У цьому методі пропонується підінтегральну функцію на частковому відрізку апроксимувати параболою, що проходить через точки
(x j, f(x j)), де j = i-1; i-0.5; iтобто підінтегральну функцію апроксимуємо інтерполяційним багаточленом Лагранжа другого ступеня:

Провівши інтегрування, отримаємо:

Це і є формула Сімпсона чи формула парабол. На відрізку
[a, b] формула Сімпсона набуде вигляду

Графічне уявлення методу Сімпсона показано на рис. 2.4.

Мал. 10.4.Метод Сімпсона

Позбавимося виразу (2.16) дробових індексів, перепозначивши змінні:

Тоді формула Сімпсона набуде вигляду

Похибка формули (2.18) оцінюється наступним виразом:

де h·n = b - a, . Таким чином, похибка формули Сімпсона є пропорційною. O(h 4).

Зауваження.Слід зазначити, що у формулі Сімпсона відрізок інтегрування обов'язково розбивається на парнекількість інтервалів.

10.5. Обчислення певних інтегралів методами
Монте Карло

Розглянуті раніше методи називаються детермінованими тобто позбавленими елемента випадковості.

Методи Монте-Карло(ММК) – це чисельні методи розв'язання математичних завдань з допомогою моделювання випадкових величин. ММК дозволяють успішно вирішувати математичні завдання, зумовлені ймовірнісними процесами. Більше того, при вирішенні завдань, не пов'язаних з будь-якими ймовірностями, можна штучно придумати імовірнісну модель (і навіть не одну), що дозволяє вирішувати ці завдання. Розглянемо обчислення певного інтегралу

При обчисленні цього інтеграла за формулою прямокутників інтервал [ a, b] розбиваємо на Nоднакових інтервалів, у серединах яких обчислювалися значення підінтегральної функції. Обчислюючи значення функції у випадкових вузлах, можна отримати точніший результат:

Тут γ i - випадкове число, рівномірно розподілене на інтервалі
. Похибка обчислення інтеграла ММК ~ , Що значно більше, ніж у раніше вивчених детермінованих методів.

На рис. 2.5 представлено графічну реалізацію методу Монте-Карло обчислення одноразового інтеграла з випадковими вузлами (2.21) і (2.22).

(2.23)

Мал. 10.6.Інтегрування методом Монте-Карло (2-й випадок)

Як бачимо на рис. 2.6, інтегральна крива лежить у одиничному квадраті, і якщо ми зуміємо отримувати пари випадкових чисел, рівномірно розподілених на інтервалі, то отримані значення (γ1, γ2) можна інтерпретувати як координати точки в одиничному квадраті. Тоді, якщо цих пар чисел отримано досить багато, можна вважати, що
. Тут S- Число пар точок, що потрапили під криву, а N– загальна кількість пар чисел.

приклад 2.1.Обчислити наступний інтеграл:

Поставлене завдання було вирішено різними методами. Отримані результати зведено у табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Зауваження.Вибір табличного інтеграла дозволив нам порівняти похибку кожного методу та з'ясувати вплив числа розбиття на точність обчислень.

11 ПРИБЛИЖЕНЕ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ
І ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ

Формула

Формулою Сімпсона називається інтеграл від інтерполяційного багаточлена другого ступеня на відрізку:

де , і - значення функції у відповідних точках (на кінцях відрізка та у його середині).

Похибка

За умови, що у функції на відрізку існує четверта похідна, похибка, згідно знайденою Джузеппе Пеано формулою дорівнює:

У зв'язку з тим, що значення часто невідоме, для оцінки похибки використовується така нерівність:

Подання у вигляді методу Рунге-Кутти

Формулу Сімпсона можна подати у вигляді таблиці методу Рунге-Кутти наступним чином:

Складова формула (формула Котеса)

Для більш точного обчислення інтеграла інтервал розбивають на відрізків однакової довжини і застосовують формулу Сімпсона на кожному з них. Значення вихідного інтеграла є сумою результатів інтегрування усім відрізках.

де - величина кроку, а - вузли інтегрування, межі елементарних відрізків, у яких застосовується формула Сімпсона. Зазвичай для рівномірної сітки цю формулу записують в інших позначеннях (відрізок розбитий на вузли) у вигляді

Також формулу можна записати використовуючи лише відомі значення функції, тобто значення у вузлах:

де означає, що індекс змінюється від одиниці з кроком, рівним двом. Слід звернути увагу до подвоєння коефіцієнта перед сумою. Це з тим, що у разі роль проміжних вузлів грають вихідні вузли інтегрування.

Загальна похибка при інтегруванні по відрізку з кроком (при цьому, зокрема, ) визначається за формулою:

.

При неможливості оцінити похибку за допомогою максимуму четвертої похідної (наприклад, на заданому відрізку вона не існує, або прагне нескінченності), можна використовувати грубішу оцінку:

.

Примітки

Література

• Костомаров Д. П., Фаворський А. П. «Вступні лекції з чисельних методів»
• Петров І. Б., Лобанов А. І. Лекції з обчислювальної математики

Wikimedia Foundation.

• 2010 .
• Western Union

Патагонський папуга

Дивитись що таке "Формула Сімпсона" в інших словниках:СІМПСОНА ФОРМУЛУ - (Формула парабол) формула для наближеного обчислення певних інтегралів (квадратурна формула), названа на ім'я Т. Сімпсона (1743) …

Дивитись що таке "Формула Сімпсона" в інших словниках:Великий Енциклопедичний словник

- (Формула парабол), формула для наближеного обчислення визнач. інтегралів (квадратурна формула), що має вигляд де А = (b а) / 2n, f = f (a + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа на ім'я Т. Сімпсона (1743).Сімпсона формула - Формула для наближеного обчислення певних інтегралів, що має вигляд: , де h = (b а) / 2n; fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2, ..., 2n. С. ф. називають іноді формулою парабол, т. к. висновок цієї формули заснований на…

- (Формула парабол), формула для наближеного обчислення визнач. інтегралів (квадратурна формула), що має вигляд де А = (b а) / 2n, f = f (a + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа на ім'я Т. Сімпсона (1743).Велика Радянська Енциклопедія - Формула парабол, формула для наближеного обчислення певних інтегралів (квадратурна формула), що має вигляд, де h = (b-a) / 2n, fk = f (а + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа на ім'я Т. Сімпсона (1743). * * * СІМПСОНА ФОРМУЛА СІМПСОНА… …

Енциклопедичний словник

Формула прямокутниківФормула трапецій

Дивитись що таке "Формула Сімпсона" в інших словниках:- Певний інтеграл як площа фігури Чисельне інтегрування (історична назва: квадратура) обчислення значення певного інтегралу (як правило, наближене), засноване на тому, що величина інтеграла чисельно дорівнює площі ... Вікіпедія - окремий випадок Ньютона Котеса квадратурної формули, до якої беруться три вузли: Нехай проміжок [а, b]розбитий на часткових проміжків , i = 0, 1, 2, ..., n 1, довжини h = (b а) / п, у своїй n вважається парним числом, й у обчислення інтеграла …

- (Формула парабол), формула для наближеного обчислення визнач. інтегралів (квадратурна формула), що має вигляд де А = (b а) / 2n, f = f (a + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа на ім'я Т. Сімпсона (1743).Математична енциклопедія

- … ВікіпедіяМетод Сімпсона

- Формула Сімпсона відноситься до прийомів чисельного інтегрування. Отримала назву на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710–1761). Розглянемо відрізок. Нехай відомі значення речової функції f(x) у точках a, (a+b)/2, b.… … ВікіпедіяКВАДРАТУРНА ФОРМУЛА - Формула, що служить для наближеного обчислення визнач. інтегралів за значеннями підінтегральної функції у кінцевому числі точок. Приклади До. ф. прямокутників формула, трапецій формула, Сімпсона формула …

Природознавство. Енциклопедичний словник
(
Відрізок інтегрування розіб'ємо на парне число елементарних відрізків рівної довжини крапками з кроком
підінтегральну функцію апроксимуємо багаточленом другого ступеня, який на цьому відрізку має вигляд
. Зауважимо, що iприймає тут лише непарні значення від 1 до
. Таким чином, підінтегральна функція апроксимується сукупністю квадратних багаточленів або сплайн другого ступеня.

Обчислимо довільний інтеграл із правої частини.

Коефіцієнти ,і можуть бути знайдені з умови інтерполяції, тобто із рівнянь

,

Зауважимо, що точка є серединою відрізка
, отже
. Підставимо цей вислів у друге рівняння інтерполяції:

.

Помножимо це рівняння на 4 і складемо з рештою:

Останній вираз точно збігається з виразом, що стоїть у квадратних дужках формули (5.1). Отже,

А значить,

Таким чином, формула Сімпсона має вигляд:

Оцінка похибки квадратурних формул.

Оцінимо похибку при використанні методу середніх прямокутників у припущенні, що функція
нескінченно диференційована.

Розкладемо підінтегральну функцію
в ряд Тейлора на околиці точки ,
.

Останній ряд містить лише непарні ступені x. Тоді

При малій величині кроку hосновний внесок у похибку Rбуде вносити величина
, яка називається головним членом похибки R.

Застосуємо метод середніх прямокутників до функції
на відрізку
з кроком h. Тоді

.

Отже,
, де
- Постійна величина. Похибка у наближеній рівності
є величина нескінченно мала вищого порядку порівняно з при
.

Ступінь кроку h, Якою пропорційний залишок Rназивається порядком точності методу інтегрування. Метод середніх прямокутників має другий порядок точності.

Оцінимо похибку при використанні методу трапецій також у припущенні, що функція
нескінченно диференційована.

Розкладемо підінтегральну функцію в ряд Тейлора на околиці точки (
).

Головний член похибки R:

.

Застосовуючи метод лівих прямокутників до функції
на відрізку
з кроком h, отримуємо

.

Отже, метод трапецій має другий порядок точності.

Аналогічно можна показати, що методи лівих і правих прямокутників мають перший метод Симпсона - четвертий порядок точності.

лекція 17.

«Правило Рунґе практичної оцінки похибки.

Поняття про адаптивні алгоритми.

Особливі випадки чисельного інтегрування.

Метод осередків. Обчислення кратних інтегралів.

Правило Рунґе практичної оцінки похибки.

Нехай деякий метод інтегрування має порядок точності k, тобто
, де - Похибка, A- Коефіцієнт, що залежить від методу інтегрування та підінтегральної функції, h- Крок розбиття. Тоді

а при кроці

,

Виведена формула називається першою формулою Рунґе. Вона має велике практичне значення. Якщо потрібно вирахувати інтеграл з точністю  , ми повинні обчислювати наближені значення інтеграла, подвоюючи число елементарних відрізків, доки досягнемо виконання нерівності

Тоді, нехтуючи нескінченно малими величинами, можна вважати, що

Якщо ми хочемо отримати більш точне значення шуканого інтеграла, то за уточнене значення Jми можемо прийняти замість
суму

.

Це друга формула Рунґе. На жаль, похибка цього уточненого значення залишається невизначеною, але зазвичай вона набагато вище, ніж точність первісного методу (коли за значення Jми приймаємо
).

Наприклад розглянемо спосіб трапецій. Як було показано вище, порядок точності kцього методу дорівнює 2.

де
. За другою формулою Рунґе

де
є наближене значення інтеграла, знайдене методом Сімпсона з кроком. Оскільки порядок цього дорівнює 4, то цьому прикладі застосування другий формули Рунге збільшило порядок точності на 2.

Розіб'ємо відрізок інтегрування [ а, b] на парне число nрівних частин з кроком h. На кожному відрізку [ х 0, х 2], [х 2, х 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] підінтегральну функцію f(х) замінимо інтерполяційним багаточленом другого ступеня:

Коефіцієнти цих квадратних тричленів можна визначити з умов рівності многочлена у точках відповідним табличним даним . Як можна прийняти інтерполяційний багаточлен Лагранжа другого ступеня, що проходить через точки :

Суму елементарних площ та (рис. 3.3) можна обчислити за допомогою певного інтегралу. Враховуючи рівність отримуємо

-

Мал. 3.3. Ілюстрація до методу Сімпсона

Провівши такі обчислення для кожного елементарного відрізка, підсумуємо отримані вирази:

Даний вираз для Sприймається як значення певного інтегралу:

(3.35)

Отримане співвідношення називається формулою Сімпсонаабо формулою парабол.

Цю формулу можна отримати й іншими способами, наприклад дворазовим застосуванням методу трапецій при розбиття відрізка [ а, b] на частини з кроками hі 2 hабо комбінування формул прямокутників і трапецій (див. Розд. 3.2.6).

Іноді формулу Сімпсона записують із застосуванням напівцілих індексів. У цьому випадку кількість відрізків розбиття пдовільно (не обов'язково парно), і формула Сімпсона має вигляд

(3.36)

Легко бачити, що формула (3.36) збігатиметься з (3.35), якщо формулу (3.35) застосувати для числа відрізків розбиття 2 nта кроку h/2.

приклад. Обчислити за методом Сімпсона інтеграл

Значення функції при n = 10, h = 0.1 наведено у табл. 3.3. Застосовуючи формулу (3.35), знаходимо

Результат чисельного інтегрування з використанням методу Сімпсона виявився таким, що збігається з точним значенням (шість значущих цифр).

Один із можливих алгоритмів обчислення певного інтеграла за методом Сімпсона показано на рис. 3.4. Як вихідні дані задаються межі відрізка інтегрування [ а, b], похибка ε, а також формула для обчислення значень підінтегральної функції у =f(x) .

Мал. 3.4. Алгоритм методу Сімпсона

Спочатку відрізок розбивається на дві частини з кроком h =(b- a)/2. Обчислюється значення інтегралу I 1. Потім число кроків подвоюється, обчислюється значення I 2 з кроком h/2. Умову закінчення рахунку приймається як . Якщо ця умова не виконано, відбувається новий поділ кроку навпіл і т.д.

Зазначимо, що представлений на рис. 3.4 алгоритм не є оптимальним: при обчисленні кожного наближення I 2 не використовуються значення функції f(x), вже знайдені на попередньому етапі. Більш економічні алгоритми будуть розглянуті в розд. 3.2.7.

Для побудови формули Сімпсона попередньо розглянемо таку задачу: обчислити площу S криволінійної трапеції, обмеженою зверху графіком параболи y = Ax 2 + Bx + C, зліва пряма х = - h, праворуч пряма x = h і знизу відрізком [-h; h]. Нехай парабола проходить через три точки (рис.8): D(-h; y 0) E(0; y 1) і F(h; y 2), причому х 2 - х 1 = х 1 - х 0 = h . Отже,

x1=x0+h=0; x2=x0+2h.

Тоді площа S дорівнює інтегралу:

Виразимо цю площу через h, y 0 , y 1 та y 2 . Для цього обчислимо коефіцієнти параболи А, В, С. З умови, що парабола проходить через точки D, E та F, маємо:

Вирішуючи цю систему, отримуємо: C = y 1; A =

Підставляючи ці значення А і С (3), отримуємо потрібну площу

Перейдемо тепер висновку формули Сімпсона для обчислення інтеграла

Для цього відрізок інтегрування розіб'ємо на 2n рівних частин завдовжки

У точках поділу (рис.4).

Враховуємо значення підінтегральної функції f: y 0 , y 1 , y 2 , ..., y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , де y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2, ..., 2n).

На відрізку підінтегральну функцію замінюємо параболою, що проходить через точки (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) і (x 2 ; y 2), і для обчислення наближеного значення інтеграла від х 0 до х 2 скористаємося формулою (4 ). Тоді (на рис. 4 заштрихована площа):

Аналогічно знаходимо:

................................................

Склавши отримані рівності, маємо:

Формула (5) називається узагальненою формулою Сімпсонаабо формулою парабол, Оскільки при її виведенні графік підінтегральної функції на частковому відрізку довжини 2h замінюється дугою параболи.

Завдання працювати:

1. За вказівкою викладача або відповідно до варіанта Таблиці 4 завдань (див. Додаток) взяти умови – підінтегральну функцію, межі інтегрування.

2. Скласти блок-схему програми та програму, яка повинна:

Запитати точність обчислення певного інтеграла, нижню та верхню межі інтегрування;

Обчислити заданий інтеграл методами: для варіантів 1,4,7, 10… – правих, для варіантів 2,5,8,… – середніх; для варіантів 2,5,8, - лівих прямокутників. Вивести кількість розбиття діапазону інтегрування, при якому досягнуто заданої точності обчислення;

Обчислити заданий інтеграл методом трапецій (для парних варіантів) та методом Сімпсона (для непарних варіантів).

Вивести кількість розбиття діапазону інтегрування, при якому досягнуто заданої точності обчислення;

Вивести значення контрольної функції для заданого значення аргументу та порівняти з обчисленими значеннями інтеграла. Зробити висновки.

Контрольні питання

1. Що таке певний інтеграл?

2. Чому поряд із аналітичними методами використовуються чисельні методи обчислення певних інтегралів.

3. У чому полягає суть основних чисельних методів обчислення певних інтегралів.

4. Вплив кількості розбиття на точність обчислення певного інтегралу чисельними методами.

5. Як обчислити інтеграл будь-яким методом із заданою точністю?