Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності складають систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдена, залишається перетнути її з рішенням раціональної нерівності- І відповідь готовий.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифму:

Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:

Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:

1. Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
2. Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей така:

1. Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
2. Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів;
3. Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Потім – нулі знаменника:

x − 1 = 0;
x = 1.

Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:

Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Отримали стандартне логарифмічна нерівність. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менший», отриманий раціональний виразтеж має бути менше нуля. Маємо:

(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Отримали дві множини:

1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).

Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.

У статті розглянемо розв'язання нерівностей. Розкажемо доступно про те, як будуватися розв'язання нерівностей, на зрозумілих прикладах!

Перед тим, як розглянути розв'язання нерівностей на прикладах, розберемося з основними поняттями.

Загальні відомості про нерівності

Нерівністюназивається вираз, у якому функції з'єднуються знаками відношення >, . Нерівності бувають як числові, і буквені.
Нерівності з двома знаками відношення називаються подвійними, з трьома - потрійними і т.д. Наприклад:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Нерівності, що містять знак > або або несуворі.
Розв'язанням нерівностіє будь-яке значення зміною, у якому це нерівність буде правильно.
"Розв'язати нерівність"означає, що треба знайти безліч всіх його рішень. Існують різні методи розв'язання нерівностей. Для розв'язання нерівностікористуються числовою прямою, яка нескінченна. Наприклад, вирішенням нерівності x > 3 є проміжок від 3 до +, причому число 3 входить у цей проміжок, тому точка на прямий позначається порожнім кружком, т.к. нерівність сувора.
+
Відповідь буде такою: x (3; +).
Значення х=3 не входить до множини рішень, тому дужка кругла. Знак нескінченності завжди виділяється круглою дужкою. Знак означає "належність".
Розглянемо як вирішувати нерівності на іншому прикладі зі знаком:
x 2
-+
Значення х=2 входить до множини рішень, тому дужка квадратна і точка на прямій позначається зафарбованим кружком.
Відповідь буде такою: x . У такому прикладі така дужка використовується.

Запишемо відповідь: х ≥ -0,5 через проміжки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читається: ікс належить проміжку від мінус 0,5, включаючи,до плюс нескінченності.

Нескінченність не може включатися ніколи. Не число, це символ. Тому в подібних записах нескінченність завжди є сусідами з круглою дужкою.

Така форма запису зручна для складних відповідей, які з кількох проміжків. Але – саме для остаточних відповідей. У проміжних результатах, де передбачається подальше рішення, краще використовувати звичайну форму, як простої нерівності. Ми з цим у відповідних темах розберемося.

Популярні завдання із нерівностями.

Самі собою лінійні нерівності прості. Тому, часто, завдання ускладнюються. Так, щоби подумати треба було. Це, якщо з незвички, не дуже приємно. Але корисно. Покажу приклади таких завдань. Не для того щоб ви їх вивчили, це зайве. А для того, щоб не боялися під час зустрічі з подібними прикладами. Трохи подумати – і все просто!)

1. Знайдіть будь-які два рішення нерівності 3х - 3< 0

Якщо не дуже зрозуміло, що робити, згадуємо головне правило математики:

Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!)

х < 1

І що? Та нічого особливого. Що нас просять? Нас просять знайти два конкретні числа, які є рішенням нерівності. Тобто. підходять під відповідь. Два будь-якихчисла. Власне, це і бентежить.) Підходить парочка 0 та 0,5. Парочка -3 та -8. Так цих парачок безліч! Яка відповідь правильна?!

Відповідаю: все! Будь-яка парочка чисел, кожне з яких менше одиниці, буде правильною відповіддю.Пишіть яку хочете. Їдемо далі.

2. Вирішити нерівність:

4х - 3 ≠ 0

Завдання у вигляді зустрічаються рідко. Але, як допоміжні нерівності, при знаходженні ОДЗ, наприклад, або при знаходженні області визначення функції, зустрічаються часто-густо. Таку лінійну нерівність можна вирішувати як звичайне лінійне рівняння. Тільки скрізь, крім знака "=" ( одно) ставити знак " ≠ " (не дорівнює). Так до відповіді й підійдете зі знаком нерівності:

х ≠ 0,75

У більш складних прикладах, краще чинити по-іншому. Зробити з нерівності рівність. Ось так:

4х - 3 = 0

Спокійно вирішити його, як вчили, і отримати відповідь:

х = 0,75

Головне, наприкінці, при записі остаточної відповіді, не забути, що ми знайшли ікс, який дає рівність.А нам потрібно – нерівність.Отже, цей ікс нам якраз і не потрібний.) І треба записати його з правильним значком:

х ≠ 0,75

За такого підходу виходить менше помилок. У тих, хто рівняння на автоматі вирішує. А тим, хто рівняння не вирішує, нерівності, власне, ні до чого...)

3. Визначити найменше ціле рішення нерівності:

3(х - 1) < 5х + 9

Спочатку просто вирішуємо нерівність. Розкриваємо дужки, переносимо, наводимо подібні... Отримуємо:

х > - 6

Не так вийшло! А за знаками стежили! І за знаками членів, і за знаком нерівності...

Знову міркуємо. Нам потрібно знайти конкретне число, яке підходить і під відповідь, і під умову "найменше ціле".Якщо одразу не осяює, можна просто взяти будь-яке число і прикинути. Два більше мінус шести? Звичайно! А чи є відповідне число менше? Зрозуміло. Наприклад, нуль більше -6. А ще менше? А нам найменше з можливих треба! Мінус три більше мінус шести! Вже можна вловити закономірність і перестати тупо перебирати числа, правда?

Беремо число ближче до -6. Наприклад, -5. Відповідь виконується, -5 > - 6. Чи можна знайти ще число, менше -5, але більше -6? Можна, наприклад, -5,5... Стоп! Нам сказано цілеРішення! Чи не котить -5,5! А мінус шість? Е-е-е! Нерівність суворе, мінус 6 не менше мінус 6!

Отже, правильна відповідь: -5.

Сподіваюся, з вибором значення з загального рішеннявсе зрозуміло. Ще приклад:

4. Вирішити нерівність:

7 < 3х+1 < 13

ВО як! Такий вираз називається потрійною нерівністю.Строго кажучи, це скорочений запис системи нерівностей. Але вирішувати такі потрійні нерівності все одно доводиться у деяких завданнях... Вона вирішується без жодних систем. По тим самим тотожним перетворенням.

Потрібно спростити, довести цю нерівність до чистого ікса. Але... Що куди переносити? Ось тут саме час згадати, що перенесення вліво-вправо, це скорочена формапершого тотожного перетворення.

А повна форма звучить ось як: До обох частин рівняння (нерівності) можна додати/відібрати будь-яке число, або вираз.

Тут три частини. От і будемо застосовувати тотожні перетвореннядо всіх трьох частин!

Отже, позбавимося одиниці в середній частині нерівності. Віднімемо від усієї середньої частини одиничку. Щоб нерівність не змінилася, віднімемо одиницю і від двох частин, що залишилися. Ось так:

7 -1< 3х+1-1 < 13-1

6 < 3х < 12

Вже краще, правда?) Залишилось поділити всі три частини на трійку:

2 < х < 4

От і все. Це відповідь. Ікс може будь-яким числом від двійки (не включаючи) до четвірки (не включаючи). Ця відповідь теж записується через проміжки, такі записи будуть у квадратних нерівностях. Там вони - звичайнісінька справа.

Наприкінці уроку повторю найголовніше. Успіх у вирішенні лінійних нерівностейзалежить від уміння перетворювати та спрощувати лінійні рівняння. Якщо при цьому стежити за знаком нерівності,проблем не буде. Чого я вам бажаю. Відсутності проблем.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Наприклад, нерівністю є вираз (x> 5).

Види нерівностей:

Якщо \(a\) і \(b\) – це числа або , то нерівність називається числовим. Фактично, це просто порівняння двох чисел. Такі нерівності поділяються на вірніі невірні.

Наприклад:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неправильна числова нерівність, так як \(17+3=20\), а \(20\) менше \(115\) (а не більше або одно).

Якщо ж \(a\) і \(b\) - це вирази, що містять змінну, то у нас нерівність зі змінною. Такі нерівності поділяють за типами залежно від вмісту:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Змінна тільки в першому ступені
\(3x^2-x+5>0\)				Є змінна в другому ступені (квадраті), але немає старших ступенів (третього, четвертого і т.д.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... і так далі.

Що таке розв'язання нерівності?

Якщо в нерівність замість змінної підставити якесь число, воно перетвориться на числове.

Якщо це значення для ікса перетворює вихідне нерівність вірне числове, воно називається вирішенням нерівності. Якщо ж ні - то це значення рішенням не є. І щоб вирішити нерівність- Треба знайти всі його рішення (або показати, що їх немає).

Наприклад,якщо ми в лінійну нерівність \(x+6>10\), підставимо замість ікса число \(7\) -отримаємо правильну числову нерівність: \(13>10\). А якщо підставимо \(2\), буде неправильна числова нерівність \(8>10\). Тобто \(7\) - це рішення вихідної нерівності, а \(2\) - ні.

Проте, нерівність (x+6>10) має й інші рішення. Справді, ми отримаємо вірні числові нерівності при підстановці і (5), і (12), і (138) ... І як же нам знайти всі можливі рішення? Для цього використовують Для нашого випадку маємо:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тобто нам підійде будь-яке число більше чотирьох. Тепер слід записати відповідь. Вирішення нерівностей, як правило, записують числовими , додатково позначаючи їх на числовій осі штрихуванням. Для нашого випадку маємо:

Відповідь: \(x\in(4;+\infty)\)

Коли у нерівності змінюється знак?

У нерівностях є одна велика пастка, в яку дуже люблять траплятися учні:

При множенні (або розподілі) нерівності на від'ємне число, змінюється на протилежний («більше» на «менше», «більше чи одно» на «менше чи одно» тощо)

Чому так відбувається? Щоб це зрозуміти, давайте подивимося перетворення числової нерівності\ (3> 1 \). Воно вірне, трійка справді більше одиниці. Спочатку спробуємо помножити його на будь-яке позитивне число, наприклад двійку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Як бачимо, після множення нерівність залишилася вірною. І на яке б позитивне число ми не множили – завжди отримуватимемо правильну нерівність. А тепер спробуємо помножити на від'ємне число, наприклад, мінус трійку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Вийшла неправильна нерівність, адже мінус дев'ять менше, ніж мінус три! Тобто для того, щоб нерівність стала вірною (а значить, перетворення множення на негативне було «законним»), потрібно перевернути знак порівняння, ось так: \(−9<− 3\).
З розподілом вийде аналогічно, можете перевірити самі.

Записане вище правило поширюється попри всі види нерівностей, а чи не лише на числові.

Приклад: Розв'язати нерівність \(2(x+1)-1<7+8x\)
Рішення:

\(2x+2-1<7+8x\)	Перенесемо \(8x\) вліво, а \(2\) і \(-1\) вправо, не забуваючи при цьому міняти знаки
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Поділимо обидві частини нерівності на \(-6\), не забувши поміняти з "менше" на "більше"
	Зазначимо на осі числовий проміжок. Нерівність, тому саме значення \(-1\) «виколюємо» і у відповідь не беремо
	Запишемо відповідь у вигляді інтервалу

Відповідь: \(x\in(-1;\infty)\)

Нерівності та ОДЗ

Нерівності, як і рівняння можуть мати обмеження на , тобто значення ікса. Відповідно, із проміжку рішень мають бути виключені ті значення, які неприпустимі за ОДЗ.

Приклад: Розв'язати нерівність \(\sqrt(x+1)<3\)

Рішення: Зрозуміло, що для того, щоб ліва частина була меншою (3), підкорене вираз має бути менше (9) (адже з (9) саме (3)). Отримуємо:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Всі? Нам підійде будь-яке значення ікса менше (8)? Ні! Тому що якщо ми візьмемо, наприклад, начебто підходяще під вимогу значення \(-5\) - воно рішенням вихідної нерівності не буде, тому що призведе нас до обчислення кореня з негативного числа.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Тому ми повинні враховувати обмеження на значення ікса – він може бути таким, щоб під коренем було негативне число. Таким чином, маємо другу вимогу на ікс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

І щоб ікс був остаточним рішенням, він повинен задовольняти відразу обом вимогам: він повинен бути меншим (8) (щоб бути рішенням) і більше (-1) (щоб бути допустимим у принципі). Наносячи на числову вісь, маємо остаточну відповідь:

Відповідь: \(\left[-1;8\right)\)