Nolga teng bo'lmagan matritsaning asosiy determinanti bo'lgan noma'lumlar soni bilan bir xil miqdordagi tenglamalar bilan tizimning koeffitsientlari (bunday tenglamalar uchun yechim mavjud va faqat bitta).

Kramer teoremasi.

Kvadrat sistema matritsasining determinanti nolga teng boʻlmasa, bu sistema izchil ekanligini va uning bitta yechimga ega ekanligini bildiradi va uni quyidagicha topish mumkin. Kramer formulalari:

qaerda D - tizim matritsasining determinanti,

Δ i tizim matritsasining determinanti bo'lib, uning o'rniga i Ustun o'ng tomonlar ustunini o'z ichiga oladi.

Tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, bu tizim kooperativ yoki mos kelmasligi mumkinligini anglatadi.

Ushbu usul odatda keng hisob-kitoblarga ega bo'lgan kichik tizimlar uchun ishlatiladi va agar noma'lumlardan birini aniqlash kerak bo'lsa. Usulning murakkabligi shundaki, ko'plab determinantlarni hisoblash kerak.

Kramer usulining tavsifi.

Tenglamalar tizimi mavjud:

3 ta tenglamalar sistemasini 2 ta tenglamalar sistemasi uchun yuqorida muhokama qilingan Kramer usuli yordamida yechish mumkin.

Noma'lumlar koeffitsientlaridan determinant tuzamiz:

Bu bo'ladi tizim determinanti. Qachon D≠0, ya'ni tizim izchil. Endi 3 ta qo'shimcha determinant yaratamiz:

,,

Biz tizimni hal qilamiz Kramer formulalari:

Kramer usuli yordamida tenglamalar tizimini yechishga misollar.

1-misol.

Berilgan tizim:

Keling, uni Kramer usuli yordamida hal qilaylik.

Avval siz tizim matritsasining determinantini hisoblashingiz kerak:

Chunki D≠0, ya’ni Kramer teoremasidan sistema izchil va u bitta yechimga ega. Biz qo'shimcha determinantlarni hisoblaymiz. D 1 determinanti D determinantidan uning birinchi ustunini erkin koeffitsientlar ustuniga almashtirish orqali olinadi. Biz olamiz:

Xuddi shu tarzda, ikkinchi ustunni erkin koeffitsientlar ustuni bilan almashtirib, tizim matritsasining determinantidan D 2 determinantini olamiz:

Usullari Kramer Va Gauss- eng mashhur yechim usullaridan biri SLAU. Bundan tashqari, ba'zi hollarda muayyan usullardan foydalanish tavsiya etiladi. Sessiya yopildi va endi ularni noldan takrorlash yoki o'zlashtirish vaqti keldi. Bugun biz Kramer usuli yordamida yechimni ko'rib chiqamiz. Zero, chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida yechish juda foydali mahoratdir.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi bu quyidagi shakldagi tenglamalar tizimidir:

Qiymat to'plami x , bunda sistemaning tenglamalari identifikatsiyaga aylanadi, sistemaning yechimi deyiladi, a Va b real koeffitsientlardir. Ikki noma'lumli ikkita tenglamadan iborat oddiy tizim sizning boshingizda yoki bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash orqali hal qilinishi mumkin. Ammo SLAEda ikkitadan ortiq o'zgaruvchi (xes) bo'lishi mumkin va bu erda oddiy maktab manipulyatsiyalari etarli emas. Nima qilsa bo'ladi? Masalan, Cramer usuli yordamida SLAE ni hal qiling!

Shunday qilib, tizim quyidagilardan iborat bo'lsin n bilan tenglamalar n noma'lum.

Bunday tizimni matritsa shaklida qayta yozish mumkin

Bu yerga A - tizimning asosiy matritsasi; X Va B , mos ravishda, noma'lum o'zgaruvchilar va erkin shartlarning ustun matritsalari.

Kramer usuli yordamida SLAE ni yechish

Agar asosiy matritsaning determinanti nolga teng bo'lmasa (matritsa yagona bo'lmagan), tizimni Kramer usuli yordamida hal qilish mumkin.

Kramer usuliga ko'ra, eritma quyidagi formulalar yordamida topiladi:

Bu yerga delta bosh matritsaning determinanti hisoblanadi va delta x n-chi – asosiy matritsaning determinantidan n-ustunni erkin hadlar ustuniga almashtirish orqali olingan aniqlovchi.

Bu Kramer usulining butun mohiyatidir. Yuqoridagi formulalar yordamida topilgan qiymatlarni almashtirish x kerakli tizimga kirib, biz yechimimizning to'g'riligiga (yoki aksincha) ishonch hosil qilamiz. Mohiyatni tezda tushunishingizga yordam berish uchun biz quyida Kramer usuli yordamida SLAE ning batafsil yechimiga misol keltiramiz:

Birinchi marta muvaffaqiyatga erisha olmagan bo'lsangiz ham, tushkunlikka tushmang! Bir oz mashq qilsangiz, siz yong'oq kabi SLAU'larni yorishni boshlaysiz. Bundan tashqari, endi daftarni varaqlash, mashaqqatli hisob-kitoblarni hal qilish va yadroni yozish mutlaqo shart emas. Koeffitsientlarni tayyor shaklga almashtirish orqali siz onlayn tarzda Kramer usulidan foydalanib, SLAE ni osongina hal qilishingiz mumkin. Siz, masalan, ushbu veb-saytda Cramer usulidan foydalangan holda onlayn yechim kalkulyatorini sinab ko'rishingiz mumkin.

Va agar tizim o'jar bo'lib chiqsa va taslim bo'lmasa, siz har doim bizning mualliflarimizga yordam so'rab murojaat qilishingiz mumkin, masalan, konspekt sotib olish uchun. Agar tizimda kamida 100 ta noma'lum bo'lsa, biz uni albatta to'g'ri va o'z vaqtida hal qilamiz!

Ushbu onlayn kalkulyator Cramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar (SLE) tizimi yechimini topadi. Batafsil yechim berilgan. Hisoblash uchun o'zgaruvchilar sonini tanlang. Keyin ma'lumotlarni hujayralarga kiriting va "Hisoblash" tugmasini bosing.

×

Ogohlantirish

Barcha hujayralar tozalansinmi?

Yopish Tozalash

Ma'lumotlarni kiritish bo'yicha ko'rsatmalar. Raqamlar butun sonlar (misollar: 487, 5, -7623 va boshqalar), oʻnli (masalan, 67., 102.54 va boshqalar) yoki kasrlar sifatida kiritiladi. Kasr a/b ko'rinishida kiritilishi kerak, bu erda a va b (b>0) butun yoki o'nlikdir. Misollar 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 va boshqalar.

Kramer usuli

Kramer usuli - asosiy matritsaning nolga teng bo'lmagan determinanti bilan kvadrat chiziqli tenglamalar tizimini echish usuli. Bunday chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega.

Quyidagi chiziqli tenglamalar tizimi berilsin:

Qayerda A-tizimning asosiy matritsasi:

birinchisini topish kerak, ikkinchisi esa berilgan.

Chunki biz matritsaning determinanti D deb faraz qilamiz A noldan farq qiladi, keyin teskari bor A matritsa A-1 . Keyin chapdan o'xshashlikni (2) teskari matritsaga ko'paytirish A-1, biz olamiz:

Teskari matritsa quyidagi shaklga ega:

Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish algoritmi

1. Asosiy matritsaning D determinantini hisoblang A.
2. Matritsaning 1-ustunini almashtirish A erkin a'zolar vektoriga b.
3. Olingan matritsaning D 1 determinantini hisoblash A 1 .
4. O'zgaruvchini hisoblash x 1 =D 1 /D.
5. 2-4-bosqichlarni 2, 3, ..., ustunlar uchun takrorlang. n matritsalar A.

Kramer usuli yordamida SLEni yechish misollari

Misol 1. Quyidagi chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida yeching:

Matritsaning 1-ustunini almashtiramiz A vektor ustuniga b:

Matritsaning 2-ustunini almashtiring A vektor ustuniga b:

Matritsaning 3-ustunini almashtiring A vektor ustuniga b:

Chiziqli tenglamalar tizimining yechimi quyidagicha hisoblanadi:

Uni matritsa shaklida yozamiz: Ax=b, Qayerda

Biz 2-ustunning eng katta modul yetakchi elementini tanlaymiz. Buning uchun biz 2 va 4-qatorlarni almashtiramiz. Bunday holda, determinantning belgisi "-" ga o'zgaradi.

Biz 3-ustunning moduli bo'yicha eng katta elementini tanlaymiz.Buning uchun 3 va 4-qatorlarni almashtiramiz.Bu holda determinantning belgisi "+" ga o'zgaradi.

Biz matritsani yuqori uchburchak shakliga tushirdik. Matritsaning determinanti asosiy diagonalning barcha elementlarining mahsulotiga teng:

Matritsaning determinantini hisoblash A 1, biz yuqoridagi protseduraga o'xshash matritsani yuqori uchburchak shaklga tushiramiz. Biz quyidagi matritsani olamiz:

Matritsaning 2-ustunini almashtiring A vektor ustuniga b, biz matritsani yuqori uchburchak shaklga keltiramiz va matritsaning determinantini hisoblaymiz:

,,,.

Ushbu paragrafni o'zlashtirish uchun siz "ikkidan ikkiga" va "uchdan uch" determinantlarini ochib bera olishingiz kerak. Agar siz saralashda yomon bo'lsangiz, darsni o'rganing Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Birinchidan, ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini batafsil ko'rib chiqamiz. Nima uchun? – Axir, eng oddiy tizimni maktab metodi, muddatga qo‘shish usuli yordamida yechish mumkin!

Gap shundaki, ba'zan bo'lsa-da, bunday vazifa yuzaga keladi - Kramer formulalari yordamida ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimini echish. Ikkinchidan, oddiyroq misol sizga Kramer qoidasidan murakkabroq holatda - uchta noma'lum uchta tenglamadan iborat tizimdan qanday foydalanishni tushunishga yordam beradi.

Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud, ularni Kramer qoidasi yordamida hal qilish tavsiya etiladi!

Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili.

Gauss usuli.

Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni hisoblashimiz kerak:
Va

Amalda yuqoridagi sifatlovchilarni lotin harfi bilan ham belgilash mumkin.

Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz:
,

7-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Yechim: Biz tenglamaning koeffitsientlari juda katta ekanligini ko'ramiz; o'ng tomonda vergul bilan o'nli kasrlar mavjud. Vergul matematikadan amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydigan mehmondir, men bu tizimni ekonometrik masaladan oldim.

Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Siz bitta o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo bu holda siz ishlash uchun juda noqulay bo'lgan dahshatli chiroyli fraktsiyalarga duch kelishingiz mumkin va yechim dizayni shunchaki dahshatli ko'rinadi. Siz ikkinchi tenglamani 6 ga ko'paytirasiz va atamani ayirasiz, lekin bu erda ham xuddi shunday kasrlar paydo bo'ladi.

Nima qilish kerak? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi.

;

;

Javob: ,

Ikkala ildizning ham cheksiz dumlari bor va ular taxminan topiladi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy).

Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar yordamida hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish mavjud. Ushbu usuldan foydalanganda, majburiy Vazifa dizaynining bir qismi quyidagi qismdir: "Bu tizimning o'ziga xos echimi borligini anglatadi". Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin.

Kalkulyatorda qulay tarzda amalga oshirilishi mumkin bo'lgan tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga taxminiy qiymatlarni almashtiramiz. Natijada, kichik xatolik bilan siz o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olishingiz kerak.

8-misol

Javobni oddiy noto'g'ri kasrlarda ko'rsating. Tekshirish qiling.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).

Keling, uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqaylik:

Biz tizimning asosiy determinantini topamiz:

Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz Gauss usulidan foydalanishingiz kerak.

Agar bo'lsa, tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun yana uchta determinantni hisoblashimiz kerak:
, ,

Va nihoyat, javob formulalar yordamida hisoblanadi:

Ko'rib turganingizdek, "uchdan uch" holati "ikkidan ikkiga" holatidan tubdan farq qilmaydi; erkin atamalar ustuni asosiy determinant ustunlari bo'ylab chapdan o'ngga ketma-ket "yuradi".

9-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Yechim: Tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz.

, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Javob: .

Aslida, bu erda yana izoh berish uchun alohida narsa yo'q, chunki yechim tayyor formulalarga amal qiladi. Ammo bir nechta sharhlar mavjud.

Shunday bo'ladiki, hisob-kitoblar natijasida "yomon" qaytarilmas fraktsiyalar olinadi, masalan: .
Men quyidagi "davolash" algoritmini tavsiya qilaman. Agar qo'lingizda kompyuter bo'lmasa, buni bajaring:

1) Hisob-kitoblarda xatolik bo'lishi mumkin. "Yomon" kasrga duch kelganingizdan so'ng darhol tekshirishingiz kerak Shart to'g'ri qayta yozilganmi?. Agar shart xatosiz qayta yozilsa, boshqa qatorda (ustun) kengaytirish yordamida determinantlarni qayta hisoblashingiz kerak.

2) Agar tekshirish natijasida hech qanday xato aniqlanmasa, ehtimol vazifa sharoitida xatolik yuz bergan. Bunday holda, topshiriqni oxirigacha xotirjam va E'tibor bilan bajaring, keyin esa tekshirib ko'ring va biz qarordan keyin uni toza varaqda chizamiz. Albatta, kasr javobini tekshirish yoqimsiz vazifadir, lekin bu kabi har qanday bema'nilik uchun minus berishni yaxshi ko'radigan o'qituvchi uchun qurolsizlantiruvchi dalil bo'ladi. Kasrlarni qanday ishlash kerakligi 8-misolga javobda batafsil tavsiflangan.

Agar sizning qo'lingizda kompyuteringiz bo'lsa, tekshirish uchun avtomatlashtirilgan dasturdan foydalaning, uni darsning boshida bepul yuklab olish mumkin. Aytgancha, dasturni darhol ishlatish eng foydalidir (hatto yechimni boshlashdan oldin); siz xato qilgan joyingizning oraliq bosqichini darhol ko'rasiz! Xuddi shu kalkulyator matritsa usuli yordamida tizimning yechimini avtomatik ravishda hisoblab chiqadi.

Ikkinchi izoh. Vaqti-vaqti bilan tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan tizimlar mavjud, masalan:

Bu erda birinchi tenglamada o'zgaruvchi yo'q, ikkinchisida o'zgaruvchi yo'q. Bunday hollarda asosiy belgilovchini to'g'ri va diqqat bilan yozish juda muhimdir:
- etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nollar qo'yiladi.
Aytgancha, nol joylashgan qator (ustun) bo'yicha determinantlarni nol bilan ochish oqilona, ​​chunki hisob-kitoblar sezilarli darajada kamroq.

10-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Bu mustaqil yechim uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).

4 ta noma'lumli 4 ta tenglamalar tizimi uchun Kramer formulalari o'xshash printsiplarga muvofiq yoziladi. Jonli misolni Aniqlovchilarning xossalari darsida ko'rishingiz mumkin. Determinantning tartibini qisqartirish - beshta 4-tartibli aniqlovchi juda echilishi mumkin. Vazifa allaqachon baxtli talabaning ko'kragidagi professorning poyabzalini eslatib tursa-da.

Teskari matritsa yordamida tizimni yechish

Teskari matritsa usuli mohiyatan alohida holatdir matritsa tenglamasi(Ko'rsatilgan darsning 3-misoliga qarang).

Ushbu bo'limni o'rganish uchun siz determinantlarni kengaytirish, matritsaning teskarisini topish va matritsani ko'paytirishni bajarishingiz kerak. Tushuntirishlar davom etar ekan, tegishli havolalar taqdim etiladi.

11-misol

Matritsa usuli yordamida tizimni yeching

Yechim: Tizimni matritsa shaklida yozamiz:
, Qayerda

Iltimos, tenglamalar va matritsalar tizimini ko'rib chiqing. Menimcha, hamma elementlarni matritsalarga yozish tamoyilini tushunadi. Yagona izoh: agar tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan bo'lsa, unda matritsaning tegishli joylariga nollarni qo'yish kerak edi.

Teskari matritsani formuladan foydalanib topamiz:
, bu yerda matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.

Birinchidan, determinantni ko'rib chiqaylik:

Bu yerda determinant birinchi qatorda kengaytiriladi.

Diqqat! Agar bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas va tizimni matritsa usuli yordamida yechish mumkin emas. Bunda sistema noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan yechiladi (Gauss usuli).

Endi biz 9 ta voyaga etmaganlarni hisoblab, ularni kichiklar matritsasiga yozishimiz kerak

Malumot: Chiziqli algebrada qo'sh yozuvlar ma'nosini bilish foydalidir. Birinchi raqam - element joylashgan qatorning raqami. Ikkinchi raqam - element joylashgan ustunning raqami:

Ya'ni, qo'sh yozuv elementning birinchi qatorda, uchinchi ustunda va, masalan, element 3 qatorda, 2 ustunda ekanligini ko'rsatadi.

Yechim davomida, voyaga etmaganlarning hisobini batafsil tasvirlab berish yaxshiroqdir, garchi ba'zi tajribalar bilan siz ularni og'zaki xatolar bilan hisoblashga odatlanishingiz mumkin.

Kramer usuli yoki Kramer qoidasi deb ataladigan usul - tenglamalar tizimidan noma'lum miqdorlarni qidirish usuli. U faqat izlanayotgan qiymatlar soni tizimdagi algebraik tenglamalar soniga ekvivalent bo'lgan taqdirdagina foydalanish mumkin, ya'ni tizimdan hosil bo'lgan asosiy matritsa kvadrat bo'lishi va nol qatorlarni o'z ichiga olmaydi, shuningdek, agar uning determinanti bo'lishi kerak bo'lsa. nol bo'lmang.

Teorema 1

Kramer teoremasi Agar tenglamalar koeffitsientlari asosida tuzilgan bosh matritsaning bosh determinanti $D$ nolga teng bo'lmasa, tenglamalar tizimi izchil bo'lib, u yagona yechimga ega bo'ladi. Bunday tizimning yechimi chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Kramer formulalari orqali hisoblanadi: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Kramer usuli nima?

Kramer usulining mohiyati quyidagicha:

1. Kramer usuli yordamida tizimning yechimini topish uchun birinchi navbatda $D$ matritsasining asosiy determinantini hisoblaymiz. Asosiy matritsaning hisoblangan determinanti Kramer usuli bilan hisoblanganda nolga teng bo'lsa, u holda tizim bitta yechimga ega bo'lmaydi yoki cheksiz sonli echimlarga ega bo'ladi. Bunday holda tizimga umumiy yoki qandaydir asosiy javobni topish uchun Gauss usulidan foydalanish tavsiya etiladi.
2. Keyin asosiy matritsaning eng tashqi ustunini erkin shartlar ustuni bilan almashtirishingiz va $D_1$ determinantini hisoblashingiz kerak.
3. Barcha ustunlar uchun xuddi shunday takrorlang, $D_1$ dan $D_n$ gacha bo'lgan determinantlarni oling, bu erda $n$ - eng o'ng ustunning raqami.
4. Barcha $D_1$...$D_n$ determinantlari topilgandan so'ng, noma'lum o'zgaruvchilarni $x_i = \frac(D_i)(D)$ formulasi yordamida hisoblash mumkin.

Matritsaning determinantini hisoblash texnikasi

O'lchami 2 dan 2 gacha bo'lgan matritsaning determinantini hisoblash uchun siz bir nechta usullardan foydalanishingiz mumkin:

• Xuddi shu qoidani eslatuvchi uchburchaklar qoidasi yoki Sarrus qoidasi. Uchburchak usulining mohiyati shundan iboratki, determinantni hisoblashda rasmda o'ngdagi qizil chiziq bilan bog'langan barcha raqamlarning ko'paytmalari ortiqcha belgisi bilan yoziladi va chapdagi rasmda xuddi shunday bog'langan barcha raqamlar. minus belgisi bilan yoziladi. Ikkala qoida ham 3 x 3 o'lchamdagi matritsalar uchun mos keladi. Sarrus qoidasi holatida avval matritsaning o'zi qayta yoziladi va uning yonida uning birinchi va ikkinchi ustunlari qayta yoziladi. Matritsa va bu qo'shimcha ustunlar orqali diagonallar chiziladi; asosiy diagonalda yoki unga parallel bo'lgan matritsa a'zolari plyus belgisi bilan, ikkilamchi diagonal ustida yoki unga parallel bo'lgan elementlar esa minus belgisi bilan yoziladi.

Shakl 1. Kramer usuli uchun determinantni hisoblash uchun uchburchak qoidasi

• Gauss usuli deb nomlanuvchi usuldan foydalanib, bu usul ba'zan determinantning tartibini kamaytirish deb ham ataladi. Bunday holda, matritsa o'zgartiriladi va uchburchak shaklga keltiriladi, so'ngra asosiy diagonaldagi barcha raqamlar ko'paytiriladi. Shuni esda tutish kerakki, determinantni shu tarzda izlashda siz satrlar yoki ustunlarni ko'paytiruvchi yoki bo'luvchi sifatida chiqarmasdan ko'paytirish yoki raqamlarga bo'lish mumkin emas. Determinantni izlashda faqat ayirish va satrlar va ustunlarni bir-biriga qo'shish mumkin, bundan oldin ayirilgan qatorni nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ko'paytiradi. Bundan tashqari, har safar matritsaning satrlari yoki ustunlarini o'zgartirganda, matritsaning yakuniy belgisini o'zgartirish zarurligini yodda tutish kerak.
• Kramer usuli yordamida 4 ta noma’lumli SLAE ni yechishda determinantlarni izlash va topish yoki voyaga yetmaganlarni qidirish orqali determinantni aniqlash uchun Gauss usulidan foydalangan ma’qul.

Kramer usuli yordamida tenglamalar tizimini yechish

2 ta tenglama va ikkita kerakli kattalikdan iborat tizim uchun Kramer usulini qo'llaymiz:

$\begin(holatlar) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end (holatlar)$

Qulaylik uchun uni kengaytirilgan shaklda ko'rsatamiz:

$A = \begin(massiv)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(massiv)$

Tizimning bosh determinanti deb ham ataladigan bosh matritsaning determinantini topamiz:

$D = \begin(massiv)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(massiv) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Agar asosiy determinant nolga teng bo'lmasa, Kramer usuli yordamida slyujni yechish uchun asosiy matritsa ustunlari erkin shartlar qatori bilan almashtirilgan ikkita matritsadan yana bir nechta determinantni hisoblash kerak:

$D_1 = \begin(massiv)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(massiv) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(massiv)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(massiv) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Endi $x_1$ va $x_2$ nomaʼlumlarni topamiz:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) $

$ x_2 = \ frac (D_2) (D) $

1-misol

3-tartibli asosiy matritsa (3 x 3) va uchta zarur bo'lgan SLAElarni echish uchun Kramer usuli.

Tenglamalar tizimini yeching:

$\begin(holatlar) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end (holatlar)$

Yuqorida 1-bandda keltirilgan qoidadan foydalanib, matritsaning asosiy determinantini hisoblaymiz:

$D = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Va endi yana uchta belgilovchi:

$D_1 = \begin(massiv)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(massiv) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 dollar

$D_3 = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Kerakli miqdorlarni topamiz:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$ x_3 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (-60) (-64) = \ frac (15) (16) $