Нехай дві прямі l і m на площині в системі декартової координат задані загальними рівняннями: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Вектори нормалей до даних прямих: = (A 1 , B 1) – до прямої l,

= (A 2, B 2) – до прямої m.

Нехай j – кут між прямими l та m.

Оскільки кути з взаємно перпендикулярними сторонами або рівні, або сумі становлять p, то тобто cos j = .

Отже, ми довели таку теорему.

Теорема.Нехай j - кут між двома прямими на площині, і нехай ці прямі задані в системі декарт координат загальними рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тоді cos j = .

Вправи.

1) Виведіть формулу для обчислення кута між прямими, якщо:

(1) обидві прямі задані параметрично; (2) обидві прямі задані канонічними рівняннями; (3) одна пряма задана параметрично, інша пряма – загальним рівнянням; (4) обидві прямі задані рівнянням із кутовим коефіцієнтом.

2) Нехай j - кут між двома прямими на площині, і нехай ці прямі задані декартовою системою координат рівняннями y = k 1 x + b 1 і y = k 2 x + b 2 .

Тоді tg j =.

3) Дослідіть взаємне розташування двох прямих, заданих загальними рівняннями в декартовій системі координат, та заповніть таблицю:

Відстань від точки до прямої на площині.

Нехай на площині в системі декарт координат пряма l задана загальним рівнянням Ax + By + C = 0. Знайдемо відстань від точки M(x 0 , y 0) до прямої l.

Відстань від точки M до прямої l – це довжина перпендикуляра HM (H l, HM ^ l).

Вектор та вектор нормали до прямої l колінеарні, так що | | = | | | | та | | =.

Нехай координати точки H(x, y).

Оскільки точка H належить прямий l, то Ax + By + C = 0 (*).

Координати векторів і: = (x0 - x, y0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By, див. (*))

Теорема.Нехай пряма l задана в декартовій системі координат загальним рівнянням Ax + By + C = 0. Тоді відстань від точки M(x 0 , y 0) до цієї прямої обчислюється за такою формулою: r (M; l) = .

Вправи.

1) Виведіть формулу для обчислення відстані від точки до прямої, якщо: (1) пряма задана параметрично; (2) пряма задана канонічним рівнянням; (3) пряма задана рівнянням із кутовим коефіцієнтом.

2) Напишіть рівняння кола, що стосується прямої 3x – y = 0, з центром у точці Q(-2,4).

3) Напишіть рівняння прямих, що ділять кути, утворені перетином прямих 2x + y - 1 = 0 і x + y + 1 = 0 навпіл.

§ 27. Аналітичне завдання площини у просторі

Визначення. Вектор нормали до площини.називатимемо ненульовий вектор, будь-який представник якого перпендикулярний даній площині.

Зауваження.Зрозуміло, якщо хоча б один представник вектора перпендикулярний площині, то й інші представники вектора перпендикулярні цій площині.

Нехай у просторі задана декартова система координат.

Нехай дана площина a = (A, B, C) – вектор нормалі до цієї площини, точка M (x 0 , y 0 , z 0) належить площині a.

Для будь-якої точки N(x, y, z) площини a вектори і ортогональні, тобто їх скалярний добуток дорівнює нулю: = 0. Запишемо останню рівність у координатах: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Нехай Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, тоді Ax + By + Cz + D = 0.

Візьмемо точку К (x, y) таку, що Ax + By + Cz + D = 0. Так як D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 то A(x – x 0) + B(y – y 0) + C(z – z 0) = 0.Оскільки координати спрямованого відрізка = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), то остання рівність означає, що ^ і, отже, K a.

Отже, ми довели таку теорему:

Теорема.Будь-яку площину у декартовій системі координат можна задати рівнянням виду Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), де (A, B, C) – координати вектора нормалі до цієї площини.

Правильне і зворотне.

Теорема.Будь-яке рівняння виду Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) у декартовій системі координат задає деяку площину, при цьому (A, B, C) – координати вектора нормалі до цієї площини.

Доказ.

Візьмемо точку M (x 0 , y 0 , z 0) таку, що Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 і вектор = (A, B, C) (≠q).

Через точку M перпендикулярно вектору проходить площину (і лише одна). За попередньою теоремою ця площина задається рівнянням Ax + By + Cz + D = 0.

Визначення.Рівняння виду Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) називається загальним рівнянням площини.

приклад.

Напишемо рівняння площини, що проходить через точки M(0,2,4), N(1,-1,0) та K(-1,0,5).

1. Знайдемо координати вектора нормалі до площини (MNK). Оскільки векторний твір ортогонально не колінеарним векторам і , то вектор колінеарний .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

' = (-11, 3, -5).

Отже, як вектор нормалі візьмемо вектор = (-11, 3, -5).

2. Скористаємося тепер результатами першої теореми:

рівняння даної площини A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 де (A, B, C) – координати вектора нормалі, (x 0 , y 0 , z 0) – координати точки, що лежить у площині (наприклад, точки M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Відповідь: -11x + 3y – 5z + 14 = 0.

Вправи.

1) Напишіть рівняння площини, якщо

(1) площина проходить через точку M (-2,3,0) паралельно площині 3x + y + z = 0;

(2) площина містить вісь (Ox) і перпендикулярна до площини x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Напишіть рівняння площини через три дані точки.

§ 28. Аналітичне завдання напівпростору*

Зауваження*. Нехай фіксовано деяку площину. Під напівпросторомми розумітимемо безліч точок, що лежать по одну сторону від даної площини, тобто дві точки лежать в одному напівпросторі, якщо відрізок, що їх з'єднує, не перетинає цю площину. Ця площина називається кордоном цього напівпростору. Об'єднання даної площини та напівпростору називатимемо замкнутим напівпростором.

Нехай у просторі фіксована декартова система координат.

Теорема.Нехай площину a задана загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0. Тоді один із двох напівпросторів, на які площину a ділить простір, задається нерівністю Ax + By + Cz + D > 0, а другий напівпростір задається нерівністю Ax + By + Cz+D< 0.

Доказ.

Відкладемо вектор нормалі = (A, B, С) до площини a від точки M (x 0 , y 0 , z 0), що лежить на даній площині: = , M a, MN ^ a. Площина ділити простір на два напівпростори: b1 і b2. Зрозуміло, що точка N належить одному з цих напівпросторів. Без обмеження спільності вважатимемо, що N Î b 1 .

Доведемо, що напівпростір b 1 визначається нерівністю Ax + By + Cz + D > 0.

1) Візьмемо точку K(x,y,z) у напівпросторі b 1 . Кут NMK – кут між векторами і - гострий, тому скалярний добуток цих векторів позитивно: > 0. Запишемо цю нерівність у координатах: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, тобто Ax + By + Cy – Ax 0 – By 0 – C z 0 > 0.

Оскільки M Î b 1 , то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, тому -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Отже, останню нерівність можна записати так: Ax + By + Cz + D> 0.

2) Візьмемо точку L(x,y) таку, що Ax + By + Cz + D> 0.

Перепишемо нерівність, замінивши D на (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (оскільки M Î b 1 , то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y – y 0) + C(z – z 0) > 0.

Вектор із координатами (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) – це вектор , тому вираз A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) можна розуміти як скалярний добуток векторів і . Так як скалярний добуток векторів і позитивно, то кут між ними гострий і точка L b 1 .

Аналогічно можна довести, що напівпростір b 2 задається нерівністю Ax + By + Cz + D< 0.

Зауваження.

1) Зрозуміло, що доказ, наведений вище, не залежить від вибору точки M у площині a.

2) Зрозуміло, що той самий напівпростір можна поставити різними нерівностями.

Правильне і зворотне.

Теорема.Будь-яка лінійна нерівність виду Ax + By + Cz + D > 0 (або Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Доказ.

Рівняння Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) у просторі задає деяку площину a (див. § …). Як було доведено в попередній теоремі один із двох напівпросторів, на які площину ділить простір задається нерівністю Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Зауваження.

1) Зрозуміло, що замкнутий напівпростір можна задати несуворою лінійною нерівністю, і будь-яку нестрогу лінійну нерівність в декартовій системі координат задає замкнутий напівпростір.

2) Будь-який опуклий багатогранник можна задати як перетин замкнутих напівпросторів (кордони яких – це площини, що містять грані багатогранника), тобто аналітично – системою лінійних нестрогих нерівностей.

Вправи.

1) Доведіть дві подано теореми для довільної афінної системи координат.

2) Чи вірне протилежне, що будь-яка система нестрогих лінійних нерівностей задає опуклий багатокутник?

Вправа.

1) Дослідіть взаємне розташування двох площин, заданих загальними рівняннями в системі декарт координат, і заповніть таблицю.

Нехай у просторі задані прямі lі m. Через деяку точку А простору проведемо прямі l 1 || lі m 1 || m(Рис. 138).

Зауважимо, що точка А може бути обрана довільно, зокрема, вона може лежати на одній з даних прямих. Якщо прямі lі mперетинаються, то за А можна взяти точку перетину цих прямих ( l 1 = lі m 1 = m).

Кутом між непаралельними прямими lі mназивається величина найменшого із суміжних кутів, утворених прямими, що перетинаються. l 1 і m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Кут між паралельними прямими вважається рівним нулю.

Кут між прямими lі mпозначається \(\widehat((l;m)) \). З визначення слід, що й він вимірюється у градусах, то 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, а якщо в радіанах, то 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Завдання.Даний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 139).

Знайти кут між прямими АВ та DС 1 .

Прямі АВ і DС 1 схрещуються. Так як пряма DC паралельна прямий АВ, то кут між прямими АВ і DС 1 згідно з визначенням дорівнює \(\widehat(C_(1)DC)\).

Отже, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45 °.

Прямі lі mназиваються перпендикулярнимиякщо \(\widehat((l;m)) \) = π / 2 . Наприклад, у кубі

Обчислення кута між прямими.

Завдання обчислення кута між двома прямими у просторі вирішується так само, як і на площині. Позначимо через φ величину кута між прямими l 1 і l 2 а через ψ - величину кута між напрямними векторами а і b цих прямих.

Тоді, якщо

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (рис. 206,6), то φ = 180 ° - ψ. Вочевидь, що у обох випадках правильна рівність cos φ = |cos ψ|. За формулою (косинус кута між ненульовими векторами а і b дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їх довжин) маємо

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

отже,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Нехай прямі задані своїми канонічними рівняннями

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; та \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Тоді кут між прямими визначається за допомогою формули

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Якщо одна з прямих (або обидві) задана не канонічних рівнянь, то для обчислення кута потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих, а потім скористатися формулою (1).

Завдання 1.Обчислити кут між прямими

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;і\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Напрямні вектори прямих мають координати:

а = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

За формулою (1) знаходимо

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Отже, кут між даними прямими дорівнює 60 °.

Завдання 2.Обчислити кут між прямими

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\x+y-3z-1=0\end(cases) та \begin(cases)4x-y+z=0\y+z+1 =0\end(cases) $$

За напрямний вектор а першої прямої візьмемо векторний добуток нормальних векторів n 1 = (3; 0; -12) та n 2 = (1; 1; -3) площин, що задають цю пряму. За формулою \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) отримуємо

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Аналогічно знаходимо напрямний вектор другий прямий:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Але формулі (1) обчислюємо косинус шуканого кута:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Отже, кут між цими прямими дорівнює 90°.

Завдання 3.У трикутній піраміді МАВС ребра MA, MB та МС взаємно перпендикулярні (рис. 207);

їх довжини відповідно дорівнюють 4, 3, 6. Точка D - середина [МА]. Знайти кут φ між прямими СА та DB.

Нехай СА та DB - напрямні вектори прямих СА та DB.

Приймемо точку М за початок координат. За умовою зядачі маємо А (4; 0; 0), В (0; 0; 3), С (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Тому \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Скористаємося формулою (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

По таблиці косінусів знаходимо, що кут між прямими СА і DB дорівнює приблизно 72 °.

Кожному школяру, який готується до ЄДІ з математики, буде корисно повторити тему «Знаходження кута між прямими». Як показує статистика, при здачі атестаційного випробування завдання по даному розділу стереометрії викликають труднощі у великої кількості учнів. При цьому завдання, які вимагають знайти кут між прямими, зустрічаються в ЄДІ як базового, так і профільного рівня. Це означає, що вміти їх вирішувати мають усі.

Основні моменти

У просторі існує 4 типи взаємного розташування прямих. Вони можуть збігатися, перетинатися, бути паралельними або такими, що схрещуються. Кут між ними може бути гострим чи прямим.

Для знаходження кута між прямими в ЄДІ або, наприклад, у рішенні школярі Москви та інших міст можуть використовувати кілька способів розв'язання задач по даному розділу стереометрії. Виконати завдання можна шляхом класичних побудов. Для цього варто вивчити основні аксіоми та теореми стереометрії. Школяреві потрібно вміти логічно вибудовувати міркування і створювати креслення, щоб привести завдання до планиметричної задачі.

Також можна використовувати векторно-координатний метод, застосовуючи прості формули, правила та алгоритми. Головне в цьому випадку – правильно виконати усі обчислення. Відточити свої навички розв'язання задач зі стереометрії та інших розділів шкільного курсу вам допоможе освітній проект «Школкове».

КУТ між площинами

Розглянемо дві площини α 1 і α 2 задані відповідно рівняннями:

Під кутомміж двома площинами розумітимемо один із двогранних кутів, утворених цими площинами. Очевидно, що кут між нормальними векторами і площин 1 і 2 дорівнює одному із зазначених суміжних двогранних кутів або . Тому . Т.к. і , то

.

приклад.Визначити кут між площинами x+2y-3z+4=0 та 2 x+3y+z+8=0.

Умови паралельності двох площин.

Дві площини α 1 і α 2 паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори і паралельні, а отже .

Отже, дві площини паралельні один одному тоді і лише тоді, коли коефіцієнти за відповідних координат пропорційні:

або

Умови перпендикулярності площин.

Зрозуміло, що дві площини перпендикулярні і тоді, коли їх нормальні вектори перпендикулярні, отже, або .

Отже, .

приклади.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ.

ВЕКТОРНЕ РІВНЯННЯ ПРЯМОЮ.

ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Положення прямий у просторі цілком визначається завданням якоїсь її фіксованої точки М 1 і вектор , паралельний цій прямій.

Вектор , паралельний прямий, називається напрямнимвектор прямий.

Отже, хай пряма lпроходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), що лежить на прямій паралельно вектору.

Розглянемо довільну точку М(x, y, z)на прямий. З малюнка видно, що .

Вектори та колінеарні, тому знайдеться таке число t, що , де множник tможе набувати будь-яке числове значення в залежності від положення точки Mна прямий. Множник tназивається параметром. Позначивши радіус-вектори точок М 1 та Мвідповідно через і, отримуємо. Це рівняння називається векторнимрівнянням прямої. Воно показує, що кожному значення параметра tвідповідає радіус-вектор деякої точки М, що лежить на прямий.

Запишемо це рівняння у координатній формі. Зауважимо, що , і звідси

Отримані рівняння називаються параметричнимирівняннями прямий.

При зміні параметра tзмінюються координати x, yі zі крапка Мпереміщається прямою.

КАНОНІЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Нехай М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - точка, що лежить на прямій l, і - Її напрямний вектор. Знову візьмемо на пряму довільну точку М(x, y, z)і розглянемо вектор.

Зрозуміло, що вектори та колінеарні, тому їх відповідні координати мають бути пропорційними, отже,

– канонічнірівняння прямої.

Зауваження 1.Зауважимо, що канонічні рівняння прямої можна було отримати з параметричних, виключивши параметр t. Справді, з параметричних рівнянь отримуємо або .

приклад.Записати рівняння прямої у параметричному вигляді.

Позначимо , звідси x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Примітка 2.Нехай пряма перпендикулярна до однієї з координатних осей, наприклад осі Ox. Тоді напрямний вектор прямий перпендикулярний Ox, отже, m=0. Отже, параметричні рівняння прямий набудуть вигляду

Виключаючи з рівнянь параметр t, Отримаємо рівняння прямої у вигляді

Однак і в цьому випадку умовимося формально записувати канонічні рівняння прямої у вигляді . Таким чином, якщо в знаменнику одного з дробів стоїть нуль, то це означає, що пряма перпендикулярна до відповідної координатної осі.

Аналогічно, канонічним рівнянням відповідає пряма перпендикулярна до осей Oxі Ойабо паралельна осі Oz.

приклади.

ЗАГАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПРЯМОГО, ЯК ЛІНІЇ ПЕРЕРОСИННЯ ДВОХ ПЛОЩИН

Через кожну пряму в просторі проходить безліч площин. Будь-які дві з них, перетинаючи, визначають її у просторі. Отже, рівняння будь-яких двох таких площин, що розглядаються спільно, являють собою рівняння цієї прямої.

Взагалі будь-які дві не паралельні площини, задані загальними рівняннями

визначають пряму їх перетину. Ці рівняння називаються загальними рівняннямипрямий.

приклади.

Побудувати пряму, задану рівняннями

Для побудови прямої достатньо знайти будь-які її точки. Найпростіше вибрати точки перетину прямої з координатними площинами. Наприклад, точку перетину з площиною xOyотримаємо з рівнянь прямої, вважаючи z= 0:

Вирішивши цю систему, знайдемо точку M 1 (1;2;0).

Аналогічно, вважаючи y= 0, отримаємо точку перетину прямої з площиною xOz:

Від загальних рівнянь прямої можна перейти до її канонічних або параметричних рівнянь. Для цього потрібно знайти якусь точку М 1 на прямий та напрямний вектор прямий.

Координати точки М 1 отримаємо з цієї системи рівнянь, надавши одній з координат довільне значення. Для пошуку напрямного вектора, зауважимо, що цей вектор має бути перпендикулярним до обох нормальних векторів. і . Тому за напрямний вектор прямий lможна взяти векторний добуток нормальних векторів:

.

приклад.Привести загальні рівняння прямої до канонічного вигляду.

Знайдемо точку, що лежить на прямій. Для цього виберемо довільно одну з координат, наприклад, y= 0 і розв'яжемо систему рівнянь:

Нормальні вектори площин, що визначають пряму, мають координати. Тому напрямний вектор прямий буде

. Отже, l: .

КУТ МІЖ ПРЯМИМИ

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Так як , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо