lsin, u holda ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz. Uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetikadan beri Kvadrat ildiz dangina mavjud manfiy bo'lmagan raqam, oxirgi tenglik faqat (−c /a) ≥ 0 uchun ma'noga ega. Xulosa:

Agar ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamada (−c /a) ≥ 0 tengsizlik qanoatlansa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
Agar (−c /a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant talab qilinmadi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda hech qanday farq yo'q. murakkab hisob-kitoblar. Darhaqiqat, (−c /a) ≥ 0 tengsizligini eslash ham shart emas. X 2 qiymatini ifodalash va tenglik belgisining boshqa tomonida nima borligini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Agar u salbiy bo'lsa, unda hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi erkin element nolga teng ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni faktorga kiritish kifoya:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqarish

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu ildizlar qaerdan keladi. Xulosa qilib, keling, ushbu tenglamalardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik: