Теорема про зміну кількості руху точки

Оскільки маса точки постійна, та її прискорення то рівняння, що виражає основний закон динаміки, можна у вигляді

Рівняння висловлює одночасно теорему про зміну кількості руху точки у диференційній формі: похідна за часом від кількості руху точки дорівнює геометричній сумі сил, що діють на точку.

Проінтегруємо це рівняння. Нехай точка маси m, що рухається під дією сили (рис.15), має момент t=0 швидкість , а момент t 1-швидкість.

Рис.15

Помножимо тоді обидві частини рівності і візьмемо від них певні інтеграли. При цьому праворуч, де інтегрування йде за часом, межами інтегралів будуть 0 t 1 , а зліва, де інтегрується швидкість, межами інтеграла будуть відповідні значення швидкості та . Оскільки інтеграл від дорівнює , то в результаті отримаємо:

.

Інтеграли, що стоять праворуч, являють собою імпульси діючих сил. Тому остаточно матимемо:

.

Рівняння виражає теорему про зміну кількості руху точки в кінцевому вигляді: зміна кількості руху точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів всіх діючих на точку сил за той самий проміжок часу (Рис. 15).

При розв'язанні задач замість векторного рівняння часто користуються рівняннями у проекціях.

У разі прямолінійного руху, що відбувається вздовж осі ОхТеорема виражається першим із цих рівнянь.

Приклад 9.Знайти закон руху матеріальної точки маси m, що рухається вздовж осі хпід дією постійної за модулем сили F(рис. 16) за початкових умов: , при .

Рис.16

Рішення.Складемо диференціальне рівняння руху точки у проекції на вісь х: . Інтегруючи це рівняння, знаходимо: . Постійна визначається з початкової умови для швидкості і дорівнює. Остаточно

.

Далі, враховуючи, що v = dx/dt, Приходимо до диференціального рівняння: , інтегруючи яке отримуємо

Постійну визначаємо з початкової умови для координати точки. Вона дорівнює. Отже, закон руху точки має вигляд

Приклад 10. Вантаж ваги Р(рис.17) починає рухатися зі стану спокою вздовж гладкої горизонтальної площини під дією сили F = kt. Знайти закон руху вантажу.

Рис.17

Рішення.Виберемо початок відліку системи координат Проу початковому положенні вантажу та направимо вісь ху бік руху (рис. 17). Тоді початкові умови мають вигляд: x(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0. На вантаж діють сили F,Pта сила реакції площини N. Проекції цих сил на вісь хмають значення Fx = F = kt, Рx = 0, N x= 0, тому відповідне рівняння руху можна записати так: . Розділяючи змінні у цьому диференціальному рівнянні і потім інтегруючи, отримаємо: v = gkt 2 /2P + C 1 . Підставляючи початкові дані ( v(0) = 0), знаходимо, що C 1 = 0, і отримуємо закон зміни швидкості .

Останнє вираження, своєю чергою, є диференціальним рівнянням, інтегруючи яке знайдемо закон руху матеріальної точки: . Постійну, що входить сюди, визначаємо з другої початкової умови х(0) = 0. Легко переконатися, що . Остаточно

Приклад 11.На вантаж, що знаходиться у спокої на горизонтальній гладкій площині (див. мал. 17) на відстані aвід початку координат, починає діяти у позитивному напрямку осі xсила F = k 2 (P/g)x, де Р –вага грузу. Знайти закон руху вантажу.

Рішення.Рівняння руху вантажу (матеріальної точки), що розглядається, в проекції на вісь х

Початкові умови рівняння (1) мають вигляд: x(t = 0) = a, v ( t = 0) = 0.

Похідну за часом від швидкості, що входить до рівняння (1), представимо так

.

Підставляючи цей вираз у рівняння (1) і скорочуючи на ( P/g), отримаємо

Розділяючи змінні в останньому рівнянні, знаходимо, що . Інтегруючи останнє, маємо: . Використовуючи початкові умови , отримуємо , і, отже,

, . (2)

Оскільки сила діє на вантаж у позитивному напрямку осі х, то ясно, що в тому ж напрямі він повинен рухатися. Тому у рішенні (2) слід вибрати знак "плюс". Замінюючи далі у другому виразі (2) на , отримуємо диференціальне рівняння визначення закону руху вантажу. Звідки, поділяючи змінні, маємо

.

Інтегруючи останнє, знаходимо: . Після перебування постійної остаточно отримуємо

приклад 12.Куля Mмаси m(рис.18) падає без початкової швидкості під впливом сили тяжкості. При падінні куля відчуває опір , де – постійний коефіцієнт опору. Знайти закон руху кулі.

Рис.18

Рішення.Введемо систему координат з початком у точці розташування кулі при t = 0, направивши вісь увертикально донизу (рис. 18). Диференціальне рівняння руху кулі у проекції на вісь умає тоді вигляд

Початкові умови для кулі записуються так: y(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0.

Розділяючи змінні в рівнянні (1)

і інтегруючи, знаходимо: , де . Або після перебування постійної

або . (2)

Звідси випливає, що гранична швидкість, тобто. швидкість при , що дорівнює .

Щоб знайти закон руху, замінимо в рівнянні (2) v на dy/dt. Тоді, інтегруючи отримане рівняння з урахуванням початкової умови, остаточно знаходимо

.

приклад 13.Науково-дослідний підводний човен кулястої форми та маси m= = 1.5×10 5 кгпочинає занурюватися з вимкненими двигунами, маючи горизонтальну швидкість v х 0 = 30 м/ста негативну плавучість Р 1 = 0.01mg, де - Векторна сума архімедової сили, що виштовхує Qта сили тяжіння mg, що діють на човен (рис. 20). Сила опору води , кг/с. Визначити рівняння руху човна та його траєкторію.

Як система, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми

Кількість руху (імпульс) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) всіх тіл, що входять в систему. Імпульс зовнішніх сил, які діють тіла системи, - це сума імпульсів всіх зовнішніх сил, що діють тіла системи.

( кг · м / с)

Теорема про зміну кількості руху системи стверджує

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той самий проміжок часу.

Закон збереження кількості руху системи

Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, кількість руху (імпульс) системи є величина постійна.

, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи у диференціальній формі:

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і , отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

Закон збереження імпульсу (Закон збереження кількості руху) стверджує, що векторна сума імпульсів всіх тіл системи є постійна величина, якщо векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.

(момент кількості руху м 2 ·кг·с −1 )

Теорема про зміну моменту кількості руху щодо центру

похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Теорема про зміну моменту кількості руху щодо осі

похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Розглянемо матеріальну точку M масою m , що рухається під дією сили F (Рисунок 3.1). Запишемо та побудуємо вектор моменту кількості руху (кінетичного моменту) M 0 матеріальної точки щодо центру O :

Диференціюємо вираз моменту кількості руху (кінетичного моменту k 0) за часом:

Так як dr /dt = V , то векторний твір V ⊗ m ⋅ V (колінеарних векторів V і m ⋅ V ) дорівнює нулю. В той же час d(m ⋅ V) /dt = F згідно з теоремою про кількість руху матеріальної точки. Тому отримуємо, що

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

де r ⊗F = M 0 (F ) - Вектор-момент сили F щодо нерухомого центру O . Вектор k 0 ⊥ площині ( r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ площині ( r ,F ), остаточно маємо

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Рівняння (3.4) виражає теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо центру: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

Проеціюючи рівність (3.4) на осі декартових координат, отримуємо

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Рівності (3.5) виражають теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

Розглянемо слідства, які з теорем (3.4) і (3.5).

Наслідок 1.Розглянемо випадок, коли сила F у весь час руху точки проходить через нерухомий центр O (Випадок центральної сили), тобто. коли M 0 (F ) = 0. Тоді з теореми (3.4) випливає, що k 0 = const ,

тобто. у разі центральної сили момент кількості руху (кінетичний момент) матеріальної точки щодо центру цієї сили залишається постійним за модулем та напрямом (рисунок 3.2).

Малюнок 3.2

З умови k 0 = const слід, що траєкторія точки, що рухається, являє собою плоску криву, площина якої проходить через центр цієї сили.

Наслідок 2.Нехай M z (F ) = 0, тобто. сила перетинає вісь z чи їй паралельна. В цьому випадку, як видно з третього з рівнянь (3.5), k z = const ,

тобто. якщо момент чинної точки сили щодо будь-якої нерухомої осі завжди дорівнює нулю, то момент кількості руху (кінетичний момент) точки щодо цієї осі залишається постійним.

Доказ теореми про їх зміну кількості руху

Нехай система складається з матеріальних точок з масами та прискореннями. Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:

Зовнішні сили - сили, що діють з боку тіл, що не входять до системи, що розглядається. Рівнодіючу зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером iпозначимо.

Внутрішні сили - це сили, з якими взаємодіють один з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером iдіє крапка з номером k, будемо позначати , а силу впливу i-ї точки на k-ю точку - . Очевидно, що при , то

Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з цих матеріальних точок у вигляді

Враховуючи що і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:

Вираз є сумою всіх внутрішніх сил, що діють в системі. За третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі відповідає така сила, що і, значить, виконується Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати

Використовуючи для кількості руху системи позначення, отримаємо

Ввівши на розгляд зміну імпульсу зовнішніх сил , Отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференційній формі:

Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніякого впливу на цю величину не можуть.

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

де - значення кількості руху системи в моменти часу і відповідно, а - імпульс зовнішніх сил за проміжок часу . Відповідно до сказаного раніше та введених позначень виконується

Диференційне рівняння руху матеріальної точки під дією сили Fможна представити у наступній векторній формі:

Оскільки маса точки mприйнята постійною, її можна внести під знак похідної. Тоді

Формула (1) виражає теорему про зміну кількості руху точки у диференційній формі: перша похідна за часом від кількості руху точки дорівнює чинній на точку силі.

У проекціях на координатні осі (1) можна подати у вигляді

Якщо обидві частини (1) помножити на dt, то отримаємо іншу форму цієї ж теореми – теорему імпульсів у диференціальній формі:

тобто. диференціал кількості руху точки дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє на точку.

Проеціюючи обидві частини (2) на координатні осі, отримуємо

Інтегруючи обидві частини (2) у межах від нуля до t (рис. 1), маємо

де - швидкість точки на момент t; - швидкість при t = 0;

S- імпульс сили за час t.

Вираз у формі (3) часто називають теоремою імпульсів у кінцевій (або інтегральній) формі: зміна кількості руху точки за будь-який проміжок часу дорівнює імпульсу сили за той самий проміжок часу.

У проекціях на координатні осі цю теорему можна подати у такому вигляді:

Для матеріальної точки теорема про зміну кількості руху в будь-якій формі, по суті, не відрізняється від диференціальних рівнянь руху точки.

Теорема про зміну кількості руху системи

Кількість руху системи називатиме векторну величину Q, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи.

Розглянемо систему, що складається з n матеріальних точок. Складемо для цієї системи диференціальні рівняння руху та складемо їх почленно. Тоді отримаємо:

Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,

Остаточно знаходимо:

Рівняння (4) виражає теорему про зміну кількості руху системи у диференційній формі: похідна за часом кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил.

Знайдемо інший вираз теореми. Нехай у момент t= 0 кількість руху системи дорівнює Q 0, а в момент часу t 1стає рівним Q1.Тоді, помножуючи обидві частини рівності (4) на dtта інтегруючи, отримаємо:

Або , де:

(S-імпульс сили)

так як інтеграли, що стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил,

рівняння (5) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той самий проміжок часу.

У проекціях на осі координат матимемо:

Закон збереження кількості руху

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки:

1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

Тоді з рівняння (4) випливає, що при цьому Q = const.

Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху системи буде постійний за модулем і напрямом.

2. Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад Ох) дорівнює нулю:

Тоді з рівнянь (4`) випливає, що при цьому Q = const.

Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи цю вісь є величина постійна.

Ці результати і висловлюють закон збереження кількості руху системи.З них випливає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть.

Розглянемо деякі приклади:

· Я в л е н е н н е д а ч і л і л о т к а т а. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити сумарну кількість руху системи. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це викличе рух гвинтівки тому, тобто. так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).

· Р а б о т а г р е б н о г о в і н т а (п о п о л е р а). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища як внутрішні не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) одержують відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишається рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.

Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.

· Реактизнайдення. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору в хвостовій частині ракети (із сопла реактивного двигуна). Діючі при цьому сили тиску будуть внутрішніми силами і вони не можуть змінити сумарну кількість руху системи ракета-порохові гази. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість руху вперед.

Теорема моментів щодо осі.

Розглянемо матеріальну точку маси m, що рухається під дією сили F. Знайдемо для неї залежність між моментом векторів mVі Fщодо якоїсь нерухомої осі Z.

m z (F) = xF - уF (7)

Аналогічно для величини m (mV), якщо винести mза дужку буде

m z (mV) = m(хV - уV)(7`)

Беручи від обох частин цієї рівності похідні за часом, знаходимо

У правій частині отриманого виразу перша дужка дорівнює 0, оскільки dx/dt=V і dу/dt=V, друга ж дужка згідно з формулою (7) дорівнює

m z (F), оскільки за основним законом динаміки:

Остаточно матимемо (8)

Отримане рівняння виражає теорему моментів щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху точки щодо якоїсь осі дорівнює моменту діючої сили щодо тієї ж осі.Аналогічна теорема має місце й у моментів щодо будь-якого центру Про.

(Фрагменти математичної симфонії)

Зв'язок імпульсу сили з основним рівнянням ньютонівської динаміки висловлює теорема про зміну кількості руху матеріальної точки.

Теорема.Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу сили (), що діє на матеріальну точку за той самий проміжок часу.Математичне підтвердження цієї теореми можна назвати фрагментом математичної симфонії. Ось він.

Диференціал кількості руху матеріальної точки дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє матеріальну точку. Інтегруючи вираз (128) диференціала кількості руху матеріальної точки, маємо

(129)

Теорема доведена і математики вважають свою місію закінченою, а в інженерів, доля яких свято вірити математикам, виникають питання при використанні доведеного рівняння (129). Але їх міцно блокує послідовність і краса математичних дій (128 та 129), які зачаровують та спонукають назвати їх фрагментом математичної симфонії. Скільки поколінь інженерів погоджувалися з математиками та тремтіли перед таємничістю їхніх математичних символів! Але знайшовся інженер, незгодний з математиками, і ставить їм питання.

Шановні математики!Чому в жодному з Ваших підручників з теоретичної механіки не розглядається процес застосування Вашого симфонічного результату (129) на практиці, наприклад, при описі процесу розгону автомобіля? Ліва частина рівняння (129) гранично зрозуміла. Автомобіль починає розгін зі швидкості та завершує його, наприклад, на швидкості . Цілком природно, що рівняння (129) стає таким

І відразу виникає перше запитання: як із рівняння (130) визначити силу , під впливом якої автомобіль розігнаний до швидкості 10м/с? Відповіді це питання немає у жодному з незліченних підручників з теоретичної механіці. Ходімо далі. Після розгону автомобіль починає рівномірний рух із досягнутою швидкістю 10м/с. Яка ж сила рухає автомобіль????????? У мене нічого не залишається, як червоніти разом із математиками. Перший закон ньютонівської динаміки стверджує, що при рівномірному русі автомобіля на нього не діють жодні сили, а автомобіль, образно кажучи, чхає на цей закон, витрачає бензин і робить роботу, переміщаючись, наприклад, на відстань 100 км. А де ж сила, яка здійснила роботу з переміщення автомобіля на 100 км? Симфонічне математичне рівняння (130) мовчить, а життя продовжується і вимагає відповіді. Починаємо шукати його.

Оскільки автомобіль рухається прямолінійно і рівномірно, то сила, що переміщає його, постійна за величиною та напрямом та рівняння (130) стає таким

(131)

Отже, рівняння (131) у разі описує прискорений рух тіла. Чому ж дорівнює сила? Як висловити її зміну з часом? Математики вважають за краще обходити це питання і залишають його інженерам, вважаючи, що вони повинні шукати відповіді на це питання. У інженерів залишається одна можливість - врахувати, що якщо після завершення прискореного руху тіла, настає фаза рівномірного руху, що супроводжується під дією постійної сили уявити рівняння (131) для моменту переходу від прискореного до рівномірного руху в такому вигляді

(132)

Стрілка у цьому рівнянні означає результат інтегрування цього рівняння, а процес переходу від його інтегрального вигляду до спрощеному виду. Сила у цьому рівнянні еквівалентна усередненій силі, що змінила кількість руху тіла від нуля до кінцевого значення. Отже, шановні, математики та фізики-теоретики, відсутність Вашої методики визначення величини Вашого імпульсу змушує нас спрощувати процедуру визначення сили , а відсутність методики визначення часу дії цієї сили взагалі ставить нас у безвихідь і ми змушені використовувати вираз для аналізу процесу зміни кількості руху тіла . Через війну виходить, що довше діятиме сила , то більше вписувалося її імпульс . Це явно суперечить уявленням, що давно склалися, про те, що імпульс сили тим більше, чим менше час його дії.

Звернімо увагу на те, що зміна кількості руху матеріальної точки (імпульсу сили) при прискореному її русі відбувається під дією ньютонівської сили та сил опору руху у вигляді сил, що формуються механічними опорами, і силою інерції. Але ньютонівська динаміка в абсолютній більшості завдань ігнорує силу інерції, а механідинаміка стверджує, що зміна кількості руху тіла при його прискореному русі відбувається за рахунок перевищення величини ньютонівської сили над силами опору руху, в тому числі і над силою інерції.

При уповільненому русі тіла, наприклад, автомобіля з вимкненою передачею, ньютонівська сила відсутня, і зміна кількості руху автомобіля відбувається за рахунок перевищення сил опору руху над силою інерції, яка рухає автомобіль при його уповільненому русі.

Як тепер повернути результати зазначених «симфонічних» математичних дій (128) в русло причинно-наслідкових зв'язків? Вихід один – знайти нове визначення поняттям «імпульс сили» та «ударна сила». Для цього розділимо обидві частини рівняння (132) на час t. В результаті матимемо

. (133)

Звернемо увагу, що вираз mV/t - швидкість зміни кількості руху (mV/t) матеріальної точки чи тіла. Якщо врахувати, що V/t – прискорення, то mV/t – сила, яка змінює кількість руху тіла. Однакова розмірність зліва і з права знака рівності дає нам право назвати силу F ударною силою та позначити її символом, а імпульс S-ударним імпульсом і позначити його символом. З цього випливає і нове визначення ударної сили. Ударна сила, що діє на матеріальну точку або тіло, дорівнює відношенню зміни кількості руху матеріальної точки або тіла на час цієї зміни.

Звернемо особливу увагу на те, що у формуванні ударного імпульсу (134) бере участь тільки ньютонівська сила, яка змінила швидкість автомобіля від нульового значення до максимального - , тому рівняння (134) цілком належить ньютонівській динаміці. Оскільки величину швидкості фіксувати експериментально значно легше, ніж прискорення, то формула (134) дуже зручна для розрахунків.

З рівняння (134) випливає такий незвичайний результат.

Звернімо увагу на те, що згідно з новими законами механодинаміки генератором імпульсу сили при прискореному русі матеріальної точки або тіла є ньютонівська сила. Вона формує прискорення руху точки або тіла, при якому автоматично виникає сила інерції, спрямована протилежно ньютонівській силі та ударна ньютонівська сила повинна долати дію сили інерції, тому сила інерції має бути представлена ​​в балансі сил у лівій частині рівняння (134). Так як сила інерції дорівнює масі точки або тіла, помноженої на уповільнення, яке вона формує, то рівняння (134) стає таким

(136)

Шановні математики!Бачите, який вид набула математична модель, що описує ударний імпульс, який прискорює рух тіла, що ударяється, від нульової швидкості до максимальної V (11). Тепер перевіримо її роботу у визначенні ударного імпульсу, який дорівнює ударній силі, що вистрілила 2-й енергоблок СШГ (рис. 120), а Вам залишимо Ваше марне рівняння (132). Щоб не ускладнювати виклад, ми залишимо поки що формулу (134) у спокої і скористаємося формулами, що дають усереднені значення сил. Бачите, у яке положення Ви ставите інженера, який прагне вирішити конкретне завдання.

Почнемо з динаміки Ньютона. Експерти встановили, що 2-й енергоблок піднявся на висоту 14м. Оскільки він піднімався у полі сили тяжіння, то на висоті h=14м його потенційна енергія виявилася рівною

а середня кінетична енергія дорівнювала

Рис. 120. Фото машинного залу до катастрофи

З рівності кінетичної (138) та потенційної (137) енергій випливає середня швидкість підйому енергоблока (рис. 121, 122)

Рис. 121. Фотон машинного залу після катастрофи

Згідно з новими законами механодинаміки підйом енергоблока складався з двох фаз (рис. 123): перша фаза ОА - прискорений підйом і друга фаза АВ - уповільнений підйом , , .

Час та відстані їхньої дії, приблизно, рівні (). Тоді кінематичне рівняння прискореної фази підйому енергоблоку запишеться так

. (140)

Рис. 122. Вид колодязя енергоблоку та самого енергоблоку після катастрофи

Закон зміни швидкості підйому енергоблока у першій фазі має вигляд

. (141)

Рис. 123. Закономірність зміни швидкості V польоту енергоблока

Підставляючи час із рівняння (140) до рівняння (141), маємо

. (142)

Час підйому блоку у першій фазі визначиться з формули (140)

. (143)

Тоді загальний час підйому енергоблоку на висоту 14м буде рівним. Маса енергоблоку та кришки дорівнює 2580 тонн. Згідно з динамікою Ньютона сила, що піднімала енергоблок, дорівнює

Шановні математики!Наслідуємо Ваші симфонічні математичні результати і записуємо Вашу формулу (129), що випливає з динаміки Ньютона, для визначення ударного імпульсу, що вистрілив 2-й енергоблок

і ставимо елементарне питання: як визначити час дії ударного імпульсу, що вистрілив 2-й енергоблок???????????

Шановні!Згадайте, скільки крейди списали на навчальних дошках покоління Ваших колег, вивчаючи студентів, як визначати ударний імпульс і ніхто не пояснив, як визначати час дії ударного імпульсу в кожному конкретному випадку. Ви скажете час дії ударного імпульсу і інтервалу часу зміни швидкості енергоблока від нуля до, вважатимемо, максимального значення 16,75 м/с (139). Воно у формулі (143) і дорівнює 0,84 с. Погоджуємося поки що з Вами та визначаємо усереднену величину ударного імпульсу

Відразу виникає питання: а чому величина ударного імпульсу (146) менше ньютонівської сили 50600тон? Відповіді, у Вас, шановні математики, немає. Ходімо далі.

Згідно з динамікою Ньютона, головна сила, яка чинила опір підйому енергоблоку, - сила тяжіння. Оскільки ця сила спрямована проти руху енергоблока, вона генерує уповільнення, яке дорівнює прискоренню вільного падіння . Тоді сила гравітації, що діє на енергоблок, що летить вгору, дорівнює

Інших сил, що перешкоджали дії ньютонівської сили 50 600 тонн (144), динаміка Ньютона не враховує, а механодинаміка стверджує, що підйому енергоблоку чинила опір і сила інерції, рівна

Відразу постає питання: як знайти величину уповільнення руху енергоблоку? Динаміка Ньютона мовчить, а механодинаміка відповідає: у момент дії ньютонівської сили, що піднімала енергоблок, їй чинили опір: сила тяжіння і сила інерції, тому рівняння сил, що діяли на енергоблок в цей момент, записується так.

Розглянемо систему, що складається з матеріальних точок. Складемо цієї системи диференціальні рівняння руху (13) і складемо їх почленно. Тоді отримаємо

Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,

Остаточно знаходимо

Рівняння (20) виражає теорему про зміну кількості руху системи в диференційній формі: похідна за часом від кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил. У проекціях на координатні осі буде:

Знайдемо інший вираз теореми. Нехай в момент часу кількість руху системи дорівнює а в момент стає рівним. Тоді, помножуючи обидві частини рівності (20) на і інтегруючи, отримаємо

оскільки інтеграли, які стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил.

Рівняння (21) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів, що діють систему зовнішніх сил за той же проміжок часу.

У проекціях на координатні осі буде:

Вкажемо на зв'язок між доведеною теоремою та теоремою про рух центру мас. Оскільки , то, підставляючи це значення у рівність (20) і враховуючи, що отримаємо , тобто рівняння (16).

Отже, теорема про рух центру мас і теорема про зміну кількості руху системи є, по суті, дві різні форми однієї і тієї ж теореми. У тих випадках, коли вивчається рух твердого тіла (або системи тіл), можна рівною мірою користуватися будь-якою з цих форм, причому рівнянням (16) зазвичай користуватися зручніше. Для безперервного середовища (рідина, газ) при розв'язанні задач зазвичай користуються теоремою про зміну кількості руху системи. Важливі додатки ця теорема має також теорії удару (див. гл. XXXI) і щодо реактивного руху (див. § 114).