3.3. Лінійна незалежність векторів. Базис.

Лінійний комбінацією системи векторів

називається вектор

де a 1 , a 2 , ..., a n - Довільні числа.

Якщо все a i = 0, то лінійна комбінація називається тривіальною . В цьому випадку, очевидно,

Визначення 5.

Якщо для системи векторів існує нетривіальна лінійна комбінація (хоча б одне a i ¹ 0) рівна нульовому вектору: то система векторів називається лінійно залежною. Якщо рівність (1) можлива лише у випадку, коли все a i =0, то система векторів називається лінійно незалежною .

Теорема 2 (Умови лінійної залежності).

Визначення 6.

З теореми 3 слід, що у просторі заданий базис то додавши щодо нього довільний вектор , отримаємо лінійно залежну систему векторів. Відповідно дотеорема 2 (1) , один з них (можна показати, що вектор ) можна у вигляді лінійної комбінації інших:

.

Визначення 7.

Числа називаються координатами вектор у базисі (позначається

Якщо вектори розглядаються на площині, базисом буде впорядкована пара неколлінеарних векторів.

та координатами вектора в цьому базисі – пара чисел:

3 . Можна показати, що при заданому базисі координати вектора визначаються однозначно . З цього, зокрема, випливає, що якщо вектори рівні, то рівні їхні відповідні координати, і навпаки .

Отже, якщо у просторі заданий базис, то кожному вектору простору відповідає впорядкована трійка чисел (координати вектора у цьому базисі) і навпаки: кожній трійці чисел відповідає вектор.

На площині аналогічна відповідність встановлюється між векторами та парами чисел.

Теорема 4 (Лінійні операції через координати векторів).

Якщо в деякому базисі і a - довільне число, то в цьому базисі

Іншими словами:

при множенні вектора на число його координати множаться на це число ;

при складанні векторів складаються їхні відповідні координати .

Приклад 1 . В деякому базисі векторимають координати

Показати, що вектори утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі.

Вектори утворюють базис, якщо вони некомпланарні, отже (відповідно дотеорема 3(2) ) лінійно незалежні.

За визначенням 5 це означає, що рівність

можливо тільки у випадку, колиx = y = z = 0.

Опр.Більшість w називається лінійним простором, яке елем. -векторами, якщо:

*заданий закон (+) по кіт. будь-яким двом елементам х,у з w зіставляється елемент називаємо. їхньою сумою [х + у]

* заданий закон (* на число a), по кот.

* виконані

такі вимоги (або аксіоми):

Слід c1. нульовий вектор (ctv 0 1 і 0 2 . по a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 і 0 1 + 0 2 = 0 1 . по a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2 .)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 вект.(a7)

c4. a(число)*0=0.(a6,c3)

c5. х (*) -1 = 0 вект, протилежному х, тобто. (-1) х = -х. (a5,a6)

c6. У w визначено дію віднімання: вектор х називається різницею векторів b та а, якщо х + а = b, і позначається x = b – a.

Число nназивається розмірністю лін. пр-а L , якщо в L існує система з nлін. незав. векторів, а будь-яка система з n+1 вектор - лін. залежна. dim L= n. Простір L називається n-мірним.

Упорядкована сукупність n лін. незав. векторів n мірного незалежно. простору – базис

Теорема. Кожен вектор X можна уявити єдиним чиному вигляді лін.Комбінації векторів базису

Нехай (1) – базис n-мірного лін. пр-ва V, тобто. сукупність лінійно-незалежних векторів. Сукупність векторів буде лін. залежною, т.к. їх n+ 1.

Тобто. існують числа , не всі рівні нулю одночасно, що (інакше (1) лінійно залежні).

Тоді де розкладання вектора xз базису(1) .

Цей вираз єдиний, т.к. якщо існує інший вираз (**)

віднімаючи з (*) рівність (**),

отримаємо

Т.к. лінійно незалежні, то . Чтд

Теорема. Якщо – лін. незалежні векторипростору V і кожен вектор x з V може бути представлений через , то ці вектори утворюють базис V

Док-во: (1)-лін.незалежна =>залишається док-ть, що з лин.зависимы. за ум. Кожен вектор виражається через (1): , розглянемо , rang≤n => серед стовпців не більше nлінійно незалежні, але m > n=> m стовпців лінійно залежні=> s=1, n

Т. е. вектори лін. залежні

Т.о простір V n-мірно і (1) його базис

№4Опр.Підмножина L лін. пр-ва V називається лін. підпр. цього простору якщо щодо заданих у V операціях (+) і (*а) підпростір L є лінійним простором

Теорема Багато векторів простору V є лін. Підпростором цього простору виконуються

(дост) нехай (1) і (2) виконані, для того що L підпрост.V залишається довести, що виконані всі аксіоми лин. пр-ва.

(-x): -x+x=0 д. а(х + у) = ах + ау;

(а-б) і (д-з) випливає із справедливості для V доведемо (в)

(необхідність) Нехай L є лін. підпростором цього простору, тоді (1) і (2) виконуються з визначення лин. пр-ва

Опр.Сукупність різноманітних лин. комбінацій деяких елементів (xj) лін. пр-ва називається лінійною оболонкою

Теоремадовільна множина всіх лин. комбінацій векторів V з дійств. коеф є лін. підпр V (лінійна оболонка даної системи векторів лін. пр. є лін.підпр цього пр. )

Опр. Непорожнє підмножина L векторів лін. пр-ва V називається лін. підпростором, якщо:

а) сума будь-яких векторів з L належить L

б)твір кожного вектора з L на будь-яке число належить L

Сума двох підпросторівLє знову підпросторомL

1) Нехай y 1 +y 2 (L 1 +L 2)<=>y 1 =x 1 +x 2 , y 2 =x' 1 +x' 2 , де (x 1 ,x' 1) L 1 , (x 2 ,x' 2) L 2 . y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), де (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => перша умова лінійного підпростору виконується.

ay 1 =ax 1 +ax 2 де (aх 1) L 1 , (aх 2) L 2 => т.к. (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => умови виконуються => L 1 +L 2 – лінійний підпростір.

Перетин двох підпр.L 1 іL 2 лін. пр-ваL також є підпр. цього простору.

Розглянемо два довільні вектори x,y, що належать перетину підпросторів, та два довільні числа a,b:.

За опр. перетину множин:

=> визначення підпростору лінійного простору:,.

вектор ax + byналежить і безлічі L 1 , і безлічі L 2 , він належить, за визначенням, і перетину цих множин. Таким чином:

Опр. Кажуть, що V є прямою сумою своїх підпр. якщо і б) це розкладання єдино

б")Покажемо, що б) рівносильно б')

б) вірно б')

Будь-які (M, N) з перетинаються лише за нульовим вектором

Нехай ∃ z ∈

Справед. зворот.L=

протиріччя

Теорема Щоб (*) необхідно і достатньо щоб об'єднання базисів ( становило базис простору

(Необ)нехай (*) та вектори - базиси підмножин. і має місце розкладання по; x розкладається по базису L, щоб стверджувати, що( складають базис, потрібно довести їх лінійну незалежність всі містять 0 0 = 0 + ... + 0. В силу єдиності розкладання 0 по : => через лін. незалежності базису => ( – базис

(Дост.)Нехай (утворює базис L єдностей. розкладання (**) принаймні одне розкладання існує. В силу єдиності (*) => єдиність (**)

Зауваження. Розмірність прямої суми дорівнює сумі розмірностей підпростору

Будь-яка невироджена квадратична матриця може бути матрицею переходу від одного базису до іншого

Нехай у n мірному лінійному просторі V є два базиси і

(1) =A , де тут елементи * і ** не числа, але ми поширимо на такі рядки певні операції над числовою матрицею.

Т.к. інакше вектори ** були б лін.

Назад.Якщо то стовпці А лінійно незалежні => утворять базис

Координати і пов'язані співвідношенням , де елементи матриці переходу

Нехай відоме розкладання елементів "нового" базису по «старому»

Тоді справедливі рівності

Але якщо лінійна комбінація лінійно незалежних елементів дорівнює 0, то =>

Основна теорема про лінійну залежність

Якщо (*) лінійно виражається через (**) тоn<= m

Доведемо індукцією по m

m=1: система (*) містить 0 та лін. зав- неможливо

нехай правильно для m=k-1

доведемо для m=k

може бути, що 1) , тобто. в-ри (1) є лін.комб. лін. в-рів (2)Система (1) лін.незав., т.к. є частиною лін.незав. системи (*). Т.к. у системі (2) тільки k-1, векторів, то за припущенням індукції отримуємо k+1

Теорема 1. (Про лінійну незалежність ортогональних векторів). Тож нехай система векторів лінійно незалежна.

Складемо лінійну комбінацію ∑λ i x i =0 і розглянемо скалярний добуток (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 = 0, але | | x j | | 2 ≠0⇒λ j =0.

Визначення 1. Система векторівабо (e i, e j) = j - символ Кронекера, називається ортонормованою (ОНС).

Визначення 2. Для довільного елемента x довільного нескінченномірного евклідового простору та довільної ортонормованої системи елементів поруч Фур'є елемента x по системі називається формально складена нескінченна сума (ряд) виду , в якій дійсні числа i називаються коефіцієнтами Фур'є елемента x по системі , де i = (x, e i).

Коментар. (Звичайно, виникає питання про збіжність цього ряду. Для дослідження цього питання зафіксуємо довільний номер n та з'ясуємо, що відрізняє n-у часткову суму ряду Фур'є від будь-якої іншої лінійної комбінації перших n елементів ортонормованої системи.)

Теорема 2. Для будь-якого фіксованого номера n серед усіх сум виду найменше відхилення від елемента x за нормою даного простору евкліда має n-а часткова сума ряду Фур'є елементa

Враховуючи ортонормованість системи та визначення коефіцієнта Фур'є, можна записати

Мінімум цього виразу досягається при c i =λ i , тому що при цьому завжди невід'ємна перша сума в правій частині звертається в нуль, а решта доданків від c i не залежать.

приклад. Розглянемо тригонометричну систему

у просторі всіх інтегрованих по Ріману функцій f(x) на сегменті [-π,π]. Легко перевірити, що це ОНБ, і тоді Ряд Фур'є функції f(x) має вигляд де .

Коментар. (Тригонометричний ряд Фур'є зазвичай записують у вигляді Тоді )

Довільна ОНБ у нескінченномірному евклідовому просторі без додаткових припущень, взагалі кажучи, не є базисом цього простору. На інтуїтивному рівні, не даючи строгих визначень, опишемо суть справи. У довільному нескінченномірному евклідовому просторі E розглянемо ОНС, де (e i, e j) = ij - символ Кронекера. Нехай M - підпростір евклідова простору, а k = M ⊥ - підпростір, ортогональне до M, таке, що евклідове простір E = M + M ⊥ . Проекція вектора x∈E на підпростір M - вектор ∈M, де

Ми шукатимемо ті значення коефіцієнтів розкладання α k , при яких нев'язка (квадрат нев'язки) h 2 =||x-|| 2 буде мінімальна:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Зрозуміло, що це вираз прийматиме мінімальне значення при α k =0, що тривіально, і при α k =(x,e k). Тоді ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Звідси одержуємо нерівність Бесселя ∑α k 2 ||x|| 2 . При ρ=0 Ортонормована система векторів (ОНС) називається повною ортонормованою системою в сенсі Стеклова (ПОНС).Звідси можна здобути рівність Стеклова - Парсеваля ∑α k 2 =||x|| 2 - "теорему Піфагора" для повних у сенсі Стеклова нескінченномірних евклідових просторів. Тепер слід було б довести, що для того, щоб будь-який вектор простору можна було єдиним чином подати у вигляді ряду Фур'є, що сходить до нього, необхідне і достатньо виконання рівності Стеклова-Парсеваля. Система векторів pic=""> ОНБ утворює? система векторів Розглянемо на часткову суму ряду Тоді як хвіст ряду, що сходить. Таким чином, система векторів є ПОНС та утворює ОНБ.

приклад.Тригонометрична система

у просторі всіх інтегрованих по Ріману функцій f(x) на сегменті [-π,π] є ПОНС і утворює ОНБ.

Нехай L - Лінійний простір над полем Р . Нехай А1, а2, …, аn (*) кінцева система векторів з L . Вектор У = a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn (16) називається Лінійною комбінацією векторів ( *), або кажуть, що вектор У лінійно виражається через систему векторів (*).

Визначення 14. Система векторів (*) називається Лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли існує такий ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … , an, що a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0. Якщо ж a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) називається Лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності.

10. Якщо система векторів містить нульовий вектор, вона лінійно залежна.

Дійсно, якщо в системі (*) вектор А1 = 0, То 1× 0 + 0× А2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Якщо система векторів містить два пропорційні вектори, вона лінійно залежна.

Нехай А1 = L×а2. Тоді 1× А1 -l× А2 + 0× А3 + … + 0× А N = 0.

30. Кінцева система векторів (*) при n ³ 2 лінійно залежна тоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Þ Нехай (*) лінійно залежна. Тоді знайдеться ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … an, при якому a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 . Не порушуючи спільності, можна вважати, що a1 ¹ 0. Тоді існує і А1 = ×a2× А2 + … + ×an× А N. Отже, вектор А1 є лінійною комбінацією інших векторів.

Ü Нехай один із векторів (*) є лінійною комбінацією інших. Можна вважати, що це перший вектор, тобто. А1 = B2 А2+ … + bn А N, Звідси (–1)× А1 + b2 А2+ … + bn А N = 0 , Т. е. (*) лінійно залежна.

Зауваження. Використовуючи останню властивість, можна дати визначення лінійної залежності та незалежності нескінченної системи векторів.

Визначення 15. Система векторів А1, а2, …, аn , … (**) називається Лінійно залежною, Якщо хоча б її вектор є лінійною комбінацією деякого кінцевого числа інших векторів. Інакше система (**) називається Лінійно незалежною.

40. Кінцева система векторів лінійно незалежна тоді й лише тоді, коли жоден із її векторів не можна лінійно висловити через інші її вектори.

50. Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.

60. Якщо деяка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, і вся система теж лінійно залежна.

Нехай дані дві системи векторів А1, а2, …, аn , … (16) та В1, в2, …, вs, … (17). Якщо кожен вектор системи (16) можна у вигляді лінійної комбінації кінцевого числа векторів системи (17), то говорять, що система (17) лінійно виражається через систему (16).

Визначення 16. Дві системи векторів називаються Еквівалентними якщо кожна з них лінійно виражається через іншу.

Теорема 9 (Основна теорема про лінійну залежність).

Нехай і – дві кінцеві системи векторів з L . Якщо перша система лінійно незалежна та лінійно виражається через другу, то N£ s.

Доказ.Припустимо, що N> S.За умовою теореми

(21)

Оскільки система лінійно незалежна, то рівність (18) Х1 = х2 = ... = хN = 0.Підставимо сюди вирази векторів: …+=0 (19). Звідси (20). Умови (18), (19) та (20), очевидно, еквівалентні. Але (18) виконується тільки за Х1 = х2 = ... = хN = 0.Знайдемо, коли правильна рівність (20). Якщо його коефіцієнти дорівнюють нулю, воно, зрозуміло, правильно. Прирівнявши їх нулю, отримаємо систему (21). Так як ця система має нульове, то вона

спільна. Оскільки число рівнянь більше числаневідомі, то система має нескінченно багато рішень. Отже, вона має ненульове Х10, х20, …, хN0. При цих значеннях рівність (18) вірно, що суперечить тому, що система векторів лінійно незалежна. Отже, наше припущення не вірне. Отже, N£ s.

Слідство.Якщо дві еквівалентні системи векторів кінцеві і лінійно незалежні, вони містять однакове число векторів.

Визначення 17. Система векторів називається Максимально лінійно незалежною системою векторів Лінійний простір L якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого вектора з L , що не входить до цієї системи, вона стає вже лінійно залежною.

Теорема 10. Будь-які дві кінцеві максимальні лінійно незалежні системи векторів з L Містять однакове число векторів.

Доказвипливає з того, що будь-які дві максимальні лінійно незалежні системи векторів еквівалентні .

Легко довести, що будь-яку лінійно незалежну систему векторів простору L можна доповнити максимальної лінійно незалежної системи векторів цього простору.

Приклади:

1. У багатьох колінеарних геометричних векторів будь-яка система, що складається їх одного ненульового вектора, є максимальною лінійно незалежною.

2. У багатьох всіх компланарних геометричних векторів будь-які два неколлінеарних вектори становлять максимальну лінійно незалежну систему.

3. У багатьох всіх можливих геометричних векторів тривимірного евклідового простору будь-яка система трьох некомпланарних векторів є максимальною лінійно незалежною.

4. У багатьох багаточленів ступеня не вище NЗ дійсними (комплексними) коефіцієнтами система багаточленів 1, х, х2, … , хnЄ максимальною лінійно незалежною.

5. У багатьох багаточленів з дійсними (комплексними) коефіцієнтами прикладами максимальної лінійно незалежної системи є

а) 1, х, х2, …, хn, …;

б) 1, (1 - х), (1 - х)2, … , (1 - х)N, …

6. Безліч матриць розмірності M´ Nє лінійним простором (перевірте це). Прикладом максимальної лінійно незалежної системи у цьому просторі є система матриць Е11= , Е12 =, …, ЕMn = .

Нехай дана система векторів С1, с2, …, порівн (*). Підсистема векторів із (*) називається Максимальної лінійно незалежної ПідсистемоюСистеми ( *) якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого іншого вектора ця система вона стає лінійно залежною. Якщо система (*) кінцева, то будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема містить одне й те число векторів. (Доказ проведіть самостійно). Число векторів у максимальній лінійно незалежній підсистемі системи (*) називається Рангом Цієї системи. Очевидно, що еквівалентні системи векторів мають однакові ранги.

Наступні дають кілька критеріїв лінійної залежності та відповідно лінійної незалежності систем векторів.

Теорема. (Необхідне та достатня умовалінійної залежності векторів.)

Система векторів є залежною тоді і лише тоді, коли один із векторів системи лінійно виражається через інші системи.

Доказ. Необхідність. Нехай система лінійно залежна. Тоді, за визначенням, вона становить нульовий вектор нетривіально, тобто. існує нетривіальна комбінація даної системи векторів, що дорівнює нульовому вектору:

де хоча б один із коефіцієнтів цієї лінійної комбінації не дорівнює нулю. Нехай,.

Розділимо обидві частини попередньої рівності на цей ненульовий коефіцієнт (тобто помножимо на:

Позначимо: , де .

тобто. один із векторів системи лінійно виражається через інші цієї системи, ч.т.д.

Достатність. Нехай один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи:

Перенесемо вектор у праву цієї рівності:

Оскільки коефіцієнт при векторі дорівнює , ми маємо нетривіальне уявлення нуля системою векторів , що означає, що це векторів є лінійно залежною, ч.т.д.

Теорему доведено.

Слідство.

1. Система векторів векторного просторує лінійно незалежною тоді і лише тоді, коли жоден із векторів системи лінійно не виражається через інші вектори цієї системи.

2. Система векторів, що містить нульовий вектор або два рівних векторає лінійно залежною.

Доказ.

1) Необхідність. Нехай система є лінійно незалежною. Допустимо неприємне і існує вектор системи, що лінійно виражається через інші вектори цієї системи. Тоді за теоремою система є лінійно залежною і ми приходимо до суперечності.

Достатність. Нехай жоден із векторів системи не виражається через інші. Допустимо неприємне. Нехай система лінійно залежна, але тоді з теореми випливає, що існує вектор системи, що лінійно виражається через інші вектори цієї системи і ми знову приходимо до протиріччя.

2а) Нехай система містить нульовий вектор. Допустимо для визначеності, що вектор:. Тоді очевидно рівність

тобто. один із векторів системи лінійно виражається через інші вектори цієї системи. З теореми випливає, що така система векторів є лінійно залежною, т.д.

Зауважимо, що це можна довести безпосередньо з лінійно залежної системи векторів.

Оскільки , то наступна рівність очевидна

Це нетривіальне уявлення нульового вектора, отже система є лінійно залежною.

2б) Нехай система має два рівні вектори. Нехай для. Тоді очевидно рівність

Тобто. перший вектор лінійно виражається через інші вектори цієї системи. З теореми випливає, що система лінійно залежна, ч.т.д.

Аналогічно попередньому це твердження можна довести і безпосередньо визначення лінійно залежної системи. Тоді ця система представляє нульовий вектор нетривіально

звідки випливає лінійна залежність системи.

Теорему доведено.

Слідство. Система, що складається з одного вектора, є лінійно незалежною тоді і тільки тоді, коли цей вектор ненульовий.