Основними методами розв'язання тригонометричних рівнянь є: зведення рівнянь до найпростіших (з використанням тригонометричних формул), запровадження нових змінних, розкладання на множники. Розглянемо їх застосування на прикладах. Зверніть увагу на оформлення запису розв'язків тригонометричних рівнянь.

Необхідною умовою успішного вирішенняТригонометричних рівнянь є знання тригонометричних формул (тема 13 роботи 6).

приклади.

1. Рівняння, що зводяться до найпростіших.

1) Розв'язати рівняння

Рішення:

Відповідь:

2) Знайти коріння рівняння

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, що належать відрізку .

Рішення:

Відповідь:

2. Рівняння, що зводяться до квадратних.

1) Розв'язати рівняння 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Рішення:Використовуючи формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, отримуємо

Відповідь:

2) Розв'язати рівняння cos 2x = 1 + 4 cosx.

Рішення:Використовуючи формулу cos 2x = 2 cos 2 x - 1, отримуємо

Відповідь:

3) Вирішити рівняння tgx- 2ctgx + 1 = 0

Рішення:

Відповідь:

3. Однорідні рівняння

1) Розв'язати рівняння 2sinx - 3cosx = 0

Рішення: Нехай cosx = 0, тоді 2sinx = 0 і sinx = 0 – суперечність із тим, що sin 2 x + cos 2 x = 1. Отже cosx ≠ 0 і можна поділити рівняння на cosx. Отримаємо

Відповідь:

2) Розв'язати рівняння 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Рішення:

Використовуємо формули 1 = sin 2 x + cos 2 x та sin 2x = 2 sinxcosx, отримаємо

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Нехай cosx = 0, тоді sin 2 x = 0 і sinx = 0 – суперечність із тим, що sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значить cosx ≠ 0 і можна поділити рівняння cos 2 x . Отримаємо

tg 2 x - 6 tgx + 8 = 0
Позначимо tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
а) tgx = 4, x = arctg4 + 2 k, k
б) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k, k .

Відповідь: arctg4 + 2 k, arctg2 + 2 k, k

4. Рівняння виду a sinx + b cosx = с, с≠ 0.

1) Розв'язати рівняння.

Рішення:

Відповідь:

5. Рівняння, що розв'язуються розкладанням на множники.

1) Вирішити рівняння sin2x - sinx = 0.

Коренем рівняння f (х) = φ ( х) може бути тільки число 0. Перевіримо це:

cos 0 = 0 + 1 – рівність правильно.

Число 0 єдиний корінь даного рівняння.

Відповідь: 0.

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь Зміст

• Метод заміни змінної
• Метод розкладання на множники
• Однорідні тригонометричні рівняння
• За допомогою тригонометричних формул:
• Формул додавання
• Формул приведення
• Формул подвійного аргументу

Метод заміни змінної

За допомогою заміни t = sinx або t = cosx де t∈ [−1;1] рішення вихідного рівняння зводиться до розв'язання квадратного чи іншого рівня алгебри.

приклади 1 – 3

Іноді використовують універсальну тригонометричну підстановку: t = tg

Приклад 1 Приклад 2 Приклад 3 Метод розкладання на множники

Суть цього методу полягає в тому, що добуток декількох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із них дорівнює нулю, а інші при цьому не втрачають сенсу:

f(x) · g(x) · h(x) · … = 0⟺ f(x) = 0 або g(x) = 0 або h(x) = 0

і т.д. за умови існування кожного із співмножників

Див. приклади 4 – 5

Приклад 4 Приклад 5 Однорідні тригонометричні рівняння Рівняння виду a sin x + b cos x = 0 називають однорідним тригонометричним рівнянням першого ступеня.

a sin x + b cos x = 0

Зауваження.

Поділ на cos x допустимо, оскільки рішення рівняння cos x = 0 є рішеннями рівняння a sin x + b cos x = 0.

a sin x b cos x 0

a tg x + b = 0

tg x = -

Однорідні тригонометричні рівняння

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

Рівняння виду a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 називають однорідним тригонометричним рівнянням другого ступеня.

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

Зауваження.Якщо в даному рівнянніа = 0 або с = 0 то рівняння вирішується методом розкладання

на множники.

Приклад 6

Приклад 8 Приклад 9 Приклад 10 Приклад 11 1. Формули додавання:

sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x + y) = cosx cosy - sinx siny

tgx + tgy

tg (x + y) =

1 − tgx tgy

sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny

cos(x−y) = cosx cosy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x - y) =

1 + tgx tgy

сtgx сtgy − 1

стg (x + y) =

сtgу + з tgх

stgx stgy + 1

стg (x - y) =

сtgу − з tgх

Приклад 12 Приклад 13 За допомогою тригонометричних формул 2. Формули наведення:

Кінське правило

У старі добрі часи жив розсіяний математик, який під час пошуку відповіді міняти чи не міняти назву функції ( синусна косинус), дивився на свого розумного коня, а вона кивала головою вздовж тієї осі координат, якій належала точка, що відповідає першому доданку аргументу π/ 2 + α або π + α .

Якщо кінь кивала головою вздовж осі ОУ, то математик вважав, що отримано відповідь «так, міняти», якщо вздовж осі ОХ, то «ні, не міняти».

За допомогою тригонометричних формул 3. Формули подвійного аргументу:

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos2x - sin2x

cos 2x = 2cos2x - 1

cos 2x = 1 - 2sin2x

1 – tg2x

ctg 2x =

ctg2x – 1

Приклад 14 За допомогою тригонометричних формул 4. Формули зниження ступеня:

5. Формули половинного кута:

За допомогою тригонометричних формул 6. Формули суми та різниці: За допомогою тригонометричних формул 7. Формули твору: Мнемонічне правило "Тригонометрія на долоні"

Дуже часто потрібно знати напам'ять значення cos, sin, tg, ctgдля кутів 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °.

Але якщо раптом якесь значення забудеться, можна скористатися правилом руки.

Правило:Якщо провести лінії через мізинець та великий палець,

то вони перетнуться в точці, званої "місячний бугор".

Утворюється кут 90 °. Лінія мізинця утворює кут 0 °.

Провівши промені з "місячного бугра" через безіменний, середній, вказівний пальці, отримуємо кути відповідно 30 °, 45 °, 60 °.

Підставляючи замість n: 0, 1, 2, 3, 4, отримуємо значення sinдля кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Для cosвідлік відбувається у зворотному порядку.

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричного рівняння складається з двох етапів: перетворення рівняннядля отримання його найпростішоговиду (див. вище) і рішенняотриманого найпростішого тригонометричного рівняння.Існує сім основних методів розв'язання тригонометричних рівнянь

1. Алгебраїчний метод.

(Метод заміни змінної та підстановки).

2. Розкладання на множники.

П р і м е р 1. Розв'язати рівняння: sin x+ cos x = 1 .

Розв'язання. Перенесемо всі члени рівняння вліво:

Sin x+ cos x – 1 = 0 ,

Перетворимо і розкладемо на множники вираз у

Лівою частиною рівняння:

П р і м е р 2. Розв'язати рівняння: cos 2 x+ sin x· cos x = 1.

Рішення. cos 2 x+ sin x· cos x– sin 2 x- cos 2 x = 0 ,

Sin x· cos x– sin 2 x = 0 ,

Sin x· (cos x– sin x ) = 0 ,

П р і м е р 3. Розв'язати рівняння: cos 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Рішення. cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 sin 3 x· sin x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). sin 3 x= 0, 3). sin x = 0 ,

3. Приведення до однорідного рівняння. Рівняння називається однорідним від носійно sinі cos , якщо всі його члени одного і того ж ступеня щодо sinі cosодного і того ж кута. Щоб розв'язати однорідне рівняння, треба: а) перенести всі його члени в ліву частину; б) винести всі загальні множники за дужки; в) прирівняти всі множники та дужки нулю; г) дужки, прирівняні нулю, дають однорідне рівняння меншого ступеня, яке слід розділити на cos(або sin) у старшому ступені; д) вирішити отримане алгебраїчне рівняннящодоtan . sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 5 cos 2 x = 2. Рішення. 3sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Sin 2 x+ 4 sin x· cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 tan x + 3 = 0 , звідси y 2 + 4y +3 = 0 , Коріння цього рівняння:y 1 = - 1, y 2 = - 3, звідси 1) tan x= -1, 2) tan x = –3,

4. Перехід до половинного кута.

Розглянемо цей метод з прикладу:

П р і м е р. Розв'язати рівняння: 3 sin x– 5 cos x = 7.

Рішення. 6 sin ( x/ 2) · cos ( x/ 2) – 5 cos ² ( x/ 2) + 5 sin ² ( x/ 2) =

7 sin ² ( x/ 2) + 7 cos ² ( x/ 2) ,

2 sin ² ( x/ 2) - 6 sin ( x/ 2) · cos ( x/ 2) + 12 cos ² ( x/ 2) = 0 ,

tan ² ( x/ 2) - 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введення допоміжного кута.

Розглянемо рівняння виду:

a sin x + b cos x = c ,

Де a, b, c- Коефіцієнти;x- Невідоме.

Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса , а саме: модуль ( абсолютне значення ) кожного з них не більше 1, а сума їх квадратів дорівнює 1. Тоді можна позначити їх відповідно як cos і sin (тут - так званий допоміжний кут), інаше рівняння прини