Серед фундаментальних постійних постійна Больцмана kзаймає особливе місце. Ще в 1899 р. М. Планк пропонував наступні чотири числових константи як фундаментальні для побудови єдиної фізики: швидкість світла c, квант дії h, гравітаційну постійну Gта постійну Больцмана k. Серед цих констант k посідає особливе місце. Вона не визначає елементарних фізичних процесів і не входить до основних принципів динаміки, але встановлює зв'язок між мікроскопічними динамічними явищами та макроскопічними характеристиками стану частинок. Вона ж входить у фундаментальний закон природи, що пов'язує ентропію системи Sз термодинамічною ймовірністю її стану W:

S=klnW (формула Больцмана)

і визначальний спрямованість фізичних процесів у природі. p align="justify"> Особливу увагу слід звернути на те, що поява постійної Больцмана в тій чи іншій формулі класичної фізики щоразу цілком виразно вказує на статистичний характер описуваного нею явища. Розуміння фізичної сутності постійної Больцмана вимагає розкриття величезних пластів фізики – статистики та термодинаміки, теорії еволюції та космогонії.

Дослідження Л. Больцмана

Починаючи з 1866 р. одна за одною виходять у світ роботи австрійського теоретика Л. Больцмана. Вони статистична теорія отримує настільки солідне обгрунтування, що перетворюється на справжню науку про фізичні властивості колективів частинок.

Розподіл отримано Максвеллом для найпростішого випадку одноатомного ідеального газу. У 1868 р. Больцман показує, як і багатоатомні гази у стані рівноваги також описуватимуться розподілом Максвелла.

Больцман розвиває у працях Клаузіуса уявлення, що газові молекули не можна розглядати як окремі матеріальні точки. У багатоатомних молекул є обертання молекули як цілого і коливання складових її атомів. Він вводить у розгляд число ступенів свободи молекул як число «змінних, необхідних визначення становища всіх складових частин молекули у просторі та його становища друг щодо друга» і показує, що з даних експерименту з теплоємності газів слід рівномірний розподіл енергії між різними ступенями свободи. На кожний ступінь свободи припадає та сама енергія

Больцмана безпосередньо пов'язав характеристики мікросвіту з характеристиками макросвіту. Ось ключова формула, що встановлює це співвідношення:

1/2 mv2 = kT

де mі v- відповідно маса та середня швидкість руху молекул газу, Т- температура газу (за абсолютною шкалою Кельвіна), а k- Постійна Больцмана. Це рівняння прокладає місток між двома світами, пов'язуючи характеристики атомного рівня (у лівій частині) з об'ємними властивостями (у правій частині), які можна виміряти за допомогою людських приладів, у цьому випадку термометрів. Цей зв'язок забезпечує постійна Больцмана k, що дорівнює 1,38 x 10-23 Дж/К.

Закінчуючи розмову про постійну Больцмана, хочеться ще раз наголосити на її фундаментальному значенні в науці. Вона містить величезні пласти фізики - атомістика і молекулярно-кінетична теорія будови речовини, статистична теорія і сутність теплових процесів. Вивчення незворотності теплових процесів розкрило природу фізичної еволюції, яка сконцентрувалася у формулі Больцмана S = klnW.Слід наголосити, що положення, згідно з яким замкнута система рано чи пізно прийде в стан термодинамічної рівноваги, справедливе лише для ізольованих систем та систем, що перебувають у стаціонарних зовнішніх умовах. У нашому Всесвіті безперервно відбуваються процеси, результатом яких є зміна її просторових властивостей. Нестаціонарність Всесвіту неминуче призводить до відсутності у ній статистичної рівноваги.

Як точна кількісна наука, фізика не обходиться без набору дуже важливих постійних, що входять як універсальні коефіцієнти рівняння, що встановлюють зв'язок між тими чи іншими величинами. Це фундаментальні константи, завдяки яким подібні співвідношення набувають інваріантності та здатні пояснювати поведінку фізичних систем на різному масштабі.

До таких параметрів, що характеризують властиві матерії нашого Всесвіту властивості, належить і постійна Больцмана - величина, що входить до ряду найважливіших рівнянь. Однак перш ніж звертатися до розгляду її особливостей і значення, не можна не сказати кількох слів про вченого, ім'я якого вона носить.

Людвіг Больцман: наукові заслуги

Один з найбільших вчених XIX століття, австрієць Людвіг Больцман (1844-1906) зробив істотний внесок у розвиток молекулярно-кінетичної теорії, став одним із творців статистичної механіки. Був автором ергодичної гіпотези, статистичного методу описі ідеального газу, основного рівняння фізичної кінетики. Багато працював над питаннями термодинаміки (H-теорема Больцмана, статистичний принцип другого початку термодинаміки), теорії випромінювання (закон Стефана - Больцмана). Також порушував у своїх роботах деякі питання електродинаміки, оптики та інших розділів фізики. Ім'я його увічнено у двох фізичних константах, про які піде нижче.

Людвіг Больцман був переконаним та послідовним прихильником теорії атомно-молекулярної будови речовини. Протягом багатьох років він змушений був боротися з нерозумінням і неприйняттям цих ідей у ​​науковому співтоваристві того часу, коли багато фізиків вважали атоми та молекули зайвою абстракцією, у кращому разі умовним прийомом, який служить для зручності розрахунків. Болісно і нападки консервативно налаштованих колег спровокували у Больцмана важку депресію, не винісши якої, видатний учений наклав на себе руки. На могильному пам'ятнику, над погруддям Больцмана, як знак визнання його заслуг, вибито рівняння S = k∙logW – один із результатів його плідної наукової діяльності. Константа k у цьому рівнянні – постійна Больцмана.

Енергія молекул та температура речовини

Поняття температури служить характеристики ступеня нагрітості тієї чи іншої тіла. У фізиці застосовується абсолютна шкала температур, в основу якої покладено висновок молекулярно-кінетичної теорії про температуру як міру, що відображає величину енергії теплового руху частинок речовини (мається на увазі, звичайно, середня кінетична енергія безлічі частинок).

Як прийнятий у системі СІ джоуль, і ерг, використовуваний у системі СГС, - занадто великі одиниці висловлювання енергії молекул, та й було дуже важко вимірювати температуру подібним чином. Зручною одиницею температури є градус, а вимір проводиться опосередковано, через реєстрацію макроскопічних характеристик речовини, що змінюються - наприклад, обсягу.

Як співвідносяться енергія та температура

Для розрахунку станів реальної речовини при температурах і тисках, близьких до нормальних, з успіхом використовується модель ідеального газу, тобто такого, розмір молекули якого набагато менше обсягу, який займає деяка кількість газу, а відстань між частинками значно перевищує радіус їх взаємодії. Виходячи з рівнянь кінетичної теорії, середня енергія таких частинок визначається як E ср = 3/2∙kT, де E – кінетична енергія, T – температура, а 3/2∙k – коефіцієнт пропорційності, введений Больцманом. Число 3 тут характеризує кількість ступенів свободи поступального руху молекул у трьох просторових вимірах.

Величина k, яку згодом на честь австрійського фізика назвали константою Больцмана, показує, яку частину джоуля чи ерга містить один градус. Іншими словами, її значення визначає, наскільки статистично збільшується, в середньому, енергія теплового хаотичного руху однієї частинки одноатомного ідеального газу при підвищенні температури на 1 градус.

У скільки разів градус менше джоуля

Чисельне значення цієї константи можна отримати різними способами, наприклад, через вимір абсолютної температури та тиску, використовуючи рівняння ідеального газу, або із застосуванням моделі броунівського руху. Теоретичне виведення даної величини на рівні знань неможливо.

Постійна Больцмана дорівнює 1,38×10 -23 Дж/К (тут К – кельвін, градус абсолютної температурної шкали). Для колективу частинок в 1 молі ідеального газу (22,4 літра) коефіцієнт, що зв'язує енергію з температурою (універсальна газова постійна), виходить множенням константи Больцмана на число Авогадро (кількість молекул у молі): R = kN A і становить 8,31 Дж/(моль∙кельвін). Однак, на відміну від останньої, константа Больцмана має більш універсальний характер, оскільки входить і в інші важливі співвідношення, а також сама служить для визначення ще однієї фізичної постійної.

Статистичне розподілення енергій молекул

Оскільки стану речовини макроскопічного порядку є результатом поведінки великої сукупності частинок, вони описуються з допомогою статистичних методів. До останніх відноситься і з'ясування того, як розподіляються енергетичні параметри молекул газу:

• Максвелловське розподіл кінетичних енергій (і швидкостей). Воно показує, що в газі, що перебуває в стані рівноваги, більшість молекул має швидкості, близькі до певної найбільш ймовірної швидкості v = √(2kT/m 0), де m 0 - маса молекули.
• Больцманівський розподіл потенційних енергій для газів, що у полі будь-яких сил, наприклад гравітації Землі. Воно залежить від співвідношення двох факторів: тяжіння до Землі та хаотичного теплового руху частинок газу. Через війну що нижча потенційна енергія молекул (ближче поверхні планети), то вище їх концентрація.

Обидва статистичні методи об'єднуються в розподіл Максвелла - Больцмана, що містить експоненційний множник e - E/kT , де E - сума кінетичної та потенційної енергій, а kT - вже відома нам середня енергія теплового руху, керована постійною Больцманом.

Константа k та ентропія

Загалом ентропію можна охарактеризувати як міру незворотності термодинамічного процесу. Ця незворотність пов'язана з розсіюванням – дисипацією – енергії. За статистичного підходу, запропонованого Больцманом, ентропія є функцією кількості способів, якими може бути реалізована фізична система без зміни її стану: S = k∙lnW.

Тут постійна k визначає масштаб зростання ентропії зі збільшенням цієї кількості (W) варіантів реалізації системи, або мікростанів. Макс Планк, який привів цю формулу до сучасного вигляду, і запропонував дати константі до імені Больцмана.

Закон випромінювання Стефана – Больцмана

Фізичний закон, що встановлює, як енергетична світність (потужність випромінювання на одиницю поверхні) абсолютно чорного тіла залежить від його температури, має вигляд j = σT 4 , тобто тіло випромінює пропорційно до четвертого ступеня своєї температури. Цей закон використовується, наприклад, в астрофізиці, так як випромінювання зірок близьке за характеристиками до чорного.

У зазначеному співвідношенні присутня ще одна константа, яка також управляє масштабом явища. Це стала Стефана - Больцмана σ, яка дорівнює приблизно 5,67 × 10 -8 Вт/(м 2 ∙К 4). Розмірність її включає кельвіни – отже, ясно, що й тут бере участь константа Больцмана k. Справді, величина σ визначається як (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), де c – швидкість світла та h – постійна Планка. Так що больцманівська константа, поєднуючись з іншими світовими постійними, утворює величину, яка знов-таки пов'язує між собою енергію (потужність) і температуру - в даному випадку стосовно випромінювання.

Фізична сутність константи Больцмана

Вище зазначалося, що стала Больцмана належить до так званих фундаментальних констант. Справа не тільки в тому, що вона дозволяє встановити зв'язок характеристик мікроскопічних явищ молекулярного рівня з параметрами процесів, що спостерігаються в макросвіті. І не тільки в тому, що ця константа входить до ряду важливих рівнянь.

В даний час невідомо, чи існує якийсь фізичний принцип, на основі якого він міг би бути виведений теоретично. Іншими словами, ні з чого не випливає, що значення цієї константи має бути саме таким. Ми могли б як міру відповідності кінетичної енергії частинок використовувати інші величини та інші одиниці замість градусів, тоді чисельне значення константи було б іншим, але вона залишилася постійною величиною. Поряд з іншими фундаментальними величинами такого роду - граничною швидкістю c, постійною Планкою h, елементарним зарядом e, гравітаційною постійною G, - наука приймає константу Больцмана як даність нашого світу і використовує для теоретичного опису фізичних процесів, що протікають в ньому.

Для постійної, пов'язаної з енергією випромінювання чорного тіла, дивись Постійна Стефана-Больцмана

Постійна Больцмана (kабо k B) - фізична постійна, що визначає зв'язок між температурою речовини та енергією теплового руху частинок цієї речовини. Названа на честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, який зробив великий внесок у статистичну фізику, в якій ця стала грає ключову роль. Її експериментальне значення в системі СІ дорівнює

У таблиці останні цифри у круглих дужках вказують стандартну похибку постійного значення. У принципі, постійна Больцмана може бути отримана з визначення абсолютної температури та інших постійних фізичних. Однак точне обчислення постійної Больцмана за допомогою основних принципів надто складне та нездійсненне за сучасного рівня знань.

Експериментально постійну Больцмана можна визначити за допомогою закону теплового випромінювання Планка, що описує розподіл енергії у спектрі рівноважного випромінювання за певної температури випромінюючого тіла, а також іншими методами.

Існує зв'язок між універсальною газовою постійною і числом Авогадро, з якої випливає значення постійної Больцмана:

Розмірність постійної Больцмана така сама, як і в ентропії.

Історія

У 1877 р. Больцман вперше пов'язав між собою ентропію та ймовірність, проте досить точне значення постійної kяк коефіцієнта зв'язку у формулі для ентропії виникло лише у працях М. Планка. При виведенні закону випромінювання чорного тіла Планк у 1900–1901 роках. для постійної Больцмана знайшов значення 1,346 10 −23 Дж/K, майже 2,5% менше прийнятого нині.

До 1900 р. співвідношення, які зараз записуються з постійною Больцмана, писалися за допомогою газової постійної R, а замість середньої енергії однією молекулу використовувалася загальна енергія речовини. Лаконічна формула виду S = k log Wна бюсті Больцмана стала такою завдяки Планку. У своїй нобелівській лекції 1920 р. Планк писав:

Ця константа часто називається постійною Больцмана, хоча, наскільки знаю, сам Больцман будь-коли вводив її - дивний стан справ, у тому, що у висловлюваннях Больцмана був про точному вимірі цієї константи.

Така ситуація може бути пояснена проведенням на той час наукових дебатів щодо з'ясування сутності атомної будови речовини. У другій половині 19 століття існували значні розбіжності щодо того, чи є атоми і молекули реальними, чи лише зручний спосіб опису явищ. Не було єдності і в тому, чи є "хімічні молекули", що розрізняються за їхньою атомною масою, тими самими молекулами, що і в кінетичній теорії. Далі в нобелівській лекції Планка можна знайти таке:

"Ніщо не може краще продемонструвати позитивну і прискорювану швидкість прогресу, ніж мистецтво експерименту за останні двадцять років, коли було відкрито відразу безліч методів вимірювання маси молекул практично з тією ж точністю, що і вимірювання маси якоїсь планети".

Рівняння стану ідеального газу

Для ідеального газу справедливий об'єднаний газовий закон, який зв'язує тиск P, обсяг V, кількість речовини nв молях, газову постійну Rта абсолютну температуру T:

У цьому рівністі можна зробити заміну. Тоді газовий закон виражатиметься через постійну Больцмана та кількість молекул Nв обсязі газу V:

Зв'язок між температурою та енергією

В однорідному ідеальному газі, що знаходиться за абсолютної температури T, енергія, що припадає на кожну поступальну міру свободи, дорівнює, як випливає з розподілу Максвелла, kT/ 2 . За кімнатної температури (≈ 300 K) ця енергія становить Дж, або 0,013 еВ.

Співвідношення газової термодинаміки

В одноатомному ідеальному газі кожен атом має три ступені свободи, що відповідають трьом просторовим осям, що означає, що на кожен атом припадає енергія 3 kT/ 2 . Це добре узгоджується з експериментальними даними. Знаючи теплову енергію, можна обчислити середньоквадратичну швидкість атомів, яка обернено пропорційна квадратному кореню з атомної маси. Середньоквадратична швидкість за кімнатної температури змінюється від 1370 м/с для гелію до 240 м/с для ксенону.

Кінетична теорія дає формулу для середнього тиску Pідеального газу:

Враховуючи, що середня кінетична енергія прямолінійного руху дорівнює:

знаходимо рівняння стану ідеального газу:

Це співвідношення непогано виконується й у молекулярних газів; однак залежність теплоємності змінюється, оскільки молекули можуть мати додаткові внутрішні ступеня свободи по відношенню до тих ступенів свободи, які пов'язані з рухом молекул у просторі. Наприклад, двоатомний газ має вже приблизно п'ять ступенів волі.

Множник Больцмана

Загалом система в рівновазі з тепловим резервуаром при температурі Tмає ймовірність pзайняти стан з енергією E, що може бути записано за допомогою відповідного експоненційного множника Больцмана:

У цьому виразі фігурує величина kTіз розмірністю енергії.

Обчислення ймовірності використовується не тільки для розрахунків у кінетичній теорії ідеальних газів, але і в інших областях, наприклад, у хімічній кінетиці в рівнянні Арреніуса.

Роль у статистичному визначенні ентропії

Основна стаття: Термодинамічна ентропія

Ентропія Sізольованої термодинамічної системи у термодинамічній рівновазі визначається через натуральний логарифм від числа різних мікростанів W, відповідних даному макроскопічному стану (наприклад, стану із заданою повною енергією E):

Коефіцієнт пропорційності kє постійним Больцманом. Це вираз, що визначає зв'язок між мікроскопічними та макроскопічними станами (через Wта ентропію Sвідповідно), висловлює центральну ідею статистичної механіки та є головним відкриттям Больцмана.

У класичній термодинаміці використовується вираз Клаузіуса для ентропії:

Таким чином, поява постійної Больцмана kможна як наслідок зв'язку між термодинамическим і статистичним визначеннями ентропії.

Ентропію можна виразити в одиницях k, що дає таке:

У таких одиницях ентропія відповідає інформаційної ентропії.

Характерна енергія kTдорівнює кількості теплоти, необхідному для збільшення ентропії Sна один нат.

Роль у фізиці напівпровідників: теплова напруга

На відміну від інших речовин, у напівпровідниках існує сильна залежність електропровідності від температури:

де множник 0 досить слабко залежить від температури в порівнянні з експонентою, E A- Енергія активації провідності. Щільність електронів провідності також експонентно залежить від температури. Для струму через напівпровідниковий p-n-перехід замість енергії активації розглядають характерну енергію даного p-n переходу за температури Tяк характерну енергію електрона в електричному полі:

де q– , а V Tє теплова напруга, що залежить від температури.

Дане співвідношення є основою для вираження постійної Больцмана в одиницях еВК -1 . При кімнатній температурі ( 300 K) значення теплової напруги близько 25,85 мілівольт 26 мВ.

У класичній теорії часто використовують формулу, за якою ефективна швидкість носіїв заряду в речовині дорівнює добутку рухливості носіїв на напруженість електричного поля. В іншій формулі щільність потоку носіїв зв'язується з коефіцієнтом дифузії Dта з градієнтом концентрації носіїв n :

Відповідно до співвідношення Ейнштейна-Смолуховського, коефіцієнт дифузії пов'язаний із рухливістю:

Постійна Больцмана kвходить також до закону Відемана-Франца, за яким відношення коефіцієнта теплопровідності до коефіцієнта електропровідності в металах пропорційно температурі та квадрату відношення постійної Больцмана до електричного заряду.

Застосування в інших областях

Для розмежування температурних областей, у яких поведінка речовини описується квантовими або класичними методами, служить температура Дебая:

де - , є гранична частота пружних коливань кристалічних ґрат, u- Швидкість звуку в твердому тілі, n- Концентрація атомів.

Больцман Людвіг (1844-1906)- Великий австрійський фізик, один із основоположників молекулярно-кінетичної теорії. У працях Больцмана молекулярно-кінетична теорія вперше постала як логічно струнка, послідовна фізична теорія. Больцман дав статистичне тлумачення другого закону термодинаміки. Їм багато зроблено у розвиток і популяризації теорії електромагнітного поля Максвелла. Борець за вдачею, Больцман пристрасно обстоював необхідність молекулярного тлумачення теплових явищ і прийняв він основну тяжкість боротьби з вченими, заперечували існування молекул.

До рівняння (4.5.3) входить відношення універсальної газової постійної R до постійної Авогадро N A . Це ставлення однаково всім речовин. Воно називається постійною Больцманом, на честь Л. Больцмана, одного із засновників молекулярно-кінетичної теорії.

Постійна Больцмана дорівнює:

(4.5.4)

Рівняння (4.5.3) з урахуванням постійної Больцмана записується так:

(4.5.5)

Фізичний сенс постійної Больцмана

Історично температура була вперше введена як термодинамічна величина і для неї була встановлена ​​одиниця виміру - градус (див. § 3.2). Після встановлення зв'язку температури із середньою кінетичною енергією молекул стало очевидним, що температуру можна визначати як середню кінетичну енергію молекул і виражати її в джоулях чи ергах, тобто замість величини Тввести величину Т*так, щоб

Визначена таким чином температура пов'язана з температурою, що виражається в градусах, таким чином:

Тому постійну Больцмана можна розглядати як величину, що зв'язує температуру, що виражається в енергетичних одиницях, із температурою, вираженою в градусах.

Залежність тиску газу від концентрації його молекул та температури

Виразивши Еіз співвідношення (4.5.5) і підставивши у формулу (4.4.10), отримаємо вираз, що показує залежність тиску газу від концентрації молекул і температури:

(4.5.6)

З формули (4.5.6) випливає, що при однакових тисках і температурах концентрація молекул у всіх газів та сама.

Звідси випливає закон Авогадро: у рівних обсягах газів при однакових температурах і тисках міститься однакове число молекул.

Середня кінетична енергія поступального руху молекул прямо пропорційна до абсолютної температури. Коефіцієнт пропорційності- постійну Больцманаk = 10 -23 Дж/К - треба запам'ятати.

§ 4.6. Розподіл максвела

У багатьох випадків знання одних середніх значень фізичних величин недостатньо. Наприклад, знання середнього зростання людей не дозволяє планувати випуск одягу різних розмірів. Потрібно знати приблизну кількість людей, зростання яких лежить у певному інтервалі. Так само важливо знати числа молекул, що мають швидкості, відмінні від середнього значення. Максвелл першим знайшов, як ці цифри можна визначати.

Імовірність випадкової події

У §4.1 ми згадували, що з описи поведінки великої сукупності молекул Дж. Максвелл запровадив поняття ймовірності.

Як неодноразово наголошувалося, у принципі неможливо простежити за зміною швидкості (або імпульсу) однієї молекули протягом великого інтервалу часу. Не можна точно визначити швидкості всіх молекул газу в даний момент часу. З макроскопічних умов, у яких перебуває газ (певний обсяг і температура), не випливають із необхідністю певні значення швидкостей молекул. Швидкість молекули можна розглядати як випадкову величину, яка в даних макроскопічних умовах може набувати різних значень, подібно до того, як при киданні гральної кістки може випасти будь-яке число очок від 1 до 6 (число граней кістки дорівнює шести). Передбачити, скільки очок випаде при даному киданні кістки, не можна. Але ймовірність того, що випаде, скажімо, п'ять очок піддається визначенню.

Що таке ймовірність настання випадкової події? Нехай зроблено дуже велику кількість Nвипробувань (N - Число кидань кістки). При цьому в N" випадках мав місце сприятливий результат випробувань (тобто випадання п'ятірки). Тоді ймовірність цієї події дорівнює відношенню числа випадків зі сприятливим результатом до повного числа випробувань за умови, що це число скільки завгодно велике:

(4.6.1)

Для симетричної кістки ймовірність будь-якого обраного числа очок від 1 до 6 дорівнює.

Ми, що на тлі безлічі випадкових подій виявляється певна кількісна закономірність, з'являється число. Це число – ймовірність – дозволяє обчислювати середні значення. Так, якщо зробити 300 кидань кістки, то середня кількість випадань п'ятірки, як це випливає з формули (4.6.1), дорівнюватиме: 300 ·= 50, причому абсолютно байдуже, кидати 300 разів ту саму кістку або одночасно 300 однакових кісток .

Безсумнівно, що поведінка молекул газу в посудині набагато складніша за рух кинутої гральної кістки. Але й тут можна сподіватися виявити певні кількісні закономірності, що дозволяють обчислювати статистичні середні, якщо ставити завдання так само, як у теорії ігор, а не як у класичній механіці. Потрібно відмовитися від нерозв'язної задачі визначення точного значення швидкості молекули в даний момент і спробувати знайти ймовірність того, що швидкість має певне значення.