Element nomi Algebra va matematik analizning boshlanishi
Sinf 10
UMK Algebra va matematik analizning boshlanishi, 10-11 sinflar. AT 2. 1-qism. uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari(ning asosiy darajasi) /A.G. Mordkovich. – 10-nashr, ster.- M.: Mnemosyne, 2012. 2-qism. Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (asosiy daraja) /[ A.G. Mordkovich va boshqalar.]; tomonidan tahrirlangan A.G. Mordkovich. – 10-nashr, ster.- M.: Mnemosyne, 2012.
O'qish darajasi. Baza
Dars mavzusi Raqamli doira (soat 2)
№1 dars
Maqsad: tushunchasi bilan tanishtiring raqam doirasi egri chiziqli koordinatalar tizimining modellari sifatida.
Vazifalar : masalalar yechishda sonlar aylanasidan foydalanish malakalarini shakllantirish.
Rejalashtirilgan natijalar:
Darslar davomida
Tashkiliy vaqt.
2. O'quvchilarga qiyinchilik tug'dirgan uy vazifalarini tekshirish
II. Og'zaki ish.
1. Son qatoridagi har bir intervalni tengsizlik va intervalning analitik belgisi bilan moslang. Jadvalga ma'lumotlarni kiriting.
A (– ; –5] D (–5; 5)
B [–5; 5] E (– ; –5)
IN [–5; + ) VA [–5; 5)
G (–5; 5] Z (–5; + )
1 –5 < X < 5 5 –5 X 5
2 X –5 6 X –5
3 –5 < X 5 7 5 X < 5
4 X < –5 8 X > –5
A1. O'rganilayotgan son chizig'idan farqli o'laroq, sonlar doirasi murakkabroq modeldir. Uning asosidagi yoy tushunchasi geometriyada ishonchli tarzda ishlab chiqilmagan.
2 . Darslik bilan ishlash . bilan amaliy misolni ko'rib chiqaylik. 23–24 darslik (stadion yugurish yoʻlagi). Talabalardan shunga o'xshash misollar keltirishlarini so'rashingiz mumkin (orbitadagi sun'iy yo'ldoshning harakati, uzatmaning aylanishi va boshqalar).
3. Raqamli qiymat sifatida foydalanish qulayligini oqlaymiz birlik doirasi.
4. Darslik bilan ishlash. Keling, betdagi misollarni ko'rib chiqaylik. 25-31 darslik. Mualliflarning ta'kidlashicha, raqamlar doirasi modelini muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun darslik ham, muammoli kitob ham maxsus tizimni taqdim etadi. didaktik o'yinlar" Ulardan oltitasi bor, bu darsda biz birinchi to'rttasidan foydalanamiz.
(Mordkovich A. G. M79 Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-11 sinflar (asosiy daraja): Asboblar to'plami o'qituvchi uchun / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M .: Mnemosyna, 2010. - 202 b. : kasal.)
1-"o'yin" – birlik aylana yoy uzunligini hisoblash. Talabalar butun doira uzunligi 2 ga teng ekanligiga ko'nikishlari kerak , yarim doira - , chorak doira - va hokazo.
2-"o'yin" – sonning kasrlarida ifodalangan berilgan sonlarga mos keladigan son doirasidagi nuqtalarni topish
masalan, ball 
va hokazo ("yaxshi" raqamlar va ballar).
3-"o'yin" – sonning kasrlarida ifodalanmagan berilgan sonlarga mos keladigan son doirasidagi nuqtalarni topish masalan, nuqtalar M (1), M (–5) va boshqalar ("yomon" raqamlar va ballar).
4-"o'yin" - raqamlar doirasidagi berilgan "yaxshi" nuqtaga mos keladigan raqamlarni yozish, masalan, birinchi chorakning o'rtasi "yaxshi", unga mos keladigan raqamlar shaklga ega. 
Ushbu darsda echilgan mashqlar to'rtta belgilangan didaktik o'yinlarga mos keladi. Talabalar diametrli sonli doira sxemasidan foydalanadilarAC (gorizontal) vaBD(vertikal).
1. № 4.1, № 4.3.
Yechim:
№ 4.3.
2. № 4.5 (a; b) - 4.11 (a; b).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (a; b), № 4.14.
Yechim:
№ 4.13.
V. Test ishi.
Variant 1
Variant 2
1. Raqamli aylanada mos keladigan nuqtani belgilang berilgan raqam:
2. Raqamli aylanada belgilangan nuqtalarga mos keladigan barcha raqamlarni toping.
VI. Dars xulosasi.
Talabalar uchun savollar:
– Raqamli aylana ta’rifini bering.
– Birlik aylana uzunligi qancha? Yarim birlik aylana uzunligi? Uning kvartiralari?
– Raqam doirasidagi raqamga mos keladigan nuqtani qanday topish mumkin? 5 raqami?
Uy vazifasi:, 23-bet. No 4.2, № 4.4, № 4.5 (c; d) - No 4.11 (c; d), № 4.13 (c; d), № 4.15.
№2 dars
Maqsadlar : egri chiziqli koordinatalar tizimining modeli sifatida son doirasi tushunchasini mustahkamlash.
Vazifalar : berilgan "yaxshi" va "yomon" raqamlarga mos keladigan son doirasidagi nuqtalarni topish qobiliyatini rivojlantirishni davom eting; son doirasidagi nuqtaga mos keladigan raqamni yozing; qo'sh tengsizlik ko'rinishidagi son aylana yoyining analitik yozuvini tuzish qobiliyatini rivojlantirish.
O'quvchilarning hisoblash ko'nikmalarini, to'g'ri matematik nutqini va mantiqiy fikrlashni rivojlantirish.
Mustaqillik, e'tibor va aniqlikni singdirish. Ta'limga mas'uliyatli munosabatni tarbiyalash.
Rejalashtirilgan natijalar:
Biling, tushuning: - son doirasi.
Quyidagi ko'nikmalarga ega bo'lish: - berilgan koordinatalar bo'yicha aylananing nuqtalarini topish; - sonli aylanada joylashgan nuqtaning koordinatalarini toping.
O'rganilgan nazariy materialni yozma ishlarni bajarishda qo'llay olish.
Darsning texnik yordami Kompyuter, ekran, proyektor, darslik, muammoli kitob.
Dars uchun qo'shimcha uslubiy va didaktik yordam: Mordkovich A. G. M79 Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-11-sinflar (asosiy daraja): o'qituvchilar uchun uslubiy qo'llanma / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M .: Mnemosyna, 2010. - 202 b. : loy
Darslar davomida
Tashkiliy vaqt.
Talabalarning psixologik kayfiyati.
Uy vazifasini tekshirish№ 4.2, № 4.4, № 4.5 (c; d) - № 4.11 (c; d), № 4.13 (c; d),
№ 4.15. Qiyinchiliklarga sabab bo'lgan vazifalarni hal qilishni tahlil qiling.
Og'zaki ish.
(slaydda)
1. Raqamli aylanadagi nuqtalarni va berilgan raqamlarni moslang:
b)
V)
G)
d)
e)
va)
h)
2. Son doiradagi nuqtalarni toping.
–2; 4; –8;
13.
III. Yangi materialni tushuntirish.
Yuqorida aytib o'tilganidek, talabalar soni doirasi bilan bog'liq to'rtta asosiy turdagi (sondan nuqtaga; nuqtadan raqamga; yoydan qo'sh tengsizlikka; qo'sh tengsizlikdan) muammolarni hal qilish qobiliyatini ta'minlaydigan oltita didaktik "o'yin" tizimini o'zlashtiradilar. yoyga).
(Mordkovich A. G. M79 Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-11-sinflar (asosiy daraja): o'qituvchilar uchun uslubiy qo'llanma / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M .: Mnemosyne, 2010. - 202 b. : kasal.)
Ushbu darsda biz oxirgi ikkita o'yindan foydalanamiz:
5-"o'yin" – sonli aylana yoylari uchun analitik yozuvlarni (ikki tomonlama tengsizliklar) tuzish. Masalan, birinchi chorakning o'rtasini (yoyning boshi) va ikkinchi chorakni uchta teng qismga (yoyning oxiri) bo'luvchi ikkitasining eng past nuqtasini bog'lovchi yoy berilgan bo'lsa, u holda tegishli analitik yozuv quyidagi shaklga ega:
Agar bitta yoyning boshi va oxiri almashtirilsa, yoyning tegishli analitik yozuvi quyidagicha ko'rinadi:
Darslik mualliflari ta'kidlashicha, "yoyning analitik yozuvi yadrosi", "yoyning analitik yozuvi" atamalari umuman tan olinmagan, ular sof uslubiy sabablarga ko'ra kiritilgan va ulardan foydalanish yoki ishlatmaslik faqat o'ziga bog'liq. o'qituvchi.
6-"o'yin" – yoyning analitik belgilanishidan (qo‘sh tengsizlik) uning geometrik tasviriga o‘ting.
Tushuntirish analogiya texnikasidan foydalangan holda amalga oshirilishi kerak. Siz raqam doirasiga "yiqilib" tushishi mumkin bo'lgan harakatlanuvchi raqamlar chizig'i modelidan foydalanishingiz mumkin.
Darslik bilan ishlash .
Keling, betdagi 8-misolni ko'rib chiqaylik. 33 ta darslik.
Dinamik pauza
IV. Ko'nikma va malakalarni shakllantirish.
Topshiriqlarni bajarishda talabalar yoyni analitik tarzda yozishda qo'sh tengsizlikning chap tomoni o'ng tomondan kichik bo'lishini ta'minlashi kerak. Buning uchun yozishda siz ijobiy yo'nalishda, ya'ni soat sohasi farqli ravishda harakat qilishingiz kerak.
1-guruh . Raqamli aylanada "yomon" nuqtalarni topish uchun mashqlar.
№ 4.16, № 4.17 (a; b).
2-guruh . Yoyni analitik qayd qilish va uni analitik qayd etish asosida yoy yasash bo’yicha mashqlar.
№ 4.18 (a; b), № 4.19 (a; b), № 4.20 (a; b).
V. Mustaqil ish.
Variant 1
3. Analitik modelga ko'ra 
son yoyining belgilanishini yozing va uning geometrik modelini tuzing.
Variant 2
1. Son aylana yoyining geometrik modeliga asoslanib, analitik modelni qo`sh tengsizlik ko`rinishida yozing.
2. Son aylana yoyining berilgan belgilanishiga ko`ra 
uning geometrik va analitik modellarini ko'rsating.
3. Analitik modelga ko'ra 
son doirasi yoyining belgilanishini yozing va uning geometrik modelini tuzing.
VI. Dars xulosasi.
Talabalar uchun savollar:
– Qaysi usullarda sonlar aylanasining yoyini analitik yozish mumkin?
– Yoyni analitik qayd qilishning o'zagi nima deb ataladi?
– Qo'sh tengsizlikning chap va o'ng tomonidagi raqamlar qanday shartlarga javob berishi kerak?
Uy vazifasi:
1. , 23-bet. № 4.17 (c; d), № 4.18 (c; d), № 4.19 (c; d), № 4.20 (c; d).
2. Son aylana yoyining geometrik modeliga asoslanib, uning analitik modelini qo`sh tengsizlik ko`rinishida yozing.
3. Son aylana yoyining berilgan belgilanishiga ko`ra 
uning geometrik va analitik modellarini ko'rsating.
Maktabda trigonometriyani o'rganayotganda, har bir o'quvchi "raqamli doira" juda qiziqarli tushunchasiga duch keladi. Talaba trigonometriyani keyinchalik qanchalik yaxshi o'rganishi maktab o'qituvchisining nima ekanligini va nima uchun kerakligini tushuntirish qobiliyatiga bog'liq. Afsuski, har bir o'qituvchi bu materialni aniq tushuntira olmaydi. Natijada, ko'plab talabalar hatto qanday belgilashni ham bilmay qolishadi raqamlar doirasidagi nuqtalar. Agar siz ushbu maqolani oxirigacha o'qib chiqsangiz, buni qanday qilib muammosiz qilishni o'rganasiz.
Shunday qilib, keling, boshlaylik. Radiusi 1 ga teng aylana chizamiz. Bu doiraning “eng o‘ngdagi” nuqtasini harf bilan belgilaymiz. O:
Tabriklaymiz, siz hozirgina birlik doirasini chizdingiz. Bu doiraning radiusi 1 ga teng bo'lgani uchun uzunligi .
Har bir haqiqiy sonni nuqtadan boshlab raqam doirasi bo'ylab traektoriya uzunligi bilan bog'lash mumkin O. Harakat yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq ijobiy yo'nalish sifatida qabul qilinadi. Salbiy uchun - soat yo'nalishi bo'yicha:
Raqamli doiradagi nuqtalarning joylashishi
Yuqorida aytib o'tganimizdek, son doirasining uzunligi (birlik doirasi) ga teng. Bu doirada raqam qayerda joylashgan bo'ladi? Shubhasiz, nuqtadan O soat sohasi farqli o'laroq, biz aylananing yarmining uzunligiga o'tishimiz kerak va biz o'zimizni kerakli nuqtada topamiz. Keling, uni harf bilan belgilaymiz B:
E'tibor bering, xuddi shu nuqtaga salbiy yo'nalishda yarim doira yurish orqali erishish mumkin. Keyin raqamni birlik doirasiga chizamiz. Ya'ni, raqamlar bir xil nuqtaga to'g'ri keladi.
Bundan tashqari, xuddi shu nuqta , , va, umuman olganda, raqamlariga ham mos keladi. cheksiz to'plam shaklida yozilishi mumkin bo'lgan sonlar , bu erda, ya'ni butun sonlar to'plamiga tegishli. Bularning barchasi, chunki B har qanday yo'nalishda "dunyo bo'ylab" sayohat qilishingiz mumkin (aylanani qo'shing yoki ayiring) va xuddi shu nuqtaga kirishingiz mumkin. Biz tushunish va eslash kerak bo'lgan muhim xulosaga keldik.
Har bir raqam raqam doirasidagi bitta nuqtaga to'g'ri keladi. Lekin sonlar aylanasidagi har bir nuqta cheksiz sonli raqamlarga mos keladi.
Keling, son doirasining yuqori yarim doirasini yoylarga ajratamiz teng uzunlik nuqta C. Ark uzunligini ko'rish oson O.C. ga teng. Keling, mavzuni kechiktiraylik C soat miliga teskari yo'nalishda bir xil uzunlikdagi yoy. Natijada, biz nuqtaga boramiz B. Natija juda kutilmoqda, chunki . Keling, bu yoyni yana bir xil yo'nalishda yotqizamiz, lekin hozir nuqtadan B. Natijada, biz nuqtaga boramiz D, bu allaqachon raqamga mos keladi:
Yana bir bor e'tibor bering, bu nuqta nafaqat raqamga, balki, masalan, raqamga ham mos keladi, chunki bu nuqtaga nuqtadan uzoqlashish orqali erishish mumkin. O soat yo'nalishi bo'yicha chorak doira (salbiy yo'nalish).
Va umuman olganda, biz yana bir bor ta'kidlaymizki, bu nuqta shaklda yozilishi mumkin bo'lgan cheksiz ko'p sonlarga mos keladi. 
. Lekin ular shaklda ham yozilishi mumkin. Yoki, agar xohlasangiz, shaklida. Bu yozuvlarning barchasi mutlaqo ekvivalentdir va ularni bir-biridan olish mumkin.
Keling, kamonni ikkiga ajratamiz O.C. yarim nuqta M. Endi kamon uzunligi qancha ekanligini aniqlang OM? To'g'ri, yoyning yarmi O.C.. Ya'ni . Nuqta qaysi raqamlarga mos keladi? M raqamli doirada? Ishonchim komilki, endi siz bu raqamlarni quyidagicha yozish mumkinligini tushunasiz.
Ammo buni boshqacha qilish mumkin. Keling, olaylik. Keyin biz buni olamiz 
. Ya'ni, bu raqamlar shaklda yozilishi mumkin 
. Xuddi shu natijani raqamlar doirasi yordamida olish mumkin. Aytganimdek, ikkala yozuv ham ekvivalentdir va ularni bir-biridan olish mumkin.
Endi siz nuqtalar mos keladigan raqamlarga osongina misol keltira olasiz N, P Va K raqamli doira ustida. Masalan, raqamlar va :
Ko'pincha bu raqamlar doirasidagi mos nuqtalarni belgilash uchun minimal ijobiy raqamlar olinadi. Garchi bu umuman zarur bo'lmasa-da, davr N, siz allaqachon bilganingizdek, boshqa raqamlarning cheksiz soniga mos keladi. Jumladan, masalan, raqam.
Agar siz kamonni buzsangiz O.C. nuqtalari bilan uchta teng yoylarga S Va L, shuning uchun gap shu S nuqtalar orasida yotadi O Va L, keyin yoy uzunligi OS ga va yoy uzunligiga teng bo'ladi OL ga teng bo'ladi. Darsning oldingi qismida olgan bilimlaringizdan foydalanib, raqamlar doirasidagi qolgan nuqtalar qanday bo'lganini osongina aniqlashingiz mumkin:
Raqamlar doirasidagi p ga karrali bo'lmagan sonlar
Keling, o'zimizga savol beraylik: 1 raqamiga mos keladigan nuqtani raqamlar chizig'ining qayerida belgilashimiz kerak? Buning uchun siz birlik doirasining eng "o'ng" nuqtasidan boshlashingiz kerak O uzunligi 1 ga teng bo'lgan yoyni chizing. Biz faqat taxminan kerakli nuqtaning joylashishini ko'rsatishimiz mumkin. Keling, quyidagi tarzda davom etaylik.
Ushbu maqolada biz raqamlar doirasining ta'rifini batafsil tahlil qilamiz, uning asosiy xususiyatini bilib olamiz va 1,2,3 va hokazo raqamlarni tartibga solamiz. Doiradagi boshqa raqamlarni qanday belgilash haqida (masalan, \(\frac(p)(2), \frac(p)(3), \frac(7p)(4), 10p, -\frac(29p) (6)\)) tushunadi.
Raqamli doira nuqtalari mos keladigan birlik radiusli doira deyiladi , quyidagi qoidalarga muvofiq tartibga solinadi:
1) Koordinata aylananing eng o'ng nuqtasida;
2) soat sohasi farqli o'laroq - ijobiy yo'nalish; soat yo'nalishi bo'yicha - salbiy;
3) Agar aylana bo‘yicha \(t\) masofani musbat yo‘nalishda chizsak, u holda \(t\) qiymatiga ega bo‘lgan nuqtaga erishamiz;
4) Agar aylana bo‘yicha \(t\) masofani manfiy yo‘nalishda chizsak, u holda \(–t\) qiymatiga ega bo‘lgan nuqtaga erishamiz.
Nima uchun aylana sonli aylana deb ataladi?
Chunki unda raqamlar bor. Shu tarzda, aylana raqamlar o'qiga o'xshaydi - aylanada, o'qdagi kabi, har bir raqam uchun ma'lum bir nuqta mavjud.
Nega sonli aylana nima ekanligini bilasizmi?
Raqamli aylanadan foydalanib, sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangenslarning qiymatlari aniqlanadi. Shuning uchun trigonometriyani bilish va yagona davlat imtihonidan o'tish 60+ ball uchun siz raqamlar doirasi nima ekanligini va unga nuqta qo'yishni tushunishingiz kerak.
Ta'rifdagi "...birlik radiusi ..." so'zlari nimani anglatadi?
Demak, bu aylana radiusi \(1\) ga teng. Va agar biz markazning boshida bo'lgan shunday doira quradigan bo'lsak, u holda u o'qlar bilan \(1\) va \(-1\) nuqtalarda kesishadi.
Kichkina chizilgan bo'lishi shart emas, siz o'qlar bo'ylab bo'linmalarning "o'lchamini" o'zgartirishingiz mumkin, keyin rasm kattaroq bo'ladi (pastga qarang).
Nima uchun radius aynan bitta? Bu qulayroqdir, chunki bu holda aylanani \(l=2pR\) formulasi yordamida hisoblaganda biz quyidagilarni olamiz:
Raqamli aylana uzunligi \(2p\) yoki taxminan \(6,28\) ga teng.
“...nuqtalari haqiqiy sonlarga mos keladi” nimani anglatadi?
Yuqorida aytib o'tganimizdek, har qanday haqiqiy son uchun raqamlar doirasida, albatta, uning "joyi" bo'ladi - bu raqamga mos keladigan nuqta.
Nima uchun son aylanasidagi kelib chiqish va yo'nalishni aniqlash kerak?
Raqamlar doirasining asosiy maqsadi har bir raqam uchun uning nuqtasini yagona aniqlashdir. Ammo qaerdan hisoblashni va qayerga o'tishni bilmasangiz, fikrni qaerga qo'yish kerakligini qanday aniqlash mumkin?
Bu erda koordinata chizig'i va son doirasidagi boshlang'ichni chalkashtirmaslik kerak - bu ikki xil mos yozuvlar tizimi! Shuningdek, \(x\) o'qida \(1\) va aylanada \(0\) ni chalkashtirmang - bu turli ob'ektlardagi nuqtalar.
\(1\), \(2\) va hokazo raqamlarga qaysi nuqtalar mos keladi?
Esingizda bo'lsa, biz raqamlar doirasining radiusi \(1\) deb taxmin qilgandik? Bu bizning birlik segmentimiz bo'ladi (raqamlar o'qiga o'xshash), biz aylana bo'ylab chizamiz.
Raqamli aylanada 1 raqamiga mos keladigan nuqtani belgilash uchun siz 0 dan musbat yo'nalishdagi radiusga teng masofaga o'tishingiz kerak.
Aylanada \(2\) raqamiga mos nuqtani belgilash uchun koordinata boshidan ikki radiusga teng masofani bosib o'tish kerak, shunda \(3\) uch radiusga teng masofa va hokazo.
Ushbu rasmga qaraganingizda, sizda ikkita savol bo'lishi mumkin:
1. Doira "tugaganda" nima bo'ladi (ya'ni, biz to'liq inqilob qilamiz)?
Javob: keling, ikkinchi bosqichga o'tamiz! Ikkinchisi tugagach, uchinchisiga o'tamiz va hokazo. Demak, aylanada cheksiz sonli sonlar chizilishi mumkin.
2. Ular qayerda bo'ladi manfiy raqamlar?
Javob: o'sha erda! Ular, shuningdek, noldan kerakli miqdordagi radiuslarni sanab, tartibga solinishi mumkin, ammo endi salbiy yo'nalishda.
Afsuski, sonlar aylanasida butun sonlarni belgilash qiyin. Bu raqam doirasining uzunligi butun songa teng bo'lmasligi bilan bog'liq: \(2p\). Va eng qulay joylarda (o'qlar bilan kesishgan nuqtalarda) butun sonlar emas, balki kasrlar ham bo'ladi.
2-bob3) raqam
Keling, yozishmalarda bir nuqta qo'yaylik.
O'rnatilgan yozishmalar bilan birlik doirasini chaqiraylik
raqam doirasi.
Bu haqiqiy to'plam uchun ikkinchi geometrik model
raqamlar. Talabalar birinchi modelni - raqamlar chizig'ini bilishadi. Yemoq
analogiya: son qatori uchun yozishmalar qoidasi (sondan nuqtaga)
deyarli tom ma'noda bir xil. Ammo asosiy farq bor - manba
raqamlar doirasi bilan ishlashda asosiy qiyinchiliklar: to'g'ri chiziqda, har biri
nuqta mos keladi yagona raqam, bu doirada bunday emas. Agar
doira raqamga mos keladi, keyin hammaga mos keladi
shakl raqamlari
Birlik aylana uzunligi qayerda va butun son
Guruch. 1
u yoki bu doiradagi to'liq aylanalar sonini ko'rsatadigan raqam
tomoni.
Bu vaqt talabalar uchun qiyin. Ularni taklif qilish kerak
masalaning mohiyatini va haqiqiy vazifani tushunish:
Stadionning yugurish yo'lagi uzunligi 400 m, yuguruvchi 100 m uzoqlikda
boshlang'ich nuqtasidan. U qanchalik uzoqqa ketdi? Agar u endigina yugurishni boshlagan bo'lsa, unda
100 m yugurish; agar siz bir davra yugurishga muvaffaq bo'lsangiz, unda - (
Ikki doira - (); agar siz yugurishga muvaffaq bo'lsangiz
doiralar, keyin yo'l bo'ladi (
). Endi siz taqqoslashingiz mumkin
ifoda bilan olingan natija
1-misol. Nuqta qaysi raqamlarga mos keladi?
raqam doirasi
Yechim. Butun doira uzunligidan beri
Bu uning chorak uzunligi
Va shuning uchun - shaklning barcha raqamlariga
Xuddi shunday, nuqtalar qanday raqamlarga mos kelishi aniqlanadi
navbati bilan birinchi, ikkinchi, uchinchi deb nomlanadi,
raqamlar doirasining to'rtinchi choragi.
Barcha maktab trigonometriyasi raqamli modelga asoslanadi
doiralar. Tajriba shuni ko'rsatadiki, ushbu modeldagi kamchiliklar ham mavjud
trigonometrik funktsiyalarni shoshqaloqlik bilan kiritish yaratishga imkon bermaydi
materialni muvaffaqiyatli o'rganish uchun ishonchli asos. Shuning uchun, yo'q
siz shoshilishingiz va quyidagilarni ko'rib chiqishga vaqt ajratishingiz kerak
besh xil turdagi raqamlar doirasi masalalari.
Birinchi turdagi vazifalar. Raqamli doiradagi nuqtalarni topish,
berilgan sonlarga mos keladigan, sonning kasrlarida ifodalangan
2-misol.
raqamlar
Yechim. Keling, yoyni ajratamiz
yarmida nuqta bilan uchta teng qismga -
nuqta
(2-rasm). Keyin
Shunday qilib, raqam
Moslik nuqtasi
Raqam
Misol
3.
yoqilgan
raqamli
doira
ball,
mos keladigan raqamlar:
Yechim. Qurilish ishlarini olib boramiz
a) yoyni chetga surib qo'yish
(uning uzunligi
) Besh marta
nuqtadan
salbiy yo'nalishda,
ball olamiz
b) yoyni chetga surib qo'yish
(uning uzunligi
) dan yetti marta
ijobiy yo'nalishda biz ajratuvchi nuqtani olamiz
yoyning uchinchi qismi
Bu raqamga mos keladi
c) yoyni chetga surib qo'yish
(uning uzunligi
) nuqtadan besh marta
ijobiy ma'noda
yo'nalish, biz bir nuqtaga ega bo'lamiz
Arkning uchinchi qismini ajratish. U va
raqamga mos keladi
(tajriba shuni ko'rsatadiki, kechiktirmaslik yaxshiroqdir
besh marta
Va 10 marta
Ushbu misoldan keyin ikkita asosiy raqamli tartibni berish o'rinlidir
doiralar: ularning birinchisida (3-rasm) barcha choraklar yarmiga bo'lingan
ikkinchisi (4-rasm) - uchta teng qismga. Ushbu tartiblar sizning ofisingizda bo'lishi foydalidir
matematika.
Guruch. 2
Guruch. 3 Guruch. 4
Siz talabalar bilan savolni albatta muhokama qilishingiz kerak: agar bo'lsa nima bo'ladi
maketlarning har biri ijobiy emas, balki salbiy tomonda harakat qiladi
yo'nalishi? Birinchi tartibda tanlangan nuqtalar tayinlanishi kerak
boshqa "ismlar": mos ravishda
va hokazo.; ikkinchi tartib bo'yicha:
Ikkinchi turdagi vazifalar. Raqamli doiradagi nuqtalarni topish,
sonning kasrlarida ifodalanmagan berilgan raqamlarga mos keladi
4-misol. Raqamli aylanada mos keladigan nuqtalarni toping
raqamlar 1; 2; 3; -5.
Yechim.
Bu erda biz bunga tayanishimiz kerak bo'ladi
Shuning uchun 1-band
yoy ustida joylashgan
nuqtaga yaqinroq
2 va 3 nuqtalar yoyda, birinchisi
Ikkinchisi esa yaqinroq (5-rasm).
Keling, biroz batafsilroq to'xtalamiz
raqamga mos keladigan nuqtani topishda - 5.
Siz bir nuqtadan harakat qilishingiz kerak
salbiy yo'nalishda, ya'ni. soat yo'nalishi bo'yicha
Guruch. 5
strelka. Agar siz ushbu yo'nalishda nuqtaga borsangiz
olamiz
Bu - 5 raqamiga mos keladigan nuqta joylashganligini anglatadi
nuqtadan bir oz o'ngga
(5-rasmga qarang).
Uchinchi turdagi vazifalar. Analitik yozuvlarni tayyorlash (ikki marta
tengsizliklar) sonlar doirasining yoylari uchun.
Aslida, biz bunga amal qilamiz
5-8 da ishlatilgan bir xil reja
raqamlar chizig'ini o'rganish uchun darslar:
avval raqam bo'yicha nuqta toping, keyin esa
nuqta - raqam, keyin dubllar ishlatiladi
oraliqlarni yozish uchun tengsizliklar
raqamlar qatori.
Masalan, ochiqlikni ko'rib chiqing
Birinchisining o'rtasi qayerda
son doirasining choraklari, va
- uning o'rtasi
ikkinchi chorak (6-rasm).
Yoyni tavsiflovchi tengsizliklar, ya'ni. vakili
Ikki bosqichda yoyning analitik modelini tuzish taklif etiladi. Birinchisida
bosqich yadroni tashkil qiladi analitik yozuv(bu amal qilish kerak bo'lgan asosiy narsa
maktab o'quvchilariga dars berish); berilgan yoy uchun
Ikkinchisida
bosqichda, umumiy qayd qiling:
Agar biz kamon haqida gapiradigan bo'lsak
Keyin yadroni yozishda buni hisobga olishingiz kerak
() yoyning ichida yotadi va shuning uchun yoyning boshiga o'tish kerak
salbiy yo'nalishda. Bu shuni anglatadiki, yoyning analitik yozuvining yadrosi
kabi ko'rinadi
Guruch. 6
"Analitik asos" atamalari
yoy yozuvlari", "analitik yozuvlar
yoylar" odatda qabul qilinmaydi,
mulohazalar.
To'rtinchi
vazifalar.
Qidirmoq
Kartezian
koordinatalar
raqam doira nuqtalari, markaz
tizimning boshlanishi bilan birlashtirilgan
koordinatalar
Birinchidan, hozirgacha juda nozik bir nuqtaga qaraylik
amaldagi maktab darsliklarida aytilmagan.
“Koordinatadagi sonli doira” modelini o‘rganishni boshlash
samolyot", o'qituvchilar kutayotgan qiyinchiliklarni aniq bilishlari kerak
bu yerda talabalar. Bu qiyinchiliklar buni o'rganayotganda
model, maktab o'quvchilaridan ancha yuqori darajada bo'lishi talab qilinadi
matematik madaniyat, chunki ular bir vaqtning o'zida ishlashlari kerak
ikkita koordinata tizimi - "egri chiziqli" tizimda, haqida ma'lumot berilganda
nuqtaning pozitsiyasi aylana bo'ylab olinadi (raqam
ga mos keladi
aylana nuqtasi
(); – nuqtaning “egri chiziqli koordinatasi”) va ichida
Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi (nuqtada
Har qanday nuqta kabi
koordinata tekisligi, abscissa va ordinata mavjud). O'qituvchining vazifasi yordam berishdir
maktab o'quvchilari ushbu tabiiy qiyinchiliklarni engishda. Afsuski,
odatda maktab darsliklarida bunga va boshidan e'tibor berilmaydi
birinchi darslarda yozuvlardan foydalaniladi
Bu maktubni hisobga olmaganda
talaba ongida Dekartdagi abscissa bilan aniq bog'langan
to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, va soniga ko'ra bosib o'tgan masofa bilan emas
yo'l atrofi. Shuning uchun, raqamlar doirasi bilan ishlaganda, buni qilmaslik kerak
belgilardan foydalaning
Guruch. 7
Keling, to'rtinchi turdagi vazifaga qaytaylik. Bu haqida ro'yxatga olishdan o'tish haqida
yozuvlar
(), ya'ni. egri chiziqli koordinatalardan karteziangacha.
Raqamli aylanani dekart to‘rtburchaklar sistemasi bilan birlashtiramiz
koordinatalar rasmda ko'rsatilganidek. 7. Keyin ball
ega bo'ladi
quyidagi koordinatalar:
() () () (). Juda muhim
maktab o'quvchilariga barcha nuqtalarning koordinatalarini aniqlashga o'rgatish
ikkita asosiy sxema bo'yicha belgilangan (3,4-rasmga qarang). Bir nuqta uchun
Hamma narsaga tushadi
teng yon tomonni hisobga olish to'g'ri uchburchak gipotenuza bilan
Uning oyoqlari teng
Shunday qilib, koordinatalar
). Vaziyat ballar bilan o'xshash
Ammo yagona farq shundaki, siz hisobga olishingiz kerak
abscissa va ordinata belgilari. Xususan:
Talabalar nimani eslashlari kerak? Faqatgina modullar abscissa va
barcha choraklarning o'rta nuqtalaridagi ordinatalar teng
Va ular imzo qo'yishlari kerak
har bir nuqta uchun to'g'ridan-to'g'ri chizmadan aniqlang.
Bir nuqta uchun
Bularning barchasi to'rtburchakni ko'rib chiqishga to'g'ri keladi
gipotenuzasi 1 va burchakli uchburchak
(9-rasm). Keyin oyoq
qarama-qarshi burchak
Teng bo'ladi
qo'shni
√
Ma'nosi,
nuqta koordinatalari
Vaziyat nuqta bilan o'xshash
faqat oyoqlar "joylarni o'zgartiradi", shuning uchun
Guruch. 8
Guruch. 9
olamiz
). Bu qadriyatlar
(belgilarga to'g'ri) va bo'ladi
nuqtalardan tashqari, ikkinchi tartibning barcha nuqtalariga "xizmat ko'rsatish" (4-rasmga qarang).
abscissalar va ordinatalar sifatida. Yodlashning tavsiya etilgan usuli: “qisqasi qayerda,
; Qaerda uzoqroq bo'lsa, u erda
5-misol. Nuqtaning koordinatalarini toping
(4-rasmga qarang).
Yechim. Nuqta
dan ko'ra vertikal o'qga yaqinroq joylashgan
gorizontal, ya'ni. uning abtsissasining moduli ordinatasi modulidan kichik.
Bu abscissa moduli teng ekanligini bildiradi
Ordinata moduli ga teng
Ikkalasida ham belgilar
holatlar salbiy (uchinchi chorak). Xulosa: nuqta
Koordinatalariga ega
To'rtinchi turdagi muammolarda biz qidiramiz Dekart koordinatalari hamma
eslatib o'tilgan birinchi va ikkinchi tartiblarda keltirilgan fikrlar
Darhaqiqat, ushbu turdagi topshiriqni bajarish jarayonida biz o'quvchilarni tayyorlaymiz
qiymatlarni hisoblash trigonometrik funktsiyalar. Agar hamma narsa shu erda bo'lsa
etarlicha ishonchli ishlab chiqilgan, keyin mavhumlikning yangi darajasiga o'tish
(ordinata - sinus, abscissa - kosinus) kamroq og'riqli bo'ladi
To'rtinchi turga ushbu turdagi vazifalar kiradi: ball uchun
Dekart koordinatalarining belgilarini toping
Yechim talabalar uchun qiyinchilik tug'dirmasligi kerak: raqam
nuqtaga mos keladi
To'rtinchi chorak, ya'ni.
Beshinchi turdagi vazifalar. Raqamli aylanada nuqtalarni topish
berilgan koordinatalar.
6-misol. Son doiradagi ordinata nuqtalarini toping
qaysi raqamlarga mos kelishini yozing.
Yechim. Streyt
Raqamli doirani nuqtalarda kesib o'tadi
(11-rasm). Ikkinchi tartib yordamida (4-rasmga qarang) biz nuqtani aniqlaymiz
soniga mos keladi
Shunday qilib, u
shaklning barcha raqamlariga mos keladi
soniga mos keladi
Va bu degani
shaklning barcha raqamlari
Javob:
7-misol. Raqam bo'yicha toping
abtsissa bilan aylana nuqtasi
qaysi raqamlarga mos kelishini yozing.
Yechim.
Streyt
√
nuqtalarda son doirasini kesib o'tadi
- ikkinchi va uchinchi choraklarning o'rtalari (10-rasm). Birinchisidan foydalanish
tartib bu nuqtani o'rnatdi
soniga mos keladi
Bu hammani anglatadi
shakl raqamlari
soniga mos keladi
Bu hammani anglatadi
shakl raqamlari
Javob:
Ikkinchi variantni ko'rsatish kerak
misol uchun javob eslatmalari 7. Axir, davr
soniga mos keladi
Bular. shaklning barcha raqamlari
olamiz:
Guruch. 10
11-rasm
Keling, shubhasiz muhimligini ta'kidlaylik
beshinchi turdagi vazifalar. Aslida biz o'rgatamiz
maktab o'quvchilari
qaror
protozoa
trigonometrik tenglamalar: 6-misolda
Bu tenglama haqida
Va misolda
- tenglama haqida
masalaning mohiyatini tushunishga o'rgatish muhimdir
maktab o'quvchilari tipdagi tenglamalarni yechish
raqamlar doirasi bo'ylab,
formulalarga o'tish uchun vaqt ajrating
Tajriba shuni ko'rsatadiki, agar birinchi bosqich (ish
raqam doirasi) etarlicha ishonchli tarzda ishlab chiqilmagan, keyin ikkinchi bosqich
(formulalar yordamida ishlash) maktab o'quvchilari tomonidan rasmiy ravishda qabul qilinadi, bu esa,
Tabiiyki, biz uni engishimiz kerak.
6 va 7-misollarga o'xshab, raqam doirasini topish kerak
barcha "asosiy" ordinatalar va abscissalar bilan nuqtalar
Maxsus fanlar sifatida quyidagilarni ta'kidlash maqsadga muvofiqdir:
Eslatma 1. Propedevtik ma'noda, tayyorgarlik
9-sinf geometriya kursida “Doira uzunligi” mavzusida ishlash. Muhim
maslahat: mashqlar tizimi taklif qilingan kabi vazifalarni o'z ichiga olishi kerak
quyida. Birlik doirasi nuqtalar orqali to'rtta teng qismga bo'linadi
yoy nuqta bilan, yoy esa nuqta bilan ikkiga bo'linadi
uchta teng qismga bo'linadi (12-rasm). Yoylarning uzunligi qancha?
(aylana ijobiy tomonga o'tgan deb ishoniladi
yo'nalishi)?
Guruch. 12
Beshinchi turdagi vazifalar, shuningdek, kabi shartlar bilan ishlashni o'z ichiga oladi
anglatadi
Kimga
qaror
protozoa
Biz trigonometrik tengsizliklarni ham asta-sekin “tanlaymiz”.
besh dars va faqat oltinchi darsda sinus va ta'riflari kerak
kosinus son aylanasidagi nuqtaning koordinatalari sifatida. Qayerda
Barcha turdagi muammolarni yana maktab o'quvchilari bilan hal qilish tavsiya etiladi, lekin ular bilan
kiritilgan yozuvlardan foydalanib, bunday qilishni taklif qilish
masalan, vazifalar: hisoblash
Tenglamani yeching
tengsizlik
va hokazo. Biz buni birinchi darslarda ta'kidlaymiz
eng oddiy trigonometriya trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar
emas maqsad ta'lim, lekin sifatida ishlatiladi ob'ektlar Uchun
asosiy narsani o'zlashtirish - nuqtalar koordinatalari sifatida sinus va kosinus ta'riflari
raqam doirasi.
Raqamga ruxsat bering
nuqtaga mos keladi
raqam doirasi. Keyin uning absissasi
chaqirdi sonning kosinusu
va belgilanadi
Va uning ordinatasi deyiladi sonning sinusi
va belgilanadi. (13-rasm).
Ushbu ta'rifdan biz darhol mumkin
tomonidan sinus va kosinus belgilarini o'rnating
chorak: sinus uchun
Kosinus uchun
Bunga butun darsni bag'ishlang (bunday
qabul qilingan) tavsiya etilmaydi. Buni qilma
maktab o'quvchilarini ushbu belgilarni eslab qolishga majburlash: barcha mexanik
yodlash, yodlash - bu talabalar uchun zo'ravonlik,
Sizning e'tiboringizga "Raqamli doira" mavzusidagi video darsni taqdim etamiz. Sinus, kosinus, tangens, kotangens va funktsiyalar nima ekanligiga ta'rif berilgan y= gunoh x, y= cos x, y= tg x, y= ctg x har qanday raqamli argument uchun. Har bir son uchun bitta nuqtani topish va aksincha, har bir nuqta uchun unga mos keladigan sonlar to'plamini topish uchun birlik son doirasidagi raqamlar va nuqtalar o'rtasidagi yozishmalarning standart masalalarini ko'rib chiqamiz.
Mavzu: Trigonometrik funksiyalar nazariyasi elementlari
Dars: Raqamli doira
Bizning bevosita maqsadimiz trigonometrik funktsiyalarni aniqlashdir: sinus, kosinus, tangens, kotangent-
Raqamli argument koordinata chizig‘i yoki aylana bo‘ylab chizilishi mumkin.
Bunday aylana sonli yoki birlik doira deb ataladi, chunki qulaylik uchun, bilan aylana oling
Masalan, berilgan nuqtani koordinata chizig'ida belgilang
va yana raqam doirasi.
Raqamli aylana bilan ishlaganda, soat miliga teskari harakat ijobiy yo'nalish, soat yo'nalishi bo'yicha esa salbiy yo'nalish ekanligi kelishib olindi.
Odatiy vazifalar - siz koordinatalarni aniqlashingiz kerak berilgan nuqta yoki aksincha, uning koordinatalari bo'yicha nuqtani toping.
Koordinatali chiziq nuqtalar va raqamlar o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatadi. Masalan, raqam koordinatali A nuqtaga mos keladi
Koordinatali har bir B nuqtasi faqat bitta raqam bilan tavsiflanadi - 0 dan ortiqcha yoki minus belgisi bilan olingan masofa.
Raqamli doirada birma-bir yozishmalar faqat bitta yo'nalishda ishlaydi.
Masalan, B nuqtasi bor koordinatali doira(2-rasm), yoy uzunligi 1 ga teng, ya'ni. bu nuqta 1 ga to'g'ri keladi.
Aylana berilgan bo'lsa, aylana uzunligi Agar u holda birlik doira uzunligi bo'lsa.
Agar biz qo'shsak, biz bir xil B nuqtasini olamiz, keyin B nuqtasiga ham erishamiz, ayirish - B nuqtasiga ham erishamiz.
B nuqtasini ko'rib chiqing: yoy uzunligi = 1, keyin raqamlar son doirasidagi B nuqtasini tavsiflaydi.
Shunday qilib, 1 raqami son doirasining bitta nuqtasiga - B nuqtasiga, B nuqtasi esa shaklning cheksiz soniga mos keladi. 
.
Raqamlar doirasi uchun quyidagilar to'g'ri keladi:
Agar T. M Agar raqam doirasi raqamga mos kelsa, u shaklning soniga ham mos keladi
Raqamlar doirasi atrofida ijobiy yoki salbiy yo'nalishda xohlaganingizcha ko'p to'liq aylanishlar qilishingiz mumkin - nuqta bir xil. Shuning uchun trigonometrik tenglamalar cheksiz sonli yechimlarga ega.
Masalan, berilgan D nuqtasi. U qanday raqamlarga mos keladi?
Biz yoyni o'lchaymiz.
D nuqtasiga mos keladigan barcha raqamlar to'plami.
Keling, raqamlar doirasidagi asosiy fikrlarni ko'rib chiqaylik.
Butun aylana uzunligi.
Bular. bir nechta koordinatalarni yozish har xil bo'lishi mumkin .
Keling, ko'rib chiqaylik tipik vazifalar raqamli doira ustida.
1. Berilgan: . Toping: son aylanasidagi nuqta.
Keling, butun qismni tanlaymiz:
Raqamlar aylanasidagi nuqtani topish kerak. 
, Keyin 
.
Ushbu to'plam nuqtani ham o'z ichiga oladi.
2. Berilgan: . Toping: son aylanasidagi nuqta.
t ni topish kerak.
t.shuningdek, ushbu to‘plamga tegishli.
Raqamlar va sonlar aylanasidagi nuqtalar o'rtasidagi yozishmalarning standart masalalarini yechish orqali biz har bir raqam uchun bitta nuqtani va har bir nuqta uchun berilgan nuqta bilan tavsiflangan sonlar to'plamini topish mumkinligini aniqladik.
Yoyni uchta teng qismga bo'linib, M va N nuqtalarini belgilang.
Bu nuqtalarning barcha koordinatalarini topamiz.
 |
Shunday qilib, bizning maqsadimiz trigonometrik funktsiyalarni aniqlashdir. Buning uchun biz funktsiya argumentini qanday ko'rsatishni o'rganishimiz kerak. Biz birlik aylanasi nuqtalarini ko'rib chiqdik va ikkita tipik masalani hal qildik - sonlar doirasidagi nuqtani topish va birlik doirasiga nuqtaning barcha koordinatalarini yozish.
1. Mordkovich A.G. va boshqalar.Algebra 9-sinf: Darslik. Umumiy ta'lim uchun Institutlar.- 4-nashr. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 b.: kasal.
2. Mordkovich A.G. va boshqalar.Algebra 9-sinf: Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun muammoli kitob / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina va boshqalar - 4-nashr. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 b.: kasal.
3. Makarychev Yu.N. Algebra. 9-sinf: umumiy ta'lim o'quvchilari uchun o'quv. muassasalar / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7-nashr, rev. va qo'shimcha - M.: Mnemosyne, 2008 yil.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9-sinf. 16-nashr. - M., 2011. - 287 b.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9-sinf. 2 qismda 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12-nashr, o'chirilgan. - M.: 2010. - 224 b.: kasal.
6. Algebra. 9-sinf. 2 qismdan iborat 2-qism. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun muammoli kitob / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina va boshqalar; Ed. A. G. Mordkovich. - 12-nashr, rev. - M.: 2010.-223 b.: kasal.
Mordkovich A.G. va boshqalar.Algebra 9-sinf: Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun muammoli kitob / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina va boshqalar - 4-nashr. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 b.: kasal.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
