Mavzu bo'yicha dars “Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya”

Darsning maqsadi: o‘quvchilarni ketma-ketlikning yangi turi – cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan tanishtirish.

Vazifalar:

sonli ketma-ketlik chegarasining dastlabki g'oyasini shakllantirish; cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasidan foydalanib, cheksiz davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning boshqa usuli bilan tanishish;

maktab o'quvchilarining mantiqiy fikrlash, baholash harakatlari va umumlashtirish kabi intellektual fazilatlarini rivojlantirish;

faollikni, o'zaro yordamni, jamoaviylikni va mavzuga qiziqishni tarbiyalash.

Uskunalar: kompyuter sinfi, proyektor, ekran.

Dars turi: dars - o'rganish yangi mavzu.

Darslar davomida

I . Org. moment. Darsning mavzusi va maqsadini ayting.

II . Talabalarning bilimlarini yangilash.1. Uy vazifasini tekshirish.

1) Arifmetik va geometrik progressiyalarga oid asosiy formulalarni tekshirish. Ikki talaba doskada formulalar bo'yicha eslatma tayyorlamoqda.

2) Qolgan talabalar bajaradilar “Yumlama formulalari” mavzusida matematik diktant.

Vazifalar:

№1. Birinchi besh hadning yig‘indisini toping arifmetik progressiya, agar uning birinchi hadi 6 (1-variant), -20 (2-variant) va beshinchi hadi -6 (1-variant), 20 (2-variant) ga teng bo'lsa.

№2. Arifmetik progressiyaning birinchi hadi -20 (1-variant), 6 (2-variant) va farqi 10 (1-variant), -3 (2-variant) ga teng boʻlsa, uning birinchi besh hadining yigʻindisini toping.

№3. Geometrik progressiyaning birinchi hadi 1 (1-variant), -1 (2-variant) ga, maxraji esa -2 (1-variant), 2 (2-variant) ga teng boʻlsa, uning birinchi besh hadining yigʻindisini toping.

Diktant oxirida ikkita talabaning ishi baholash uchun tanlab tekshiriladi, qolganlari doskaning qopqog'iga yozilgan tayyor echimlar yordamida o'z-o'zini sinab ko'radi.

Yechimlar:

Vazifalar

1. Arifmetik progressiya formula bilan berilgan a n = 7 – 4 n. Toping a 10 . (-33)

2. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 Va a 5 = 1 . Toping a 4 . (4)

3. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 Va a 5 = 1 . Toping a 17 . (-35)

4. Arifmetik progressiyada a 3 = 7 Va a 5 = 1 . Toping S 17 . (-187)

5. Geometrik progressiya uchun
beshinchi hadni toping.

6. Geometrik progressiya uchun
toping n th a'zosi.

7. Eksponensial b 3 = 8 Va b 5 = 2 . Toping b 4 . (4)

8. Eksponensial b 3 = 8 Va b 5 = 2 . Toping b 1 Va q .

9. Eksponensial b 3 = 8 Va b 5 = 2 . Toping S 5 . (62)

III . Yangi mavzuni o'rganish(taqdimot namoyishi).

Tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqaylik. Keling, tomoni birinchi kvadratning yarmiga teng bo'lgan yana bir kvadrat chizamiz, keyin tomoni ikkinchi yarmi bo'lgan boshqasini, keyin keyingisini va hokazo. Har safar yangi kvadratning tomoni avvalgisining yarmiga teng bo'ladi.

Natijada biz kvadratchalar ketma-ketligini oldik maxraj bilan geometrik progressiya hosil qilish.

Va, eng muhimi, biz bunday kvadratlarni qanchalik ko'p qursak, kvadratning yon tomoni shunchalik kichik bo'ladi. Masalan,

Bular. n soni ortishi bilan progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi.

Ushbu raqamdan foydalanib, siz boshqa ketma-ketlikni ko'rib chiqishingiz mumkin.

Masalan, kvadrat maydonlarining ketma-ketligi:

. Va yana, agar n cheksiz ortadi, keyin maydon siz xohlagancha yaqin nolga yaqinlashadi.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tomonlari 1 sm ga teng bo'lgan teng tomonli uchburchak. Quyidagi uchburchakni uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teoremaga ko‘ra, 1-uchburchak tomonlari o‘rtalaridagi uchlari bilan quramiz - 2-chi tomoni birinchi tomonning yarmiga, 3-chi tomonining yarmiga teng. 2-chi tomonining yarmiga teng va hokazo. Yana uchburchaklar tomonlarining uzunliklari ketma-ketligini olamiz.

da
.

Agar manfiy maxrajli geometrik progressiyani ko'rib chiqsak.

Keyin, yana, ortib borayotgan raqamlar bilan n progressiyaning shartlari nolga yaqinlashadi.

Keling, ushbu ketma-ketliklarning maxrajlariga e'tibor qaratamiz. Hamma joyda denominatorlar mutlaq qiymatda 1 dan kam edi.

Xulosa qilishimiz mumkin: geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli 1 dan kichik bo'lsa, u cheksiz kamayib boradi.

Frontal ish.

Ta'rifi:

Geometrik progressiya, agar uning maxrajining moduli birdan kichik bo'lsa, cheksiz kamayib boruvchi deyiladi.
.

Ta'rifdan foydalanib, siz geometrik progressiyaning cheksiz kamayishini yoki yo'qligini hal qilishingiz mumkin.

Vazifa

Ketma-ketlik quyidagi formula bilan berilgan bo'lsa, u cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo'ladimi:

;
.

Yechim:

. Biz topamiz q .

;
;
;
.

bu geometrik progressiya cheksiz kamayib bormoqda.

b) bu ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya emas.

Yoni 1 ga teng bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing. Uni yarmiga bo'ling, yarmidan birini yarmiga bo'ling va hokazo. Olingan barcha to'rtburchaklarning maydonlari cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani hosil qiladi:

Shu tarzda olingan barcha to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi 1-kvadratning maydoniga va 1 ga teng bo'ladi.

Ammo bu tenglikning chap tomonida cheksiz sonli hadlar yig'indisi joylashgan.

Birinchi n ta hadning yig'indisini ko'rib chiqamiz.

Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi formulasiga ko'ra, u ga teng .

Agar n cheksiz ortadi, keyin

yoki
. Shunung uchun
, ya'ni.
.

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi ketma-ketlik chegarasi mavjud S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Masalan, rivojlanish uchun
,

Chunki

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi formuladan foydalanib topish mumkin
.

III . Tushunish va mustahkamlash(topshiriqlarni bajarish).

Vazifa № 2. Birinchi hadi 3, ikkinchi hadi 0,3 bo‘lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisini toping.

Yechim:

Vazifa № 3. darslik, 160-bet, № 433(1)

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisini toping:

Yechim:

Vazifa № 4. Cheksiz davriy kasr 0,(5) ni oddiy kasr sifatida yozing.

1-usul. x=0,(5)= 0,555... / 10 2-usul bo'lsin. 0,(5)=0,555…=

Vazifa № 5. darslik, 162-bet, No 445(3) (mustaqil yechim)

Cheksiz davriy kasr 0,(12) ni oddiy kasr sifatida yozing.

Javob: 0,(12)= 4/33.

IV . Xulosa qilish.

Bugun qanday ketma-ketlik bilan tanishdingiz?

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani aniqlang.

Geometrik progressiyaning cheksiz kamayishini qanday isbotlash mumkin?

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasini keltiring.

V . Uy vazifasi.

Raqamli ketma-ketliklar VI

§ l48. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi

Shu paytgacha summalar haqida gapirganda, biz bu yig‘indilardagi atamalar sonini chekli (masalan, 2, 15, 1000 va hokazo) deb hisoblardik. Ammo ba'zi muammolarni (ayniqsa oliy matematika) yechishda cheksiz sonli atamalar yig'indisi bilan shug'ullanish kerak.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Bu miqdorlar qanday? A-prior cheksiz sonli hadlar yig'indisi a 1 , a 2 , ..., a n , ... yig‘indining limiti S deyiladi n birinchi P raqamlar qachon P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2), albatta, mavjud yoki bo'lmasligi mumkin. Shunga ko'ra, ular yig'indi (1) mavjud yoki yo'qligini aytadilar.

Har bir alohida holatda summa (1) mavjudligini qanday aniqlash mumkin? Umumiy qaror Bu masala dasturimiz doirasidan ancha chiqib ketadi. Biroq, bitta muhim narsa bor maxsus holat, biz hozir ko'rib chiqishimiz kerak. Biz cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlarini yig'ish haqida gapiramiz.

Mayli a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. Bu shuni anglatadiki | q |< 1. Сумма первых P bu progressiyaning shartlari teng

O'zgaruvchilar chegaralari haqidagi asosiy teoremalardan (136-§ ga qarang) biz quyidagilarni olamiz:

Lekin 1 = 1, a qn = 0. Shuning uchun

Demak, cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyaning yig‘indisi bu progressiyaning birinchi hadini minus shu progressiyaning maxrajiga bo‘linganiga teng.

1) Geometrik progressiyaning yig‘indisi 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ga teng.

geometrik progressiya yig‘indisi esa 12 ga teng; -6; 3; - 3/2 , ... teng

2) 0,454545 ... oddiy davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring.

Ushbu muammoni hal qilish uchun bu kasrni cheksiz yig'indi sifatida tasavvur qiling:

Bu tenglikning o'ng tomoni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi bo'lib, uning birinchi hadi 45/100 ga, maxraj esa 1/100 ga teng. Shunung uchun

Ta'riflangan usuldan foydalanib, uni ham olish mumkin umumiy qoida oddiy davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish (II bob, § 38 ga qarang):

Oddiy davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak: nuqtani raqamga qo'ying. kasr, maxraj esa o'nlik kasr davridagi raqamlar qancha bo'lsa, shuncha marta olingan to'qqizdan iborat sondir.

3) 0,58333 .... aralash davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring.

Keling, bu kasrni cheksiz yig'indi sifatida tasavvur qilaylik:

Bu tenglikning o'ng tomonida 3/1000 dan boshlab barcha hadlar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hosil qiladi, birinchi hadi 3/1000 ga, maxraj esa 1/10 ga teng. Shunung uchun

Ta'riflangan usuldan foydalanib, aralash davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning umumiy qoidasini olish mumkin (II bob, § 38-bandga qarang). Biz buni ataylab bu erda taqdim qilmaymiz. Ushbu noqulay qoidani eslab qolishning hojati yo'q. Har qanday aralash davriy kasrni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya va ma'lum bir sonning yig'indisi sifatida ifodalash mumkinligini bilish ancha foydalidir. Va formula

cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi uchun, albatta, eslab qolish kerak.

Mashq sifatida quyida keltirilgan 995-1000-sonli masalalardan tashqari yana bir bor 301-§ 38-masalaga murojaat qilishingizni taklif qilamiz.

Mashqlar

995. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi nima deyiladi?

996. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyalar yig‘indilarini toping:

997. Qanday qiymatlarda X taraqqiyot

cheksiz kamayib bormoqdami? Bunday progressiyaning yig‘indisini toping.

998.V teng tomonli uchburchak tomoni bilan A uning tomonlari o'rta nuqtalarini birlashtirib, yangi uchburchak chizilgan; yangi uchburchak bu uchburchak ichiga xuddi shu tarzda yozilgan va hokazo.

a) barcha bu uchburchaklarning perimetrlari yig'indisi;

b) ularning maydonlarining yig'indisi.

999. Yoni bilan kvadrat A uning yon tomonlarining o'rta nuqtalarini birlashtirib, yangi kvadrat chizilgan; kvadrat xuddi shu tarzda bu kvadratga yozilgan va hokazo. Bu barcha kvadratlarning perimetrlari yig‘indisini va ularning maydonlari yig‘indisini toping.

1000. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya tuzing, uning yig‘indisi 25/4 ga, hadlari kvadratlari yig‘indisi 625/24 ga teng bo‘lsin.

Endi cheksiz geometrik progressiyani yig'ish masalasini ko'rib chiqamiz. Berilgan cheksiz progressiyaning qisman yig‘indisini uning birinchi hadlari yig‘indisi deb ataylik. Qisman yig'indini belgi bilan belgilaymiz

Har bir cheksiz progressiya uchun

uning qisman yig'indilarining (shuningdek, cheksiz) ketma-ketligini tuzish mumkin

Cheksiz o'sish bilan ketma-ketlik chegaraga ega bo'lsin

Bunda S soni, ya'ni progressiyaning qisman yig'indilarining chegarasi cheksiz progressiya yig'indisi deyiladi. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya har doim yig‘indiga ega ekanligini isbotlaymiz va bu yig‘indining formulasini olamiz (cheksiz progressiyaning yig‘indisi bo‘lmasa, u mavjud emasligini ham ko‘rsatishimiz mumkin).

(91.1) formuladan foydalanib qisman yig‘indining ifodasini progressiya hadlari yig‘indisi sifatida yozamiz va qisman yig‘indining chegarasini ko‘rib chiqamiz.

89-teoremadan ma'lumki, kamayuvchi progressiya uchun; shuning uchun farq chegarasi teoremasini qo'llash orqali topamiz

(bu erda qoida ham qo'llaniladi: doimiy omil chegara belgisidan tashqari olinadi). Mavjudligi isbotlangan va shu bilan birga cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi formulasi olinadi:

Tenglik (92.1) shaklida ham yozilishi mumkin

Bu erda miqdor paradoksal ko'rinishi mumkin cheksiz son shartlarga juda aniq yakuniy qiymat beriladi.

Ushbu vaziyatni tushuntirish uchun aniq misol keltirilishi mumkin. Yon tomoni bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing birga teng(72-rasm). Ushbu kvadratni gorizontal chiziq bilan ikkita teng qismga bo'ling va yuqori qismi Uni pastki qismga qo'llang, shunda 2 va tomonlari bilan to'rtburchaklar hosil bo'ladi. Shundan so'ng, biz yana bu to'rtburchakning o'ng yarmini gorizontal chiziq bilan yarmiga bo'lamiz va yuqori qismini pastki qismga biriktiramiz (72-rasmda ko'rsatilganidek). Ushbu jarayonni davom ettirib, biz doimiy ravishda maydoni 1 ga teng bo'lgan asl kvadratni teng o'lchamdagi raqamlarga aylantiramiz (nozik qadamlar bilan zinapoya shaklida).

Ushbu jarayonning cheksiz davomi bilan kvadratning butun maydoni cheksiz sonli hadlarga - asoslari 1 ga va balandliklarga teng bo'lgan to'rtburchaklar maydoniga bo'linadi.

ya'ni, kutilgandek, kvadrat maydoniga teng.

Misol. Quyidagi cheksiz progressiyalarning yig‘indisini toping:

Yechim, a) Biz bu progressiyani ko'ramiz, shuning uchun (92.2) formuladan foydalanib topamiz

b) Bu erda bir xil formuladan (92.2) foydalanish bizda borligini anglatadi

c) Bu progressiyaning yig'indisi yo'qligini aniqlaymiz.

5-bandda davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun cheksiz kamayuvchi progressiyaning hadlari yig'indisi formulasini qo'llash ko'rsatilgan.

Mashqlar

1. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisi 3/5 ga, birinchi to‘rtta hadining yig‘indisi esa 13/27 ga teng. Progressiyaning birinchi hadini va maxrajini toping.

2. O‘zgaruvchan geometrik progressiya hosil qiluvchi to‘rtta sonni toping, bunda ikkinchi had birinchisidan 35 ga kichik, uchinchisi esa to‘rtinchisidan 560 ga katta.

3. Agar ketma-ketlikni ko'rsating

cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani, keyin ketma-ketlikni hosil qiladi

har qanday uchun u cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hosil qiladi. Bu gap qachon to'g'ri keladi

Geometrik progressiya hadlari ko‘paytmasi formulasini chiqaring.

Geometrik progressiya yangi tur biz tanishmoqchi bo'lgan sonli ketma-ketlik. Muvaffaqiyatli tanishish uchun hech bo'lmaganda bilish va tushunish zarar qilmaydi. Keyin geometrik progressiya bilan bog'liq muammolar bo'lmaydi.)

Geometrik progressiya nima? Geometrik progressiya haqida tushuncha.

Biz ekskursiyani odatdagidek, asosiy narsalar bilan boshlaymiz. Men tugallanmagan raqamlar ketma-ketligini yozaman:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Naqshni aniqlab, keyingi qaysi raqamlar kelishini ayta olasizmi? Qalampir aniq, keyin 100 000, 1 000 000 va shunga o'xshash raqamlar keladi. Ko'p aqliy harakatsiz ham hamma narsa aniq, to'g'rimi?)

KELISHDIKMI. Yana bir misol. Men ushbu ketma-ketlikni yozaman:

1, 2, 4, 8, 16, …

16 va ismdan keyin qaysi raqamlar kelishini ayta olasizmi? sakkizinchi ketma-ketlik a'zosi? Agar siz 128 raqami bo'lishini bilsangiz, juda yaxshi. Demak, kurashning yarmi tushunishda tuyg'u Va asosiy fikrlar geometrik progressiya allaqachon bajarilgan. Siz yanada o'sishingiz mumkin.)

Va endi biz yana sensatsiyalardan qat'iy matematikaga o'tamiz.

Geometrik progressiyaning asosiy nuqtalari.

Asosiy nuqta №1

Geometrik progressiya raqamlar ketma-ketligi. Taraqqiyot ham shunday. Qiziqarli hech narsa. Faqat shu ketma-ketlik tartibga solinadi boshqacha. Shuning uchun, tabiiyki, uning boshqa nomi bor, ha ...

Asosiy nuqta №2

Ikkinchi asosiy nuqta bilan savol yanada qiyinroq bo'ladi. Keling, bir oz orqaga qaytaylik va arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatini eslaylik. Mana: har bir a'zo avvalgisidan farq qiladi bir xil miqdorda.

Geometrik progressiya uchun shunga o'xshash kalit xususiyatini shakllantirish mumkinmi? Biroz o'ylab ko'ring... Berilgan misollarni diqqat bilan ko'rib chiqing. Siz taxmin qildingizmi? Ha! Geometrik progressiyada (har qanday!) uning har bir a'zosi avvalgisidan farq qiladi bir xil marta. Har doim!

Birinchi misolda bu raqam o'nta. Ketma-ketlikning qaysi a'zosini qabul qilsangiz, u avvalgisidan kattaroqdir o'n marta.

Ikkinchi misolda bu ikkita: har bir atama oldingisidan kattaroqdir ikki marta.

Aynan shu asosiy nuqta geometrik progressiyaning arifmetik progressiyadan farq qiladi. Arifmetik progressiyada har bir keyingi had olinadi qo'shish orqali oldingi atama bilan bir xil qiymat. Va bu erda - ko'paytirish oldingi muddat bir xil miqdorda. Bu butun farq.)

Asosiy nuqta №3

Bu asosiy nuqta arifmetik progressiya bilan mutlaqo bir xil. Aynan: Geometrik progressiyaning har bir a'zosi o'z o'rnida turadi. Hamma narsa arifmetik progressiya bilan bir xil va sharhlar, menimcha, keraksiz. Birinchi atama bor, yuz va birinchi va hokazo. Keling, kamida ikkita atamani almashtiramiz - naqsh (va u bilan birga geometrik progressiya) yo'qoladi. Hech qanday mantiqsiz raqamlar ketma-ketligi qoladi.

Ana xolos. Bu geometrik progressiyaning butun nuqtasidir.

Shartlar va belgilar.

Ammo endi, geometrik progressiyaning ma'nosi va asosiy nuqtalarini tushunib, biz nazariyaga o'tishimiz mumkin. Bo‘lmasa, ma’nosini tushunmay turib, nazariya nima, to‘g‘rimi?

Geometrik progressiya qanday ifodalanadi?

Geometrik progressiya qanday yoziladi umumiy ko'rinish? Hammasi joyida! Progressiyaning har bir muddati ham harf sifatida yoziladi. Faqat arifmetik progressiya uchun odatda harf ishlatiladi "A", geometrik uchun - harf "b". A'zo raqami, odatdagidek, ko'rsatilgan pastki o'ngdagi indeks. Biz faqat vergul yoki nuqtali vergul bilan ajratilgan progressiya a'zolarini sanab o'tamiz.

Mana bunday:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Qisqacha aytganda, bu progressiya quyidagicha yozilgan: (b n) .

Yoki shunday, cheklangan progressiyalar uchun:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Yoki qisqasi:

(b n), n=30 .

Bu, aslida, barcha belgi. Hammasi bir xil, faqat harf boshqacha, ha.) Va endi biz to'g'ridan-to'g'ri ta'rifga o'tamiz.

Geometrik progressiyaning ta’rifi.

Geometrik progressiya deganda birinchi hadi nolga teng bo'lmagan va har bir keyingi had oldingi hadga bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytiriladigan sonlar ketma-ketligidir.

Bu butun ta'rif. Aksariyat so'zlar va iboralar sizga tushunarli va tanish. Agar, albatta, siz "barmoqlaringizda" va umuman geometrik progressiyaning ma'nosini tushunsangiz. Ammo yana bir nechta yangi iboralar borki, men ularga alohida e'tibor qaratmoqchiman.

Birinchidan, so'zlar: "birinchi a'zosi nolga teng bo'lmagan".

Birinchi muddatga bu cheklov tasodifan kiritilmagan. Birinchi a'zo bo'lsa nima bo'ladi deb o'ylaysiz b 1 nolga teng bo'ladimi? Har bir haddan oldingisidan katta bo'lsa, ikkinchi had nimaga teng bo'ladi? bir xil marta? Uch marta aytaylikmi? Keling, ko'rib chiqaylik ... Birinchi hadni (ya'ni 0) 3 ga ko'paytiring va ... nolga erishing! Uchinchi a'zo haqida nima deyish mumkin? Shuningdek, nol! Va to'rtinchi muddat ham nolga teng! Va hokazo…

Biz shunchaki bir sumka simit olamiz, nollar ketma-ketligi:

0, 0, 0, 0, …

Albatta, bunday ketma-ketlik yashash huquqiga ega, ammo u amaliy manfaatdor emas. Hammasi aniq. Uning har qanday a'zosi nolga teng. Har qanday sonli atamalar yig'indisi ham nolga teng ... U bilan qanday qiziqarli narsalarni qilishingiz mumkin? Hech narsa…

Quyidagi kalit so'zlar: "bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytiriladi."

Xuddi shu raqamning o'ziga xos nomi ham bor - geometrik progressiyaning maxraji. Keling, tanishishni boshlaylik.)

Geometrik progressiyaning maxraji.

Hamma narsa nokni otish kabi oddiy.

Geometrik progressiyaning maxraji ko'rsatuvchi nolga teng bo'lmagan son (yoki miqdor) hisoblanadi necha martaprogressiyaning har bir muddati oldingisidan ko'proq.

Yana arifmetik progressiyaga o'xshab, kalit so'z Ushbu ta'rifda e'tibor berish kerak bo'lgan narsa so'zdir "Ko'proq". Bu geometrik progressiyaning har bir hadi olinganligini bildiradi ko'paytirish aynan shu maxrajga oldingi a'zo.

Keling, tushuntiraman.

Hisoblash uchun, aytaylik ikkinchi dick, olish kerak birinchi a'zosi va ko'paytirmoq uni maxrajga. Hisoblash uchun o'ninchi dick, olish kerak to'qqizinchi a'zosi va ko'paytirmoq uni maxrajga.

Geometrik progressiyaning maxraji har qanday bo'lishi mumkin. Hech kimga! Butun, kasr, ijobiy, salbiy, mantiqsiz - hamma narsa. Noldan tashqari. Ta'rifdagi "nol bo'lmagan" so'zi bizga shuni aytadi. Nima uchun bu so'z bu erda kerak - bu haqda keyinroq.

Geometrik progressiyaning maxraji ko'pincha harf bilan ko'rsatiladi q.

Uni qanday topish mumkin q? Hammasi joyida! Biz progressiyaning har qanday muddatini olishimiz kerak va oldingi muddatga bo'linadi. Bo'linish - bu kasr. Shuning uchun nom - "progressiya maxraji". Maxraj, odatda kasrda o'tiradi, ha ...) Garchi, mantiqan, qiymat q chaqirilishi kerak xususiy ga o'xshash geometrik progressiya farq arifmetik progressiya uchun. Ammo biz qo'ng'iroq qilishga rozi bo'ldik maxraj. Va biz g'ildirakni qayta ixtiro qilmaymiz.)

Keling, masalan, miqdorni aniqlaylik q Ushbu geometrik progressiya uchun:

2, 6, 18, 54, …

Hamma narsa elementar. Keling, olamiz har qanday tartib raqami. Biz xohlagan narsani olamiz. Birinchisidan tashqari. Masalan, 18. Va bo'linadi oldingi raqam. Ya'ni 6 da.

Biz olamiz:

q = 18/6 = 3

Ana xolos. Bu to'g'ri javob. Ushbu geometrik progressiya uchun maxraj uchtadir.

Endi maxrajni topamiz q boshqa geometrik progressiya uchun. Masalan, bu:

1, -2, 4, -8, 16, …

Hammasi bir xil. A'zolarning o'zlari qanday belgilarga ega bo'lishidan qat'i nazar, biz hali ham qabul qilamiz har qanday ketma-ketlik raqami (masalan, 16) va bo'linadi oldingi raqam(ya'ni -8).

Biz olamiz:

d = 16/(-8) = -2

Va tamom.) Bu safar progressiyaning maxraji manfiy bo'lib chiqdi. Minus ikki. Bo'ladi.)

Keling, bu jarayonni ko'rib chiqaylik:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Va yana, ketma-ketlikdagi raqamlar turidan qat'i nazar (butun sonlar, hatto kasrlar, hatto manfiy, hatto irratsional bo'lsin), biz har qanday raqamni (masalan, 1/9) olamiz va oldingi raqamga (1/3) bo'lamiz. Albatta, kasrlar bilan ishlash qoidalariga ko'ra.

Biz olamiz:

Hammasi shu.) Bu erda maxraj kasr bo'lib chiqdi: q = 1/3.

Ushbu "taraqqiyot" haqida qanday fikrdasiz?

3, 3, 3, 3, 3, …

Shu yerda q = 1 . Rasmiy ravishda, bu ham geometrik progressiya, faqat bilan bir xil a'zolar.) Ammo bunday progressiyalar o'rganish uchun va amaliy qo'llash qiziq emas. Qattiq nolga ega progressiyalar bilan bir xil. Shuning uchun biz ularni hisobga olmaymiz.

Ko'rib turganingizdek, progressiyaning maxraji har qanday bo'lishi mumkin - butun, kasr, musbat, salbiy - hamma narsa! Bu shunchaki nolga teng bo'lishi mumkin emas. Sababini bilolmayapsizmi?

Xo'sh, keling, ba'zilariga boraylik aniq misol Keling, agar biz maxraj sifatida qabul qilsak, nima bo'lishini ko'rib chiqamiz q nol.) Masalan, bizda bo'lsin b 1 = 2 , A q = 0 . Keyin ikkinchi atama nimaga teng bo'ladi?

Biz hisoblaymiz:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Uchinchi a'zo haqida nima deyish mumkin?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Geometrik progressiyalarning turlari va harakati.

Hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq edi: progressiyaning farqi bo'lsa d ijobiy bo'lsa, keyin progressiya oshadi. Agar farq salbiy bo'lsa, unda progressiya kamayadi. Faqat ikkita variant bor. Uchinchisi yo'q.)

Ammo geometrik progressiyaning harakati bilan hamma narsa yanada qiziqarli va xilma-xil bo'ladi!)

Bu erda atamalar qanday bo'lishidan qat'i nazar: ular ko'payadi va kamayadi va nolga cheksiz yaqinlashadi va hatto belgilarni o'zgartiradi, navbat bilan o'zlarini "ortiqcha" ga, keyin esa "minus" ga tashlaydi! Va bu xilma-xillikda siz yaxshi tushuna olishingiz kerak, ha ...

Keling, buni aniqlaylik?) Eng oddiy holatdan boshlaylik.

Maxraj ijobiy ( q >0)

Ijobiy maxraj bilan, birinchidan, geometrik progressiyaning shartlariga kirishi mumkin ortiqcha cheksizlik(ya'ni chegarasiz oshirish) va ichiga kirishi mumkin minus cheksizlik(ya'ni, cheksiz kamaytirish). Biz progressivlikning bunday xatti-harakatlariga allaqachon o'rganib qolganmiz.

Masalan:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Bu erda hamma narsa oddiy. Progressiyaning har bir muddati olinadi oldingisidan ko'proq. Bundan tashqari, har bir atama chiqadi ko'paytirish oldingi a'zo ijobiy raqam +2 (ya'ni. q = 2 ). Bunday progressiyaning xatti-harakati aniq: progressiyaning barcha a'zolari kosmosga chiqib, cheksiz o'sadi. Bundan tashqari, cheksizlik ...

Va endi taraqqiyot:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Bu yerda ham progressiyaning har bir atamasi olinadi ko'paytirish oldingi a'zo ijobiy raqam +2. Ammo bunday progressiyaning xatti-harakati mutlaqo teskari: progressiyaning har bir atamasi olinadi oldingisidan kamroq, va uning barcha shartlari cheksiz kamayadi, minus cheksizlikka boradi.

Endi o'ylab ko'raylik: bu ikki progressiyaning umumiyligi nimada? To'g'ri, denominator! Bu yerda va u yerda q = +2 . Ijobiy raqam. Ikki. Va bu erda xulq-atvor Bu ikki progressiya tubdan farq qiladi! Sababini bilolmayapsizmi? Ha! Hammasi haqida birinchi a'zo! Aytishlaricha, kuyni o'zi chaqiradi.) O'zingiz ko'ring.

Birinchi holda, progressiyaning birinchi muddati ijobiy(+1) va shuning uchun ko'paytirish orqali olingan barcha keyingi shartlar ijobiy maxraj q = +2 , ham bo'ladi ijobiy.

Ammo ikkinchi holatda, birinchi muddat salbiy(-1). Shuning uchun, ko'paytirish orqali olingan progressiyaning barcha keyingi shartlari ijobiy q = +2 , ham olinadi salbiy. Chunki "minus" dan "ortiqcha" har doim "minus" beradi, ha.)

Ko'rib turganingizdek, arifmetik progressiyadan farqli o'laroq, geometrik progressiya nafaqat unga bog'liq holda butunlay boshqacha harakat qilishi mumkin. maxrajdanq, balki bog'liq birinchi a'zodan, Ha.)

Esingizda bo'lsin: geometrik progressiyaning xatti-harakati uning birinchi hadi bilan aniq belgilanadi b 1 va maxrajq .

Va endi biz kamroq tanish, ammo juda qiziqroq vaziyatlarni tahlil qilishni boshlaymiz!

Masalan, ushbu ketma-ketlikni olaylik:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Bu ketma-ketlik ham geometrik progressiyadir! Ushbu progressiyaning har bir muddati ham chiqadi ko'paytirish oldingi a'zo, xuddi shu raqam bilan. Bu shunchaki raqam - kasr: q = +1/2 . Yoki +0,5 . Bundan tashqari (muhim!) raqam birdan kam:q = 1/2<1.

Nima uchun bu geometrik progressiya qiziq? Uning a'zolari qayoqqa ketmoqda? Keling, ko'rib chiqaylik:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Bu erda qanday qiziqarli narsalarni ko'rishingiz mumkin? Birinchidan, progressiyaning pasayishi darhol seziladi: uning har bir a'zosi Ozroq avvalgisi aniq 2 marta. Yoki, geometrik progressiyaning ta'rifiga ko'ra, har bir atama Ko'proq oldingi 1/2 marta, chunki progressiyaning maxraji q = 1/2 . Va bittadan kichik musbat songa ko'paytirilsa, natija odatda kamayadi, ha ...

Nima Ko'proq bu progressiyaning xulq-atvorida ko'rish mumkinmi? Uning a'zolari kamayib bormoqdami? cheksiz, minus cheksizlikka borasizmi? Yo'q! Ular o'ziga xos tarzda yo'qoladi. Avvaliga ular juda tez kamayadi, keyin esa asta-sekin. Va har doim qolganda ijobiy. Juda, juda kichik bo'lsa ham. Va ular o'zlari nimaga intilishadi? Siz taxmin qilmadingizmi? Ha! Ular nolga intilishadi!) Bundan tashqari, e'tibor bering, bizning progressiyamiz a'zolari noldan hech qachon yetib bormasin! Faqat unga cheksiz yaqinlashish. Bu juda muhim.)

Shunga o'xshash holat quyidagi bosqichlarda sodir bo'ladi:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Bu yerga b 1 = -1 , A q = 1/2 . Hammasi bir xil, faqat endi shartlar boshqa tomondan, pastdan nolga yaqinlashadi. Har doim qolish salbiy.)

Bunday geometrik progressiya, uning shartlari cheksiz nolga yaqinlashing(ijobiy yoki salbiy tomondan qat'iy nazar), matematikada alohida nom bor - cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. Bu jarayon shu qadar qiziqarli va g'ayrioddiyki, u hatto muhokama qilinadi alohida dars .)

Shunday qilib, biz hamma narsani ko'rib chiqdik ijobiy maxrajlar ham katta, ham kichikroqdir. Biz yuqorida aytib o'tilgan sabablarga ko'ra birlikning o'zini maxraj deb hisoblamaymiz (uchlik ketma-ketligi bilan misolni eslang...)

Keling, xulosa qilaylik:

ijobiyVa birdan ortiq (q>1), keyin progressiyaning shartlari:

a) cheklovsiz oshirish (agarb 1 >0);

b) cheksiz kamaytirish (agarb 1 <0).

Geometrik progressiyaning maxraji bo'lsa ijobiy Va bittadan kam (0< q<1), то члены прогрессии:

a) nolga cheksiz yaqin yuqorida(Agarb 1 >0);

b) nolga cheksiz yaqinlashish pastdan(Agarb 1 <0).

Endi ishni ko'rib chiqish qoladi manfiy maxraj.

Maxraj manfiy ( q <0)

Misol uchun uzoqqa bormaymiz. Nima uchun, aynan, shaggy buvisi?!) Masalan, progressiyaning birinchi atamasi bo'lsin b 1 = 1 , va maxrajni olaylik q = -2.

Biz quyidagi ketma-ketlikni olamiz:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Va hokazo.) Progressiyaning har bir hadi olinadi ko'paytirish oldingi a'zo manfiy raqam-2. Bunday holda, toq joylarda turgan barcha a'zolar (birinchi, uchinchi, beshinchi va boshqalar) bo'ladi ijobiy, va juft joylarda (ikkinchi, to'rtinchi va boshqalar) - salbiy. Belgilar qat'iy ravishda o'zgarib turadi. Plyus-minus-plyus-minus... Bu geometrik progressiya deyiladi - ortib borayotgan belgi almashinadi.

Uning a'zolari qayoqqa ketmoqda? Lekin hech qayerda.) Ha, mutlaq qiymatda (ya'ni modul) bizning progressiyamiz a'zolari cheksiz ko'payadi (shuning uchun "o'sish" nomi). Ammo shu bilan birga, progressiyaning har bir a'zosi sizni navbat bilan issiqqa, keyin sovuqqa tashlaydi. Yoki "ortiqcha" yoki "minus". Taraqqiyotimiz tebranib bormoqda... Boz ustiga, tebranishlar ko‘lami har qadamda tez o‘sib bormoqda, ha.) Shunday ekan, progressiya a’zolarining intilishlari qayergadir ketyapti. maxsus Bu yerga Yo'q. Na ortiqcha cheksizlikka, na minus cheksizlikka, na nolga - hech qaerda.

Keling, nol va minus bir o'rtasidagi kasr maxrajini ko'rib chiqaylik.

Masalan, shunday bo'lsin b 1 = 1 , A q = -1/2.

Keyin biz rivojlanishni olamiz:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Va yana bizda belgilarning navbati bor! Lekin, oldingi misoldan farqli o'laroq, bu erda atamalarning nolga yaqinlashish tendentsiyasi allaqachon aniq.) Faqat bu safar bizning atamalarimiz yuqoridan yoki pastdan emas, balki nolga yaqinlashadi. ikkilanib. Muqobil ravishda ijobiy va salbiy qiymatlarni olish. Lekin ayni paytda ular modullar qadrli nolga tobora yaqinlashmoqda.)

Bu geometrik progressiya deyiladi cheksiz kamayuvchi belgi, almashinish.

Nega bu ikki misol qiziq? Va har ikkala holatda ham sodir bo'lgan haqiqat belgilar almashinuvi! Bu hiyla faqat manfiy maxrajli progressiyalar uchun xosdir, ha.) Shuning uchun, agar biror topshiriqda siz geometrik progressiyani oʻzgaruvchan hadlari bilan koʻrsangiz, uning maxraji 100% manfiy ekanligini aniq bilib olasiz va xato qilmaysiz. belgisida.)

Aytgancha, salbiy maxraj bo'lsa, birinchi atamaning belgisi progressiyaning o'zi xatti-harakatiga umuman ta'sir qilmaydi. Progressiyaning birinchi hadining belgisidan qat'iy nazar, har qanday holatda ham terminlarning belgisi kuzatiladi. Bitta savol shuki, qaysi joylarda(juft yoki toq) oʻziga xos belgilarga ega boʻlgan aʼzolar boʻladi.

Eslab qoling:

Geometrik progressiyaning maxraji bo'lsa salbiy , keyin progressiya shartlarining belgilari doimo muqobil.

Shu bilan birga, a'zolarning o'zlari:

a) cheksiz oshirishmodul, Agarq<-1;

b) -1 bo'lsa, nolga cheksiz yaqinlashish< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Ana xolos. Barcha tipik holatlar tahlil qilingan.)

Geometrik progressiyalarning turli misollarini tahlil qilish jarayonida men vaqti-vaqti bilan quyidagi so'zlardan foydalanardim: "nolga moyil", "plyus cheksizlikka moyil", "minus cheksizlikka moyil"... Hechqisi yo‘q.) Bu nutq shakllari (va aniq misollar) faqat boshlang‘ich kirish qismidir. xulq-atvor turli xil raqamlar ketma-ketligi. Geometrik progressiya misolidan foydalanish.

Nega biz rivojlanishning xatti-harakatlarini bilishimiz kerak? Uning qayerga borishi qanday farq qiladi? Nolga, ortiqcha cheksizlikka, minus cheksizlikka... Bu bizga nima qiladi?

Gap shundaki, allaqachon universitetda oliy matematika kursida sizga turli xil raqamli ketma-ketliklar bilan ishlash qobiliyati (nafaqat progressiya bilan emas!) va u yoki bu ketma-ketlikni aniq tasavvur qilish qobiliyati kerak bo'ladi. o'zini tutadi - u ko'payadimi, cheksiz kamayadimi, ma'lum bir raqamga intiladimi (va nol bo'lishi shart emas) yoki hatto hech narsaga moyil emasmi ... Matematik kursda butun bir bo'lim ushbu mavzuga bag'ishlangan. tahlil - chegaralar nazariyasi. Va biroz aniqroq - kontseptsiya raqamlar ketma-ketligi chegarasi. Juda qiziq mavzu! Kollejga borib, buni tushunish mantiqan.)

Ushbu bo'limdan ba'zi misollar (cheklangan ketma-ketliklar) va xususan, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya Ular maktabda ko'nikishni boshlaydilar. Biz bunga ko'nikib qoldik.)

Bundan tashqari, ketma-ketliklarning xatti-harakatlarini yaxshi o'rganish qobiliyati kelajakda sizga katta foyda keltiradi va juda foydali bo'ladi. funktsional tadqiqotlar. Eng xilma-xil. Ammo funktsiyalar bilan to'g'ri ishlash qobiliyati (hosillarni hisoblash, ularni to'liq o'rganish, grafiklarini tuzish) allaqachon matematik darajangizni keskin oshiradi! Sizda shubha bormi? Kerak emas. Mening so'zlarimni ham eslang.)

Keling, hayotdagi geometrik progressiyani ko'rib chiqaylik?

Atrofimizdagi hayotda biz geometrik progressiyaga juda tez-tez duch kelamiz. Hatto bilmasdan ham.)

Masalan, bizni hamma joyda juda ko'p miqdorda o'rab turgan va hatto mikroskopsiz ko'ra olmaydigan turli mikroorganizmlar geometrik progressiya bo'yicha aniq ko'payadi.

Aytaylik, bitta bakteriya ikkiga bo‘linib, 2 ta bakteriyaga nasl beradi. O'z navbatida, ularning har biri ko'payganda, ikkiga bo'linib, 4 ta bakteriyaning umumiy avlodini beradi. Keyingi avlod 8 ta bakteriya hosil qiladi, keyin 16 ta bakteriya, 32, 64 va hokazo. Har bir keyingi avlod bilan bakteriyalar soni ikki baravar ko'payadi. Geometrik progressiyaning odatiy misoli.)

Bundan tashqari, ba'zi hasharotlar - shira va chivinlar - eksponent ravishda ko'payadi. Aytgancha, ba'zida quyonlar ham.)

Kundalik hayotga yaqinroq bo'lgan geometrik progressiyaning yana bir misoli deyiladi murakkab foiz. Bu qiziqarli hodisa ko'pincha bank depozitlarida topiladi va deyiladi foizlarni kapitallashtirish. Bu nima?

Albatta, siz hali ham yoshsiz. Siz maktabda o'qiysiz, banklarga bormaysiz. Ammo sizning ota-onangiz allaqachon kattalar va mustaqil odamlardir. Ular ishga boradilar, kundalik nonlari uchun pul topishadi va pulning bir qismini bankka qo'yib, jamg'arma qilishadi.)

Aytaylik, sizning otangiz Turkiyada oilaviy dam olish uchun ma'lum miqdorda pul yig'moqchi bo'lib, uch yil muddatga yillik 10% bilan bankka 50 000 rubl qo'yadi. yillik foiz kapitallashuvi bilan. Bundan tashqari, bu butun davr mobaynida omonat bilan hech narsa qilish mumkin emas. Siz na omonatni to'ldirishingiz, na hisobdan pul yechib olishingiz mumkin emas. Bu uch yildan keyin u qancha foyda oladi?

Xo'sh, birinchi navbatda, yillik 10% nima ekanligini aniqlashimiz kerak. Bu shuni anglatadiki bir yildan keyin Bank dastlabki omonat summasiga 10% qo'shadi. Nimadan? Albatta, dan dastlabki depozit miqdori.

Biz bir yildan keyin hisob hajmini hisoblaymiz. Agar dastlabki depozit miqdori 50 000 rubl (ya'ni 100%) bo'lsa, unda bir yildan keyin hisobda qancha foizlar bo'ladi? To'g'ri, 110%! 50 000 rubldan.

Shunday qilib, biz 50 000 rublning 110% ni hisoblaymiz:

50000·1,1 = 55000 rubl.

Umid qilamanki, siz qiymatning 110% ni topish bu qiymatni 1,1 raqamiga ko'paytirishni anglatishini tushunasizmi? Agar nima uchun bunday bo'lganini tushunmasangiz, beshinchi va oltinchi sinflarni eslang. Aynan - foizlar va kasrlar va qismlar o'rtasidagi bog'liqlik.)

Shunday qilib, birinchi yil uchun o'sish 5000 rublni tashkil qiladi.

Ikki yil ichida hisobda qancha pul bo'ladi? 60 000 rublmi? Afsuski (aniqrog'i, xayriyatki), hamma narsa juda oddiy emas. Foizlarni kapitallashtirishning butun hiylasi shundaki, har bir yangi foizlar hisoblanganda, xuddi shu manfaatlar allaqachon ko'rib chiqiladi yangi summadan! Kimdan allaqachon hisobda joylashgan Hozirgi paytda. Va oldingi davr uchun hisoblangan foizlar dastlabki depozit summasiga qo'shiladi va shu bilan o'zi yangi foizlarni hisoblashda ishtirok etadi! Ya'ni, ular umumiy hisobning to'liq qismiga aylanadi. Yoki umumiy poytaxt. Shuning uchun ism - foizlarni kapitallashtirish.

Bu iqtisodiyotda. Va matematikada bunday foizlar deyiladi murakkab foiz. Yoki foiz ulushi.) Ularning hiylasi shundan iboratki, ketma-ket hisoblashda har safar foizlar hisoblab chiqiladi yangi qiymatdan. Va asl nusxadan emas ...

Shuning uchun, orqali miqdorini hisoblash uchun ikki yil, biz hisobda bo'ladigan miqdorning 110% ni hisoblashimiz kerak bir yildan keyin. Ya'ni, allaqachon 55 000 rubldan.

Biz 55 000 rublning 110 foizini hisoblaymiz:

55000·1,1 = 60500 rubl.

Bu shuni anglatadiki, ikkinchi yil uchun foiz o'sishi 5500 rublni, ikki yil uchun esa 10500 rublni tashkil qiladi.

Endi siz allaqachon taxmin qilishingiz mumkinki, uch yildan so'ng hisobdagi summa 60 500 rublning 110% ni tashkil qiladi. Bu yana 110% oldingisidan (o'tgan yili) miqdor.

Bu erda biz o'ylaymiz:

60500·1,1 = 66550 rubl.

Endi biz pul mablag'larimizni yil bo'yicha ketma-ketlikda joylashtiramiz:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Xo'sh, qanday? Nega geometrik progressiya emas? Birinchi a'zo b 1 = 50000 , va maxraj q = 1,1 . Har bir atama avvalgisidan qat'iy 1,1 baravar katta. Hamma narsa ta'rifga qat'iy muvofiq.)

Otangizning 50 000 rubli uch yildan beri bank hisobvarag'ida yotgan holda qancha qo'shimcha foiz bonuslari "yig'iladi"?

Biz hisoblaymiz:

66550 - 50000 = 16550 rubl

Ko'p emas, albatta. Ammo bu, agar dastlabki depozit miqdori kichik bo'lsa. Agar ko'proq bo'lsa-chi? Aytaylik, 50 emas, 200 ming rubl? Keyin uch yil davomida o'sish 66 200 rublni tashkil qiladi (agar siz matematika qilsangiz). Qaysi biri juda yaxshi.) Agar hissa ko'proq bo'lsa-chi? Bo'ldi shu...

Xulosa: boshlang'ich depozit qanchalik yuqori bo'lsa, foizlarni kapitallashtirish shunchalik foydali bo'ladi. Shuning uchun foiz kapitallashuvi bilan depozitlar banklar tomonidan uzoq muddatga taqdim etiladi. Besh yil deylik.

Bundan tashqari, gripp, qizamiq va undan ham dahshatli kasalliklar (2000-yillarning boshlarida bir xil SARS yoki O'rta asrlardagi vabo) kabi har xil yomon kasalliklar eksponent ravishda tarqalishni yaxshi ko'radi. Shuning uchun epidemiyalar ko'lami, ha...) Va barchasi geometrik progressiya bilan bog'liq. butun ijobiy maxraj (q>1) - juda tez o'sadigan narsa! Bakteriyalarning ko'payishini eslang: bitta bakteriyadan ikkitasi olinadi, ikkitadan - to'rttadan, to'rtdan - sakkiztadan va hokazo... Har qanday infektsiyaning tarqalishi bilan ham xuddi shunday.)

Geometrik progressiya bo'yicha eng oddiy masalalar.

Keling, har doimgidek, oddiy muammodan boshlaylik. Faqat ma'nosini tushunish uchun.

1. Ma’lumki, geometrik progressiyaning ikkinchi hadi 6 ga, maxraji esa -0,5 ga teng. Birinchi, uchinchi va to‘rtinchi hadlarni toping.

Shunday qilib, bizga berilgan cheksiz geometrik progressiya, lekin ma'lum ikkinchi muddat bu progress:

b 2 = 6

Bundan tashqari, biz ham bilamiz progressiyaning maxraji:

q = -0,5

Va siz topishingiz kerak birinchi, uchinchi Va to'rtinchi ushbu progressiyaning a'zolari.

Shunday qilib, biz harakat qilamiz. Masala shartlariga qarab ketma-ketlikni yozamiz. To'g'ridan-to'g'ri umumiy shaklda, ikkinchi muddat oltita:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Endi qidirishni boshlaylik. Biz, har doimgidek, eng oddiyidan boshlaymiz. Siz, masalan, uchinchi muddatni hisoblashingiz mumkin b 3? Mumkin! Siz va men allaqachon bilamiz (to'g'ridan-to'g'ri geometrik progressiya ma'nosida) uchinchi muddat (b 3) ikkinchisidan ko'proq (b 2 ) V "q" bir marta!

Shunday qilib, biz yozamiz:

b 3 =b 2 · q

Bu ifodaning oʻrniga oltitani qoʻyamiz b 2 va o'rniga -0,5 q va hisoblaymiz. Va biz minusni ham e'tiborsiz qoldirmaymiz, albatta ...

b 3 = 6·(-0,5) = -3

Mana bunday. Uchinchi muddat salbiy bo'lib chiqdi. Buning ajablanarli joyi yo'q: bizning maxrajimiz q- salbiy. Va ortiqchani minusga ko'paytirish, albatta, minus bo'ladi.)

Endi biz progressiyaning keyingi, to'rtinchi muddatini hisoblaymiz:

b 4 =b 3 · q

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

To'rtinchi muddat yana ortiqcha bilan. Beshinchi muddat yana minus, oltinchisi ortiqcha bo'ladi va hokazo. Belgilar almashinadi!

Shunday qilib, uchinchi va to'rtinchi atamalar topildi. Natijada quyidagi ketma-ketlik hosil bo'ladi:

b 1; 6; -3; 1,5; ...

Endi faqat birinchi atamani topish qoladi b 1 taniqli ikkinchisiga ko'ra. Buning uchun biz boshqa tomonga, chapga qadam qo'yamiz. Bu shuni anglatadiki, bu holda progressiyaning ikkinchi hadini maxrajga ko'paytirish kerak emas, lekin bo'lmoq.

Biz ajratamiz va olamiz:

Hammasi shu.) Muammoning javobi quyidagicha bo'ladi:

-12; 6; -3; 1,5; …

Ko'rib turganingizdek, yechim printsipi bilan bir xil. Bilamiz har qanday a'zosi va maxraj geometrik progressiya - uning istalgan boshqa a'zosini topishimiz mumkin. Biz xohlagan narsani topamiz.) Faqatgina farq shundaki, qo'shish/ayirish ko'paytirish/bo'lish bilan almashtiriladi.

Esingizda bo'lsin: agar biz geometrik progressiyaning kamida bitta a'zosi va maxrajini bilsak, u holda biz har doim bu progressiyaning istalgan boshqa a'zosini topishimiz mumkin.

Quyidagi muammo, an'anaga ko'ra, OGE ning haqiqiy versiyasidan kelib chiqadi:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

Xo'sh, qanday? Bu safar birinchi atama, maxraj yo'q q, shunchaki raqamlar ketma-ketligi berilgan... Biror narsa allaqachon tanish, to'g'rimi? Ha! Shunga o'xshash muammo arifmetik progressiyada allaqachon hal qilingan!

Shunday qilib, biz qo'rqmaymiz. Hammasi bir xil. Keling, boshimizni aylantiramiz va geometrik progressiyaning elementar ma'nosini eslaylik. Biz ketma-ketligimizga diqqat bilan qaraymiz va unda uchta asosiy (birinchi had, maxraj, atama raqami) geometrik progressiyaning qaysi parametrlari yashiringanligini aniqlaymiz.

A'zolar raqamlari? Aʼzolik raqamlari yoʻq, ha... Lekin toʻrttasi bor ketma-ket raqamlar. Ushbu bosqichda bu so'z nimani anglatishini tushuntirishdan hech qanday ma'no ko'rmayapman.) Ikkita bormi qo'shni ma'lum raqamlar? Yemoq! Bular 6 va 1.2. Shunday qilib, biz topamiz progressiyaning maxraji. Shunday qilib, biz 1.2 raqamini olamiz va bo'linadi oldingi raqamga. Oltigacha.

Biz olamiz:

Biz olamiz:

x= 150·0,2 = 30

Javob: x = 30 .

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa juda oddiy. Asosiy qiyinchilik faqat hisob-kitoblarda. Ayniqsa, manfiy va kasr maxrajlarida qiyin. Shunday qilib, muammoga duch kelganlar, arifmetikani takrorlang! Kasrlar bilan ishlash, manfiy sonlar bilan ishlash va hokazo... Aks holda, bu yerda shafqatsizlarcha sekinlashasiz.

Endi muammoni biroz o'zgartiramiz. Endi qiziqarli bo'ladi! Undan oxirgi 1.2 raqamini olib tashlaymiz. Endi bu muammoni hal qilaylik:

3. Geometrik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlari yoziladi:

...; 150; X; 6; ...

X harfi bilan ko'rsatilgan progressiyaning hadini toping.

Hammasi bir xil, faqat ikkitasi qo'shni mashhur Hozir bizda progressiya a'zolari yo'q. Bu asosiy muammo. Chunki kattaligi q qo'shni ikkita atama orqali biz osongina aniqlashimiz mumkin qila olmaymiz. Bizda vazifani engish uchun imkoniyat bormi? Albatta!

Keling, noma'lum atamani yozamiz " x"bevosita geometrik progressiya ma'nosida! Umumiy ma'noda.

Ha ha! Noma'lum maxraj bilan!

Bir tomondan, X uchun biz quyidagi nisbatni yozishimiz mumkin:

x= 150·q

Boshqa tomondan, biz xuddi shu X ni tasvirlashga haqlimiz Keyingisi a'zo, olti orqali! Oltini maxrajga bo'ling.

Mana bunday:

x = 6/ q

Shubhasiz, endi biz bu nisbatlarning ikkalasini tenglashtirishimiz mumkin. Biz ifoda etayotganimiz uchun xuddi shu kattaligi (x), lekin ikkita turli yo'llar bilan.

Biz tenglamani olamiz:

Hamma narsani ko'paytirish q, soddalashtirish va qisqartirish, biz tenglamani olamiz:

q2 = 1/25

Biz hal qilamiz va olamiz:

q = ± 1/5 = ± 0,2

Voy! Maxraj juft bo'lib chiqdi! +0,2 va -0,2. Va qaysi birini tanlash kerak? Boshi berk?

Sokin! Ha, muammo haqiqatan ham bor ikkita yechim! Buning hech qanday yomon joyi yo'q. Bu sodir bo'ladi.) Masalan, odatiy muammoni hal qilishda ikkita ildizga ega bo'lganingizda hayron bo'lmaysizmi? Bu erda ham xuddi shunday hikoya.)

Uchun q = +0,2 biz olamiz:

X = 150 0,2 = 30

Va uchun q = -0,2 qiladi:

X = 150·(-0,2) = -30

Biz ikki tomonlama javob olamiz: x = 30; x = -30.

Bu qiziqarli fakt nimani anglatadi? Va nima mavjud ikkita progressiya, muammoning shartlarini qondirish!

Bular kabi:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Ikkalasi ham mos keladi.) Nima deb o'ylaysiz, bizda javoblar bo'linib ketdi? Faqat oltidan keyin keladigan progressiyaning o'ziga xos a'zosi (1,2) bartaraf qilinganligi sababli. Geometrik progressiyaning faqat oldingi (n-1) va keyingi (n+1) hadlarini bilsak, ular orasidagi n-chi had haqida endi bir ma’noli hech narsa deya olmaymiz. Ikkita variant mavjud - ortiqcha va minus bilan.

Lekin muammo yo'q. Qoida tariqasida, geometrik progressiya bo'yicha topshiriqlarda aniq javob beradigan qo'shimcha ma'lumotlar mavjud. Keling, so'zlarni aytaylik: "muqobil progressiya" yoki "ijobiy maxraj bilan progress" va hokazo... Yakuniy javob tayyorlanayotganda qaysi belgi, ortiqcha yoki minus tanlanishi kerakligi haqida mana shu so‘zlar ishora bo‘lib xizmat qilishi kerak. Agar bunday ma'lumot bo'lmasa, ha, vazifa bo'ladi ikkita yechim.)

Endi biz o'zimiz uchun qaror qilamiz.

4. 20 soni geometrik progressiyaning a’zosi ekanligini aniqlang:

4 ; 6; 9; …

5. O‘zgaruvchan geometrik progressiyaning belgisi berilgan:

…; 5; x ; 45; …

Harf bilan ko'rsatilgan progressiyaning hadini toping x .

6. Geometrik progressiyaning to‘rtinchi musbat hadini toping:

625; -250; 100; …

7. Geometrik progressiyaning ikkinchi hadi -360 ga, beshinchi hadi esa 23,04 ga teng. Bu progressiyaning birinchi hadini toping.

Javoblar (tartibsizlikda): -15; 900; Yo'q; 2.56.

Agar hamma narsa muvaffaqiyatli bo'lsa, tabriklaymiz!

Nimadir mos emasmi? Qayerdadir ikki tomonlama javob bor edi? Topshiriq shartlarini diqqat bilan o'qing!

Oxirgi muammo ishlamayaptimi? U erda hech qanday murakkab narsa yo'q.) Biz to'g'ridan-to'g'ri geometrik progressiyaning ma'nosiga ko'ra ishlaymiz. Xo'sh, siz rasm chizishingiz mumkin. Bu yordam beradi.)

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa oddiy. Agar rivojlanish qisqa bo'lsa. Agar u uzoq bo'lsa-chi? Yoki talab qilinadigan a'zolar soni juda ko'pmi? Men arifmetik progressiyaga o'xshab, qandaydir tarzda topishni osonlashtiradigan qulay formulani olishni xohlayman. har qanday har qanday geometrik progressiyaning hadi uning raqami bo'yicha. Ko'p, ko'p marta ko'paytirmasdan q. Va shunday formula bor!) Tafsilotlar keyingi darsda.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Saqlar ketma-ketligi. Geometrik progressiya"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

Integral onlayn do'konida 9-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Quvvatlar va ildizlar Funksiyalar va grafiklar

Bolalar, bugun biz progressiyaning yana bir turi bilan tanishamiz.
Bugungi darsimizning mavzusi geometrik progressiya.

Geometrik progressiya

Ta'rif. Ikkinchisidan boshlab har bir had oldingi va qandaydir qat'iy sonning ko'paytmasiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi.
Ketma-ketlikni rekursiv tarzda aniqlaymiz: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
Bu erda b va q ma'lum berilgan raqamlardir. q soni progressiyaning maxraji deyiladi.

Misol. 1,2,4,8,16... Birinchi hadi birga teng, $q=2$ bo‘lgan geometrik progressiya.

Misol. 8,8,8,8... Birinchi hadi sakkizga teng bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=1$.

Misol. 3,-3,3,-3,3... Birinchi hadi uchga teng geometrik progressiya,
va $q=-1$.

Geometrik progressiya monotonlik xususiyatlariga ega.
Agar $b_(1)>0$, $q>1$,
keyin ketma-ketlik ortib boradi.
Agar $b_(1)>0$, $0 Ketma-ketlik odatda quyidagi shaklda belgilanadi: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Xuddi arifmetik progressiyadagi kabi, agar geometrik progressiyada elementlar soni chekli bo‘lsa, progressiya chekli geometrik progressiya deyiladi.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
E'tibor bering, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, u holda hadlar kvadratlari ketma-ketligi ham geometrik progressiyadir. Ikkinchi qatorda birinchi had $b_(1)^2$ ga, maxraj esa $q^2$ ga teng.

Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi

Geometrik progressiyani analitik shaklda ham ko'rsatish mumkin. Keling, buni qanday qilishni ko'rib chiqaylik:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Biz naqshni osongina sezamiz: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Bizning formulamiz "geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi" deb ataladi.

Keling, misollarimizga qaytaylik.

Misol. 1,2,4,8,16... Birinchi hadi birga teng geometrik progressiya,
va $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Misol. 16,8,4,2,1,1/2… Birinchi hadi o‘n oltiga teng bo‘lgan geometrik progressiya va $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Misol. 8,8,8,8... Birinchi hadi sakkizga teng bo‘lgan geometrik progressiya va $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Misol. 3,-3,3,-3,3... Birinchi hadi uch ga teng bo‘lgan geometrik progressiya va $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Misol. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik progressiya berilgan.
a) Ma'lumki, $b_(1)=6, q=3$. $b_(5)$ toping.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ ekanligi ma'lum. n ni toping.
c) $q=-2, b_(6)=96$ ekanligi ma'lum. $b_(1)$ toping.
d) Ma'lumki, $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. q ni toping.

Yechim.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, chunki $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Misol. Geometrik progressiyaning yettinchi va beshinchi hadlarining ayirmasi 192 ga, progressiyaning beshinchi va oltinchi hadlarining yig‘indisi 192 ga teng. Shu progressiyaning o‘ninchi hadini toping.

Yechim.
Biz bilamizki: $b_(7)-b_(5)=192$ va $b_(5)+b_(6)=192$.
Biz ham bilamiz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Keyin:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Biz tenglamalar tizimini oldik:
$\begin(holatlar)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(holatlar)$.
Tenglamalarimizni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Biz ikkita yechim oldik q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Ikkinchi tenglamani ketma-ketlik bilan almashtiring:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ yechim yo'q.
Biz buni oldik: $b_(1)=4, q=2$.
O'ninchi hadni topamiz: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Cheklangan geometrik progressiya yig‘indisi

Cheklangan geometrik progressiyaga ega bo'lsin. Keling, xuddi arifmetik progressiya kabi, uning hadlari yig'indisini hisoblaylik.

Cheklangan geometrik progressiya berilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uning shartlari yig'indisi uchun belgilashni kiritamiz: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ bo'lgan holatda. Geometrik progressiyaning barcha hadlari birinchi hadga teng, u holda $S_(n)=n*b_(1)$ ekanligi ayon boʻladi.
Endi $q≠1$ ishni ko'rib chiqamiz.
Yuqoridagi miqdorni q ga ko'paytiramiz.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Eslatma:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Biz chekli geometrik progressiya yig'indisi formulasini oldik.

Misol.
Birinchi hadi 4 ga, maxraji 3 ga teng bo‘lgan geometrik progressiyaning dastlabki yetti hadining yig‘indisini toping.

Yechim.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Misol.
Geometrik progressiyaning ma'lum beshinchi hadini toping: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Yechim.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geometrik progressiyaning xarakterli xossasi

Bolalar, geometrik progressiya berilgan. Keling, uning uchta ketma-ket a'zolarini ko'rib chiqaylik: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Biz buni bilamiz:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Keyin:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Agar progressiya chekli bo'lsa, bu tenglik birinchi va oxirgidan tashqari barcha shartlar uchun amal qiladi.
Ketma-ketlik qanday shaklda ekanligi oldindan ma'lum bo'lmasa, lekin ma'lum bo'lsa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Shunda ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu geometrik progressiya.

Har bir a'zoning kvadrati progressiyaning qo'shni ikkita a'zosining ko'paytmasiga teng bo'lgandagina sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya hisoblanadi. Shuni unutmangki, cheklangan progressiya uchun bu shart birinchi va oxirgi hadlar uchun qanoatlanmaydi.

Keling, ushbu identifikatsiyani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ o'rtacha deb ataladi geometrik raqamlar a va b.

Geometrik progressiyaning har qanday hadining moduli uning ikkita qo‘shni hadining o‘rtacha geometrik qiymatiga teng.

Misol.
$x+2 bo'ladigan x toping; 2x+2; 3x+3$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta hadi edi.

Yechim.
Xarakteristik xususiyatdan foydalanamiz:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ va $x_(2)=-1$.
Keling, yechimlarimizni ketma-ket asl ifodaga almashtiramiz:
$x=2$ bilan biz ketma-ketlikni oldik: 4;6;9 – $q=1,5$ bo‘lgan geometrik progressiya.
$x=-1$ uchun biz quyidagi ketma-ketlikni olamiz: 1;0;0.
Javob: $x=2.$

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

1. 16;-8;4;-2… geometrik progressiyaning sakkizinchi birinchi hadini toping.
2. 11,22,44... geometrik progressiyaning o‘ninchi hadini toping.
3. Ma’lumki, $b_(1)=5, q=3$. $b_(7)$ toping.
4. Ma'lumki, $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. n ni toping.
5. 3;12;48... geometrik progressiyaning dastlabki 11 ta hadining yig’indisini toping.
6. $3x+4 bo'ladigan x ni toping; 2x+4; x+5$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta hadi.