Х = Х ср Х

Абсолютна

похибка

Відносна

похибка

a+ b

a+ b

Терміни помилка виміруі похибка вимірюваннявикористовуються як синоніми.) Можливо лише оцінити величину цього відхилення, наприклад, за допомогою статистичних методів. При цьому за справжнє значенняприймається середньостатистичне значення, отримане при статистичної обробкирезультатів серії вимірів. Це отримане значення перестав бути точним, лише найімовірнішим. Тому у вимірах необхідно вказувати, яка їхня точність . Для цього разом із отриманим результатом вказується похибка вимірів. Наприклад, запис T=2.8±0.1 c. означає, що дійсне значення величини Tлежить в інтервалі від 2.7 с.до 2.9 с.деякою обумовленою ймовірністю (див. довірчий інтервал, довірча ймовірність, стандартна помилка).

У 2006 році на міжнародному рівні було прийнято новий документ, що диктує умови проведення вимірювань та встановив нові правила звірення державних еталонів. Поняття «похибка» почало старіти, натомість було запроваджено поняття «невизначеність вимірів».

Визначення похибки

Залежно від характеристик вимірюваної величини визначення похибки вимірювань використовують різні методи.

• Метод Корнфельда, полягає у виборі довірчого інтервалу в межах від мінімального до максимального результату вимірювання, і похибка як половина різниці між максимальним і мінімальним результатом вимірювання:

• Середня квадратична похибка:

• Середня квадратична похибка середнього арифметичного:

Класифікація похибок

За формою подання

• Абсолютна похибка - Δ Xє оцінкою абсолютної помилки виміру. Розмір цієї похибки залежить від способу її обчислення, який, своєю чергою, визначається розподілом випадкової величини X meas . При цьому рівність:

Δ X = | X true − X meas | ,

де X true - справжнє значення, а X meas - виміряне значення має виконуватися з деякою ймовірністю близькою до 1. Якщо випадкова величина X meas розподілена за нормальним законом , то, як правило, за абсолютну похибку приймають її середньоквадратичне відхилення . Абсолютна похибка вимірюється у тих самих одиницях виміру, як і сама величина.

• Відносна похибка- Відношення абсолютної похибки до того значення, яке приймається за істинне:

Відносна похибка є безрозмірною величиною, або вимірюється у відсотках.

• Наведена похибка- відносна похибка, виражена ставленням абсолютної похибки засобу вимірювань до умовно прийнятого значення величини, постійному у всьому діапазоні вимірювань або в частині діапазону. Обчислюється за формулою

де X n- нормуюче значення, яке залежить від типу шкали вимірювального приладуі визначається за його градуюванням:

Якщо шкала пристрою одностороння, тобто. нижня межа вимірювань дорівнює нулю, то X nвизначається рівною верхній межі вимірювань;
- якщо шкала приладу двостороння, то нормуюче значення дорівнює ширині діапазону вимірювання приладу.

Наведена похибка – безрозмірна величина (може вимірюватися у відсотках).

Через виникнення

• Інструментальні/приладові похибки- похибки, які визначаються похибками засобів вимірювань, що застосовуються, і викликаються недосконалістю принципу дії, неточністю градуювання шкали, ненаглядністю приладу.
• Методичні похибки- похибки, зумовлені недосконалістю методу, і навіть спрощеннями, покладеними основою методики.
• Суб'єктивні / операторні / особисті похибки- Похибки, зумовлені ступенем уважності, зосередженості, підготовленості та іншими якостями оператора.

У техніці застосовують прилади для вимірювання лише з певною заздалегідь заданою точністю – основною похибкою, яка допускається нормалі в нормальних умовах експлуатації для даного приладу.

Якщо прилад працює в умовах, відмінних від нормальних, виникає додаткова похибка, що збільшує загальну похибку приладу. До додаткових похибок належать: температурна, спричинена відхиленням температури довкіллявід нормальної, настановна, обумовлена ​​відхиленням положення приладу від нормального робочого положення, тощо. За нормальну температуру навколишнього повітря приймають 20°С, нормальне атмосферний тиск 01,325 кПа.

Узагальненою характеристикою засобів вимірювання є клас точності, що визначається граничними значеннями основної і додаткової похибок, що допускаються, а також іншими параметрами, що впливають на точність засобів вимірювання; значення параметрів встановлено стандартами окремі види засобів вимірів. Клас точності засобів вимірювань характеризує їх точнісні властивості, але не є безпосереднім показником точності вимірювань, що виконуються за допомогою цих засобів, оскільки точність залежить також від методу вимірювання та умов їх виконання. Вимірювальним приладам, межі основної похибки яких задані у вигляді наведених основних (відносних) похибок, присвоюють класи точності, що вибираються з ряду наступних чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 5,0; 6,0) * 10n, де n = 1; 0; -1; -2 і т.д.

За характером прояву

• Випадкова похибка- похибка, що змінюється (за величиною та по знаку) від виміру до виміру. Випадкові похибки можуть бути пов'язані з недосконалістю приладів (тертя в механічних приладах тощо), трясінням у міських умовах, з недосконалістю об'єкта вимірювань (наприклад, при вимірюванні діаметра тонкого дроту, який може мати не зовсім круглий переріз внаслідок недосконалості процесу виготовлення) ), з особливостями самої вимірюваної величини (наприклад, при вимірюванні кількості елементарних частинок, що проходять за хвилину через лічильник Гейгера).
• Систематична похибка- похибка, що змінюється у часі за певним законом (приватним випадком є ​​постійна похибка, що не змінюється з часом). Систематичні похибки можуть бути пов'язані з помилками приладів (неправильна шкала, калібрування тощо), неврахованими експериментатором.
• Прогресуюча (дрейфова) похибка- Непередбачувана похибка, що повільно змінюється в часі. Вона є нестаціонарним випадковим процесом.
• Груба похибка (промах)- похибка, що виникла внаслідок недогляду експериментатора або несправності апаратури (наприклад, якщо експериментатор неправильно прочитав номер розподілу на шкалі приладу, якщо сталося замикання електричного ланцюга).

У наш час людина придумала і використовує безліч різноманітних вимірювальних приладів. Але якою б досконалою не була технологія їх виготовлення, усі вони мають більшу чи меншу похибку. Цей параметр, як правило, вказується на самому інструменті, і для оцінки точності величини, що визначається, потрібно вміти розбиратися в тому, що означають зазначені на маркуванні цифри. Крім того, відносна та абсолютна похибка неминуче виникає при складних математичних розрахунках. Вона широко застосовується у статистиці, промисловості (контроль якості) та у ряді інших областей. Як розраховується ця величина і як трактувати її значення - про це якраз і йтиметься у цій статті.

Абсолютна похибка

Позначимо через наближене значення якої-небудь величини, отримане, наприклад, за допомогою одноразового вимірювання, а через х 0 - її точне значення. Тепер обчислимо модуль різниці між цими двома числами. Абсолютна похибка – це якраз і є те значення, що вийшло у нас внаслідок цієї нехитрої операції. Висловлюючись мовою формул, дане визначенняможна записати в такому вигляді: x = | x - x 0 |

Відносна похибка

Абсолютне відхилення має один важливий недолік - воно не дозволяє оцінити ступінь важливості помилки. Наприклад, купуємо ми на ринку 5 кг картоплі, а недобросовісний продавець при вимірі ваги помилився на 50 грам на свою користь. Тобто абсолютна похибка становила 50 грам. Для нас така помилка буде справжньою дрібницею і ми навіть не звернемо на неї уваги. А уявіть собі, що станеться, якщо при приготуванні ліків станеться така помилка? Тут уже все буде набагато серйозніше. А при завантаженні товарного вагона, напевно, виникають відхилення набагато більше цього значення. Тому сама собою абсолютна похибка малоінформативна. Крім неї дуже часто додатково розраховують відносне відхилення, що дорівнює відношенню абсолютної похибки до точного значення числа. Це записується наступною формулою: δ = Δ x / x 0 .

Властивості похибок

Припустимо, ми маємо дві незалежні величини: х і у. Нам потрібно розрахувати відхилення наближеного значення їхньої суми. У цьому випадку ми можемо розрахувати абсолютну похибку як суму попередньо розрахованих абсолютних відхилень кожної з них. У деяких вимірах може статися так, що помилки у визначенні значень x та y будуть компенсувати один одного. А може статися й таке, що в результаті відхилення максимально посиляться. Тому, коли розраховується сумарна абсолютна похибка, слід враховувати найгірший із усіх варіантів. Те саме справедливо і для різниці помилок кількох величин. Дана властивість характерна лише для абсолютної похибки, і щодо відхилення його застосовувати не можна, оскільки це неминуче призведе до невірного результату. Розглянемо цю ситуацію на такому прикладі.

Припустимо, вимірювання всередині циліндра показали, що внутрішній радіус (R 1) дорівнює 97 мм, а зовнішній (R 2) - 100 мм. Потрібно визначити товщину стінки. Спочатку знайдемо різницю: h = R 2 - R 1 = 3 мм. Якщо задачі не вказується чому дорівнює абсолютна похибка, її приймають за половину розподілу шкали вимірювального приладу. Таким чином, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 мм. Сумарна абсолютна похибка дорівнює: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 мм. Тепер розрахуємо щодо відхилення всіх величин:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Як бачимо, похибка вимірювання обох радіусів не перевищує 5,2%, а помилка при розрахунку їхньої різниці - товщини стінки циліндра - склала цілих 33,(3)%!

Наступна властивість свідчить: відносне відхилення твору декількох числа приблизно дорівнює сумі відносних відхиленьокремих співмножників:

δ(ху) ≈ δ(х) + δ(у).

Причому це правило справедливо незалежно від кількості оцінюваних величин. Третє і останнє властивість відносної похибки у тому, що відносна оцінка числа k-йступеня наближено до | k | разів перевищує відносну похибку вихідного числа.

Припустимо, що ми проводимо серію з nвимірювань однієї і тієї ж величини х. Через наявність випадкових помилок окремі значення х 1 ,х 2 ,х 3, х n неоднакові, і як найкраще значення шуканої величини вибирається середнє арифметичне , рівне арифметичній сумівсіх виміряних значень, поділеної на кількість вимірів:

. (П.1)

де å - знак суми, i- Номер виміру, n- Число вимірювань.

Отже, - значення, найближче до істинного. Істинного значення ніхто не знає. Можна лише розрахувати інтервал D хпоблизу , у якому справжнє значення може бути з деякою мірою ймовірності р. Цей інтервал називається довірчим інтервалом. Імовірність, з якою справжнє значення до нього потрапляє, називається довірчою ймовірністю, чи коефіцієнтом надійності(оскільки знання довірчої ймовірності дозволяє оцінити степ надійності отриманого результату). При розрахунку довірчого інтервалу необхідний ступіньнадійності задається заздалегідь. Вона визначається практичними потребами (наприклад, до деталей двигуна літака пред'являються жорсткіші вимоги, ніж до мотору човна). Очевидно, для отримання більшої надійності потрібно збільшення кількості вимірів та їх ретельності.

Завдяки тому, що випадкові похибки окремих вимірів підкоряються ймовірнісним закономірностям, методи математичної статистикита теорії ймовірностей дозволяють розрахувати середню квадратичну похибку середнього арифметичного значення Dхсл. Запишемо без доказу формулу для розрахунку Dхсл при малій кількості вимірів ( n < 30).

Формулу називають формулою Стьюдента:

, (П.2)

де t n, p - коефіцієнт Стьюдента, що залежить від числа вимірів nта довірчої ймовірності р.

Коефіцієнт Стьюдента знаходять за таблицею, наведеною нижче, попередньо визначивши, виходячи з практичних потреб (як було сказано вище), величини nі р.

При обробці результатів лабораторних робітдостатньо провести 3-5 вимірів, а довірчу ймовірність прийняти рівною0,68.

Але буває так, що при багаторазових вимірах виходять однакові значення величини х. Наприклад, 5 разів виміряли діаметр дроту і 5 разів отримали одне й те саме значення. Так от це зовсім не означає, що похибки немає. Це означає лише те, що випадкова похибка кожного виміру менша точностіприладу d, яку також називають приладовий,або інструментальної, похибкою. Інструментальна похибка приладу d визначатиметься за класом точності приладу, вказаним у його паспорті, або вказується на самому приладі. А іноді приймається рівною ціною поділу приладу (ціна поділу приладу - значення його найменшого поділу) або половині ціни поділу (якщо на око приблизно можна визначити половину ціни поділу приладу).

Бо кожне із значень х i отримано з похибкою d то повний довірчий інтервал Dх, Абсолютну похибку вимірювання, розраховують за формулою:

. (П.3)

Зауважимо, що якщо у формулі (П.3) одна з величин хоча б у 3 рази більша за іншу, то меншою нехтують.

Абсолютна похибка як така не відбиває якості проведених вимірів. Наприклад, лише за інформацією абсолютна похибка дорівнює 0,002 м² не можна судити про те, наскільки добре було проведено цей вимір. Уявлення про якість проведених вимірів дає відносна похибка e, рівна відношеннюабсолютної похибки до середнього значення вимірюваної величини. Відносна похибка показує, яку частку становить абсолютна похибка виміряного значення. Як правило, відносну похибку виражають у відсотках:

Розглянемо приклад. Нехай діаметр кулі вимірюється за допомогою мікрометра інструментальна похибка якого d = 0,01 мм. В результаті трьох вимірів вийшли такі значення діаметра:

d 1 = 2,42 мм, d 2 = 2,44 мм, d 3 = 2,48 мм.

За формулою (П.1) визначають середнє арифметичне значення діаметра кулі

Потім за таблицею коефіцієнтів Стьюдента знаходять, що для довірчої ймовірності 0,68 при трьох вимірах t n, p = 1,3. Після чого за формулою (П.2) розраховують випадкову похибкувимірювання Ddсл

Так як отримана випадкова похибка всього вдвічі перевищує приладову похибку, то при знаходженні абсолютної похибки вимірювання Dd(П.3) слід враховувати і випадкову похибку, і похибку приладу, тобто.

Мм» ±0,03 мм.

Похибка округлили до сотих міліметра, тому що точність результату не може перевищувати точність вимірювального приладу, яка в даному випадку становить 0,01 мм.

Отже, діаметр дроту дорівнює

мм.

Цей запис говорить про те, що справжнє значення діаметра кулі з ймовірністю 68 % лежить в інтервалі (2,42 2,48) мм.

Відносна похибка e отриманого значення згідно (П.4) становить

%.

Вимірювання називаються прямими,якщо значення величин визначаються приладами безпосередньо (наприклад, вимірювання довжини лінійкою, визначення часу секундоміром тощо). Вимірювання називаються непрямимиякщо значення вимірюваної величини визначається за допомогою прямих вимірювань інших величин, які пов'язані з вимірюваною певною залежністю.

Випадкові похибки при прямих вимірах

Абсолютна та відносна похибка.Нехай проведено Nвимірювань однієї і тієї ж величини xбез систематичної похибки. Окремі результати вимірювань мають вигляд: x 1 ,x 2 , …,x N. Як найкраще вибирається середнє значення виміряної величини:

Абсолютною похибкоюодиничного виміру називається різниця виду:

.

Середнє значення абсолютної похибки Nодиничних вимірів:

(2)

називається середньою абсолютною похибкою.

Відносною похибкоюназивається відношення середньої абсолютної похибки до середнього значення вимірюваної величини:

. (3)

Приладові похибки при прямих вимірах

Якщо немає особливих вказівок, похибка приладу дорівнює половині ціни розподілу (лінійка, мензурка).

Похибка приладів, забезпечених ноніусом, дорівнює ціні поділу ноніуса (мікрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

Похибка табличних величин дорівнює половині одиниці останнього розряду (п'ять одиниць наступного порядку за останньою цифрою).

Похибка електровимірювальних приладів обчислюється згідно з класом точності З, вказаному на шкалі приладу:

Наприклад:
і
,

де U maxі I max- Межа вимірювання приладу.

Похибка приладів із цифровою індикацією дорівнює одиниці останнього розряду індикації.

Після оцінки випадкової та приладової похибок у розрахунок приймається та, значення якої більше.

Обчислення похибок при непрямих вимірах

Більшість вимірів є непрямими. У цьому випадку потрібна величина Х є функцією декількох змінних а,b, c… значення яких можна знайти прямими вимірами: Х = f( a, b, c…).

Середнє арифметичне результату непрямих вимірів дорівнюватиме:

X = f( a, b, c…).

Одним із способів обчислення похибки є спосіб диференціювання натурального логарифму функції Х = f( a, b, c…). Якщо, наприклад, потрібна величина Х визначається співвідношенням Х = , то після логарифмування отримуємо: lnX = ln a+ ln b+ ln ( c+ d).

Диференціал цього виразу має вигляд:

.

Стосовно обчислення наближених значень його можна записати для відносної похибки у вигляді:

 =
. (4)

Абсолютна похибка при цьому розраховується за такою формулою:

Х = Х(5)

Таким чином, розрахунок похибок та обчислення результату при непрямих вимірах виробляють у наступному порядку:

1) Проводять вимірювання всіх величин, що входять до вихідної формули для обчислення кінцевого результату.

2) Обчислюють середні арифметичні значення кожної вимірюваної величини та його абсолютні похибки.

3) Підставляють у вихідну формулу середні значення всіх виміряних величин та обчислюють середнє значення шуканої величини:

X = f( a, b, c…).

4) Логарифмують вихідну формулу Х = f( a, b, c...) і записують вираз відносної похибки у вигляді формули (4).

5) Розраховують відносну похибку  = .

6) Розраховують абсолютну похибку результату за формулою (5).

7) Остаточний результат записують у вигляді:

Абсолютні та відносні похибки найпростіших функцій наведені в таблиці: