Заміна багаточленаабо. Тут – багаточлена ступеня, наприклад, вираз – багаточлен ступеня.

Допустимо, у нас є приклад:

Застосуємо метод заміни змінної. Як ти думаєш, що потрібно прийняти за? Правильно, .

Рівняння набуває вигляду:

Проводимо зворотну заміну змінних:

Розв'яжемо перше рівняння:

Вирішимо другерівняння:

… Що це означає? Правильно! Що рішень немає.

Таким чином, ми отримали дві відповіді -; .

Зрозумів як застосовувати метод заміни змінної при багаточлен? Потренуйся зробити подібне самостійно:

Вирішив? Тепер перевіримо з тобою головні моменти.

За треба взяти.

Ми отримуємо вираз:

Вирішуючи квадратне рівняння, ми отримуємо, що має два корені: і.

Рішенням першого квадратного рівняння є числа та

Розв'язанням другого квадратного рівняння – числа в.

Відповідь: ; ; ;

Підіб'ємо підсумки

Метод заміни змінної має основних типів замін змінних у рівняннях та нерівностях:

1. Ступінна заміна, коли ми приймаємо якесь невідоме, зведене в ступінь.

2. Заміна многочлена, коли ми приймаємо ціле вираз, що містить невідоме.

3. Дробно-раціональна заміна, коли ми приймаємо якесь відношення, що містить невідому змінну.

Важливі порадипри введенні нової змінної:

1. Заміну змінних потрібно робити відразу, за першої ж можливості.

2. Рівняння щодо нової змінно потрібно вирішувати остаточно і лише потім повертатися до старого невідомому.

3. При поверненні до початкового невідомого (та й взагалі протягом усього рішення), не забувай перевіряти коріння на ОДЗ.

Нова змінна вводиться аналогічно, як у рівняннях, і у нерівностях.

Розберемо 3 завдання

Відповіді на 3 завдання

1. Нехай, тоді вираз набуває вигляду.

Оскільки, може бути як позитивним, і негативним.

Відповідь:

2. Нехай, тоді вираз набуває вигляду.

рішення немає, оскільки.

Відповідь:

3. Угрупуванням отримуємо:

Нехай, тоді вираз набуває вигляду
.

Відповідь:

ЗАМІНА ЗМІННИХ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ.

Заміна змінних- це запровадження нового невідомого, щодо якого рівняння чи нерівність має простіший вид.

Перелічу основні типи замін.

Ступенева заміна

Ступінна заміна.

Наприклад, з допомогою заміни биквадратное рівняння наводиться до квадратному: .

У нерівності все аналогічно.

Наприклад, у нерівності зробимо заміну, і отримаємо квадратну нерівність: .

Приклад (виріши самостійно):

Рішення:

Це дробово-раціональне рівняння (повтори), але вирішувати його звичайним методом (приведення до спільного знаменника) незручно, оскільки ми отримаємо рівняння ступеня, тому застосовується заміна змінних.

Все стане набагато простіше після заміни: . Тоді:

Тепер робимо зворотну заміну:

Відповідь: ; .

Заміна багаточлена

Заміна багаточлена або.

Тут – багаточлен ступеня, тобто. вираз виду

(Наприклад, вираз - багаточлен ступеня, тобто).

Найчастіше використовується заміна квадратного тричлена: або.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

І знову використовується заміна змінних.

Тоді рівняння набуде вигляду:

Коріння цього квадратного рівняння: і.

Маємо два випадки. Зробимо зворотну заміну для кожного з них:

Отже, це рівняння коріння немає.

Коріння цього рівняння: і.

Відповідь. .

Дробно-раціональна заміна

Дробно-раціональна заміна.

і − багаточлени ступенів та відповідно.

Наприклад, при вирішенні поворотних рівнянь, тобто рівнянь виду

зазвичай використовується заміна.

Нині покажу, як це працює.

Легко перевірити, що не є коренем цього рівняння: адже якщо підставити рівняння, отримаємо, що суперечить умові.

Розділимо рівняння на:

Перегрупуємо:

Тепер робимо заміну: .

Принадність її в тому, що при зведенні в квадрат у подвоєному творі доданків скорочується x:

Звідси випливає, що.

Повернемося до нашого рівняння:

Тепер достатньо вирішити квадратне рівняння та зробити зворотну заміну.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

При рівність не виконується, тому. Розділимо рівняння на:

Рівняння набуде вигляду:

Його коріння:

Зробимо зворотну заміну:

Розв'яжемо отримані рівняння:

Відповідь: ; .

Ще приклад:

Розв'яжіть нерівність.

Рішення:

Безпосередньою підстановкою переконуємось, що не входить до вирішення цієї нерівності. Розділимо чисельник і знаменник кожного з дробів на:

Тепер очевидна заміна змінної: .

Тоді нерівність набуде вигляду:

Використовуємо метод інтервалів для знаходження y:

при всіх, тому що

при всіх, тому що

Отже, нерівність рівносильна наступному:

за всіх, оскільки.

Отже, нерівність рівносильна наступному: .

Отже, нерівність виявляється рівносильною сукупності:

Відповідь: .

Заміна змінних- один із найважливіших методів розв'язання рівнянь та нерівностей.

Насамкінець дам тобі пару важливих порад :

ЗАМІНА ЗМІННИХ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ.

Заміна змінних- метод розв'язання складних рівнянь та нерівностей, який дозволяє спростити вихідне вираження та привести його до стандартного вигляду.

Види заміни змінної:

1. Ступенева заміна:за приймається якесь невідоме, зведене до ступеня - .
2. Дробно-раціональна заміна:за приймається якесь відношення, що містить невідому змінну - , де - багаточлени ступенів n і m, відповідно.
3. Заміна багаточлена:за приймається ціле вираження, що містить невідоме - або, де - багаточлен ступеня.

Після вирішення спрощеного рівняння/нерівності необхідно провести зворотну заміну.

В курсі математики 7 класу вперше зустрічаються з рівняннями з двома змінними, але вивчаються вони лише контексті систем рівнянь із двома невідомими. Саме тому з поля зору випадає ціла низка завдань, у яких на коефіцієнти рівняння введені деякі умови, що їх обмежують. Крім того, залишаються поза увагою і методи вирішення завдань типу «Вирішити рівняння в натуральних чи цілих числах», хоча в матеріалах ЄДІ та на вступних іспитах завдання такого роду зустрічаються дедалі частіше.

Яке рівняння називатиметься рівнянням із двома змінними?

Так, наприклад, рівняння 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 або xy = 12 є рівняннями з двома змінними.

Розглянемо рівняння 2x - y = 1. Воно звертається в правильну рівність при x = 2 і y = 3, тому ця пара значень змінних є рішенням рівняння, що розглядається.

Таким чином, рішенням будь-якого рівняння з двома змінними є безліч упорядкованих пар (x; y), значень змінних, які це рівняння перетворюють на правильну числову рівність.

Рівняння із двома невідомими може:

а) мати одне рішення.Наприклад, рівняння x 2 + 5y 2 = 0 має єдине рішення (0; 0);

б) мати кілька рішень.Наприклад, (5 -|x|) 2 + (|y| - 2) 2 = 0 має 4 рішення: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

в) не мати рішень.Наприклад, рівняння x 2 + y 2 + 1 = 0 немає рішень;

г) мати нескінченно багато рішень.Наприклад, x + y = 3. Розв'язаннями цього рівняння будуть числа, сума яких дорівнює 3. Безліч рішень даного рівняння можна записати у вигляді (k; 3 – k), де k – будь-яке дійсне число.

Основними методами розв'язання рівнянь із двома змінними є методи, що ґрунтуються на розкладанні виразів на множники, виділення повного квадрата, використання властивостей квадратного рівняння, обмеженості виразів, оціночні методи. Рівняння, як правило, перетворюють на вид, з якого можна отримати систему для знаходження невідомих.

Розкладання на множники

приклад 1.

Розв'язати рівняння: xy – 2 = 2x – y.

Рішення.

Групуємо складові для розкладання на множники:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. З кожної дужки винесемо загальний множник:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. Маємо:

y = 2, x - будь-яке дійсне число або x = -1, y - будь-яке дійсне число.

Таким чином, відповіддю є всі пари виду (x; 2), x € R та (-1; y), y € R.

Рівність нулю невід'ємних чисел

приклад 2.

Розв'язати рівняння: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Рішення.

Групуємо:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Тепер кожну дужку можна згорнути за формулою квадрата різниці.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю, тільки якщо 3x – 2 = 0 та 2y – 3 = 0.

Отже, x = 2/3 і y = 3/2.

Відповідь: (2/3; 3/2).

Оцінний метод

приклад 3.

Розв'язати рівняння: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Рішення.

У кожній дужці виділимо повний квадрат:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. Оцінимо значення виразів, що стоять у дужках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 і (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тоді ліва частина рівняння завжди не менше 2. Рівність можлива, якщо:

(x + 1) 2 + 1 = 1 та (y - 2) 2 + 2 = 2, а значить x = -1, y = 2.

Відповідь: (-1; 2).

Познайомимося з ще одним методом розв'язання рівнянь із двома змінними другого ступеня. Цей метод у тому, що рівняння сприймається як квадратне щодо будь-якої змінної.

приклад 4.

Розв'язати рівняння: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Рішення.

Розв'яжемо рівняння як квадратне щодо x. Знайдемо дискримінант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Рівняння матиме рішення лише за D = 0, т. е. у разі, якщо y = 4. Підставляємо значення y у вихідне рівняння і бачимо, що x = 3.

Відповідь: (3; 4).

Часто в рівняннях із двома невідомими вказують обмеження на змінні.

Приклад 5.

Розв'язати рівняння у цілих числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Рішення.

Перепишемо рівняння у вигляді x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Права частина отриманого рівняння при розподілі на 5 дає в залишку 2. Отже, x 2 не ділиться на 5. Але квадрат числа, що не ділиться на 5, дає в залишку 1 або 4. Таким чином, рівність неможлива і рішень немає.

Відповідь: немає коріння.

Приклад 6.

Розв'язати рівняння: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Рішення.

Виділимо повні квадрати у кожній дужці:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ліва частина рівняння завжди більша або дорівнює 3. Рівність можлива за умови |x| – 2 = 0 та y + 3 = 0. Таким чином, x = ± 2, y = -3.

Відповідь: (2; -3) та (-2; -3).

Приклад 7.

Для кожної пари цілих негативних чисел (x; y), що задовольняють рівняння
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, обчислити суму (x + y). У відповіді вказати найменшу із сум.

Рішення.

Виділимо повні квадрати:

(x 2 - 2xy + y 2) + (Y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Оскільки x і y – цілі числа, їх квадрати також цілі числа. Суму квадратів двох цілих чисел, що дорівнює 37, отримаємо, якщо складаємо 1 + 36. Отже:

(x – y) 2 = 36 та (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 та (y + 2) 2 = 36.

Вирішуючи ці системи та враховуючи, що x та y – негативні, знаходимо рішення: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Відповідь: -17.

Не варто впадати у відчай, якщо при вирішенні рівнянь з двома невідомими у вас виникають труднощі. Небагато практики, і ви зможете впоратися з будь-якими рівняннями.

Залишились питання? Не знаєте, як вирішувати рівняння із двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Звернення автора до цієї теми не є випадковим. Рівняння із двома змінними вперше зустрічаються в курсі 7-го класу. Одне рівняння з двома змінними має безліч рішень. Це наочно демонструє графік лінійної функції, заданий як ax + by=c. У шкільному курсі учні вивчають системи двох рівнянь із двома змінними. В результаті з поля зору вчителя і тому учня випадає ціла низка завдань, з обмеженими умовами на коефіцієнт рівняння, а також методи їх вирішення.

Йдеться рішення рівняння з двома невідомими у цілих чи натуральних числах.

У школі натуральні та цілі числа вивчаються у 4-6-х класах. На момент закінчення школи в повному обсязі учні пам'ятають різницю між множинами цих чисел.

Однак завдання типу "вирішити рівняння виду ax + by = c у цілих числах" все частіше зустрічається на вступних іспитах до ВНЗ та у матеріалах ЄДІ.

Рішення невизначених рівнянь розвиває логічне мислення, кмітливість, аналізувати увагу.

Я пропоную розробку кількох уроків на цю тему. Я не маю однозначних рекомендацій щодо термінів проведення цих уроків. Окремі елементи можна використовувати і у 7-му класі (для сильного класу). Дані уроки можна взяти за основу та розробити невеликий елективний курс з передпрофільної підготовки у 9-му класі. І, звичайно, цей матеріал можна використовувати у 10-11 класах для підготовки до іспитів.

Мета уроку:

• повторення та узагальнення знань на тему “Рівняння першого та другого порядку”
• виховання пізнавального інтересу до навчального предмета
• формування умінь аналізувати, проводити узагальнення, переносити знання у нову ситуацію

Урок 1

Хід уроку.

1) Орг. момент.

2) Актуалізація опорних знань.

Визначення. Лінійним рівнянням із двома змінними називається рівняння виду

mx + ny = k, де m, n, k – числа, x, y – змінні.

Приклад: 5x+2y=10

Визначення. Рішенням рівняння з двома змінними називається пара значень змінних, що обертає це рівняння у правильну рівність.

Рівняння з двома змінними, що мають одні й самі рішення, називаються рівносильними.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Це рівняння може мати скільки завгодно рішень. Для цього достатньо взяти будь-яке значення x та знайти відповідне йому значення y.

Нехай x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 = - 4

Пари чисел (2; 1); (4;-4) – рішення рівняння (1).

Це рівняння має безліч рішень.

3) Історична довідка

Невизначені (діофантові) рівняння - це рівняння, що містять більше однієї змінної.

У ІІІ ст. н.е. - Діофант Олександрійський написав "Арифметику", в якій розширив безліч чисел до раціональних, ввів символіку алгебри.

Так само Діофант розглянув проблеми розв'язання невизначених рівнянь та їм дано методи розв'язання невизначених рівнянь другого та третього ступеня.

4) Вивчення нового матеріалу.

Визначення: Неоднорідним діофантовим рівнянням першого порядку з двома невідомими x, y називається рівняння виду mx + ny = k де m, n, k, x, y Z k0

Твердження 1.

Якщо вільний член k у рівнянні (1) не поділяється на найбільший спільний дільник (НОД) чисел m і n, то рівняння (1) немає цілих рішень.

Приклад: 34x - 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не ділиться націло на 17, у цілих числах рішення немає.

Нехай k поділяється на НОД (m, n). Розподілом всіх коефіцієнтів можна домогтися, що m і n стануть взаємно простими.

Твердження 2.

Якщо m і n рівняння (1) взаємно прості числа, це рівняння має принаймні одне рішення.

Твердження 3.

Якщо коефіцієнти m і n рівняння (1) є взаємно простими числами, це рівняння має нескінченно багато рішень:

Де (; ) – якесь рішення рівняння (1), t Z

Визначення. Однорідним діофантовим рівнянням першого порядку з двома невідомими x, y називається рівняння виду mx + ny = 0 де (2)

Твердження 4.

Якщо m і n – взаємно прості числа, то будь-яке рішення рівняння (2) має вигляд

5) Домашнє завдання. Вирішити рівняння у цілих числах:

1. 9x - 18y = 5
2. x + y = xy
3. Декілька дітей збирали яблука. Кожен хлопчик зібрав по 21 кг, а дівчинка – по 15 кг. Усього вони зібрали 174 кг. Скільки хлопчиків та скільки дівчаток збирали яблука?

Зауваження. На цьому уроці не представлені приклади розв'язання рівнянь у цілих числах. Тому домашнє завдання діти вирішують виходячи із затвердження 1 та підбором.

Урок 2

1) Організаційний момент

2) Перевірка домашнього завдання

1) 9x - 18y = 5

5 не ділиться націло на 9, у цілих числах рішень немає.

Методом підбору можна знайти рішення

Відповідь: (0; 0), (2; 2)

3) Складемо рівняння:

Нехай хлопчиків x, x Z, а дівчаток у, y Z, можна скласти рівняння 21x + 15y = 174

Багато учнів, склавши рівняння, не зможуть його вирішити.

Відповідь: хлопчиків 4, дівчаток 6.

3) Вивчення нового матеріалу

Зіткнувшись із труднощами і під час домашнього завдання, учні переконалися у необхідності вивчення їх методів рішень невизначених рівнянь. Розглянемо деякі з них.

I. Метод розгляду залишків від розподілу.

приклад. Вирішити рівняння у цілих числах 3x – 4y = 1.

Ліва частина рівняння ділиться на 3, отже повинна ділитися і права частина. Розглянемо три випадки.

Відповідь: де m Z.

Описаний метод зручно застосовувати у разі, якщо числа m і n не малі, зате розкладаються на прості співмножники.

Приклад: Розв'язати рівняння у цілих числах.

Нехай y = 4n, тоді 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4 * (4-7n) ділиться на 4.

y = 4n+1, тоді 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n не ділиться на 4.

y = 4n+2, тоді 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не поділяється на 4.

y = 4n+3, тоді 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n не ділиться на 4.

Отже, y = 4n, тоді

4x = 16 - 7 4n = 16 - 28n, x = 4 - 7n

Відповідь: де n Z.

ІІ. Невизначені рівняння 2-го ступеня

Сьогодні на уроці ми лише торкнемося вирішення діофантових рівнянь другого порядку.

І з усіх типів рівнянь розглянемо випадок, коли можна застосувати формулу різниці квадратів чи інший спосіб розкладання на множники.

Приклад: Вирішити рівняння у цілих числах.

13 – просте число, тому воно може бути розкладене на множники лише чотирма способами: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)

Розглянемо ці випадки

Відповідь: (7; -3), (7; 3), (-7; 3), (-7; -3).

4) Домашнє завдання.

приклади. Вирішити рівняння у цілих числах:

(x - y) (x + y) = 4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не підходить	не підходить
2x = -4	не підходить	не підходить
x = -2
y = 0

Відповідь: (-2; 0), (2; 0).

Відповіді: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10; -9).

в)

Відповідь: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Підсумки. Що означає розв'язати рівняння у цілих числах?

Які методи розв'язання невизначених рівнянь ви знаєте?

Додаток:

Вправи для тренування.

1) Вирішіть у цілих числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 - 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 - 4n, n Z
г) 9x - 2y = 1	x = 1 - 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x - 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x - 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x - 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x - 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Знайти цілі невід'ємні рішення рівняння:

Рішення: Z (2; -1)

Література

1. Дитяча енциклопедія "Педагогіка", Москва, 1972 р.
2. Алгебра-8, Н.Я. Віленкін, ВО "Наука", Новосибірськ, 1992 р.
3. Конкурсні завдання, що ґрунтуються на теорії чисел. В.Я. Галкін, Д.Ю. Сичугів. МДУ, ВМК, Москва, 2005р.
4. Завдання підвищеної проблеми в курсі алгебри 7-9 класів. Н.П. Косрикіна. "Освіта", Москва, 1991 р.
5. Алгебра 7, Макарічев Ю.Н., "Освіта".

Розберемо два види розв'язання систем рівняння:

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Вирішення системи рівнянь методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

Рішення системи рівнянь шляхом складання

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y=-10 | *3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

У шкільному курсі математики вивчаються формули коренів квадратних рівнянь, з яких можна вирішувати будь-які квадратні рівняння. Однак є й інші способи розв'язання квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко та раціонально вирішувати багато рівнянь. Є десять способів розв'язання квадратних рівнянь. Докладно у своїй роботі я розібрала кожен із них.

1. СПОСІБ : Розкладання лівої частини рівняння на множники.

Розв'яжемо рівняння

х 2 + 10х - 24 = 0.

Розкладемо ліву частину на множники:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(х + 12) (х - 2) = 0

Так як добуток дорівнює нулю, то принаймні один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х = 2, а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х 2 + 10х - 24 = 0.

2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.

Розв'яжемо рівняння х 2 + 6х - 7 = 0.

Виділимо у лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х 2 + 6х у наступному вигляді:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а другий - подвоєний добуток х на 3. Тому щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2 так як

х 2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3) 2 .

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х 2 + 6х - 7 = 0,

додаючи до неї і віднімаючи 3 2 . Маємо:

х 2 + 6х - 7 =х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16.

Отже, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, або x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. СПОСІБ :Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ах 2+bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а і маємо послідовно:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ахb + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Приклади.

а)Розв'яжемо рівняння: 4х2+7х+3=0.

а = 4,b= 7, с = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два різні корені;

Отже, у разі позитивного дискримінанта, тобто. при

b 2 - 4 ac >0 , рівняння ах 2+bх + с = 0має два різні корені.

б)Розв'яжемо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4,b= - 4, с = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корінь;

Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто. b 2 - 4 ac = 0 , то рівняння

ах 2+bх + с = 0має єдиний корінь,

в)Розв'яжемо рівняння: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2,b= 3, с = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Це рівняння коренів немає.

Отже, якщо дискримінант негативний, тобто. b 2 - 4 ac < 0 ,

рівняння ах 2+bх + с = 0не має коріння.

Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2+bх + с = 0дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), у тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння дорівнюють дробу, чисельник якого дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без вчетверного добутку першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

х 2 +px + c = 0. (1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1має вигляд

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Звідси можна зробити такі висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).

а) Якщо зведений член qнаведеного рівняння (1) позитивний ( q > 0 ), то рівняння має два однакові за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. Якщо р< 0 , то обидва корені негативні, якщо р< 0 , то обидва корені позитивні.

Наприклад,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 і x 2 = 1, так як q = 2 > 0 і p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 і x 2 = - 1, так як q = 7 > 0 і p= 8 > 0.

б) Якщо вільний член qнаведеного рівняння (1) негативний ( q < 0 ), то рівняння має два різні за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивним, якщо p < 0 , або негативний, якщо p > 0 .

Наприклад,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 і x 2 = 1, так як q= - 5 < 0 і p = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 і x 2 = - 1, так як q = - 9 < 0 і p = - 8 < 0.

5. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь способом «перекидання».

Розглянемо квадратне рівняння

ах 2+bх + с = 0,де а ≠ 0.

Помножуючи обидві його частини на а, одержуємо рівняння

а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння

у 2+by+ ас = 0,

рівносильно цьому. Його коріння у 1і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

Остаточно отримуємо

х 1 = у 1/аі х 1 = у 2/а.

При цьому способі коефіцієнт амножиться на вільний член, як би "перекидається" до нього, тому його називають способом «перекидання». Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

приклад.

Розв'яжемо рівняння 2х 2 - 11х + 15 = 0.

Рішення.«Перекинемо» коефіцієнт 2 до вільного члена, в результаті отримаємо рівняння

у 2 - 11у + 30 = 0.

Відповідно до теореми Вієта

у 1 = 5 х 1 = 5/2x 1 = 2,5

у 2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

А. Нехай дано квадратне рівняння

ах 2+bх + с = 0,де а ≠ 0.

1) Якщо, а+b+ с = 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказ.Розділимо обидві частини рівняння на а ≠ 0, отримаємо наведене квадратне рівняння

x 2 + b/ a x + c/ a = 0.

Відповідно до теореми Вієта

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1 c/ a.

За умовою а –b+ с = 0,звідки b= а + с.Таким чином,

x 1 + x 2 = -а+ b/a= -1 - c/a,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

тобто. х 1 = -1і х 2 =c/ a, Що м потрібно довести.

приклади.

1) Розв'яжемо рівняння 345х 2 - 137х - 208 = 0.

Рішення.Оскільки а +b+ с = 0 (345 - 137 - 208 = 0),то

х 1 = 1, х 2 =c/ a = -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

2) Вирішимо рівняння 132х 2 - 247х + 115 = 0.

Рішення.Оскільки а +b+ с = 0 (132 - 247 + 115 = 0),то

х 1 = 1, х 2 =c/ a = 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2 k– парне число, то формулу коренів

приклад.

Розв'яжемо рівняння 3х2 - 14х + 16 = 0.

Рішення. Маємо: а = 3,b= - 14, с = 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два різні корені;