Визначити диференціальне рівняння з змінними, що розділяються. Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади розв'язків. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь

English: Wikipedia is making the site more secure. Ви використовуєте old web browser, який не може бути підключений до Wikipedia в майбутньому. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器、这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备または联络您的IT管理员。）.

Español: Wikipedia має в своєму розпорядженні el sitio mas seguro. Ви використовуєте свій navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacto a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en anglès.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipedia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, що не pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: 위키피디아는 사이트의 보안을 강화하고 있습니다.이용 브라우저는 버전이 오래되어, 향후 위키피디아에 접속할 수 없게 될 가능성이 있습니다.디바이스를 갱신하거나 IT 관리자에게 상담해 주세요.기술면의 상세한 갱신 정보는 아래에 영어로 제공됩니다.

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft нігт мейр на Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerat oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Для favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Hazznalj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alab olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia і framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Використовується для підтримки програмного забезпечення для TLS protocol versions, особливо TLSv1.0 і TLSv1.1, які ваш браузер використовується для підключення до наших мереж. Це зазвичай пов'язано з зареєстрованими браузерами, або за допомогою Android smartphones. Або це може бути interference від корпоративного або індивідуального "Web Security" software, який в даний час підвищує зв'язок безпеки.

Ви повинні upgrade вашого веб-браузера або іншогоwise fix це issue to access our sites. Цей message буде remain until Jan 1, 2020. Після того, як ваш браузер не може бути встановлений для підключення до наших серверів.

Розглянемо приклади розв'язання диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються.

1) Проінтегрувати диференціальне рівняння: (1+x²)dy-2xydx=0.

Дане рівняння є рівнянням з змінними, що розділяються, записане у вигляді

Залишаємо доданок з dy в лівій частині рівняння, з dx - переносимо в праву частину:

(1+x²)dy = 2xydx

Розділяємо змінні, тобто в лівій частині залишаємо тільки dy і все, що містить y у правій dx і x. І тому обидві частини рівняння ділимо на (1+x²) і y. Отримуємо

Інтегруємо обидві частини рівняння:

У лівій частині – табличний інтеграл. Інтеграл у правій частині можна знайти, наприклад, зробивши заміну t=1+x², тоді

dt=(1+x²)'dx=2xdx.

У прикладах, де можна провести потенціювання, тобто прибрати логарифми, зручно брати не З, а lnC. Саме так ми і зробимо: ln│y│=ln│t│+ln│C│. Оскільки сума логарифмів дорівнює логарифму твору, то ln│y│=ln│Сt│, звідки y=Ct. Робимо зворотну заміну і отримуємо загальне рішення: y=C(1+x²).

Ми ділили на 1+x² і на y за умови, що вони не дорівнюють нулю. Але 1+x² не дорівнює нулю за будь-яких x. А y=0 при З=0, в такий спосіб, втрати коріння не сталося.

Відповідь: y=C(1+x²).

2) Знайти загальний інтеграл рівняння

Змінні можна поділити.

Помножуємо обидві частини рівняння на dx і ділимо на

Отримуємо:

Тепер інтегруємо

У лівій частині – табличний інтеграл. Справа — робимо заміну 4-x²=t, тоді dt=(4-x²)'dx=-2xdx. Отримуємо

Якщо замість З взяти 1/2 ln│C│, можна відповідь записати компактніше:

Помножимо обидві частини на 2 і застосуємо властивість логарифму:

Ми ділили на

Вони не дорівнюють нулю: y²+1 — оскільки сума невід'ємних чисел не дорівнює нулю, а підкорене вираз не дорівнює нулю за змістом умови. Значить, втрати коріння не сталося.

3) a) Знайти загальний інтеграл рівняння (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0.

б) Знайти приватний інтеграл цього рівняння, що відповідає початковій умові y(е)=1.

а) Перетворимо ліву частину рівняння: y²(x+1)dx+x²(1-y)dy=0, потім

y²(x+1)dx=-x²(1-y)dy. Ділимо обидві частини на x²y² за умови, що ні x, ні y не дорівнюють нулю. Отримуємо:

Інтегруємо рівняння:

Оскільки різниця логарифмів дорівнює логарифму приватного, маємо:

Це загальний інтеграл рівняння. У процесі рішення ми ставили умову, що добуток x²y² не дорівнює нулю, звідки випливає, що x та y не повинні бути рівними нулю. Підставивши x=0 і y=0 за умови:(0.0²+0²)dx+(0²-0²0)dy=0 отримуємо правильну рівність 0=0. Отже, x=0 і y=0 також є рішеннями цього рівняння. Але в загальний інтеграл вони не входять за жодних С (нулі не можуть стояти під знаком логарифму і в знаменнику дробу), тому ці рішення слід записати додатково до загального інтегралу.

б) Оскільки y(е)=1, підставляємо отримане рішення x=e, y=1 і знаходимо З:

Приклади для самоперевірки:

Диференціальне рівняння з розділеними змінними записується як: (1). У цьому рівнянні один доданок залежить тільки від x, а другий від y. Проінтегрувавши почленно це рівняння, отримуємо:
- Його загальний інтеграл.

приклад: знайти загальний інтеграл рівняння:
.

Рішення: це рівняння – диференціальне рівняння з розділеними змінними. Тому
або
Позначимо
. Тоді
- Загальний інтеграл диференціального рівняння.

Рівняння з змінними, що розділяються, має вигляд (2). Рівняння (2) легко зводитися до рівняння (1) шляхом почленного поділу його на
. Отримуємо:

- Загальний інтеграл.

Приклад:Розв'язати рівняння .

Рішення: перетворимо ліву частину рівняння: . Ділимо обидві частини рівняння на

Рішенням є вираз:
тобто.

Однорідні диференціальні рівняння. Рівняння Бернуллі. Лінійні диференціальні рівняння першого ладу.

Рівняння виду називається однорідним, якщо
і
- Однорідні функції одного порядку (вимірювання). Функція
називається однорідною функцією першого порядку (вимірювання), якщо при множенні кожного її аргументу на довільний множник вся функція помножитися на , тобто.
=
.

Однорідне рівняння може бути приведене до вигляду
. За допомогою підстановки
(
)однорідне рівняння приводиться до рівняння з змінними, що розділяються, по відношенню до нової функції .

Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійнимякщо його можна записати у вигляді
.

Метод Бернуллі

Рішення рівняння
шукається як твори двох інших функцій, тобто. за допомогою підстановки
(
).

Приклад:проінтегрувати рівняння
.

Вважаємо
. Тоді, тобто. . Спочатку вирішуємо рівняння
=0:

.

Тепер вирішуємо рівняння
тобто.

. Отже, загальне рішення даного рівняння є
тобто.

Рівняння Я. Бернуллі

Рівняння виду , де
називається рівнянням Бернуллі. Це рівняння вирішується за допомогою методу Бернуллі.

Однорідні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами

Однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду (1) , де і постійні.

Приватні рішення рівняння (1) шукатимемо у вигляді
, де до- Деяке число. Диференціюючи цю функцію двічі і підставляючи вирази
в рівняння (1), отримаємот.
(2) (
).

Рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння.

При розв'язанні характеристичного рівняння (2) можливі три випадки.

Випадок 1.Коріння і рівняння (2) дійсні та різні:

і

.

Випадок 2Коріння і рівняння (2) дійсні та рівні:
. У цьому випадку частковими рішеннями рівняння (1) є функції
і
. Отже, загальне рішення рівняння (1) має вигляд
.

Випадок 3.Коріння і рівняння (2) комплексні:
,
. У цьому випадку частковими рішеннями рівняння (1) є функції
і
. Отже, загальне рішення рівняння (1) має вигляд

приклад.Розв'язати рівняння
.

Рішення:складемо характеристичне рівняння:
. Тоді
. Загальне рішення даного рівняння
.

Екстремум функції кількох змінних. Умовний екстремум.

Екстремум функції кількох змінних

Визначення.Точка М (х о ,у о ) називаєтьсяточкою максимуму (мінімуму) функціїz= f(x, у), якщо існує околиця точки М, така, що для всіх точок (х, у) з цієї околиці виконується нерівність
(
)

На рис. 1 точка А
- є точка мінімуму, а точка У
- точка максимуму.

НеобхіднеУмова екстремуму - багатовимірний аналог теореми Ферма.

Теорема.Нехай крапка
– є точка екстремуму функції, що диференціюєтьсяz= f(x, у). Тоді приватні похідні
і
вцій точці дорівнюють нулю.

Крапки, в яких виконані необхідні умови екстремуму функції z= f(x, у),тобто. приватні похідні z" x і z" y рівні нулю, називаються критичнимиабо стаціонарними.

Рівність приватних похідних нулю висловлює лише необхідну, але недостатню умову екстремуму функції кількох змінних.

На рис. зображено так звану сідлова точка М (х о ,у о ). Приватні похідні
і
рівні нулю, але, очевидно, ніякого екстремуму в точці М(х о ,у о ) ні.

Такі сідлові точки є двовимірними аналогами точок перегину функцій однієї змінної. Завдання полягає в тому, щоб відокремити їх від точок екстремуму. Іншими словами, потрібно знати достатняумова екстремуму.

Теорема (достатня умова екстремуму функції двох змінних).Нехай функціяz= f(x, у):а) визначена в деякій околиці критичної точки (х о ,у о ), в якій
=0 і
=0 ;

б) має у цій точці безперервні приватні похідні другого порядку
;

;
Тоді, якщо ∆=АС-В 2 >0, то в точці (х о ,у о ) функціяz= f(x, у) має екстремум, причому якщоА<0 - максимум, якщоА>0 - мінімум. У разі ∆=АС-В 2 <0, функция z= f(x, у) екстремуму немає. Якщо ∆=АС-В 2 =0, то питання наявності екстремуму залишається відкритим.

Дослідження функції двох змінних на екстремумрекомендується проводити за наступною схемою:

Знайти приватні похідні функції z" x і z" y .

Розв'язати систему рівнянь z" x =0, z" y =0 та знайти критичні точки функції.

Знайти приватні похідні другого порядку, обчислити їх значення у кожній критичній точці та за допомогою достатньої умови зробити висновок про наявність екстремумів.

Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.

приклад.Знайти екстремуми функції

Рішення. 1. Знаходимо приватні похідні

2. Критичні точки функції знаходимо із системи рівнянь:

має чотири рішення (1; 1), (1; -1), (-1; 1) та (-1; -1).

3. Знаходимо приватні похідні другого порядку:

;
;
обчислюємо їх значення в кожній критичній точці і перевіряємо в ній виконання достатньої умови екстремуму.

Наприклад, у точці (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; =0; С = -1. Оскільки ∆ =АС-В 2 = (-1) 2 -0=1 >0 та А=-1<0, то точка (1; 1) є точка максимуму.

Аналогічно встановлюємо, що (-1; -1) - точка мінімуму, а в точках (1; -1) та (-1; 1), в яких ∆ =АС-В 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Знаходимо екстремуми функції zmax = z(l; 1) = 2, zmin = z(-l; -1) = -2,

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Розглянемо задачу, специфічну для функцій кількох змінних, коли її екстремум шукається не на всій області визначення, а на множині, що задовольняє певну умову.

Нехай розглядається функція z = f(x, y), аргументи хі уякої задовольняють умові g(х,у)= З,званому рівнянням зв'язку.

Визначення.Крапка
називається точкоюумовного максимуму (мінімуму), якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх точок (х,у) з цієї околиці задовольняють умовіg (x, y) = С, виконується нерівність

(
).

На рис. зображено точку умовного максимуму
. Вочевидь, що вона є точкою безумовного екстремуму функції z = f(x, y) (на рис. це точка
).

Найбільш простим способом знаходження умовного екстремуму функції двох змінних є зведення завдання знайти екстремуму функції однієї змінної. Допустимо рівняння зв'язку g (x, y) = Звдалося дозволити щодо однієї із змінних, наприклад, висловити учерез х:
. Підставивши отриманий вираз у функцію двох змінних, отримаємо z = f(x, y) =
, тобто. функцію однієї змінної. Її екстремум і буде умовним екстремумом функції z = f(x, y).

приклад. х 2 + y 2 за умови 3х +2у = 11.

Рішення. Виразимо з рівняння 3х +2у = 11 змінну y через змінну x і підставимо отримане
у функціюz. Отримаємо z= x 2 +2
або z =
. Ця функція має єдиний мінімум при = 3. Відповідне значення функції
Таким чином, (3; 1) – точка умовного екстремуму (мінімуму).

У розглянутому прикладі рівняння зв'язку g(x, у) = Свиявилося лінійним, тому його легко вдалося дозволити щодо однієї зі змінних. Однак у складніших випадках зробити це не вдається.

Для пошуку умовного екстремуму у випадку використовується метод множників Лагранжа.

Розглянемо функцію трьох змінних

Ця функція називається функцією Лагранжа,а - множником Лагранжа.Вірна наступна теорема.

Теорема.Якщо точка
є точкою умовного екстремуму функціїz = f(x, y) за умовиg (x, y) = С, то існує значення таке, що крапка
є точкою екстремуму функціїL{ x, y, ).

Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції z = f(х,у)за умови g(x, y) = Спотрібно знайти рішення системи

На рис. показаний геометричний зміст умов Лагранжа. Лінія g(х,у)= З пунктирною, лінія рівня g(x, y) = Q функції z = f(x, y) суцільні.

З рис. слід, що у точці умовного екстремуму лінія рівня функції z = f(x, y) стосується лініїg(x, y) = З.

приклад.Знайти точки максимуму та мінімуму функції z = х 2 + y 2 за умови 3х +2у = 11, використовуючи метод множників Лагранжа.

Рішення. Складаємо функцію Лагранжа L= х 2 + 2у 2 +

Прирівнюючи до нуля її похідні, отримаємо систему рівнянь

Її єдине рішення (х=3, у=1, =-2). Таким чином, точкою умовного екстремуму може бути лише точка (3; 1). Неважко переконатися, що в цій точці функція z= f(x, y) має умовний мінімум.

Визначення 7.Рівняння виду називається рівнянням з роздільними змінними.

Це рівняння можна привести до виду, розділивши всі члени рівняння на твір.

Наприклад, вирішити рівняння

Рішення. Похідна рівна , значить

Розділяючи змінні, отримаємо:

Тепер інтегруємо:

Розв'яжіть диференціальне рівняння

Рішення. Це рівняння першого порядку з змінними, що розділяються. Для поділу змінних цього рівняння у вигляді і розділимо його почленно на твір. В результаті отримаємо або

інтегруючи обидві частини останнього рівняння, отримаємо спільне рішення

аrcsin y = arcsin x + C

Знайдемо тепер приватне рішення, що задовольняє початкові умови. Підставляючи у загальне рішення початкові умови, отримаємо

; звідки C=0

Отже, приватне рішення має вигляд arc sin y = arc sin x, але синуси рівних дуг рівні між собою

sin (arcsin y) = sin (arcsin x).

Звідки, за визначенням арксинусу, випливає, що y = x.

Однорідні диференціальні рівняння

Визначення 8.Диференціальне рівняння виду, яке можна привести до виду, називається однорідним.

Для інтегрування таких рівнянь роблять заміну змінних, вважаючи . Ця підстановка призводить до диференціального рівняння щодо x і t, у якому змінні поділяються, після чого рівняння можна інтегрувати. Для отримання остаточної відповіді треба змінну t замінити на .

Наприклад,вирішити рівняння

Рішення. Перепишемо рівняння так:

отримаємо:

Після скорочення на х 2 маємо:

Замінимо t на:

Запитання для повторення

1 Яке рівняння називається диференціальним?

2 Назвіть типи диференціальних рівнянь.

3 Розповісти алгоритми розв'язання всіх названих рівнянь.

Приклад 3

Рішення:Переписуємо похідну у потрібному нам вигляді:

Оцінюємо, чи можна поділити змінні? Можна. Переносимо другий доданок у праву частину зі зміною знака:

І перекидаємо множники за правилом пропорції:

Змінні розділені, інтегруємо обидві частини:

Повинен попередити, чи наближається судний день. Якщо ви погано вивчили невизначені інтеграли, Вирішували мало прикладів, то діватися нікуди - доведеться їх освоювати зараз.

Інтеграл лівої частини легко знайти , з інтегралом від котангенсу розправляємось стандартним прийомом, який ми розглядали на уроці Інтегрування тригонометричних функційминулого року:

У правій частині у нас вийшов логарифм, згідно з моєю першою технічною рекомендацією, у цьому випадку константу теж слід записати під логарифмом.

Тепер пробуємо спростити загальний інтеграл. Оскільки в нас одні логарифми, то їх цілком можна (і потрібно) позбутися. Максимально «упаковуємо» логарифми. Упаковка проводиться за допомогою трьох властивостей:

Будь ласка, перепишіть ці три формули до себе в робочий зошит, при вирішенні дифурів вони використовуються дуже часто.

Рішення розпишу дуже докладно:

Упаковка завершена, прибираємо логарифми:

Чи можна висловити «ігрок»? Можна. Треба звести у квадрат обидві частини. Але робити це не потрібно.

Третя технічна рада:Якщо для отримання загального рішення потрібно зводити до ступеня або добувати коріння, то в більшості випадківслід утриматися від цих дій та залишити відповідь у вигляді загального інтеграла. Справа в тому, що загальне рішення буде виглядати химерно і жахливо - з великим корінням, знаками.

Тому відповідь запишемо як загального інтеграла. Хорошим тоном вважається уявити загальний інтеграл як , тобто, у правій частині, наскільки можна, залишити лише константу. Робити це не обов'язково, але завжди вигідно порадувати професора;-)

Відповідь:загальний інтеграл:

Примітка: загальний інтеграл будь-якого рівняння можна записати не єдиним способом. Таким чином, якщо у вас не збігся результат із заздалегідь відомою відповіддю, то це ще не означає, що ви неправильно вирішили рівняння.

Загальний інтеграл також перевіряється досить легко, головне, вміти знаходити похідні від функції, заданої неявно. Диференціюємо відповідь:

Примножуємо обидва доданки на :

І ділимо на:

Отримано точно вихідне диференціальне рівняння , отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 4

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову. Виконати перевірку.

Це приклад самостійного рішення. Нагадую, що завдання Коші складається із двох етапів:
1) Знаходження загального рішення.
2) Знаходження приватного рішення.

Перевірка також проводиться в два етапи (див. також зразок Прикладу 2), потрібно:
1) Переконатися, що знайдене приватне рішення справді задовольняє початкову умову.
2) Перевірити, що окреме рішення взагалі задовольняє диференціальному рівнянню.

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Приклад 5

Знайти окреме рішення диференціального рівняння , що задовольняє початкову умову . Виконати перевірку.

Рішення:Спочатку знайдемо загальне рішення. Дане рівняння вже містить готові диференціали і, отже, рішення спрощується. Розділяємо змінні:

Інтегруємо рівняння:

Інтеграл ліворуч – табличний, інтеграл праворуч – беремо методом підведення функції під знак диференціалу:

Загальний інтеграл отримано, чи вдало висловити загальне рішення? Можна. Навішуємо логарифми:

(Сподіваюся, всім зрозуміло перетворення, такі речі треба вже знати)

Отже, загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданій початковій умові. У загальне рішення замість "ікса" підставляємо нуль, а замість "гравця" логарифм двох:

Більш звичайне оформлення:

Підставляємо знайдене значення константи у загальне рішення.

Відповідь:приватне рішення:

Перевірка: Спочатку перевіримо, чи виконано початкову умову:
- Все гуд.

Тепер перевіримо, чи задовольняє взагалі знайдене приватне рішення диференційному рівнянню. Знаходимо похідну:

Дивимося на вихідне рівняння: - Воно представлено в диференціалах. Є два способи перевірки. Можна зі знайденої похідної висловити диференціал:

Підставимо знайдене приватне рішення та отриманий диференціал у вихідне рівняння :

Використовуємо основну логарифмічну тотожність:

Отримано правильну рівність, отже, приватне рішення знайдено правильно.

Другий спосіб перевірки дзеркальних і звичніший: із рівняння висловимо похідну, для цього розділимо всі штуки на:

І в перетворене ДК підставимо отримане приватне рішення та знайдену похідну. В результаті спрощень теж має вийти правильна рівність.

Приклад 6

Розв'язати диференціальне рівняння. Відповідь подати у вигляді загального інтеграла.

Це приклад для самостійного рішення, повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Які труднощі підстерігають при вирішенні диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються?

1) Не завжди очевидно (особливо, чайнику), що змінні можна поділити. Розглянемо умовний приклад: . Тут необхідно провести винесення множників за дужки: і відокремити коріння: . Як діяти далі – зрозуміло.

2) Складнощі при самому інтегруванні. Інтеграли нерідко виникають не найпростіші, і якщо є вади у навичках знаходження невизначеного інтегралу, то з багатьма диффурами доведеться туго. До того ж у укладачів збірок і методик популярна логіка «якщо диференціальне рівняння є простим, то нехай інтеграли будуть складнішими».

3) Перетворення з константою. Як помітили, з константою в диференціальних рівняннях можна робити практично все, що завгодно. І не завжди такі перетворення зрозумілі новачкові. Розглянемо ще один умовний приклад: . У ньому доцільно помножити всі складові на 2: . Отримана константа - це теж якась константа, яку можна позначити через: . Так, якщо в правій частині логарифм, то константу доцільно переписати у вигляді іншої константи: .

Біда ж полягає в тому, що часто не морочаться з індексами, і використовують одну і ту ж літеру. І в результаті запис рішення набуває такого вигляду:

Що за фігня? Відразу помилки. Формально – так. А неформально - помилки немає, мається на увазі, що при перетворенні константи все одно виходить якась інша константа.

Або такий приклад, припустимо, що в ході рішення рівняння отримано загальний інтеграл. Така відповідь виглядає негарно, тому доцільно змінити у всіх множників знаки: . Формально по запису тут знову помилка, слід записати . Але неформально мається на увазі, що це все одно якась інша константа (тим більше може приймати будь-яке значення), тому зміна у константи знака не має ніякого сенсу і можна використовувати одну і ту ж букву .

Я намагатимуся уникати недбалого підходу, і все-таки проставляти у констант різні індекси при їх перетворенні.

Приклад 7

Розв'язати диференціальне рівняння. Виконати перевірку.

Рішення:Це рівняння допускає поділ змінних. Розділяємо змінні:

Інтегруємо:

Константу тут не обов'язково визначати під логарифм, оскільки нічого путнього з цього не вийде.

Відповідь:загальний інтеграл:

Перевірка: Диференціюємо відповідь (неявну функцію):

Позбавляємося дробів, для цього множимо обидва доданки на :

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 8

Знайти приватне рішення дистанційного керування.
,

Це приклад самостійного рішення. Єдиний коментар, тут вийде загальний інтеграл, і, правильніше кажучи, потрібно вимудритися знайти не приватне рішення, а приватний інтеграл. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як зазначалося, в дифурах з перемінними, що розділяються, нерідко вимальовуються не найпростіші інтеграли. І ось ще кілька таких прикладів для самостійного рішення. Рекомендую всім вирішувати приклади №№9-10, незалежно від рівня підготовки, це дозволить актуалізувати навички знаходження інтегралів або заповнити прогалини у знаннях.

Приклад 9

Розв'язати диференціальне рівняння

Приклад 10

Розв'язати диференціальне рівняння

Пам'ятайте, що загальний інтеграл можна записати не єдиним способом, і зовнішній вигляд ваших відповідей може відрізнятись від зовнішнього вигляду моїх відповідей. Короткий хід рішення та відповіді наприкінці уроку.

Успішного просування!

Рішення та відповіді:

Приклад 4:Рішення: Знайдемо спільне рішення. Розділяємо змінні:

Інтегруємо:

Загальний інтеграл отримано, намагаємось його спростити. Упаковуємо логарифми і позбавляємося їх:

Виражаємо функцію у явному вигляді, використовуючи .
Загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що задовольняє початкову умову .
Спосіб перший, замість "ікса" підставляємо 1, замість "гравця" - "е":
.
Спосіб другий:

Підставляємо знайдене значення константи у загальне рішення.
Відповідь: приватне рішення:

Перевірка: Перевіряємо, чи справді виконується початкова умова:
так, початкова умова виконано.
Перевіряємо, чи взагалі задовольняє приватне рішення диференційного рівняння. Спочатку знаходимо похідну:

Підставимо отримане приватне рішення та знайдену похідну у вихідне рівняння :

Отримано правильну рівність, отже, рішення знайдено правильно.

Приклад 6:Рішення: Це рівняння допускає поділ змінних. Розділяємо змінні та інтегруємо:

Відповідь: загальний інтеграл:

Примітка: тут можна отримати загальне рішення:

Але, згідно з моєю третьою технічною порадою, робити це небажано, оскільки така відповідь виглядає досить хроново.

Приклад 8:Рішення: Це ДК допускає поділ змінних. Розділяємо змінні:

Інтегруємо:

Загальний інтеграл:
Знайдемо приватне рішення (приватний інтеграл), що відповідає заданій початковій умові . Підставляємо у загальне рішення і :

Відповідь: Приватний інтеграл:
У принципі, відповідь можна причесувати і отримати щось компактніше. .

Диференціальні рівняння.

Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння.

Визначення 1.Звичайним диференціальним рівнянням n- го порядку для функції y аргументу x називається співвідношення виду

де F - Задана функція своїх аргументів. У назві цього класу математичних рівнянь термін «диференціальне» наголошує, що до них входять похідні. (функції, утворені як наслідок диференціювання); термін – «звичайне» свідчить, що потрібна функція залежить лише від одного дійсного аргументу.

Звичайне диференціальне рівняння може не містити у явному вигляді аргумент x, потрібну функцію та будь-які її похідні, але старша похідна повинна входити до рівняння n-го порядку. Наприклад

а) – рівняння першого порядку;

б) - Рівняння третього порядку.

При написанні звичайних диференціальних рівнянь часто використовуються позначення похідних через диференціали:

в) - Рівняння другого порядку;

г) – рівняння першого порядку,

що утворює після поділу на dxеквівалентну форму завдання рівняння: .

Функція називається рішенням звичайного диференціального рівняння, якщо при підстановці до нього воно перетворюється на тотожність.

Наприклад, рівняння 3-го порядку

Має рішення .

Знайти тим чи іншим прийомом, наприклад, підбором, одну функцію, яка задовольняє рівняння, означає вирішити його. Вирішити звичайне диференціальне рівняння - значить знайти всефункції, що утворюють при підстановці рівняння тотожність. Для рівняння (1.1) сімейство таких функцій утворюється за допомогою довільних постійних і називається загальним рішенням звичайного диференціального рівняння n-го порядку, причому число констант збігається з порядком рівняння: Загальне рішення може бути, і не дозволено явно щодо y(x): У цьому випадку рішення прийнято називати загальним інтегралом рівняння (1.1)

Наприклад, загальним рішенням диференціального рівняння є наступне вираз: , причому другий доданок може бути записаний і як , так як довільна постійна , поділена на 2, може бути замінена новою довільною постійною .

Задаючи деякі допустимі значення всім довільним постійним у загальному рішенні або у загальному інтегралі, отримуємо певну функцію, яка вже не містить довільних констант. Ця функція називається приватним рішенням чи приватним інтегралом рівняння (1.1). Для відшукання значень довільних постійних, отже, і приватного рішення, використовуються різні додаткові умови рівняння (1.1). Наприклад, можуть бути задані так звані початкові умови (1.2)

У правих частинах початкових умов (1.2) задані числові значення функції та похідних, причому, загальна кількість початкових умов дорівнює числу довільних констант, що визначаються.

Завдання пошуку приватного рішення рівняння (1.1) за початковими умовами називається завданням Коші.

§ 2. Прості диференціальні рівняння 1-го порядку – основні поняття.

Просте диференціальне рівняння 1-го порядку ( n=1) має вигляд: або, якщо його вдається дозволити щодо похідної: . Загальне рішення y=y(x,С) або загальний інтеграл рівняння 1-го порядку містять одну довільну постійну. Єдина початкова умова для рівняння 1-го порядку дозволяє визначити значення константи із загального рішення чи загального інтеграла. Таким чином, буде знайдено приватне рішення або, що також, буде вирішено завдання Коші. Питання існування та єдиності рішення завдання Коші одна із центральних у загальній теорії звичайних диференціальних рівнянь. Для рівняння 1-го порядку, зокрема, справедлива теорема, яка тут приймається без доказу.

Теорема 2.1.Якщо у рівнянні функція та її приватна похідна безперервні у певній області D площині XOY , і в цій галузі задана точка , то існує і до того ж єдине рішення , що задовольняє як рівнянню , так і початковій умові .

Геометрично загальне рішення рівняння 1-го порядку є сімейством кривих на площині. XOY, що не мають спільних точок і відрізняються один від одного одним параметром - значенням константи C. Ці криві називаються інтегральними кривими даного рівняння. Інтегральні криві рівняння мають очевидну геометричну властивість: у кожній точці тангенс кута нахилу дотичної до кривої дорівнює значенню правої частини рівняння в цій точці: . Іншими словами, рівняння задається у площині XOYполе напрямів, що стосуються інтегральних кривих. Примітка:Необхідно відзначити, що до рівняння наводиться рівняння та так зване рівняння у симетричній формі .