Dars mavzusini o'qing: "Qoldiq bilan bo'lish". Bu mavzu haqida nimalarni allaqachon bilasiz?
Ikkita plastinkada 8 ta olxo'rini teng taqsimlay olasizmi (1-rasm)?
Guruch. 1. Masalan, rasm
Har bir plastinkada 4 ta olxo'ri qo'yishingiz mumkin (2-rasm).
Guruch. 2. Masalan, rasm
Biz bajargan harakatni shunday yozish mumkin.
8: 2 = 4
Sizningcha, 8 ta olxo'rini 3 ta plastinkaga teng bo'lish mumkinmi (3-rasm)?
Guruch. 3. Masalan, rasm
Keling, shunday harakat qilaylik. Birinchidan, har bir plastinkaga bitta olxo'ri, keyin ikkinchi olxo'ri qo'ying. Bizda 2 ta olxo'ri qoladi, lekin 3 ta plastinka. Bu shuni anglatadiki, biz ularni yanada teng taqsimlay olmaymiz. Har bir tovoqqa 2 ta olxo'ri qo'ydik, bizda 2 ta olxo'ri qoldi (4-rasm).
Guruch. 4. Masalan, rasm
Keling, kuzatishda davom etaylik.
Raqamlarni o'qing. Berilgan sonlar orasidan 3 ga bo'linadiganlarini toping.
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
O'zingizni sinab ko'ring.
Qolgan raqamlar (11, 13, 14, 16, 17, 19) 3 ga bo'linmaydi yoki ular aytadilar. "qolganlari bilan bo'lingan."
Keling, qismning qiymatini topamiz.
17 sonida 3 soni necha marta borligini aniqlaymiz (5-rasm).
Guruch. 5. Masalan, rasm
Ko'ramizki, 3 ta oval 5 marta mos keladi va 2 oval qoladi.
Tugallangan harakatni shunday yozish mumkin.
17: 3 = 5 (qolgan 2)
Siz uni ustunga ham yozishingiz mumkin (6-rasm)
Guruch. 6. Masalan, rasm
Rasmlarga qarang. Ushbu raqamlarning sarlavhalarini tushuntiring (7-rasm).
Guruch. 7. Masalan, rasm
Birinchi rasmga qaraylik (8-rasm).
Guruch. 8. Masalan, rasm
15 ta oval 2 ga bo'linganligini ko'ramiz. 2 tasi 7 marta takrorlangan, qolganlari esa 1 oval bo'lgan.
Keling, ikkinchi rasmni ko'rib chiqaylik (9-rasm).
Guruch. 9. Masalan, rasm
Bu rasmda 15 kvadrat 4 ga bo'lingan. 4 ta 3 marta takrorlangan, qolganlari 3 ta kvadrat.
Uchinchi rasmga qaraylik (10-rasm).
Guruch. 10. Masalan, rasm
Aytishimiz mumkinki, 15 ta oval 3 ga bo'lingan. 3 ta 5 marta teng takrorlangan. Bunday hollarda qolgan 0 ga teng deyiladi.
Keling, bo'linishni qilaylik.
Biz etti kvadratni uchga ajratamiz. Biz ikkita guruhni olamiz va bitta kvadrat qoladi. Yechimni yozamiz (11-rasm).
Guruch. 11. Masalan, rasm
Keling, bo'linishni qilaylik.
10 sonida necha karra to'rt borligini aniqlaymiz. 10 sonida to'rt karra 2 karra borligini va 2 kvadrat qolganligini ko'ramiz. Yechimni yozamiz (12-rasm).
Guruch. 12. Masalan, rasm
Keling, bo'linishni qilaylik.
Keling, 11 sonida ikkitadan necha marta ikkita borligini aniqlaymiz. 11 sonida ikkitadan 5 marta va 1 kvadrat qolganligini ko'ramiz. Yechimni yozamiz (13-rasm).
Guruch. 13. Masalan, rasm
Keling, xulosa qilaylik. Qoldiq bilan bo'lish, dividendda bo'luvchining necha marta borligini va qancha birlik qolganligini aniqlashni anglatadi.
Qoldiq bilan bo'lish son qatorida ham bajarilishi mumkin.
Raqam chizig'ida biz 3 ta bo'linma segmentlarini belgilaymiz va uch marta uchta bo'linish borligini va bitta bo'linish qolganligini ko'ramiz (14-rasm).
Guruch. 14. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
10: 3 = 3 (qolgan 1)
Keling, bo'linishni qilaylik.
Raqam chizig'ida biz 3 bo'linma segmentlarini belgilaymiz va uch marta uchta bo'linish borligini va ikkita bo'linish qolganligini ko'ramiz (15-rasm).
Guruch. 15. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
11: 3 = 3 (qolgan 2)
Keling, bo'linishni qilaylik.
Raqam chizig'ida biz 3 bo'linma segmentlarini belgilaymiz va biz aniq 4 marta olganimizni ko'ramiz, qoldiq yo'q (16-rasm).
Guruch. 16. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
12: 3 = 4
Bugun darsda qoldiq bilan bo'lish bilan tanishdik, chizma va son chizig'i yordamida nomlangan harakatni bajarishni o'rgandik va dars mavzusi bo'yicha misollar echishni mashq qildik.
Adabiyotlar ro'yxati
- M.I. Moreau, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 1-qism. - M.: “Ma’rifat”, 2012 y.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 2-qism. - M.: “Ma’rifat”, 2012 y.
- M.I. Moro. Matematika darslari: Ko'rsatmalar o'qituvchi uchun. 3-sinf. - M.: Ta'lim, 2012 yil.
- Normativ hujjat. Ta'lim natijalarini monitoring qilish va baholash. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
- "Rossiya maktabi": uchun dasturlar boshlang'ich maktab. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
- S.I. Volkova. Matematika: Test ishi. 3-sinf. - M.: Ta'lim, 2012 yil.
- V.N. Rudnitskaya. Testlar. - M.: "Imtihon", 2012 yil.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Uy vazifasi
1. 2 ga qoldiqsiz bo‘linadigan sonlarni yozing.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Rasmdan foydalanib, qoldiq bilan bo‘linishni bajaring.
3. Son qatoridan foydalanib, qoldiq bilan bo‘linishni bajaring.
4. Do'stlaringizga dars mavzusi bo'yicha topshiriq tuzing.
Ushbu maqolada biz ko'rib chiqamiz butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish. dan boshlaylik umumiy tamoyil butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish, biz butun sonlarni qoldiqga bo'linish teoremasini tuzamiz va isbotlaymiz, dividend, bo'linuvchi, to'liq bo'lmagan qism va qoldiq o'rtasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz. Keyinchalik, biz butun sonlarni qoldiqga bo'lish qoidalarini ko'rsatamiz va misollarni echishda ushbu qoidalarni qo'llashni ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng biz butun sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirishni o'rganamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Butun sonlarni qoldiqga bo'lish haqida umumiy tushuncha
Butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish natural sonlar qoldig'iga bo'linishni umumlashtirish sifatida ko'rib chiqamiz. Bu natural sonlarning mavjudligi bilan bog'liq ajralmas qismi butun sonlar.
Keling, tavsifda ishlatiladigan atamalar va belgilar bilan boshlaylik.
Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lish bilan o'xshashlik bilan ikkita butun a va b (b nolga teng emas) qoldiqlari bilan bo'linish natijasi ikkita c va d butun sonlar deb faraz qilamiz. a va b raqamlari chaqiriladi bo'linadigan Va ajratuvchi Shunga ko'ra, d soni - qolgan a ni b ga bo'lishdan va butun c chaqiriladi to'liq bo'lmagan shaxsiy(yoki oddiygina xususiy, agar qolgan nolga teng bo'lsa).
Keling, qoldiq manfiy bo'lmagan butun son bo'lib, uning qiymati b dan oshmaydi, ya'ni (biz uch yoki undan ortiq butun sonlarni solishtirish haqida gapirganda shunga o'xshash tengsizlik zanjirlariga duch keldik) deb faraz qilishga rozi bo'laylik.
Agar c soni to'liq bo'lmagan bo'lak bo'lsa va d soni a butun sonni b butun soniga bo'lishdan qolgan qoldiq bo'lsa, u holda bu faktni qisqacha a:b=c (qolgan d) ko'rinishdagi tenglik sifatida yozamiz.
E'tibor bering, a butun sonni b butun songa bo'lganda, qolgan nolga teng bo'lishi mumkin. Bunda a ni b ga bo'linadi deymiz izsiz(yoki butunlay). Shunday qilib, butun sonlarni qoldiqsiz bo'lish butun sonlarni qoldiq bilan bo'lishning alohida holatidir.
Shuni ham ta'kidlash kerakki, nolni qandaydir butun songa bo'lishda biz doimo qoldiqsiz bo'linish bilan shug'ullanamiz, chunki bu holda bo'linish nolga teng bo'ladi (nolni butun songa bo'lish nazariyasiga qarang), qolgan esa. ham nolga teng bo'ladi.
Biz terminologiya va belgi haqida qaror qabul qildik, endi butun sonlarni qoldiqga bo'lish ma'nosini tushunamiz.
manfiy butun a sonni musbat butun b ga bo'lish ham ma'no berishi mumkin. Buning uchun manfiy butun sonni qarz deb hisoblang. Keling, bu vaziyatni tasavvur qilaylik. Ob'ektlarni tashkil etuvchi qarzni teng hissa qo'shish orqali b kishi to'lashi kerak. Mutlaq qiymat to'liq bo'lmagan quotient c bu holda bu odamlarning har birining qarz miqdorini aniqlaydi, qolgan d esa qarzni to'lagandan keyin qancha element qolishini ko'rsatadi. Keling, misol keltiraylik. Aytaylik, 2 kishining 7 ta olma qarzi bor. Agar ularning har birida 4 ta olma qarzi bor deb hisoblasak, qarzni to‘lagandan keyin 1 ta olma qoladi. Bu holat tenglikka mos keladi (−7):2=−4 (qolgan 1).
Ixtiyoriy butun a ning qolgan qismi bilan butun songa bo'linish manfiy raqam biz hech qanday ma'no qo'shmaymiz, lekin mavjud bo'lish huquqini o'zida saqlab qolamiz.
Butun sonlarning qoldiqga bo‘linuvchanligi haqidagi teorema
Natural sonlarni qoldiqga bo'lish haqida gapirganimizda, dividend a, bo'luvchi b, qisman qism c va qolgan d a=b·c+d tengligi bilan bog'liqligini aniqladik. a, b, c va d butun sonlari bir xil munosabatga ega. Ushbu ulanish quyidagi tarzda tasdiqlangan qoldiq bilan bo'linish teoremasi.
Teorema.
Har qanday a butun sonini ifodalash mumkin yagona yo'l a=b·q+r ko'rinishidagi butun va nolga teng bo'lmagan b soni orqali, bu erda q va r ba'zi butun sonlar va .
Isbot.
Birinchidan, a=b·q+r ni ifodalash imkoniyatini isbotlaymiz.
Agar a va b butun sonlar shunday bo'lsa, a b ga bo'linadigan bo'lsa, ta'rifga ko'ra a=b·q bo'ladigan butun q son mavjud. Bunda r=0 da a=b·q+r tenglik bajariladi.
Endi biz b musbat butun son deb faraz qilamiz. b·q ko'paytmasi a sonidan oshmasligi va b·(q+1) ko'paytmasi allaqachon a dan katta bo'lishi uchun q butun sonini tanlaymiz. Ya'ni, q ni shunday olamizki, tengsizliklar b q Salbiy b uchun a=b·q+r ni ifodalash imkoniyatini isbotlash qoladi. Bu holda b sonining moduli musbat son bo'lganligi sababli, q 1 qandaydir butun son, r esa shartlarni qondiradigan butun son bo'lgan tasvir mavjud. Keyin q=−q 1 ni olib, manfiy b uchun kerakli a=b·q+r tasvirni olamiz. Keling, noyoblikning isbotiga o'tamiz. Faraz qilaylik, a=b·q+r, q va r butun sonlar va tasviridan tashqari yana a=b·q 1 +r 1 tasviri mavjud bo‘lsin, bunda q 1 va r 1 ba’zi bir butun sonlar va q 1 ≠ q va . Birinchi tenglikning chap va o‘ng tomonlaridan mos ravishda ikkinchi tenglikning chap va o‘ng tomonlarini ayirib, r− tengligiga ekvivalent bo‘lgan 0=b·(q−q 1)+r−r 1 ni hosil qilamiz. r 1 =b·(q 1 -q) . Keyin shaklning tengligi Shartlardan shunday xulosa qilishimiz mumkin. q va q 1 butun sonlar va q≠q 1 bo‘lgani uchun, shunday xulosaga kelamiz: a=b·c+d tengligi, agar bo'linuvchi b, qisman c qism va d qoldig'i ma'lum bo'lsa, a noma'lum dividendni topishga imkon beradi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Misol. Agar −21 butun songa bo‘linganda to‘liq bo‘lmagan qism 5 ga, qolgan 12 ga teng bo‘lsa, dividendning qiymati qanday bo‘ladi? Yechim. Bo'luvchi b=−21, qisman qism c=5 va qolgan d=12 ma'lum bo'lganda dividend a ni hisoblashimiz kerak. a=b·c+d tengligiga qaytsak, a=(−21)·5+12 ni olamiz. Kuzatib, avval −21 va 5 butun sonlarni ishorasi har xil bo‘lgan butun sonlarni ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra ko‘paytiramiz, so‘ngra har xil ishorali butun sonlarni qo‘shishni bajaramiz: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Javob: −93
.
Dividend, boʻluvchi, qisman qism va qoldiq oʻrtasidagi bogʻlanishlar ham b=(a−d):c, c=(a−d):b va d=a−b·c koʻrinishdagi tengliklar bilan ifodalanadi. Bu tengliklar mos ravishda bo'linuvchi, qisman qism va qoldiqni hisoblash imkonini beradi. Dividend, bo'luvchi va qisman qism ma'lum bo'lganda, a butun sonni b butun songa bo'lishda d=a−b·c formulasidan foydalanib, ko'pincha qolganni topishga to'g'ri keladi. Boshqa savollarga yo'l qo'ymaslik uchun, qolganlarni hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Misol. Agar qisman qism −7 ga teng ekanligini bilsangiz, −19 butun sonni 3 ga bo‘lishda qoldiqni toping. Yechim. Bo'linishning qolgan qismini hisoblash uchun d=a−b·c ko'rinishdagi formuladan foydalanamiz. Shartdan biz barcha kerakli ma'lumotlarga egamiz a=−19, b=3, c=−7. Biz d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 ni olamiz (farqni −19−(−21) qoidasi yordamida hisoblab chiqdik. manfiy butun sonni ayirish). Javob: Biz bir necha marta ta'kidlaganimizdek, musbat butun sonlar natural sonlardir. Shuning uchun, musbat butun sonlar qoldig'iga bo'linish natural sonlarning qolgan qismiga bo'lishning barcha qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi. Tabiiy sonlarning qolgan qismi bilan bo'linishni osonlik bilan amalga oshirish juda muhim, chunki bu nafaqat musbat butun sonlarni bo'lish, balki ixtiyoriy butun sonlar qoldig'iga bo'lishning barcha qoidalarining asosi hisoblanadi. Bizning fikrimizcha, ustun bo'linishini bajarish eng qulaydir, bu usul sizga to'liq bo'lmagan qismni (yoki oddiygina qismni) va qoldiqni olish imkonini beradi. Musbat butun sonlar qoldig‘iga bo‘lish misolini ko‘rib chiqamiz. Misol. Qolgan 14 671 ni 54 ga bo'ling. Yechim. Keling, ushbu musbat sonlarni ustunga ajratamiz: Qisman qism 271 ga, qolgan qismi esa 37 ga teng bo'lib chiqdi. Javob: 14 671:54=271 (dam. 37) . Keling, musbat butun sonning qoldig'ini manfiy butun songa bo'lish imkonini beruvchi qoidani tuzamiz. Musbat butun a ni manfiy butun b songa bo‘lishning qisman qismi a ni b moduliga bo‘lishning qisman qismiga qarama-qarshi bo‘lib, a ni b ga bo‘lishning qolgan qismi bo‘lishning qolgan qismiga teng bo‘ladi. Ushbu qoidadan kelib chiqadiki, musbat butun sonni manfiy butun songa bo'lishning qisman qismi musbat bo'lmagan butun sondir. Belgilangan qoidani qoldiq bilan musbat butun sonni manfiy songa bo'lish algoritmiga aylantiramiz: Musbat butun sonni manfiy songa bo‘lish algoritmidan foydalanishga misol keltiramiz. Misol. 17 musbat sonning qolgan qismini manfiy butun son -5 ga bo'ling. Yechim. Qolgan musbat sonni manfiy butun songa bo‘lish algoritmidan foydalanamiz. Bo'lish orqali 3 ning qarama-qarshi soni -3. Shunday qilib, 17 ni -5 ga bo'lishning talab qilinadigan qisman qismi -3 ga, qolgan qismi esa 2 ga teng. Javob: 17 :(−5)=−3 (qolgan 2). Misol. Bo'lmoq 45 ga -15. Yechim. Dividend va bo'luvchining modullari mos ravishda 45 va 15 ni tashkil qiladi. 45 soni 15 ga qoldiqsiz bo'linadi va qism 3 ga teng. Demak, musbat butun son 45 −15 manfiy butun songa qoldiqsiz bo‘linadi va qism 3 ga qarama-qarshi bo‘lgan songa, ya’ni −3 ga teng bo‘ladi. Darhaqiqat, har xil belgilarga ega bo'lgan butun sonlarni bo'lish qoidasiga ko'ra, bizda . Javob: 45:(−15)=−3
.
Salbiy butun sonni qoldiq bilan musbat songa bo'lish qoidasining formulasini beraylik. a manfiy butun sonni musbat b ga bo'lishdan to'liq bo'lmagan c qismini olish uchun siz asl sonlarning modullarini bo'lishdan to'liq bo'lmagan qismga qarama-qarshi sonni olishingiz va undan bittani ayirishingiz kerak, shundan so'ng qolgan d hisoblab chiqiladi. d=a−b·c formulasi yordamida. Qoldiq bilan bo'lishning ushbu qoidasidan kelib chiqadiki, manfiy butun sonni musbat songa bo'lishning qisman qismi manfiy butun sondir. Belgilangan qoidadan manfiy butun a ni qoldiq bilan musbat butun b ga bo'lish algoritmi kelib chiqadi: Keling, qoldiq bilan yozma bo'linish algoritmini ishlatadigan misolning echimini tahlil qilaylik. Misol. −17 manfiy butun sonni musbat 5 ga bo‘lishda qisman qism va qoldiqni toping. Yechim. Dividend moduli −17 ga teng 17, bo‘luvchi 5 moduli esa 5 ga teng. Bo'lish orqali 17 dan 5 gacha, biz qisman qism 3 va qolgan 2 ni olamiz. 3 ning teskarisi -3. −3 dan bittani ayirish: −3−1=−4. Demak, talab qilinadigan qisman qism −4 ga teng. Qolganini hisoblash qoladi. Bizning misolimizda a=−17 , b=5 , c=−4 , keyin d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Shunday qilib, −17 manfiy butun sonni 5 musbat songa bo‘lishning qisman qismi −4 ga, qolgan qismi esa 3 ga teng. Javob: (−17):5=−4 (qolgan 3) . Misol. −1,404 manfiy butun sonni musbat butun son 26 ga bo‘ling. Yechim. Dividend moduli 1404, bo'luvchi moduli 26 ga teng. Ustun yordamida 1404 ni 26 ga bo'ling: Dividend moduli bo'linuvchi modulga qoldiqsiz bo'linganligi sababli, asl butun sonlar qoldiqsiz bo'linadi va kerakli qism 54 ga qarama-qarshi bo'lgan songa teng, ya'ni -54. Javob: (−1 404):26=−54
.
Keling, manfiy butun sonlar qoldig'iga bo'lish qoidasini tuzamiz. a manfiy butun sonni manfiy butun son b ga bo'lishdan to'liq bo'lmagan c qismini olish uchun siz asl sonlarning modullarini bo'lishdan to'liq bo'lmagan qismni hisoblashingiz va unga bitta qo'shishingiz kerak, shundan so'ng d formulasi yordamida qolgan d hisoblab chiqiladi. =a−b·c. Ushbu qoidadan kelib chiqadiki, manfiy butun sonlarni bo'lishning qisman qismi musbat butun sondir. Berilgan qoidani manfiy butun sonlarni bo‘lish algoritmi ko‘rinishida qayta yozamiz: Misol yechishda manfiy butun sonlarni bo‘lish algoritmidan foydalanishni ko‘rib chiqamiz. Misol. −17 manfiy butun sonni −5 manfiy butun songa bo‘lishda qisman qism va qoldiqni toping. Yechim. Qoldiq bilan mos bo'linish algoritmidan foydalanamiz. Dividend moduli 17 ga, bo'luvchi moduli 5 ga teng. Bo'lim 17 dan 5 ga qisman qism 3, qolgan qismi esa 2 ni beradi. 3-tugallanmagan qismga bitta qo'shamiz: 3+1=4. Shuning uchun -17 ni -5 ga bo'lishning talab qilinadigan qisman qismi 4 ga teng. Qolganini hisoblash qoladi. Bu misolda a=−17 , b=−5 , c=4 , keyin d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Demak, −17 manfiy butun sonni −5 manfiy butun songa bo‘lishning qisman qismi 4 ga, qolgan qismi esa 3 ga teng. Javob: (−17):(−5)=4 (qolgan 3) . Butun sonlarni qoldiqga bo'lgach, natijani tekshirish foydali bo'ladi. Tekshirish ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqichda qolgan d ning manfiy bo'lmagan son ekanligi tekshiriladi, shuningdek shartning bajarilganligi tekshiriladi. Agar tekshirishning birinchi bosqichining barcha shartlari bajarilgan bo'lsa, unda siz tekshirishning ikkinchi bosqichiga o'tishingiz mumkin, aks holda qoldiq bilan bo'lishda biror joyda xatolik yuz bergan deb da'vo qilish mumkin. Ikkinchi bosqichda a=b·c+d tengligining haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu tenglik to'g'ri bo'lsa, unda qoldiq bilan bo'linish to'g'ri bajarilgan, aks holda biror joyda xatolik yuz bergan. Butun sonlarni qoldiqga bo‘lish natijasi tekshiriladigan misollar yechimlarini ko‘rib chiqamiz. Misol. -521 sonini -12 ga bo'lishda qisman qism 44 ga, qolgan qismi esa 7 ga teng bo'lsa, natijani tekshiring. Yechim. b=−3, c=7, d=1 uchun −2. Bizda ... bor b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Shunday qilib, a=b·c+d tengligi noto'g'ri (bizning misolimizda a=−19). Shuning uchun qoldiq bilan bo'lish noto'g'ri amalga oshirildi. Qolgan bilan bo'linish- bu bir sonning boshqasiga bo'linishi, bunda qoldiq nolga teng emas. Bo'lish har doim ham mumkin emas, chunki bir raqam boshqasiga bo'linmaydigan holatlar mavjud. Misol uchun, 11 soni 3 ga bo'linmaydi, chunki 3 ga ko'paytirilganda 11 ga olib keladigan natural son yo'q. Bo'linishni amalga oshirish mumkin bo'lmaganda, biz dividendni to'liq emas, balki uning bo'linuvchi tomonidan bo'linishi mumkin bo'lgan eng katta qismini bo'lishga kelishib oldik. Ushbu misolda dividendning 3 ga bo'linishi mumkin bo'lgan eng katta qismi 9 ga teng (natija 3 ga teng), dividendning qolgan kichik qismi - 2 3 ga bo'linmaydi. 11 ni 3 ga bo'lish haqida gapiradigan bo'lsak, 11 hali ham dividend deb ataladi, 3 - bo'luvchi, bo'linish natijasi 3 raqami deb ataladi. to'liq bo'lmagan shaxsiy, va 2 raqami bo'linmaning qolgan qismi. Bu holda bo'linishning o'zi qoldiq bilan bo'linish deb ataladi. To'liq bo'lmagan qism - bu bo'linuvchiga ko'paytirilsa, dividenddan oshmaydigan mahsulot beradigan eng katta raqam. Dividend va ushbu mahsulot o'rtasidagi farq qoldiq deb ataladi. Qolgan har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi, aks holda u bo'luvchi tomonidan ham bo'linishi mumkin. Qoldiq bilan bo'linish quyidagicha yozilishi mumkin: 11: 3 = 3 (qolgan 2) Agar bitta natural son ikkinchisiga boʻlinganda qolgan 0 ga teng boʻlsa, birinchi son ikkinchisiga butun songa boʻlinadi deyiladi. Masalan, 4 2 ga bo'linadi. 5 raqami 2 ga bo'linmaydi. Bu so'z odatda qisqalik uchun butunlay chiqarib tashlanadi va ular aytadilar: falon raqam boshqasiga bo'linadi, masalan: 4 2 ga bo'linadi, lekin 5 2 ga bo'linmaydi. Qoldiq bilan bo'lish natijasini quyidagi tarzda tekshirishingiz mumkin: to'liq bo'lmagan qismni bo'luvchiga ko'paytiring (yoki aksincha) va qolgan qismini hosil bo'lgan mahsulotga qo'shing. Agar natija dividendga teng bo'lsa, unda qolgan qismga bo'linish to'g'ri bajariladi: 11: 3 = 3 (qolgan 2) Ushbu maqolada biz batafsilroq ko'rib chiqamiz qoldiq bilan bo'linish. Keling, ushbu harakatning umumiy g'oyasidan boshlaylik, keyin bilib olaylik natural sonlarni qoldiqga bo'lish ma'nosi, va kerakli shartlarni kiriting. Keyin natural sonlarni qoldiqga bo‘lish yo‘li bilan yechilgan masalalar doirasini belgilaymiz. Xulosa qilib aytganda, biz dividend, bo'linuvchi, to'liq bo'lmagan qism va bo'linishning qolgan qismi o'rtasidagi barcha turdagi bog'lanishlarga to'xtalib o'tamiz. Sahifani navigatsiya qilish. Javob: Dividend 79 dona. Shuni ham ta'kidlash kerakki, natural sonlarni qoldiqqa bo'lish natijasini tekshirish hosil bo'lgan a=b·c+d tengligining haqiqiyligini tekshirish orqali amalga oshiriladi. O'z ma'nosida qolgan d - uning a elementlaridan b marta c elementlar chiqarib tashlanganidan keyin dastlabki to'plamda qoladigan elementlar soni. Demak, natural sonlarni ko‘paytirish ma’nosi va natural sonlarni ayirish ma’nosiga ko‘ra, tenglik to‘g‘ri bo‘ladi. d=a−b·c. Shunday qilib, a natural sonini natural son b ga bo‘lishdan qolgan d d a dividend ayirmasi va b bo‘luvchining c qismli ko‘paytmasiga teng.. Olingan d=a−b·c munosabati dividend, bo‘luvchi va to‘liq bo‘lmagan qism ma’lum bo‘lganda qoldiqni topish imkonini beradi. Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik. Biz natural sonlarni qoldiqga bo'lishning umumiy g'oyasidan o'tamiz va ushbu maqolada biz ushbu harakatni amalga oshirish tamoyillarini tushunamiz. Umuman qoldiq bilan bo'linish natural sonlarni qoldiqsiz bo'lish bilan juda ko'p umumiylik bor, shuning uchun biz ushbu maqoladagi materialga tez-tez murojaat qilamiz. Birinchidan, natural sonlarni qoldiqga bo'lishni ko'rib chiqamiz. Keyinchalik, ketma-ket ayirishni amalga oshirish orqali natural sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz. Shundan so'ng, biz to'liq bo'lmagan qismni tanlash usuliga o'tamiz, yechimning batafsil tavsifi bilan misollar keltirishni unutmaymiz. Keyinchalik, tabiiy sonlarni umumiy holatda qoldiq bilan bo'lish imkonini beruvchi algoritm yozamiz. Maqolaning oxirida biz natural sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini qanday tekshirishni ko'rsatamiz. Sahifani navigatsiya qilish. Natural sonlarni qoldiqga bo'lishning eng qulay usullaridan biri bu uzun bo'linishdir. Natural sonlarni ustunlarga bo'lish maqolasida biz ushbu bo'linish usulini batafsil ko'rib chiqdik. Bu erda biz takrorlamaymiz, faqat bitta misol bilan yechim keltiramiz. Misol. 273 844 natural sonning qolgan qismini 97 natural soniga bo'ling. Yechim. Keling, ustunga bo'linishni qilaylik: Shunday qilib, 273 844 ning 97 ga bo'lingan qisman qismi 2 823 ga, qolgan qismi esa 13 ga teng. Javob: 273,844:97=2,823 (qolgan. 13) . Bo'luvchini ketma-ket ayirish orqali natural sonlarni bo'lishda qisman qism va qoldiqni topishingiz mumkin. Ushbu yondashuvning mohiyati oddiy: kerakli miqdordagi elementlarga ega bo'lgan to'plamlar mavjud to'plamning elementlaridan bu mumkin bo'lgunga qadar ketma-ket shakllanadi, natijada olingan to'plamlar soni to'liq bo'lmagan qismni va asl to'plamdagi qolgan elementlarning sonini beradi. bo'limning qolgan qismidir. Keling, misol keltiraylik. Misol. Aytaylik, 7 ni 3 ga bo'lish kerak. Yechim. Tasavvur qilaylik, 3 ta olma qoplariga 7 ta olma qo'yishimiz kerak. Olmaning asl sonidan biz 3 ta bo'lakni olib, birinchi sumkaga solamiz. Bunda natural sonlarni ayirish ma’nosidan kelib chiqib, bizga 7−3=4 olma qoladi. Biz yana 3 tasini olib, ikkinchi sumkaga solamiz. Shundan so'ng bizda 4−3=1 olma qoladi. Bu jarayon tugashi aniq (biz kerakli miqdordagi olma bilan boshqa paketni shakllantira olmaymiz, chunki qolgan 1 olma soni bizga kerak bo'lgan 3 miqdordan kamroq). Natijada, bizda kerakli miqdordagi olma va bitta olma qolgan ikkita sumka bor. U holda natural sonlarni qoldiqqa bo'lish ma'nosidan kelib chiqib, 7:3=2 (dam olish. 1) natijani oldik, deyishimiz mumkin. Javob: 7:3=2 (qolgan. 1) . Keling, boshqa misolning yechimini ko'rib chiqamiz va biz faqat matematik hisob-kitoblarni beramiz. Misol. 145 natural sonini ketma-ket ayirish yordamida 46 ga bo'ling. Yechim. 145−46=99 (kerak boʻlsa natural sonlarni ayirish maqolasiga qarang). 99 soni 46 dan katta bo‘lgani uchun bo‘luvchini ikkinchi marta ayiramiz: 99−46=53. 53>46 bo'lgani uchun bo'luvchini uchinchi marta ayiramiz: 53−46=7. 7 soni 46 dan kichik bo'lgani uchun biz ayirishni qayta bajara olmaymiz, ya'ni bu bilan ketma-ket ayirish jarayoni tugaydi. Natijada, biz 46 bo'luvchini dividenddan 145 3 marta ketma-ket ayirishimiz kerak edi, shundan so'ng biz qolgan 7 ni oldik. Shunday qilib, 145:46=3 (qolgan 7). Javob: 145:46=3 (qolgan 7) . Shuni ta'kidlash kerakki, agar dividend bo'luvchidan kam bo'lsa, biz ketma-ket ayirishni amalga oshira olmaymiz. Ha, bu shart emas, chunki bu holda biz darhol javob yozishimiz mumkin. Bunday holda, qisman qism nolga teng, qolgan qismi esa dividendga teng bo'ladi. Ya'ni, agar a
Shuni ham aytish kerakki, ko'rib chiqilgan usul yordamida natural sonlarni qoldiqga bo'lish natijani olish uchun oz sonli ketma-ket ayirishlar kerak bo'lganda yaxshi bo'ladi. Berilgan a va b natural sonlarni qoldiqga bo‘lishda c qismli qism topiladi. Endi biz tanlov jarayoni nimaga asoslanganligini va u qanday davom etishi kerakligini ko'rsatamiz. Birinchidan, keling, to'liq bo'lmagan qismni qaysi raqamlardan qidirishni hal qilaylik. Natural sonlarni qoldiqga bo‘lish ma’nosi haqida gapirganimizda, to‘liq bo‘lmagan qism nol yoki natural son, ya’ni 0, 1, 2, 3, ... sonlaridan biri bo‘lishi mumkinligini aniqladik. kerakli to'liq bo'lmagan qism yozma raqamlardan biri bo'lib, qisman bo'linma qaysi son ekanligini aniqlash uchun faqat ular orqali o'tishimiz kerak. Keyinchalik, bizga d=a−b·c ko'rinishdagi tenglama kerak bo'ladi, u ni aniqlaydi, shuningdek, qoldiq har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi (biz bu haqda natural sonlarni bo'lish ma'nosi haqida gapirganda ham aytib o'tgan edik. qoldig'i bilan). Endi biz to'liq bo'lmagan qismni tanlash jarayonining tavsifiga to'g'ridan-to'g'ri o'tishimiz mumkin. Dividend a va bo'luvchi b bizga dastlab ma'lum; to'liq bo'lmagan c qism sifatida biz ketma-ket 0, 1, 2, 3, ... raqamlarini olamiz, har safar d=a−b·c qiymatini hisoblab, solishtiramiz. bo'luvchi bilan. Olingan qiymat bo'luvchidan kichik bo'lishi bilan bu jarayon tugaydi. Bunday holda, ushbu bosqichdagi c soni kerakli to'liq bo'lmagan qismdir va d=a−b·c qiymati bo'linishning qolgan qismidir. Misol yordamida to'liq bo'lmagan qismni tanlash jarayonini tahlil qilish qoladi. Misol. 267 natural sonining qolgan qismini 21 ga bo'ling. Yechim. To'liq bo'lmagan qismni tanlaymiz. Bizning misolimizda a=267, b=21. Biz ketma-ket c ga 0, 1, 2, 3, ... qiymatlarini beramiz, har bir bosqichda d=a−b·c qiymatini hisoblaymiz va uni 21 bo'luvchi bilan taqqoslaymiz. Da c=0 bizda mavjud d=a−b·c=267−21·0=267−0=267(avval natural sonlarni ko'paytirish, keyin ayirish amalga oshiriladi, bu maqolada yozilgan). Olingan son 21 dan katta (agar kerak bo'lsa, natural sonlarni solishtirish bo'yicha maqoladagi materialni o'rganing). Shuning uchun biz tanlov jarayonini davom ettiramiz. Da c=1 bizda bor d=a−b·c=267−21·1=267−21=246. 246>21 dan boshlab biz jarayonni davom ettiramiz. Da c=2 olamiz d=a−b·c=267−21·2=267−42=225. 225>21 dan boshlab, biz davom etamiz. Da c=3 bizda bor d=a−b·c=267−21·3=267−63=204. 204>21 yildan boshlab biz tanlovni davom ettiramiz. Da c=12 olamiz d=a−b·c=267−21·12=267−252=15. Biz 21 dan kam bo'lgan 15 raqamini oldik, shuning uchun jarayonni tugallangan deb hisoblash mumkin. Biz to'liq bo'lmagan qismni c=12 tanladik, qolgan d 15 ga teng. Javob: 267:21=12 (dam olish. 15) . Ushbu bo'limda biz ketma-ket ayirish usuli (va to'liq bo'lmagan qismni tanlash usuli) juda ko'p hisoblash operatsiyalarini talab qiladigan hollarda natural sonning qolgan qismini natural b soniga bo'lish imkonini beruvchi algoritmni ko'rib chiqamiz. Darhol shuni ta'kidlaymizki, agar a dividend b bo'luvchidan kichik bo'lsa, biz qisman qismni ham, qolgan qismini ham bilamiz: a uchun b. Natural sonlarni qoldiqga bo'lish algoritmining barcha bosqichlarini batafsil bayon qilishdan oldin, biz uchta savolga javob beramiz: biz dastlab nimani bilamiz, nimani topishimiz kerak va buni qanday fikrlarga asoslanib qilamiz? Dastlab, biz dividend a va bo'luvchi b ni bilamiz. Biz qisman c qismini va qolgan d ni topishimiz kerak. a=b·c+d tengligi dividend, bo'luvchi, qisman qism va qoldiq o'rtasidagi munosabatni belgilaydi. Yozma tenglikdan kelib chiqadiki, agar dividend a ni b·c+d yig'indisi sifatida taqdim etsak, bunda d b dan kichik bo'ladi (chunki qoldiq har doim bo'luvchidan kichik), u holda biz to'liq bo'lmagan c qismini ham ko'ramiz. va qolganlari d. Faqat a dividendni b·c+d yig‘indisida qanday ko‘rsatishni aniqlash qoladi. Buni amalga oshirish algoritmi natural sonlarni qoldiqsiz bo'lish algoritmiga juda o'xshaydi. Biz barcha bosqichlarni tasvirlab beramiz va shu bilan birga aniqroq bo'lish uchun misolni hal qilamiz. 899 ni 47 ga bo'ling. Algoritmning dastlabki besh nuqtasi dividendni bir nechta shartlar yig'indisi sifatida ko'rsatishga imkon beradi. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu nuqtalardan olingan harakatlar dividendni qo'shadigan barcha shartlar topilmaguncha tsiklik ravishda takrorlanadi. Oxirgi oltinchi bandda hosil bo‘lgan yig‘indi b·c+d ko‘rinishiga o‘zgartiriladi (agar hosil bo‘lgan yig‘indi endi bu shaklga ega bo‘lmasa), u yerdan kerakli to‘liq bo‘lmagan qism va qoldiq ko‘rinib turadi. Shunday qilib, keling, 899 dividendni bir nechta shartlar yig'indisi sifatida ifodalashni boshlaylik. Birinchidan, biz dividenddagi raqamlar soni bo'linuvchidagi raqamlar sonidan qancha ko'p ekanligini hisoblaymiz va bu raqamni eslaymiz. Bizning misolimizda dividend 3 ta raqamga ega (899 - uch xonali son), bo'linuvchi esa ikkita raqamga ega (47 - ikki xonali son), shuning uchun dividend yana bitta raqamga ega va biz 1 raqamini eslaymiz. . Endi o'ngdagi bo'linuvchi yozuvda biz oldingi paragrafda olingan raqam bilan belgilangan miqdorda 0 raqamlarini qo'shamiz. Bundan tashqari, agar yozma raqam dividenddan katta bo'lsa, oldingi xatboshida eslab qolgan raqamdan 1 ni olib tashlashingiz kerak. Keling, misolimizga qaytaylik. 47 bo'luvchining yozuvida biz o'ngga bitta raqam 0 qo'shamiz va biz 470 raqamini olamiz. 470 yildan beri<899
, то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1
. Таким образом, у нас в памяти остается число 1
. Shundan so'ng, o'ngdagi 1 raqamiga biz oldingi xatboshida yodlangan raqam bilan belgilangan miqdorda 0 raqamlarini beramiz. Bunday holda, biz raqam birligini olamiz, biz bundan keyin ishlaymiz. Bizning misolimizda biz 1 raqamiga 1 ta 0 raqamini beramiz va biz 10 raqamini olamiz, ya'ni o'nliklar qatori bilan ishlaymiz. Endi biz dividenddan katta yoki teng sonni olmagunimizcha, bo'luvchini ishchi raqamning 1, 2, 3, ... birliklariga ketma-ket ko'paytiramiz. Bizning misolimizda ishchi raqam o'nlik raqami ekanligini aniqladik. Shuning uchun biz birinchi navbatda bo'luvchini o'nliklar qatorida bir birlikka ko'paytiramiz, ya'ni 47 ni 10 ga ko'paytirsak, biz 47 10 = 470 ni olamiz. Olingan 470 raqami dividend 899 dan kichik, shuning uchun biz bo'luvchini o'nlik qatorida ikki birlikka ko'paytirishni davom ettiramiz, ya'ni 47 ni 20 ga ko'paytiramiz. Bizda 47·20=940 bor. Bizda 899 dan katta raqam bor. Ketma-ket ko'paytirish paytida oxirgi bosqichda olingan raqam talab qilinadigan shartlarning birinchisidir. Tahlil qilinayotgan misolda kerakli atama 470 raqamidir (bu raqam 47·100 ko'paytmasiga teng, bu tenglikni keyinroq ishlatamiz). Shundan so'ng biz dividend va topilgan birinchi atama o'rtasidagi farqni topamiz. Olingan son bo'luvchidan katta bo'lsa, ikkinchi hadni topishga o'tamiz. Buning uchun biz algoritmning barcha tavsiflangan bosqichlarini takrorlaymiz, ammo endi biz bu erda olingan raqamni dividend sifatida olamiz. Agar bu nuqtada biz yana bo'luvchidan kattaroq sonni olsak, natijada olingan sonni dividend sifatida olib, algoritm qadamlarini yana bir bor takrorlab, uchinchi hadni topishga kirishamiz. Shunday qilib, biz to'rtinchi, beshinchi va keyingi shartlarni topib, bu nuqtada olingan son bo'luvchidan kichik bo'lguncha davom etamiz. Bu sodir bo'lishi bilan biz bu erda olingan sonni biz izlayotgan oxirgi atama sifatida qabul qilamiz (oldinga qarab, qolganga teng deb aytaylik) va yakuniy bosqichga o'tamiz. Keling, misolimizga qaytaylik. Bu bosqichda bizda 899−470=429 bor. 429>47 bo'lgani uchun biz bu raqamni dividend sifatida olamiz va u bilan algoritmning barcha bosqichlarini takrorlaymiz. 429 raqami 47 raqamidan bitta ko'proq raqamga ega, shuning uchun 1 raqamini eslang. Endi o'ng tarafdagi dividendning yozuvida biz bitta raqam 0 qo'shamiz, biz 470 raqamini olamiz, bu 429 raqamidan kattaroqdir. Shuning uchun, oldingi xatboshida eslab qolgan 1 raqamidan biz 1ni ayirib, biz eslab qolgan 0 raqamini olamiz. Oldingi xatboshida biz 0 raqamini eslab qolganimiz sababli, 1 raqamiga o'ngga bitta raqam 0 qo'yishning hojati yo'q. Bu holda bizda 1 raqami bor, ya'ni ishchi raqam birlar sonidir. Endi biz 47 bo'luvchini ketma-ket 1, 2, 3, ga ko'paytiramiz ... Biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz. Aytaylik, 47·9=423<429
, а 47·10=470>429. Biz izlayotgan ikkinchi atama 423 raqamidir (bu 47 9 ga teng, biz bundan keyin foydalanamiz). 429 va 423 o'rtasidagi farq 6 ga teng. Bu raqam 47 bo'luvchidan kichik, shuning uchun biz izlayotgan uchinchi (va oxirgi) atama. Endi biz yakuniy bosqichga o'tishimiz mumkin. Xo'sh, biz yakuniy bosqichga keldik. Oldingi barcha harakatlar dividendlarni bir necha shartlar yig'indisi sifatida taqdim etishga qaratilgan edi. Endi hosil bo'lgan yig'indini b·c+d ko'rinishiga aylantirish kerak. Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan distributiv xususiyati bu vazifani engishimizga yordam beradi. Shundan so'ng, kerakli to'liq bo'lmagan qism va qoldiq ko'rinadi. Bizning misolimizda dividend 899 uchta shart 470, 423 va 6 yig'indisiga teng. 470+423+6 yig'indisini 47·10+47·9+6 shaklida qayta yozish mumkin (esda tuting, biz 470=47·10 va 423=47·9 tengliklariga e'tibor bergan edik). Endi natural sonni yig‘indiga ko‘paytirish xossasini qo‘llaymiz va 47·10+47·9+6= 47·(10+9)+6= 47·19+6 ni olamiz. Shunday qilib, dividend bizga kerak bo'lgan 899=47·19+6 ko'rinishga aylantiriladi, undan to'liq bo'lmagan qism 19 va qolgan 6 ni osongina topish mumkin. Demak, 899:47=19 (dam olish. 6). Albatta, misollarni yechishda siz qoldiq bilan bo'linish jarayonini batafsil tasvirlab berolmaysiz.
, va sonlar modulining xossalari tufayli tenglik 
.
. Olingan tengsizliklardan va bundan kelib chiqadiki, shaklning tengligi bizning taxminimiz ostida mumkin emas. Shuning uchun a sonining a=b·q+r dan boshqa ko‘rinishi yo‘q.Dividend, bo'luvchi, qisman qism va qoldiq o'rtasidagi munosabatlar
Musbat butun sonlar qoldig‘i bilan bo‘lish, misollar
Qolgan musbat sonni manfiy butun songa bo'lish qoidasi, misollar
Manfiy butun sonni musbat songa bo‘lish, misollar
Manfiy butun sonlar uchun qoldiq bilan bo'lish qoidasi, misollar
Butun sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirish
Qolganlarga bo'linish tekshirilmoqda
Dividend, bo'luvchi va qisman qism ma'lum bo'lsa, qolgan qismini topish
Natural sonlarni qoldiqga bo'lish
Natural sonlarni ketma-ket ayirish orqali qoldiqga bo'lish
To'liq bo'lmagan qismni tanlash
Natural sonlarni qoldiqga bo'lish algoritmi, misollar, yechimlar
