Trigonometriya formulalari: ko'paytirish. Trigonometrik tenglamalar - formulalar, yechimlar, misollar. Yig'indi va farqdan sinus va kosinus formulalari

Ushbu sahifada siz barcha asosiy narsalarni topasiz trigonometrik formulalar, bu sizga ko'plab mashqlarni hal qilishga yordam beradi, ifodaning o'zini ancha soddalashtiradi.

Trigonometrik formulalar - hamma uchun amal qiladigan trigonometrik funktsiyalar uchun matematik tengliklar qabul qilinadigan qiymatlar dalil.

Formulalar asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens, kotangens o'rtasidagi bog'lanishlarni aniqlaydi.

Burchakning sinusi - bu nuqtaning y koordinatasi (ordinatasi). birlik doirasi. Burchakning kosinusu nuqtaning x koordinatasi (abtsissa).

Tangens va kotangens mos ravishda sinusning kosinusga nisbati va aksincha.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

Va kamroq ishlatiladigan ikkitasi - sekant, kosekant. Ular 1 ning kosinus va sinusga nisbatlarini ifodalaydi.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Trigonometrik funktsiyalarning ta'riflaridan ularning har bir kvadrantda qanday belgilari borligi aniq. Funktsiyaning belgisi faqat argument qaysi kvadrantda joylashganiga bog'liq.

Argument belgisini "+" dan "-" ga o'zgartirganda, faqat kosinus funktsiyasi uning qiymatini o'zgartirmaydi. U hatto deyiladi. Uning grafigi ordinata o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Qolgan funksiyalar (sinus, tangens, kotangens) toqdir. Argument belgisini "+" dan "-" ga o'zgartirganda, ularning qiymati ham salbiyga o'zgaradi. Ularning grafiklari kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar - bu bir burchakning (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) trigonometrik funktsiyalari oʻrtasida bogʻlanishni oʻrnatuvchi va buning qiymatini topish imkonini beruvchi formulalardir. bu funktsiyalarning har biri ma'lum bo'lgan boshqasi orqali.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sek^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \Z`da
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Trigonometrik funksiyalar burchaklarining yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Argumentlarni qo‘shish va ayirish formulalari ikki burchak yig‘indisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalarini shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari ko‘rinishida ifodalaydi.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Ikki burchakli formulalar

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\ frac 2 (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Uch burchakli formulalar

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Yarim burchak formulalari

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \\alpha)(sin \\alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \\alpha)(sin \\alpha)`

Yarim, ikki va uch argumentlar uchun formulalar ushbu argumentlarning `sin, \cos, \tg, \ctg` funksiyalarini ifodalaydi (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) bu funksiyalar orqali `\alfa` argumenti.

Ularning xulosasini oldingi guruhdan olish mumkin (argumentlarni qo'shish va ayirish). Masalan, identifikatsiyalar ikki burchak`\beta` ni `\alpha` bilan almashtirish orqali olish oson.

Darajani pasaytirish formulalari

Trigonometrik funksiyalarning kvadratlari (kublari va boshqalar) formulalari 2,3,... darajadan birinchi darajali trigonometrik funksiyalarga o‘tish imkonini beradi, lekin bir nechta burchak (`\alpha, \3\alpha, \...) ` yoki `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alfa-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Formulalar turli argumentlarning trigonometrik funktsiyalari yig'indisi va ayirmasining mahsulotga aylantirilishidir.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alfa)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Bu erda bitta argumentning funktsiyalarini qo'shish va ayirishni mahsulotga aylantirish sodir bo'ladi.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Quyidagi formulalar bitta va trigonometrik funktsiyaning yig'indisi va ayirmasini mahsulotga aylantiradi.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Funksiyalar mahsulotini aylantirish uchun formulalar

`\alpha` va `\beta` argumentli trigonometrik funksiyalar ko`paytmasini shu argumentlar yig`indisiga (farqiga) aylantirish uchun formulalar.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\ frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\ frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\ frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \ beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\ frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\ frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Universal trigonometrik almashtirish

Bu formulalar trigonometrik funksiyalarni yarim burchakning tangensi bilan ifodalaydi.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \da Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \da Z`

Qisqartirish formulalari

Qisqartirish formulalarini trigonometrik funksiyalarning davriylik, simmetriya va berilgan burchak bilan siljish xossalari yordamida olish mumkin. Ular ixtiyoriy burchakning funktsiyalarini burchagi 0 dan 90 darajagacha bo'lgan funktsiyalarga aylantirish imkonini beradi.

Burchak uchun (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) yoki (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Burchak uchun (`\pi \pm \alpha`) yoki (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Burchak uchun (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) yoki (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Burchak uchun (`2\pi \pm \alpha`) yoki (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Ayrim trigonometrik funksiyalarni boshqalar bilan ifodalash

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alfa))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alfa))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^) 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trigonometriya tom ma'noda "uchburchaklarni o'lchash" deb tarjima qilinadi. U maktabda o'rganila boshlaydi va universitetlarda batafsilroq davom etadi. Shuning uchun trigonometriyadagi asosiy formulalar 10-sinfdan boshlab, shuningdek, uchun kerak yagona davlat imtihonidan o'tish. Ular funktsiyalar orasidagi bog'lanishlarni bildiradi va bu bog'lanishlar ko'p bo'lganligi sababli, ko'plab formulalar mavjud. Ularning barchasini eslab qolish oson emas va bu shart emas - agar kerak bo'lsa, ularning barchasi ko'rsatilishi mumkin.

Trigonometrik formulalar integral hisoblashda, shuningdek, trigonometrik soddalashtirish, hisob-kitoblar va o'zgartirishlarda qo'llaniladi.

Trigonometriya, trigonometrik formulalar

Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatlar berilgan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - bir nechta burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalaydi va hokazo.

Ushbu maqolada biz trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli bo'lgan barcha asosiy trigonometrik formulalarni tartibda sanab o'tamiz. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlari bo'yicha guruhlaymiz va jadvallarga kiritamiz.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatni aniqlang. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bitta trigonometrik funktsiyani boshqa har qanday ko'rinishda ifodalash imkonini beradi.

Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun asosiy trigonometrik identifikatsiyalar maqolasiga qarang.

Sahifaning yuqorisi

Qisqartirish formulalari

Qisqartirish formulalari sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular trigonometrik funksiyalarning davriylik xususiyatini, simmetriya xossasini, shuningdek, berilgan burchak bilan siljish xossalarini aks ettiradi. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi.

Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollarini maqolani qisqartirish formulalarida o'rganish mumkin.

Sahifaning yuqorisi

Qo'shish formulalari

Trigonometrik qo'shish formulalari Ikki burchak yig‘indisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini ko‘rsating. Bu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni olish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

Qo'shimcha ma'lumot uchun Qo'shimcha formulalar maqolasiga qarang.

Sahifaning yuqorisi

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi.

Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak.

Sahifaning yuqorisi

Yarim burchak formulalari

Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funksiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar ikki burchakli formulalardan kelib chiqadi.

Ularning xulosasi va qo'llash misollarini yarim burchakli formulalar haqidagi maqolada topish mumkin.

Sahifaning yuqorisi

Darajani pasaytirish formulalari

Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar dan o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan tabiiy darajalar trigonometrik funktsiyalarni sinus va kosinuslarga birinchi darajali, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.

Sahifaning yuqorisi

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Asosiy maqsad trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi formulalari funksiyalar mahsulotiga o'tishdir, bu soddalashtirishda juda foydali trigonometrik ifodalar. Bu formulalar trigonometrik tenglamalarni yechishda ham keng qo’llaniladi, chunki ular sinuslar va kosinuslarning yig’indisi va ayirmasini faktorlarga ajratish imkonini beradi.

Formulalarni chiqarish, shuningdek ularni qo'llash misollari uchun sinus va kosinusning yig'indisi va farqi uchun maqola formulalariga qarang.

Sahifaning yuqorisi

Sinuslar, kosinuslar va kosinuslar bo'yicha ko'paytma uchun formulalar

Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo`yicha ko`paytmasi formulalari yordamida amalga oshiriladi.

Sahifaning yuqorisi

Universal trigonometrik almashtirish

Biz trigonometriyaning asosiy formulalarini ko'rib chiqishni trigonometrik funktsiyalarni yarim burchakning tangensi bo'yicha ifodalovchi formulalar bilan yakunlaymiz. Bu almashtirish chaqirildi universal trigonometrik almashtirish. Uning qulayligi shundan iboratki, barcha trigonometrik funktsiyalar ildizlarsiz ratsional ravishda yarim burchakning tangensi bilan ifodalanadi.

To'liqroq ma'lumot uchun universal trigonometrik almashtirish maqolasiga qarang.

Sahifaning yuqorisi

Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy. - M.: Ta'lim, 1990. - 272 b.: kasal. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. — ISBN 5-09-004617-4.
Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: kasal. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Trigonometrik formulalar- bu trigonometriyada eng kerakli formulalar bo'lib, argumentning istalgan qiymati uchun bajariladigan trigonometrik funktsiyalarni ifodalash uchun zarur.

Qo'shish formulalari.

sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a

sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a

cos (a + b) = cos a · cos b — sin a · sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

tg (a + b) = (tg a + tg b) ÷ (1 - tg a tg b)

tg (a - b) = (tg a - tg b) ÷ (1 + tg a · tg b)

ctg (a + b) = (ctg a · ctg b + 1) ÷ (ctg b - ctg a)

ctg (a - b) = (ctg a · ctg b - 1) ÷ (ctg b + ctg a)

Ikki burchakli formulalar.

chunki 2α = cos²α -sin²α

chunki 2α = 2cos²α — 1

chunki 2α = 1 - 2sin²α

gunoh 2α = 2sinα cosα

tg 2a = (2tg a) ÷ (1 - tg² a)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Uch burchakli formulalar.

sin 3a = 3sin a – 4sin³ a

chunki 3α = 4cos³α - 3cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )

ctg 3a = (3ctg a - ctg³ a) ÷ (1 - 3ctg² a)

Yarim burchak formulalari.

Qisqartirish formulalari.

Raddagi funksiya/burchak.	p/2 - a	p/2 + a			3p/2 - a	3p/2 + a	2p - a	2p + a




° da funksiya/burchak	90° - a	90° + a	180° - a	180° + a	270° - a	270° + a	360° - a	360° + a

Qisqartirish formulalarining batafsil tavsifi.

Asosiy trigonometrik formulalar.

Asosiy trigonometrik identifikatsiya:

sin 2 a+cos 2 a=1

Bu o'ziga xoslik Pifagor teoremasini birlik trigonometrik doiradagi uchburchakda qo'llash natijasidir.

Kosinus va tangens o'rtasidagi bog'liqlik:

1/cos 2 a−tan 2 a=1 yoki sek 2 a−tan 2 a=1.

Ushbu formula asosiy trigonometrik o'ziga xoslikning natijasidir va undan chap va o'ng tomonlarni cos2a ga bo'lish orqali olinadi. Bu shunday deb taxmin qilinadi a≠p/2+pn,n∈Z.

Sinus va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik:

1/sin 2 a−cot 2 a=1 yoki csc 2 a−cot 2 a=1.

Ushbu formula asosiy trigonometrik identifikatsiyadan ham kelib chiqadi (chap va o'ng tomonlarni bo'lish orqali olinadi sin2a. Bu erda shunday taxmin qilinadi a≠pn,n∈Z.

Tangent ta'rifi:

tana=sina/cosa,

Qayerda a≠p/2+pn,n∈Z.

Kotangentning ta'rifi:

cota=cosa/sina,

Qayerda a≠pn,n∈Z.

Tangens va kotangens ta'riflaridan xulosa:

tana⋅ kota=1,

Qayerda a≠pn/2,n∈Z.

Sekant ta'rifi:

seca=1/cosa,a≠p/2+pn,n∈ Z

Kosekantning ta'rifi:

csca=1/sina,a≠pn,n∈ Z

Trigonometrik tengsizliklar.

Eng oddiy trigonometrik tengsizliklar:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Trigonometrik funksiyalarning kvadratlari.

Trigonometrik funksiyalar kublari uchun formulalar.

Trigonometriya Matematika. Trigonometriya. Formulalar. Geometriya. Nazariya

Biz eng asosiy trigonometrik funktsiyalarni ko'rib chiqdik (aldanmang, sinus, kosinus, tangens va kotangensdan tashqari, boshqa ko'plab funktsiyalar mavjud, ammo ular haqida keyinroq), ammo hozircha, keling, asosiy xususiyatlarni ko'rib chiqaylik. funktsiyalari allaqachon o'rganilgan.

Raqamli argumentning trigonometrik funktsiyalari

Qaysi haqiqiy son t olinsa, uni yagona aniqlangan son sin(t) bilan bog‘lash mumkin.

To'g'ri, mos keladigan qoida juda murakkab va quyidagilardan iborat.

t sonidan sin(t) qiymatini topish uchun quyidagilar kerak:

tartibga solish raqam doirasi koordinata tekisligida aylananing markazi koordinatalar boshiga to'g'ri keladi va aylananing boshlang'ich A nuqtasi (1; 0) nuqtaga tushadi;
aylanadan t soniga mos nuqtani toping;
bu nuqtaning ordinatasini toping.
bu ordinata istalgan sin(t) dir.

Aslida haqida gapiramiz s = sin(t) funksiyasi haqida, bu yerda t har qanday haqiqiy son. Biz ushbu funktsiyaning ba'zi qiymatlarini qanday hisoblashni bilamiz (masalan, sin (0) = 0, \ (sin \ frac (\ pi) (6) = \ frac (1) (2) \) va boshqalar). , biz uning ba'zi xususiyatlarini bilamiz.

Trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik

Umid qilamanki, siz taxmin qilishingiz mumkinki, barcha trigonometrik funktsiyalar bir-biri bilan bog'liq va hatto birining ma'nosini bilmasa ham, uni boshqasi orqali topish mumkin.

Masalan, barcha trigonometriyada eng muhim formula hisoblanadi asosiy trigonometrik identifikatsiya:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Ko'rib turganingizdek, sinusning qiymatini bilib, siz kosinusning qiymatini topishingiz mumkin va aksincha.

Trigonometriya formulalari

Bundan tashqari, sinus va kosinusni tangens va kotangent bilan bog'laydigan juda keng tarqalgan formulalar:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Oxirgi ikkita formuladan boshqa trigometrik identifikatsiyani olish mumkin, bu safar tangens va kotangentni bog'laydi:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Endi ushbu formulalar amalda qanday ishlashini ko'rib chiqamiz.

O'RNAK 1. Ifodani soddalashtiring: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Avval kvadratni saqlagan holda tangensni yozamiz:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Endi hamma narsani tagiga kiritamiz umumiy maxraj, va biz quyidagilarni olamiz:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Va nihoyat, ko'rib turganimizdek, hisoblagichni asosiy trigonometrik identifikatsiya orqali bittaga qisqartirish mumkin, natijada biz quyidagilarni olamiz: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Kotangent bilan biz hamma bir xil amallarni bajaramiz, faqat maxraj endi kosinus emas, balki sinus bo'ladi va javob quyidagicha bo'ladi:

\[ 1+ \to'shak^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Ushbu vazifani bajarib, biz funktsiyalarimizni bog'laydigan yana ikkita juda muhim formulani oldik, biz ularni qo'limizning orqa qismi kabi bilishimiz kerak:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Siz barcha formulalarni yoddan bilishingiz kerak, aks holda ularsiz trigonometriyani keyingi o'rganish mumkin emas. Kelajakda yana ko'p formulalar bo'ladi va ular juda ko'p bo'ladi va sizni ishontirib aytamanki, siz ularning barchasini uzoq vaqt davomida albatta eslab qolasiz yoki balki ularni eslay olmaysiz, lekin bu olti narsani HAMMA bilishi kerak!

Barcha asosiy va noyob trigonometrik qisqartirish formulalarining to'liq jadvali.

Bu yerda trigonometrik formulalarni qulay shaklda topishingiz mumkin. Va trigonometrik qisqartirish formulalarini boshqa sahifada topish mumkin.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

— matematik ifodalar trigonometrik funktsiyalar uchun, har bir argument qiymati uchun bajariladi.

sin² a + cos² a = 1
tg a krovat a = 1
tg a = sin a ÷ cos a
karavot a = cos a ÷ sin a
1 + tg² a = 1 ÷ cos² a
1 + cotg² a = 1 ÷ sin² a

Qo'shish formulalari

sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a
cos (a + b) = cos a · cos b — sin a · sin b
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg (a + b) = (tg a + tg b) ÷ (1 - tg a tg b)
tg (a - b) = (tg a - tg b) ÷ (1 + tg a · tg b)
ctg (a + b) = (ctg a · ctg b + 1) ÷ (ctg b - ctg a)
ctg (a - b) = (ctg a · ctg b - 1) ÷ (ctg b + ctg a)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Ikki burchakli formulalar

cos 2a = cos² a - sin² a
cos 2a = 2cos² a - 1
cos 2a = 1 - 2sin² a
sin 2a = 2sin a cos a
tg 2a = (2tg a) ÷ (1 - tg² a)
ctg 2a = (ctg² a - 1) ÷ (2ctg a)

Uch burchakli formulalar

sin 3a = 3sin a – 4sin³ a
cos 3a = 4cos³ a – 3cos a
tg 3a = (3tg a - tg³ a) ÷ (1 - 3tg² a)
ctg 3a = (3ctg a - ctg³ a) ÷ (1 - 3ctg² a)

Darajani pasaytirish formulalari

sin² a = (1 - cos 2a) ÷ 2
sin³ a = (3sin a – sin 3a) ÷ 4
cos² a = (1 + cos 2a) ÷ 2
cos³ a = (3cos a + cos 3a) ÷ 4
sin² a · cos² a = (1 – cos 4a) ÷ 8
sin³ a · cos³ a = (3sin 2a – sin 6a) ÷ 32

Mahsulotdan summaga o'tish

sin a cos b = ½ (sin (a + b) + sin (a - b))
sin a sin b = ½ (cos (a - b) - cos (a + b))
cos a cos b = ½ (cos (a - b) + cos (a + b))

Biz juda ko'p trigonometrik formulalarni sanab o'tdik, ammo biror narsa etishmayotgan bo'lsa, yozing.

O'qish uchun hamma narsa » Maktabda matematika » Trigonometrik formulalar - cheat varaq

Sahifani xatcho‘plash uchun Ctrl+D tugmalarini bosing.

Bir guruh bilan guruhlash foydali ma'lumotlar(Yagona davlat imtihoningiz yoki yagona davlat imtihoningiz bo'lsa, obuna bo'ling):

Abstraktlarning to'liq ma'lumotlar bazasi, kurs ishlari, tezislar va boshqalar o'quv materiallari bepul taqdim etiladi. Sayt materiallaridan foydalangan holda, siz foydalanuvchi shartnomasi bilan tanishganingizni va uning barcha fikrlariga to'liq rozi ekanligingizni tasdiqlaysiz.

guruhlarning transformatsiyasi batafsil ko'rib chiqiladi umumiy yechimlar trigonometrik tenglamalar. Uchinchi bo'limda nostandart trigonometrik tenglamalar ko'rib chiqiladi, ularning echimlari funktsional yondashuvga asoslangan.

Trigonometriyaning barcha formulalari (tenglamalari): sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

To'rtinchi bo'limda trigonometrik tengsizliklar muhokama qilinadi. Elementar muammolarni hal qilish usullari batafsil ko'rib chiqiladi. trigonometrik tengsizliklar, ham birlik aylanasida, ham...

... burchak 1800-a= gipotenuza va oʻtkir burchak boʻylab: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Demak, in maktab kursi Geometriyada trigonometrik funktsiya tushunchasi ko'proq foydalanish mumkinligi sababli geometrik vositalar bilan kiritiladi. Trigonometrik funktsiyalarni o'rganishning an'anaviy uslubiy sxemasi quyidagicha: 1) birinchi navbatda trigonometrik funktsiyalar uchun aniqlanadi. o'tkir burchak to'rtburchak ...

… Uy vazifasi 19(3.6), 20(2.4) Maqsad qo‘yish Asosiy bilimlarni yangilash Trigonometrik funksiyalarning xossalari Qisqartirish formulalari Yangi material Trigonometrik funksiyalarning qiymatlari Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish Mustahkamlash masalalarni yechish Dars maqsadi: bugun biz trigonometrik funksiyalarning qiymatlarini hisoblab chiqamiz va ...

... quyidagi masalalarni yechish uchun zarur bo‘lgan tuzilgan gipoteza: 1. Matematika o‘qitishda trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarning rolini aniqlang; 2. Trigonometrik tushunchalarni rivojlantirishga qaratilgan trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechish qobiliyatini rivojlantirish metodikasini ishlab chiqish; 3. Ishlab chiqilgan usulning samaradorligini tajribada sinab ko'ring. Yechimlar uchun…

Trigonometrik formulalar

Sizning e'tiboringizga trigonometriyaga oid turli formulalarni taqdim etamiz.

(8) Ikki burchakli kotangens

cotg(2a) =

ctg 2 (a) - 1 2ctg(a)

(9) Uch burchak sinusi sin(3a) = 3sin(a)cos 2 (a) - sin 3 (a) (10) Uch burchakli kosinus cos(3a) = cos 3 (a) - 3cos(a)sin 2 (a) (11) Yig'indi/farqning kosinusu cos(a±b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b) (12) Yig'indi/farqning sinusi sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b) (13) Yig'indi/farqning tangensi (14) Yig'indi/farqning kotangenti (15) Sinuslar mahsuloti sin(a)sin(b) = ½(cos(a-b) - cos(a+b)) (16) Kosinuslar mahsuloti cos(a)cos(b) = ½(cos(a+b) + cos(a-b)) (17) Sinus va kosinusning hosilasi sin(a)cos(b) = ½(sin(a+b) + sin(a-b)) (18) Sinuslar yig'indisi/farqi sin(a) ± sin(b) = 2sin(½(a±b))cos(½(a∓b)) (19) Kosinuslar yig'indisi cos(a) + cos(b) = 2cos(½(a+b))cos(½(a-b)) (20) Kosinuslarning farqi cos(a) - cos(b) = -2sin(½(a+b))sin(½(a-b)) (21) Tangenslar yig'indisi/farqi (22) Sinus darajasini pasaytirish formulasi sin 2 (a) = ½(1 - cos(2a)) (23) Kosinus darajasini pasaytirish formulasi cos 2 (a) = ½(1 + cos(2a)) (24) Sinus va kosinusning yig'indisi/farqi (25) Koeffitsientli sinus va kosinusning yig'indisi/farqi (26) Arksin va arkkosinning asosiy munosabati arcsin(x) + arccos(x) = p/2 (27) Arktangent va arkkotangens o'rtasidagi asosiy munosabatlar arctan(x) + arcctg(x) = p/2

Umumiy formulalar

- bosma versiya

Ta'riflar Burchak sinusi a (belgilash gunoh(a)) a burchakka qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati. Burchakning kosinusu a (belgilash cos(a)) a burchakka ulashgan oyoqning gipotenuzaga nisbati. Burchak tangensi a (belgilash tan(a)) - a burchakka qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Ekvivalent ta'rif a burchak sinusining bir xil burchak kosinusiga nisbati - sin(a)/cos(a). a burchak kotangensi (belgilash cotg(a)) - a burchakka ulashgan oyoqning qarama-qarshi tomoniga nisbati. Ekvivalent ta'rif a burchak kosinusining bir xil burchak sinusiga nisbati - cos(a)/sin(a). Boshqa trigonometrik funktsiyalar: sekant — sek(a) = 1/cos(a); kosekant - kosek(a) = 1/sin(a). Eslatma Biz * (ko'paytirish) belgisini maxsus yozmaymiz - bu erda ikkita funktsiya ketma-ket, bo'sh joysiz yoziladi, u nazarda tutiladi. Ishora Kosinus, sinus, tangens yoki bir nechta (4+) burchakli kotangens formulalarini olish uchun ularni mos ravishda formulalarga muvofiq yozish kifoya. yig'indining kosinus, sinus, tangensi yoki kotangensi yoki oldingi holatlarga kamaytirilib, uch va qo'sh burchak formulalariga keltiriladi. Qo'shish Hosilalar jadvali

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang.

Qisqartirish formulalari

Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollari maqolada o'rganilishi mumkin.

Qo'shish formulalari

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak

Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak

Yarim burchak formulalari

Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin.

Darajani pasaytirish formulalari

Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar trigonometrik funktsiyalarning tabiiy kuchlaridan birinchi darajali sinuslar va kosinuslarga o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Asosiy maqsad trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi formulalari trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda juda foydali bo'lgan funksiyalar mahsulotiga o'tishdir. Bu formulalar trigonometrik tenglamalarni yechishda ham keng qo’llaniladi, chunki ular sinuslar va kosinuslarning yig’indisi va ayirmasini faktorlarga ajratish imkonini beradi.

Sinuslar, kosinuslar va kosinuslar bo'yicha ko'paytma uchun formulalar

Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo`yicha ko`paytmasi formulalari yordamida amalga oshiriladi.

Universal trigonometrik almashtirish

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy. - M.: Ta'lim, 1990. - 272 b.: kasal. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: kasal. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi ko'rinish, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.

Bir nuqtada markazlashtirilgan A.
α - radianlarda ifodalangan burchak.

Ta'rif
Sinus (sin a)- Bu trigonometrik funktsiya, gipotenuza va oyoq orasidagi a burchakka qarab to'g'ri uchburchak, nisbatga teng qarama-qarshi tomonning uzunligi |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Kosinus (cos a) gipotenuza va toʻgʻri burchakli uchburchakning oyogʻi orasidagi a burchakka bogʻliq boʻlgan trigonometrik funksiya boʻlib, qoʻshni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Qabul qilingan belgilar

;
;
.

Sinus funksiya grafigi, y = sin x

Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus va kosinusning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = gunoh x va y = chunki x davr bilan davriy 2p.

Paritet

Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.

Ta'rif va qadriyatlar sohasi, ekstremal, o'sish, pasayish

Sinus va kosinus funktsiyalari o'z ta'rif sohalarida uzluksizdir, ya'ni barcha x uchun (uzluksizlik isbotiga qarang). Ularning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan (n - butun son).

	y = gunoh x	y = chunki x
Qamrov va davomiylik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ortib bormoqda
Pastga
Maksima, y = 1
Minima, y = - 1
Nollar, y = 0
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	y = 0	y = 1