Доведена властивість дотичної до параболи має дуже важливе значення, так як з нього випливає, що промені, що виходять з фокусу увігнутого параболічного дзеркала, тобто такого дзеркала, поверхня якого виходить від обертання параболи навколо її осі, відбиваються паралельним пучком, а саме паралельно осі дзеркала.

Ця властивість параболічних дзеркал застосовується при влаштуванні прожекторів, у фарах будь-якого автомобіля, а також у дзеркальних телескопах. При цьому в останньому випадку, назад, промені, що йдуть від небесного світила; майже паралельно, зосереджуються біля фокусу дзеркала телескопа, і так як промені, що йдуть від різних точок світила, набагато непаралельні, вони зосереджуються біля фокусу в різних точках, так що у фокусу виходить зображення світила, тим більше, чим більше фокусна відстань параболи. Це зображення вже у мікроскоп (окуляр телескопа). Строго кажучи, тільки промені, строго паралельні осі дзеркала, збираються в одну точку (у фокус), паралельні промені, що йдуть, під кутом до осі дзеркала, збираються лише майже в одну точку, причому, чим далі ця точка від фокусу, тим зображення більш розмите. Його обставина обмежує «поле зору телескопа».

Нехай внутрішня поверхня його - дзеркальна поверхня-це параболічне дзеркало висвітлюється пучком променів світла паралельно осі ОУ. Усі промені, паралельні осі ОУ, після відбиття перетнуться в одній точці осі ОУ (фокус F). На цій властивості засновано влаштування параболічних телескопів. Промені від далеких зірок приходять до нас у вигляді паралельного пучка. Виготовивши параболічний телескоп і помістивши у його фокус фотопластинку, ми отримуємо можливість посилити світловий сигнал, що йде від зірки.

Цей принцип лежить в основі створення параболічної антени, що дозволяє посилити радіосигнали. Якщо ж помістити у фокусі параболічного дзеркала джерело світла, то після відбиття від поверхні дзеркала промені, що йдуть від цього джерела, не розсіюватимуться, а зберуться у вузький пучок паралельно осі дзеркала. Цей факт знаходить застосування при виготовленні прожекторів та ліхтарів, різних проекторів, дзеркала яких виготовляють у формі параболоїдів.

Зазначеною вище оптичною властивістю параболічного дзеркала користуються під час створення дзеркальних телескопів, різних сонячних нагрівальних установок, і навіть прожекторів. Помістивши у фокусі параболічного дзеркала потужне точкове джерело світла, ми отримаємо щільний потік відбитих променів, паралельних осі дзеркала.

При обертанні параболи навколо осі виходить фігура, яку називають параболоїдом. Якщо внутрішню поверхню параболоїда зробити дзеркальною і направити на неї пучок променів, паралельних осі симетрії параболи, то відбиті промені зберуться в одній точці, яку називають фокусом. У той же час, якщо джерело світла помістити у фокусі, то відбиті від дзеркальної поверхні параболоїда промені виявляться паралельними і не розсіюються.

Перше властивість дозволяє отримати у фокусі параболоїда високу температуру. Згідно з легендою, цю властивість використовував давньогрецький вчений Архімед (287-212 рр. до н. е.). При захисті Сіракуз у війні проти римлян він побудував систему параболічних дзеркал, яка дозволила сфокусувати відбиті сонячні промені на кораблях римлян. Внаслідок цього температура у фокусах параболічних дзеркал виявилася настільки високою, що на кораблях спалахнула пожежа і вони згоріли.

Друга властивість використовується, наприклад, при виготовленні прожекторів та автомобільних фар.

Гіперболу

4. Визначення гіперболи дає нам простий спосіб побудови її безперервним рухом: візьмемо дві нитки, різниця довжин яких дорівнює 2а, і прикріпимо по одному кінці цих ниток до точок F" і F. Якщо тримати рукою два інших кінця з'єднаними разом і водити вздовж ниток вістрям олівця, дбаючи про те, щоб нитки були притиснуті до паперу, натягнуті і стикалися, починаючи від вістрі, що чортить, до місця з'єднання кінців, то вістря накреслить частину однієї з гілок гіперболи (тим більшу, ніж довше взяті нитки) (Мал.).

Змінивши ролями точки F" і F, отримаємо частину іншої гілки.

Наприклад,на тему «Криві 2-го порядку» можна розглянути таке завдання:

Завдання.Дві залізничні станції А та В знаходяться на відстані s км одна від одної. У будь-яку точку М вантаж можна доставити зі станції А або прямим автотранспортом (перший шлях), або залізницею до станції В, а звідти автомобілями (другий шлях). Залізничний тариф (ціна перевезення 1 т на 1 км) становить m рублів, тариф автотранспорту - n рублів, n> m, тариф навантаження-розвантаження - k рублів. Визначити область впливу залізничної станції, тобто, ту область, у яку дешевше доставити вантаж зі станції А змішаним шляхом - залізницею, та був автотранспортом, тобто. визначити геометричне місце точок, для яких другий шлях вигідніший за перший.

Рішення.Позначимо AM = r, BM = г, тоді вартість доставки (перевезення та навантаження-розвантаження) по дорозі AM дорівнює nr + k, а вартість доставки по дорозі АВМ дорівнює ms + 2k + nг. Тоді точки М, котрим обидві вартості рівні, задовольняють рівнянню nr + k = ms+2k+nг , чи

ms + k = nr - nг

r - г = = const > О,

отже, лінія, що обмежує область - одна з гілок гіперболи | r – г | = Const. Для всіх точок площини, що лежать по один бік з точкою А від цієї гіперболи, вигідніший перший шлях, а для точок, що лежать по інший бік, - другий, тому гілка гіперболи окреслює область впливу станції.

Варіант цієї задачі.

Дві залізничні станції А та В знаходяться на відстані l км одна від одної. У точку М вантаж можна доставити зі станції А або прямою автотранспортом, або залізницею до станції, а звідти автомобілями (рис. 49). При цьому залізничний тариф (ціна перевезення 1 т на 1 км) становить m рублів, навантаження – розвантаження обходиться в k рублів (за 1 т) та тариф автотранспорту – n рублів (n > m). Визначимо так звану зону впливу залізничної станції В, тобто ту зону, в яку дешевше доставляти вантаж з А змішаним шляхом: залізницею і потім автотранспортом.

Рішення.Вартість доставки 1 т вантажу по дорозі AM становить r n, де r = AM, а по дорозі AОМ вона дорівнюватиме 1m + k + r n. Нам треба вирішити подвійну нерівність r n 1m+ k+ r n і визначити, як розподіляться точки на площині (х, у), до яких дешевше доставляти вантаж або першим, або другим шляхом.

Знайдемо рівняння лінії, що утворює кордон між цими двома зонами, тобто геометричне місце точок, для яких обидва шляхи «рівно вигідні»:

r n = 1m+ k+ r n

З цієї умови отримуємо r – r = = const.

Отже лінія розділу гіпербола. Для всіх зовнішніх точок цієї гіперболи вигідніший перший шлях, а для внутрішніх - другий. Тому гіпербола окреслить зону впливу станції В. Друга гілка гіперболи окреслить зону впливу станції А (вантаж доставляється зі станції В). Знайдемо параметри нашої гіперболи. Її велика вісь 2а = , а відстань між фокусами (якими є станції А і В) у разі 2с = l.

Таким чином, умова можливості цього завдання, що визначається співвідношенням a< с, будет

Це завдання пов'язує абстрактне геометричне поняття гіперболи з транспортно-економічним завданням.

Шукане геометричне місце точок є безліч точок, що лежать усередині правої гілки гіперболи, що містить точку.

6. У курсі « Сільгоспмашинважливими експлуатаційними характеристиками працюючого на схилі трактора, що показують його стійкість, є кут поздовжнього нахилу та кут поперечного крену.

Розглянемо для простоти колісний трактор. Поверхню, де працює трактор (принаймні, її досить малу частина), вважатимуться площиною (площина руху). Поздовжньою віссю трактора називається проекція прямої, що з'єднує середини передньої та задньої осі, на площину руху. Кутом поперечного крену називається кут, утворений з горизонтальною площиною прямої, перпендикулярної до поздовжньої осі і лежачої в площині руху.

При вивченні в курсі математики теми «Прямі та площини у просторі» розглядаємо завдання:

а) Знайти кут поздовжнього нахилу трактора, що рухається схилом, якщо відомий кут підйому схилу і кут відхилення траєкторії трактора від поздовжнього напрямку.

б) Граничним кутом поперечного крену трактора називається найбільший допустимий кут нахилу схилу, поперек якого може стояти трактор, не перекидаючись. Які параметри трактора достатньо знати для визначення граничного кута поперечного нахилу; як знайти цей
кут?

7. Наявність прямолінійних утворюючих використовується у будівельній техніці. Основоположником практичного застосування цього є відомий російський інженер Володимир Григорович Шухов (1853-1939). В. Г. Шухов здійснив конструкції щогл, веж і опор, складених з металевих балок, що розташовуються по прямолінійних утворюючих однопорожнинного гіперболоїду обертання.Висока міцність таких конструкцій у поєднанні з легкістю, невисокою вартістю виготовлення та витонченістю забезпечує широке поширення їх у сучасному будівництві.

8. ЗАКОНИ РУХУ ВІЛЬНОГО ТВЕРДОГО ТІЛА

Для вільного тіла одно можливі всі види руху, але це ще не означає, що рух вільного тіла є безладним, не підпорядковується ніяким законам; навпаки, поступальний рух твердого тіла незалежно від його зовнішньої форми соромиться законом про центр маси і зводиться до руху однієї точки, а обертальний-так званими головними осями інерції або еліпсоїдом інерції. Так, палиця, кинута у вільний простір, або зерно, що вилітає із сортування і т. д., рухається поступально, як одна точка (центр мас), а водночас обертається біля центру маси. Загалом при поступальному русі будь-яке тверде тіло незалежно від його форми або складну машину можна замінити однією точкою (центром маси), а при обертальному – еліпсоїдом інерції. , радіуси-вектори якого рівні - де / - момент інерції цього тіла щодо осей, що проходять через центр еліпсоїда.

Якщо момент інерції тіла під час обертання чомусь змінюється, відповідно змінюватиметься і швидкість обертання. Наприклад, під час стрибка через голову акробати стискаються в грудку, через що момент інерції тіла зменшується, а швидкість обертання збільшується, що й потрібно для успіху стрибка. Так само, послизнувшись, люди витягують руки в сторони, через що момент інерції збільшується, а швидкість обертання зменшується. Так само змінним є момент інерції граблі жнеї біля вертикальної осі під час її повороту біля горизонтальної осі.

Еліпсоїд- Поверхня в тривимірному просторі, отримана деформацією сфери вздовж трьох взаємно перпендикулярних осей. Канонічне рівняння еліпсоїда в декартових координатах, що збігаються з осями деформації еліпсоїда: .

Величини a, b, c називають півосями еліпсоїда. Також еліпсоїдом називають тіло, обмежене поверхнею еліпсоїда. Еліпсоїд є однією з можливих форм поверхонь другого порядку.

Якщо пара півосей має однакову довжину, еліпсоїд може бути отриманий обертанням еліпса навколо однієї з його осей. Такий еліпсоїд називають еліпсоїдом обертання або сфероїдом.

Еліпсоід точніше, ніж сфера, відображає ідеалізовану поверхню Землі.

Об'єм еліпсоїда:.

Площа поверхні еліпсоїда обертання:

Гіперболоїд- це вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в декартових координатах рівнянням - (однопорожнинний гіперболоїд), де a і b - дійсні півосі, а c - уявна піввісь; або - (двопорожнинний гіперболоїд), де a і b - уявні півосі, а c - дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня називається гіперболоїдом обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання може бути отриманий обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двопорожнинний - навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок A і B постійний: | AP − BP | = Const. У цьому випадку A та B називаються фокусами гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійною поверхнею; якщо він є гіперболоїдом обертання, то він може бути отриманий обертанням прямої навколо іншої прямої, що схрещується з нею.

Параболоїд― тип поверхні другого порядку. Параболоїд може бути охарактеризований як незамкнута нецентральна поверхня другого порядку (тобто не має центру симетрії).

Канонічні рівняння параболоїда в декартових координатах:

· якщо a та b одного знака, то параболоїд називається еліптичним.

· якщо a і b різного знака, параболоїд називається гіперболічним.

· якщо один із коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд називається параболічним циліндром.

ü - еліптичний параболоїд, де a та b одного знака. Поверхня описується сімейством паралельних парабол з гілками, спрямованими нагору, вершини яких описують параболу, з гілками, також спрямованими нагору. Якщо a = b то еліптичний параболоїд є поверхнею обертання, утворену обертанням параболи навколо вертикальної осі, що проходить через вершину даної параболи.

ü – гіперболічний параболоїд.

Еліпсоїдом називається поверхня, рівняння якої в деякій прямокутній декартовій системі координат Oxyz має вигляд де а ^ b ^ > 0. Для того, щоб з'ясувати, як виглядає еліпсоїд, надійдемо таким чином. Візьмемо на площині Oxz еліпс і обертатимемо його навколо осі Oz (рис. 46). Рис.46 Отримана поверхня Еліпсоїд. Гіперболоїди. Параболоїди. Циліндри та конус другого порядку. - еліпсоїд обертання - вже дає уявлення про те, як влаштований еліпсоїд загального вигляду. Щоб отримати його рівняння, достатньо рівномсрносжать еліпсоїд обертання. вздовж осі Оу з коефіцієнтом J ^ !,т.с. замінити в його рівнянні у Jt/5). 10.2. Гіперболоїди Повертаючи гіперболу fl i! = а2 с2 1 навколо осі Oz (рис. 47), отримаємо поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання. Його рівняння має вигляд *2+у; виходить тим самим способом, що й у разі еліпсоїда обертання. 5) Еліпсоїд рішення можна отримати рівномірним стиском сфери +yJ + *J = л" вздовж осі Oz з коефіцієнтом ~ ^ 1. Шляхом рівномірного стиснення цієї поверхні вздовж осі Оу з коефіцієнтом 2 ^ 1 отримаємо однопорожнинний гіперболоїд загального виду. Його рівняння Еліпсоїд Гі. . Параболоїди. Циліндри і конус другого порядку. Оу з коефіцієнтом 2^1 приходимо до двопорожнинного гіперболоїда загального виду. Заміною у на -у отримуємо його рівняння. Вращення уздовж осі Оу з коефіцієнтом yj * ^ 1 отримуємо еліптичний параболоїд. 50. 10.4. Гіперболічний параболоїд Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, рівняння якої в деякій прямокутній декартовій системі координат Oxyz має вигляд де р > 0, q > 0. Вигляд цієї поверхні визначимо, застосувавши так званий метод перерізів, який полягає в наступному: паралельно координатним площинам проводяться площини, досліджувану поверхню, і зміни зміни виникаючих у результаті плоских кривих робиться висновок про структуру самої поверхні. Почнемо з перерізів площинами z = h = const, паралельними координатній площині Оху. При h > 0 отримуємо гіперболи при h - пов'язані гіперболи а при - пару псрссскающіхся прямих Зауважимо, що ці прямі є асимптотами для всіх гіпербол (тобто при будь-якому h Ф 0). Спроектуємо одержувані криві на площину Оху. Отримаємо наступну картину (рис. 51). Вже цей розгляд дозволяє зробити висновок про сідлоподібну будову поверхні (рис. 52). Рис.51 Рис.52 Розглянемо тепер перерізи площинами Замінюючи в рівнянні поверхні на Л, отримуємо рівняння парабол (рис.53). Аналогічна картина виникає при розсіченні заданої поверхні площинами. У цьому випадку також виходять параболи гілки яких спрямовані вниз (а не вгору як для перерізу площинами у = h) (рис. 54). Зауваження. Методом перерізів можна розібратися у будові та всіх раніше розглянутих поверхонь другого порядку. Однак шляхом обертання кривих другого порядку н наступного рівномірного стиску до розуміння їхньої структури можна прийти простіше і значно швидше. Поверхні другого порядку, що залишилися, по суті вже розглянуті раніше. Це циліндри: еліптинескій і гіперболічний Рис. 56 і параболічний і конус другого порядку уявлення про яке можна отримати шляхом обертання пари перетинаються прямих навколо осі Oz і подальшого стиснення, або методом перерізів. Звичайно, в обох випадках отримаємо, що поверхня, що досліджується, має вигляд, вказаний на рис. 59. а) обчисліть координати фокусів; , . б) обчисліть ексцентриситет; . в) напишіть рівняння асимптот та директрис; г) напишіть рівняння сполученої гіперболи та обчисліть її ексцентриситет. 2. Складіть канонічне рівняння параболи, якщо відстань від фокусу до вершини дорівнює 3. 3. Напишіть рівняння, що стосується еліпса ^ + = 1 вето точці М(4, 3). 4. Визначте вигляд та розташування кривої, заданої рівнянням: Відповіді еліпс, велика вісь паралельна Еліпсоїд. Гіперболоїди. Параболоїди. Циліндри та конус другого порядку. осі Ох; б) гіпербола центр О (-1,2), кутовий коефіцієнт вешаної осі Х дорівнює 3; в) парабола У2 = , вершина (3, 2), вектор осі, спрямований у бік увігнутості параболи, дорівнює (-2, -1); г) гіпербола з центром, асимптоти паралельні осям координат; д) пара прямих, що перетинаються е) пара паралельних прямих

Висота параболоїда може бути визначена за формулою

Об'єм параболоїда, що стосується дна, дорівнює половині об'єму циліндра з радіусом основи R і висотою Н, такий же об'єм займає простір W' під параболоїдом (рис.4.5а)

Рис.4.5. Співвідношення обсягів у параболоїді, що стосується дна.

Wп-об'єм параболоїда, W' - об'єм під параболоїдом, Hп - висота параболоїда

Рис.4.6. Співвідношення об'ємів у параболоїді, що стосується країв циліндра Hп - висота параболоїда., R - радіус судини, Wж-об'єм під висотою рідини в посудині до початку обертання, z 0 - положення вершини параболоїда, Н - висота рідини в посудині до початку обертання.

На рис.4.6а рівень рідини в циліндрі до початку обертання Н. Об'єм рідини Wж до і після обертання зберігається і дорівнює сумі об'єму Wц циліндра з висотою z 0 плюс об'єм рідини під параболоїдом, який дорівнює об'єму параболоїда Wп з висотою Нп

Якщо параболоїд стосується верхнього краю циліндра, висота рідини в циліндрі до початку обертання Н ділить висоту параболоїда Нп на дві рівні частини, нижня точка (вершина) параболоїда розташована по відношенню до основи (рис.4.6в)

Крім того, висота Н ділить параболоїд на дві частини (рис.4.6в), обсяги яких дорівнюють W 2 = W 1 . З рівності обсягів параболічного кільця W 2 і параболічної чашки W 1 , рис.4.6в

При перетині поверхнею параболоїда днища судини (рис.4.7) W 1 = W 2 = 0,5 W кільця

Рис.4.7 Об'єми та висоти при перетині поверхнею параболоїда днища циліндра

Висоти на рис.4.6

обсяги на рис.4.6.

Розташування вільної поверхні в посудині

Рис.4.8. Три випадки відносного спокою при обертанні

1. Якщо посудина відкрита, Po=Ратм (рис.4.8а). Вершина параболоїда при обертанні опускається нижче за початковий рівень-Н, а краї піднімаються над початковим рівнем, положення вершини

2. Якщо посудина заповнена повністю, прикрита кришкою, немає вільної поверхні, перебуває під надлишковим тиском Ро>Ратм, до обертання поверхню (П.П.), де Ро=Ратм перебуватиме над рівнем кришки на висоті h 0и =М/ ρg, H 1 =Н+ М/ρg.

3. Якщо посудина заповнена повністю, знаходиться під вакуумом Ро<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Обертання з великою кутовою швидкістю (рис.4.9)

При обертанні судини з рідиною з великою кутовою швидкістю силою тяжіння можна знехтувати порівняно з відцентровими силами. Закон зміни тиску в рідині можна отримати з формули

(4.22),

Поверхні рівня утворюють циліндри із загальною віссю, навколо якої обертається судина. Якщо посудина перед початком обертання не повністю заповнена, тиск Р 0 діятиме за радіусом r = r 0 замість виразу (4.22) будемо мати

в якому приймаємо g(z 0 - z) = 0,

Мал. 4.9 Розташування поверхонь обертання за відсутності сили тяжіння.

Радіус внутрішньої поверхні при відомих H і h

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд при a=b=1

Еліптичний параболоїд- Поверхня, що описується функцією виду

,

де aі bодин знак. Поверхня описується сімейством паралельних парабол з гілками, спрямованими нагору, вершини яких описують параболу, з гілками, також спрямованими нагору.

Якщо a = bто еліптичний параболоїд є поверхнею обертання , утворену обертанням параболи навколо вертикальної осі, що проходить через вершину даної параболи.

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд при a=b=1

Гіперболічний параболоїд(називається в будівництві «гіпар») - сідлоподібна поверхня, що описується в прямокутній системі координат рівнянням виду

.

З другого уявлення видно, що гіперболічний параболоїд є лінійною поверхнею.

Поверхня може бути утворена рухом параболи, гілки якої спрямовані вниз, параболою, гілки якої спрямовані вгору, за умови, що перша парабола стикається з другою своєю вершиною.

Параболоїди у світі

У техніці

У мистецтві

У літературі

Пристрій, описаний у Гіперболоїд інженера Гаріна мав бути параболоїдом.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Елон Менахем
• Елтанг

Дивитись що таке "Еліптичний параболоїд" в інших словниках:

ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД Великий Енциклопедичний словник

еліптичний параболоїд- один із двох типів параболоїдів. * * * ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД, один із двох типів параболоїдів (див. ПАРАБОЛОЇДИ) … Енциклопедичний словник

Еліптичний параболоїд- один з двох видів параболоїдів. Велика радянська енциклопедія

ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД- Незамкнута поверхня другого порядку. Канонич. рівняння Е. п. має вигляд Е. п. розташований по одну сторону від площини Оху (див. рис.). Перерізи Е. п. площинами, паралельними площині Оху, є еліпсами з рівним ексцентриситетом (якщо р... Математична енциклопедія

ЕЛЛІПТИЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД- один із двох типів параболоїдів. Природознавство. Енциклопедичний словник

ПАРАБОЛОЇД- (грец., від parabole парабола, і eidos подібність). Тіло, що утворюється параболою, що обертається. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ПАРАБОЛОЇД геометричне тіло, що утворилося від обертання параболи, так… Словник іноземних слів російської мови

ПАРАБОЛОЇД- ПАРАБОЛОЇД, параболоїда, чоловік. (Див. парабола) (мат.). Поверхня другого порядку не має центру. Параболоїд обертання (утворюється обертанням параболи навколо її осі). Еліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд. Тлумачний словник Ушакова. Тлумачний словник Ушакова

ПАРАБОЛОЇД- ПАРАБОЛОЇД, поверхня, що отримується при русі параболи, вершина якої ковзає по іншій, нерухомій параболі (з віссю симетрії, паралельної осі параболи, що рухається), тоді як її площина, зміщуючись паралельно самій собі, залишається ... Сучасна енциклопедія

Параболоїд- ― тип поверхні другого порядку. Параболоїд може бути охарактеризований як незамкнута нецентральна поверхня другого порядку (тобто не має центру симетрії). Канонічні рівняння параболоїда в декартових координатах: якщо і одного… … Вікіпедія

ПАРАБОЛОЇД- Незамкнена нецентральна поверхня другого порядку. Канонич. рівняння П.: еліптичний параболоїд (при р = q називається П. обертання) та гіперболічний параболоїд. А. Б. Іванов … Математична енциклопедія