парної, якщо за всіх \(x\) з її області визначення правильно: \(f(-x)=f(x)\) .
Графік парної функції симетричний щодо осі \(y\):
Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) є парною, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається непарною, якщо за всіх \(x\) з її області визначення правильно: \(f(-x)=-f(x)\) .
Графік непарної функції симетричний щодо початку координат:
Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 3 + x \) є непарною, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Функції, що не є ні парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію можна завжди єдиним чиномподати у вигляді суми парної та непарної функції.
Наприклад, функція \(f(x)=x^2-x\) є сумою парної функції \(f_1=x^2\) і непарної \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Деякі властивості:
1) Твір і приватне двох функцій однакової парності – парна функція.
2) Твір і приватне двох функцій різної парності - непарна функція.
3) Сума та різниця парних функцій - парна функція.
4) Сума та різниця непарних функцій - непарна функція.
5) Якщо \(f(x)\) - парна функція, то рівняння \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) має єдиний корінь тоді і тільки коли, коли \(x =0\).
6) Якщо \(f(x)\) - парна або непарна функція, і рівняння \(f(x)=0\) має корінь \(x=b\) , то це рівняння обов'язково матиме другий корінь \(x =-b) .
\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається періодичною на \(X\) , якщо для деякого числа \(T\ne 0\) виконано \(f(x)=f(x+T) \) , Де \ (x, x + T \ in X \) . Найменше \(T\) , для якого виконано цю рівність, називається головним (основним) періодом функції.
У періодичної функції будь-яке число виду \(nT\) , де \(n\in \mathbb(Z)\) також буде періодом.
Приклад: будь-яка тригонометрична функціяє періодичною;
у функцій \(f(x)=\sin x\) і \(f(x)=\cos x\) головний період дорівнює \(2\pi\) , у функцій \(f(x)=\mathrm( tg)\,x\) і \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) головний період дорівнює \(\pi\) .
Для того, щоб побудувати графік періодичної функції, можна побудувати її графік на будь-якому відрізку довжиною (T) (головний період); тоді графік всієї функції добудовується зрушенням побудованої частини на ціле число періодів праворуч і ліворуч:
\(\blacktriangleright\) Область визначення \(D(f)\) функції \(f(x)\) - це безліч, що складається з усіх значень аргументу \(x\), при яких функція має сенс (визначена).
Приклад: у функції \(f(x)=\sqrt x+1\) область визначення: \(x\in
Завдання 1 #6364
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
При яких значеннях параметра \(a\) рівняння
має єдине рішення?
Зауважимо, що оскільки \(x^2\) і \(\cos x\) - парні функції, якщо рівняння матиме корінь \(x_0\) , воно також матиме і корінь \(-x_0\) .
Справді, хай \(x_0\) – корінь, тобто рівність \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)вірно. Підставимо \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Таким чином, якщо \(x_0\ne 0\) , то рівняння вже матиме як мінімум два корені. Отже, \ (x_0 = 0 \) . Тоді:
Ми отримали два значення параметра \(a\). Зауважимо, що ми використовували те, що (x=0) точно є коренем вихідного рівняння. Але ми ніде не використовували те, що він єдиний. Отже, потрібно підставити значення параметра \(a\) у вихідне рівняння і перевірити, при яких саме \(a\) корінь \(x=0\) дійсно буде єдиним.
1) Якщо \(a=0\) , то рівняння набуде вигляду \(2x^2=0\) . Очевидно, що це рівняння має лише один корінь (x = 0). Отже, значення (a = 0) нам підходить.
2) Якщо \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , то рівняння набуде вигляду \ Перепишемо рівняння у вигляді \ Бо \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), то \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Отже, значення правої частини рівняння (*) належать відрізку \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Оскільки \(x^2\geqslant 0\) , то ліва частинарівняння (*) більше або дорівнює \(0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \) .
Таким чином, рівність (*) може виконуватися тільки тоді, коли обидві частини рівняння дорівнюють \(\mathrm(tg)^2\,1\) . А це означає, що \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Отже, значення (a = - mathrm (tg), 1) нам підходить.
Відповідь:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Завдання 2 #3923
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких графік функції \
симетричний щодо початку координат.
Якщо графік функції симетричний щодо початку координат, то така функція є непарною, тобто виконано \(f(-x)=-f(x)\) для будь-якого \(x\) з області визначення функції. Таким чином, потрібно знайти значення параметра, при яких виконано \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8pi a+3x)4= -\left(3\) mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8pi-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ , \ dfrac (ax) 5 + 2 sin dfrac(8pi-3x)4right)quadRightarrowRightarrowquad &sindfrac(8pia+3x)4+sindfrac(8pi- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8pi a+3x)4+dfrac(8pi-3x)4right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8pi a+3x)4-dfrac(8pi-3x)4right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]
Останнє рівняння має бути виконане для всіх \(x\) з області визначення \(f(x)\) , отже, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Відповідь:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Завдання 3 #3069
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння має 4 рішення, де \(f\) – парна періодична з періодом \(T=\dfrac(16)3\) функція, визначена на всій числовій прямій , причому \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Завдання від передплатників)
Так як \(f(x)\) - парна функція, то її графік симетричний щодо осі ординат, отже, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Таким чином, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), а це відрізок довжиною \(\dfrac(16)3\) , функція \(f(x)=ax^2\).
1) Нехай \ (a> 0 \). Тоді графік функції \(f(x)\) виглядатиме так: 
Тоді для того, щоб рівняння мало 4 рішення, потрібно, щоб графік \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) проходив через точку \(A\) : 
Отже, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\&9(a +2)=-32a \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( gathered) \right.\]Так як \ (a> 0 \), то підходить \ (a = \ dfrac (18) (23) \).
2) Нехай (a)<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Потрібно, щоб графік \(g(x)\) пройшов через точку \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\]Оскільки \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Випадок, коли \(a=0\) , не підходить, тому що тоді \(f(x)=0\) при всіх \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) і рівняння матиме лише 1 корінь.
Відповідь:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
Завдання 4 #3072
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення \(a\) , при кожному з яких рівняння \
має хоча б один корінь.
(Завдання від передплатників)
Перепишемо рівняння у вигляді \
і розглянемо дві функції: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) і \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Функція \(g(x)\) є парною, має точку мінімуму \(x=0\) (причому \(g(0)=49\)).
Функція \(f(x)\) при \(x>0\) є спадною, а при \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Дійсно, при \(x>0\) другий модуль розкриється позитивно (\(|x|=x\) ), отже, незалежно від того, як розкриється перший модуль, \(f(x)\) буде дорівнює \( kx+A\) , де \(A\) - вираз від \(a\) , а \(k\) дорівнює або \(-9\) , або \(-3\) . При \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Знайдемо значення \(f\) у точці максимуму: \ 
Для того, щоб рівняння мало хоча б одне рішення, потрібно, щоб графіки функцій (f) і (g) мали хоча б одну точку перетину. Отже, потрібно: \ \\]
Відповідь:
\(a\in \(-7\)\cup\)
Завдання 5 #3912
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \
має шість різних рішень.
Зробимо заміну \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Тоді рівняння набуде вигляду \
Поступово виписуватимемо умови, за яких вихідне рівняння матиме шість рішень.
Зауважимо, що квадратне рівняння \((*)\) може мати максимум два рішення. Будь-яке кубічне рівняння (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) може мати не більше трьох рішень. Отже, якщо рівняння \((*)\) має два різні рішення (позитивних!, оскільки \(t\) має бути більше нуля) \(t_1\) і \(t_2\) , то, зробивши зворотну заміну, ми отримаємо: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4) = t_2 \ end (aligned) \ end (gathered) \ right.Так як будь-яке позитивне число можна представити як \(\sqrt2\) якоюсь мірою, наприклад, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), то перше рівняння сукупності перепишеться як \
Як ми вже говорили, будь-яке кубічне рівняння має не більше трьох рішень, отже, кожне рівняння із сукупності матиме не більше трьох рішень. А значить, і вся сукупність матиме не більше шести рішень.
Отже, щоб вихідне рівняння мало шість рішень, квадратне рівняння \((*)\) повинно мати два різні рішення, а кожне отримане кубічне рівняння (з сукупності) повинно мати три різні рішення (причому жодне рішення одного рівняння не повинно збігатися з яким або рішенням другого!)
Очевидно, якщо квадратне рівняння \((*)\) матиме одне рішення, то ми ніяк не отримаємо шість рішень у вихідного рівняння.
Таким чином, план рішення стає зрозумілим. Давайте по пунктах випишемо умови, які мають виконуватися.
1) Щоб рівняння \((*)\) мало два різні рішення, його дискримінант має бути позитивним: \
2) Також потрібно, щоб обидва корені були позитивними (оскільки \(t>0\) ). Якщо добуток двох коренів позитивний і сума їх позитивна, то і самі корені будуть позитивними. Отже, потрібно: \[\begin(cases) 12-a>0\\(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Таким чином, ми вже забезпечили собі два різні позитивні корені \(t_1\) і \(t_2\).
3)
Давайте подивимося на таке рівняння \
За яких \(t\) воно матиме три різні рішення? Таким чином, ми визначили, що обидва корені рівняння ((*)) повинні лежати в інтервалі ((1; 4)). Як записати цю умову? мало чотири різних кореня, відмінних від нуля, що представляють разом з (x=0) арифметичну прогресію. Зауважимо, що функція \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) є парною, отже, якщо \(x_0\) є коренем рівняння \((*)\ ) , то й \(-x_0\) буде його коренем. Тоді необхідно, щоб корінням цього рівняння були впорядковані за зростанням числа: \(-2d, -d, d, 2d\) (тоді \(d>0\)). Саме тоді ці п'ять чисел будуть утворювати арифметичну прогресію (з різницею (d)). Щоб цим корінням були числа \(-2d, -d, d, 2d\) , потрібно, щоб числа \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) були корінням рівняння \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\). Тоді за теоремою Вієта: Перепишемо рівняння у вигляді \
і розглянемо дві функції: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) та \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Для того, щоб рівняння мало хоча б одне рішення, потрібно, щоб графіки функцій (f) і (g) мали хоча б одну точку перетину. Отже, потрібно: \
Вирішуючи цю сукупність систем, отримаємо відповідь: \\]
Відповідь: \(a\in \(-2\)\cup\) Які тією чи іншою мірою були вам знайомі. Там було помічено, що запас властивостей функцій поступово поповнюватиметься. Про дві нові властивості і йтиметься у цьому параграфі. Визначення 1. Функцію у = f(x), х є Х, називають парною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = f(х). Визначення 2. Функцію у = f(x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = -f(х). Довести, що у = х 4 – парна функція. Рішення. Маємо: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Але (-х) 4 = х4. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = f(х), тобто. функція є парною. Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними. Довести, що у = х 3 ~ непарна функція. Рішення. Маємо: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Але (-х) 3 = -х 3 . Отже, будь-якого х виконується рівність f (-х) = -f (х), тобто. функція є непарною. Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х 5, у = х 7 є непарними. Ми з вами неодноразово переконувалися у цьому, нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто. їх можна якимось чином пояснити. Така справа і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число можна зробити висновок: якщо n - непарне число, то функція у = х" - непарна; якщо ж n – парне число, то функція у = хn – парна. Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Насправді, f(1) = 5, а f(-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватися ні тотожність f(-х) = f ( х), ні тотожність f(-х) = -f(х). Отже, функція може бути парною, непарною, а також жодною. Вивчення питання, чи є задана функція парної чи непарної, зазвичай називають дослідженням функції на парність. У визначеннях 1 і 2 йдеться про значення функції у точках х і -х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці -х. Це означає, що точка -х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом із кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симетричні множини, тоді як ; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні. – У парних функційобласть визначення - симетрична множина? У непарних? Слайд
Алгоритм дослідження функції на парність 1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму. 2. Скласти вираз для f(–х). 3. Порівняти f(–х).і f(х): Приклади:
Дослідити на парність функцію а) у= х 5 +; б) у=; в) у= . Рішення. а) h(х) = х 5 +, 1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина. 2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +), 3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна. б) у =, у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна. в) f(х) = , у = f (х), 1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]? Варіант 2 1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)? а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у = Взаємоперевірка з слайд. 6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22; Доказ геометричного змісту якості парності. ***(Завдання варіанта ЄДІ). 1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х)
= х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3. 7. Підбиття підсумків
Розглянемо функцію \(f(x)=x^3-3x^2+4\).
Можна розкласти на множники: \
Отже, її нулі: \ (x = -1; 2 \).
Якщо визначити похідну \(f"(x)=3x^2-6x\) , ми отримаємо дві точки екстремуму \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Отже, графік виглядає так: 
Ми, будь-яка горизонтальна пряма \(y=k\) , де \(0
Таким чином, потрібно: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Давайте також відразу зауважимо, що якщо числа \(t_1\) і \(t_2\) різні, то і числа \(\log_(\sqrt2)t_1\) і \(\log_(\sqrt2)t_2\) будуть різні, значить, і рівняння \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)і \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)матимуть коріння, що не співпадає між собою.
Систему \((**)\) можна переписати так: \[\begin(cases) 1
У явному вигляді виписувати коріння ми не будемо.
Розглянемо функцію \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Її графік – парабола з гілками догори, яка має дві точки перетину з віссю абсцис (цю умову ми записали у пункті 1)). Як має виглядати її графік, щоб точки перетину з віссю абсцис були в інтервалі \((1;4)\)? Так: 
По-перше, значення \(g(1)\) та \(g(4)\) функції в точках \(1\) і \(4\) повинні бути позитивними, по-друге, вершина параболи \(t_0\) ) повинна також перебувати в інтервалі \((1;4)\). Отже, можна записати систему: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Функція \(g(x)\) має точку максимуму \(x=0\) (причому \(g_(\text(верш))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Нуль похідної: \ (x = 0 \). При (x<0\)
имеем: \(g">0\) при \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Функція \(f(x)\) при \(x>0\) є зростаючою, а при \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Дійсно, при \(x>0\) перший модуль розкриється позитивно (\(|x|=x\) ), отже, незалежно від того, як розкриється другий модуль, \(f(x)\) буде дорівнює \( kx+A\) , де \(A\) - вираз від \(a\) , а \(k\) дорівнює або \(13-10=3\) , або \(13+10=23\). При (x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Знайдемо значення \(f\) у точці мінімуму: \
– Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Таким чином, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же дослідити функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.
а); б) у = х · (5 - х 2).2. Дослідіть на парність функцію:
3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, які задовольняють умові х?
0.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) - парна функція. 
3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, які задовольняють умові х? 0.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) – непарна функція. 
