ВИЗНАЧЕННЯ
Стійка рівновага- це рівновага, у якому тіло, виведене зі становища рівноваги і надане себе, повертається у колишнє становище.
Це відбувається, якщо при невеликому зміщенні тіла в будь-якому напрямку від початкового положення рівнодіюча сил, що діють на тіло, стає відмінною від нуля і спрямована до рівноваги. Наприклад, кулька, що лежить на дні сферичного заглиблення (рис.1 а).
ВИЗНАЧЕННЯ
Нестійка рівновага- це рівновага, у якому тіло, виведене з становища рівноваги і надане себе, ще більше відхилятися від становища рівноваги.
В даному випадку при невеликому зміщенні тіла з положення рівноваги рівнодіюча доданих до нього сил відрізняється від нуля і спрямована від рівноваги. Прикладом може бути кулька, що у верхній точці опуклої сферичної поверхні (ри.1 б).
ВИЗНАЧЕННЯ
Байдужна рівновага- це рівновага, у якому тіло, виведене зі становища рівноваги і надане себе, не змінює свого становища (стану).
У цьому випадку при невеликих зміщеннях тіла з первісного положення рівнодіюча додана до тіла сил залишається рівною нулю. Наприклад, кулька, що лежить на плоскій поверхні (рис.1, в).
Рис.1. Різні типи рівноваги тіла на опорі: а) стійка рівновага; б) нестійка рівновага; в) байдужа рівновага.
Статична та динамічна рівновага тіл
Якщо в результаті дії сил тіло не отримує прискорення, воно може бути в стані спокою або рухатися рівномірно прямолінійно. Тому можна говорити про статичну та динамічну рівновагу.
ВИЗНАЧЕННЯ
Статична рівновага- це така рівновага, коли під дією прикладених сил тіло перебуває у стані спокою.
Динамічна рівновага- це така рівновага, коли за дією сил тіло не змінює свого руху.
У стані статичної рівноваги знаходиться підвішений на тросах ліхтар, будь-яка будівельна споруда. Як приклад динамічної рівноваги можна розглядати колесо, яке котиться плоскою поверхнею за відсутності сил тертя.
« Фізика – 10 клас»
Згадайте, що таке момент сили.
За яких умов тіло перебуває у спокої?
Якщо тіло перебуває у спокої щодо обраної системи відліку, то кажуть, що це тіло перебуває у рівновазі. Будинки, мости, балки разом з опорами, частини машин, книга на столі та багато інших тіла спочивають, незважаючи на те, що до них з боку інших тіл докладено сили. Завдання вивчення умов рівноваги тіл має велике практичне значення для машинобудування, будівельної справи, приладобудування та інших галузей техніки. Усі реальні тіла під впливом прикладених до них сил змінюють свою форму та розміри, або, як то кажуть, деформуються.
У багатьох випадках, які зустрічаються на практиці, деформації тіл при їхній рівновазі незначні. У цих випадках деформаціями можна знехтувати та вести розрахунок, вважаючи тіло абсолютно твердим.
Для стислості абсолютно тверде тіло називатимемо твердим тіломабо просто тілом. Вивчивши умови рівноваги твердого тіла, ми знайдемо умови рівноваги реальних тіл у випадках, коли їх деформації не враховувати.
Згадайте визначення абсолютно твердого тіла.
Розділ механіки, в якому вивчаються умови рівноваги абсолютно твердих тіл, називається статикою.
У статиці враховуються розміри і форма тіл, у цьому випадку суттєвим є не тільки значення сил, а й положення точок їх застосування.
З'ясуємо спочатку за допомогою законів Ньютона, за якої будь-яке тіло перебуватиме в рівновазі. З цією метою розіб'ємо подумки все тіло на велику кількість малих елементів, кожен з яких можна розглядати як матеріальну точку. Як завжди, назвемо сили, що діють на тіло з боку інших тіл, зовнішніми, а сили, з якими взаємодіють елементи самого тіла, є внутрішніми (рис. 7.1). Так, сила 1,2 - це сила, що діє елемент 1 з боку елемента 2. Сила ж 2,1 діє елемент 2 з боку елемента 1. Це внутрішні сили; до них відносяться також сили 1,3 та 3,1, 2,3 та 3,2. Очевидно, що геометрична сума внутрішніх сил дорівнює нулю, оскільки згідно з третім законом Ньютона
12 = - 21, 23 = - 32, 31 = - 13 і т.д.
Статика - окремий випадок динаміки, оскільки спокій тіл, коли на них діють сили, є окремий випадок руху ( = 0).
На кожен елемент може діяти кілька зовнішніх сил. Під 1 , 2 , 3 і т. д. розумітимемо всі зовнішні сили, прикладені відповідно до елементів 1, 2, 3, ... . Так само через " 1 , " 2 , " 3 тощо. буд. позначимо геометричну суму внутрішніх сил, прикладених до елементів 2, 2, 3, ... відповідно (ці сили показані малюнку), тобто.
"1 = 12 + 13 + ...," 2 = 21 + 22 + ..., "3 = 31 + 32 + ... і т.д.
Якщо тіло перебуває у спокої, то прискорення кожного елемента дорівнює нулю. Тому згідно з другим законом Ньютона дорівнюватиме нулю і геометрична сума всіх сил, що діють на будь-який елемент. Отже, можна записати:
1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)
Кожне з цих трьох рівнянь висловлює умову рівноваги елемента твердого тіла.
Перша умова рівноваги твердого тіла.
З'ясуймо, яким умовам повинні задовольняти зовнішні сили, прикладені до твердого тіла, щоб воно знаходилося в рівновазі. Для цього складемо рівняння (7.1):
(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.
У перших дужках цієї рівності записано векторну суму всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла, а по друге - векторну суму всіх внутрішніх сил, що діють на елементи цього тіла. Але, як відомо, векторна сума всіх внутрішніх сил системи дорівнює нулю, оскільки згідно з третім законом Ньютона будь-якій внутрішній силі відповідає сила, що дорівнює їй за модулем і протилежна за напрямом. Тому в лівій частині останньої рівності залишиться лише геометрична сума зовнішніх сил, прикладених до тіла:
1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)
У разі абсолютно твердого тіла умову (7.2) називають першою умовою його рівноваги.
Воно є необхідним, але не є достатнім.
Отже, якщо тверде тіло в рівновазі, то геометрична сума зовнішніх сил, прикладених до нього, дорівнює нулю.
Якщо сума зовнішніх сил дорівнює нулю, то дорівнює нулю та сума проекцій цих сил на осі координат. Зокрема, для проекцій зовнішніх сил на вісь ОХ можна записати:
F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)
Такі ж рівняння можна записати і для проекцій сил на осі OY та OZ.
Друга умова рівноваги твердого тіла.
Переконаємося, що умова (7.2) є необхідною, але недостатньою для рівноваги твердого тіла. Прикладемо до дошки, що лежить на столі, у різних точках дві рівні за модулем і протилежно спрямовані сили так, як показано на малюнку 7.2. Сума цих сил дорівнює нулю:
+ (-) = 0. Але дошка повертається. Так само дві однакові за модулем і протилежно спрямовані сили повертають кермо велосипеда або автомобіля (рис. 7.3).
Яка ж ще умова для зовнішніх сил, крім рівності нулю їхньої суми, має виконуватися, щоб тверде тіло знаходилося в рівновазі? Скористаємося теоремою про зміну кінетичної енергії.
Знайдемо, наприклад, умову рівноваги стрижня, шарнірно закріпленого на горизонтальній осі у точці О (рис. 7.4). Цей простий пристрій, як вам відомо з курсу фізики основної школи, є важелем першого роду.
Нехай до важеля прикладені перпендикулярно стрижню сили 1 та 2 .
Крім сил 1 і 2 на важіль діє спрямована вертикально вгору сила нормальної реакції 3 з боку осі важеля. При рівновазі важеля сума всіх трьох сил дорівнює нулю: 1 + 2 + 3 = 0.
Обчислимо роботу, яку виконують зовнішні сили при повороті важеля дуже малий кут α. Точки застосування сил 1 і 2 пройдуть шляхи s 1 = ВВ 1 і s 2 = CC 1 (дуги ВВ 1 і СС 1 при малих кутах α можна вважати прямолінійними відрізками). Робота А 1 = F 1 s 1 сили 1 позитивна, тому що точка переміщається за напрямом дії сили, а робота А 2 = -F 2 s 2 сили 2 негативна, оскільки точка З рухається в сторону, протилежну напрямку сили 2 . Сила 3 роботи не здійснює, оскільки точка її застосування не переміщається.
Пройдені шляхи s 1 та s 2 можна виразити через кут повороту важеля а, виміряний у радіанах: s 1 = α|ВО| та s 2 = α|СО|. Враховуючи це, перепишемо вирази для роботи так:
А 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
А2 = -F2α|CO|.
Радіуси ВО і СО дуг кіл, що описуються точками докладання сил 1 і 2 є перпендикулярами, опущеними з осі обертання на лінії дії цих сил
Як ви вже знаєте, плече сили – це найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили. Позначатимемо плече сили буквою d. Тоді |ВО| = d 1 - плече сили 1 , а | | = d 2 – плече сили 2 . При цьому вирази (7.4) набудуть вигляду
А 1 = F 1 αd 1 , А 2 = -F 2 αd 2 . (7.5)
З формул (7.5) видно, робота кожної із сил дорівнює добутку моменту сили на кут повороту важеля. Отже, вирази (7.5) для роботи можна переписати у вигляді
А 1 = М 1 α, А 2 = М 2 α, (7.6)
а повну роботу зовнішніх сил можна виразити формулою
А = А1 + А2 = (М1 + М2)α. α, (7.7)
Оскільки момент сили 1 позитивний і дорівнює М 1 = F 1 d 1 (див. рис. 7.4), а момент сили 2 від'ємний і дорівнює М 2 = -F 2 d 2 то для роботи А можна записати вираз
А = (М 1 - | М 2 |) α.
Коли тіло починає рухатися, його кінетична енергія збільшується. Для збільшення кінетичної енергії зовнішні сили повинні виконувати роботу, тобто в цьому випадку А ≠ 0 і відповідно М 1 + М 2 ≠ 0.
Якщо робота зовнішніх сил дорівнює нулю, то кінетична енергія тіла не змінюється (залишається рівною нулю) і тіло залишається нерухомим. Тоді
М 1 + М 2 = 0. (7.8)
Рівняння (7 8) і є друга умова рівноваги твердого тіла.
При рівновазі твердого тіла сума моментів усіх зовнішніх сил, які діють нього щодо будь-якої осі, дорівнює нулю.
Отже, у разі довільної кількості зовнішніх сил умови рівноваги абсолютно твердого тіла такі:
1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.
Друга умова рівноваги можна вивести з основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла. Згідно з цим рівнянням, де М - сумарний момент сил, що діють на тіло, М = М 1 + М 2 + М 3 + ... , ε - кутове прискорення. Якщо тверде тіло нерухоме, то ε = 0, і, отже, М = 0. Отже, друга умова рівноваги має вигляд М = М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.
Якщо тіло не абсолютно тверде, то під дією прикладених до нього зовнішніх сил воно може і не залишатися в рівновазі, хоча сума зовнішніх сил та сума їх моментів щодо будь-якої осі дорівнюють нулю.
Прикладемо, наприклад, до кінців гумового шнура дві сили, рівні за модулем і спрямовані вздовж шнура в протилежні сторони. Під дією цих сил шнур не перебуватиме в рівновазі (шнур розтягується), хоча сума зовнішніх сил дорівнює нулю і нулю дорівнює сума їх моментів щодо осі, що проходить через будь-яку точку шнура.
Рівновага механічної системи- Це стан, при якому всі точки механічної системи перебувають у спокої по відношенню до аналізованої системи відліку. Якщо система відліку інерційна, рівновага називається абсолютним, якщо неінерційна - відносним.
Для знаходження умов рівноваги абсолютно твердого тіла необхідно подумки розбити його на велику кількість досить малих елементів, кожен із яких можна уявити матеріальною точкою. Всі ці елементи взаємодіють між собою – ці сили взаємодії називаються внутрішніми. Крім цього, на ряд точок тіла можуть діяти зовнішні сили.
Відповідно до другого закону Ньютона, щоб прискорення точки дорівнювало нулю (а прискорення точки, що спочиває, дорівнює нулю), геометрична сума сил, що діють на цю точку, повинна дорівнювати нулю. Якщо тіло перебуває у спокої, отже, всі його точки (елементи) також перебувають у спокої. Отже, для будь-якої точки тіла можна записати:
де - геометрична сума всіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на iелемент тіла.
Рівняння означає, що для рівноваги тіла необхідно і достатньо, щоб геометрична сума всіх сил, що діють на будь-який елемент цього тіла, дорівнювала нулю.
З легко отримати першу умову рівноваги тіла (системи тіл). Для цього достатньо підсумувати рівняння по всіх елементах тіла:
.
Друга сума дорівнює нулю згідно з третім законом Ньютона: векторна сума всіх внутрішніх сил системи дорівнює нулю, тому що будь-якій внутрішній силі відповідає сила, рівна за модулем і протилежна за напрямом.
Отже,
.
Першою умовою рівноваги твердого тіла(Системи тел)є рівність нулю геометричної суми всіх зовнішніх сил, що додаються до тіла.
Ця умова є необхідною, але не достатньою. У цьому легко переконатися, згадавши про обертання пари сил, геометрична сума яких теж дорівнює нулю.
Другою умовою рівноваги твердого тілає рівність нулю суми моментів всіх зовнішніх сил, які діють тіло, щодо будь-якої осі.
Таким чином, умови рівноваги твердого тіла у разі довільної кількості зовнішніх сил виглядають так:
.
Визначення
рівновагою тіла називають такий стан, коли будь-яке прискорення тіла дорівнює нулю, тобто всі дії на тіло сил і моментів сил врівноважені. При цьому тіло може:
- перебувати у стані спокою;
- рухатися рівномірно та прямолінійно;
- рівномірно обертатись навколо осі, яка проходить через центр його тяжкості.
Умови рівноваги тіла
Якщо тіло перебуває у рівновазі, то одночасно виконуються дві умови.
- Векторна сума всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нульовому вектору: $\sum_n((\overrightarrow(F))_n)=\overrightarrow(0)$
- Алгебраїчна сума всіх моментів сил, що діють на тіло, дорівнює нулю: $ \ sum_n (M_n) = 0 $
Дві умови рівноваги є необхідними, але не є достатніми. Наведемо приклад. Розглянемо колесо, що рівномірно котиться без прослизання по горизонтальній поверхні. Обидві умови рівноваги виконуються, проте тіло рухається.
Розглянемо випадок, коли тіло не обертається. Для того, щоб тіло не оберталося і знаходилося в рівновазі, необхідно, щоб сума проекцій усіх сил на довільну вісь дорівнювала нулю, тобто рівнодіє сил. Тоді тіло або у спокої, або рухається рівномірно і прямолінійно.
Тіло, яке має вісь обертання, перебуватиме в рівноважному стані, якщо виконується правило моментів сил: сума моментів сил, які обертають тіло за годинниковою стрілкою, повинна дорівнювати сумі моментів сил, які обертають його проти годинникової стрілки.
Щоб отримати потрібний момент при найменшому зусиллі, потрібно прикладати силу якнайдалі від осі обертання, збільшуючи тим самим плече сили і відповідно зменшуючи значення сили. Приклади тіл, які мають вісь обертання: важіль, двері, блоки, коловорот тощо.
Три види рівноваги тіл, які мають точку опори
- стійка рівновага, якщо тіло, будучи виведеним із положення рівноваги до сусіднього найближчого становища та залишено у спокої, повернеться до цього становища;
- нестійка рівновага, якщо тіло, будучи виведеним із положення рівноваги в сусіднє становище і залишено в спокої, ще більше відхилятиметься від цього положення;
- байдужа рівновага - якщо тіло, будучи виведеним у сусіднє становище і залишено у спокої, залишиться у новому своєму становищі.
Рівновагу тіла із закріпленою віссю обертання
- стійким, якщо в положенні рівноваги центр тяжкості С займає найнижче положення зі всіх можливих ближніх положень, а його потенційна енергія матиме найменше значення зі всіх можливих значень у сусідніх положеннях;
- нестійким, якщо центр тяжкості З займає найвищий із усіх ближніх положень, а потенційна енергія має найбільше значення;
- байдужим, якщо центр тяжкості тіла С у всіх ближніх можливих положеннях знаходиться на одному рівні, а потенційна енергія при переході тіла не змінюється.
Завдання 1
Тіло A масою m = 8 кг поставлене на шорстку горизонтальну поверхню столу. До тіла прив'язана нитка, перекинута через блок B (рисунок 1, а). Який вантаж F можна підв'язати до кінця нитки, що звисає з блоку, щоб не порушити рівноваги тіла A? Коефіцієнт тертя f = 0,4; тертям на блоці знехтувати.
Визначимо вагу тіла ~A: ~G = mg = 8$cdot $9,81 = 78,5 Н.
Вважаємо, що всі сили прикладені до тіла A. Коли тіло поставлено на горизонтальну поверхню, то на нього діють лише дві сили: вага G та протилежно спрямована реакція опори RA (рис. 1, б).
Якщо ж докласти деяку силу F, що діє уздовж горизонтальної поверхні, то реакція RA, що врівноважує сили G і F, почне відхилятися від вертикалі, але тіло A перебуватиме в рівновазі доти, доки модуль сили F не перевищить максимального значення сили тертя Rf max , Що відповідає граничному значенню кута $(\mathbf \varphi )$o(рис. 1, в).
Розклавши реакцію RA на дві складові Rf max і Rn, отримуємо систему чотирьох сил, прикладених до однієї точки (рис. 1, г). Спроектувавши цю систему сил на осі x та y, отримаємо два рівняння рівноваги:
$ (\mathbf \Sigma) Fkx = 0, F - Rf max = 0 $;
$ (\mathbf \Sigma) Fky = 0, Rn - G = 0 $.
Вирішуємо отриману систему рівнянь: F = Rf max, але Rf max = f $ cdot $ Rn, а Rn = G, тому F = f $ c dot $ G = 0,4 $ cdot $ 78,5 = 31,4 Н; m = F/g = 31,4/9,81 = 3,2 кг.
Відповідь: Маса вантажу т = 3,2 кг
Завдання 2
Система тіл, зображена на рис.2, перебуває у стані рівноваги. Маса вантажу тг = 6 кг. Кут між векторами $\widehat((\overrightarrow(F))_1(\overrightarrow(F))_2)=60()^\circ $. $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|=\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=F$. Знайти масу гирь.
Рівнодіюча сила $(\overrightarrow(F))_1і\ (\overrightarrow(F))_2$ дорівнює за модулем ваги вантажу і протилежна йому за направленням: $\overrightarrow(R)=(\overrightarrow(F))_1+(\overrightarrow (F))_2=\-m\overrightarrow(g)$. За теоремою косінусів, $(\left|\overrightarrow(R)\right|)^2=(\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2+(\left|(\overrightarrow(F) )_2\right|)^2+2\left|(\overrightarrow(F))_1\right|\left|(\overrightarrow(F))_2\right|(cos \widehat((\overrightarrow(F)) _1(\overrightarrow(F))_2)\ )$.
Звідси $(\left(mg\right))^2=$; $F=\frac(mg)(\sqrt(2\left(1+(cos 60()^\circ \ )\right)))$;
Оскільки блоки рухливі, то $m_г=\frac(2F)(g)=\frac(2m)(\sqrt(2\left(1+\frac(1)(2)\right)))=\frac(2 \ cdot 6) ( \ sqrt (3)) = 6,93 \ кг \ $
Відповідь: маса кожної з гир дорівнює 6,93 кг.
Статика.
Розділ механіки, в якому вивчаються умови рівноваги механічних систем під дією прикладених до них сил та моментів.
Рівновага сил.
Механічну рівновагу, також відомо як статична рівновага, - стан тіла, що перебуває в спокої, або рівномірно рухається, в якому сума сил і моментів, що діють на нього, дорівнює нулю
Умови рівноваги твердого тіла.
Необхідною і достатніми умовами рівноваги вільного твердого тіла є рівність нулю векторної суми всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, рівність нулю суми всіх моментів зовнішніх сил щодо довільної осі, рівність нулю початкової швидкості поступального руху тіла і умова рівності нулю початкової кути.
Види рівноваги.
Рівновість тіла стійка, якщо при будь-яких допускаються зовнішніми зв'язками малих відхиленнях від положення рівноваги в системі виникають сили або моменти сил, які прагнуть повернути тіло у вихідний стан.
Рівновага тіла нестійкаякщо хоча б при деяких допустимих зовнішніх зв'язках скільки завгодно малих відхилень від положення рівноваги в системі виникають сили або моменти сил, які прагнуть ще більше відхилити тіло від початкового стану рівноваги.
Рівновага тіла називається байдужою, якщо при будь-яких малих відхиленнях від положення рівноваги в системі, що допускаються зовнішніми зв'язками, в системі виникають сили або моменти сил, які прагнуть повернути тіло у вихідний стан
Центр важкості твердого тіла.
Центром тяжкостітіла називається точка, щодо якої сумарний момент сил тяжіння, які діють систему, дорівнює нулю. Наприклад, у системі, що складається з двох однакових мас, з'єднаних незламним стрижнем, і поміщеною в неоднорідне гравітаційне поле (наприклад, планети), центр мас перебуватиме в середині стрижня, в той час як центр ваги системи буде зміщений до кінця стрижня, який знаходиться ближче до планети (бо вага маси P = mg залежить від параметра гравітаційного поля g), і, взагалі кажучи, навіть розташований поза стрижнем.
У постійному паралельному (однорідному) гравітаційному полі центр тяжіння завжди збігається із центром мас. Тому на практиці ці два центри майже збігаються (оскільки зовнішнє гравітаційне поле в некосмічних завданнях може вважатися постійним у межах об'єму тіла).
З цієї ж причини поняття центр мас і центр тяжкості збігаються при використанні цих термінів у геометрії, статиці тощо, де застосування його в порівнянні з фізикою можна назвати метафоричним і де неявно передбачається ситуація їх еквівалентності (оскільки реального гравітаційного поля немає і не має сенсу врахування його неоднорідності). У цих застосуваннях традиційно обидва терміни синонімічні, і нерідко другий воліє просто тому, що він старіший.
