Кількість руху мірою механічного руху, якщо механічний рух перейде до механічного. Наприклад, механічний рух більярдної кулі (рис. 22) до удару перетворюється на механічний рух куль після удару. Для точки кількість руху дорівнює добутку.

Мірою дії сили у разі є імпульс сили

. (9.1)

Імпульс визначає дію сили за проміжок часу . Для матеріальної точки теорему про зміну кількості руху можна використовувати у диференціальній формі
(9.2) або інтегральної (кінцевої) форми
. (9.3)

Зміна кількості руху матеріальної точки за якийсь проміжок часу дорівнює імпульсу всіх сил, прикладених до точки за той самий час.

Малюнок 22

При розв'язанні задач теорема (9.3) частіше використовується у проекціях на координатні осі
;

; (9.4)

.

За допомогою теореми про зміну кількості руху точки можна вирішувати задачі, в яких на точку або тіло, що рухається поступально, діють сили постійні або змінне, що залежать від часу, а до заданих і шуканих величин входять час руху і швидкості на початку і в кінці руху. Завдання із застосуванням теореми вирішуються наступною послідовністю:

1. вибирають систему координат;

2. зображують всі діючі на точку задані (активні) сили та реакції;

3. записують теорему про зміну кількості руху точки у проекціях на вибрані осі координат;

4. визначають шукані величини.

ПРИКЛАД 12.

Молот вагою G=2т падає з висоти h=1м на заготівлю за час t=0,01с і робить штампування деталі (рис. 23). Визначити середню силу тиску молота на заготівлю.

РІШЕННЯ.

1. На заготівлю діє сила тяжіння молота та реакція опори . Розмір опорної реакції змінюється з часом, тому розглянемо середнє її значення
.

2. Направимо вісь координат у по вертикалі вниз і застосуємо теорему про зміну кількості руху точки в проекції на цю вісь:
, (1) де - швидкість молота в кінці удару;

- Початкова швидкість молота в момент зіткнення з заготівлею.

3. Для визначення швидкості складемо диференціальне рівняння руху молота в проекції на вісь у:

. (2)

Розділимо змінні, двічі проінтегруємо рівняння (2):
;

;

. Постійні інтегрування З 1 З 2 знайдемо з початкових умов. При t=0 V y =0 тоді С 1 =0; у=0, тоді 2 =0. Отже, молот рухається згідно із законом
, (3) а швидкість руху молота змінюється згідно із законом
. (4) Час руху молота висловимо з (3) і підставимо (4)
;
. (5)

4. Проекцію імпульсу зовнішніх сил на вісь знайдемо за формулою:
. (6) Підставимо (5) і (6) в (1):
, звідки знаходимо реакцію опори, і, отже, шуканий тиск молота на заготівлю
т.

Малюнок 24

До

де М-маса системи, V c швидкість центру мас. Теорему про зміну кількості руху механічної системи можна записати в диференційній та кінцевій (інтегральній) формі:
;

. (9.7)

кількість руху механічної системи можна визначити як суму кількостей руху точок системи
. (9.5) Кількість руху системи або твердого тіла можна визначити, знаючи масу системи та швидкість центру мас
, (9.6)

Зміна кількості руху механічної системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів зовнішніх сил, що діють за той самий час. Іноді зручніше користуватися теоремою про зміну кількості руху в проекції на осі координат
; (9.8)
. (9.9)

Закон збереження кількості руху встановлює, що за відсутності зовнішніх сил кількість руху механічної системи залишається постійною. Дія внутрішніх сил не може змінити кількість руху системи. З рівняння (9.6) видно, що за
,
.

Якщо
, то
або
.

Д

гребного гвинта чи пропелера, реактивного руху. Кальмари рухаються ривками, викидаючи воду з м'язового мішка за принципом водомета (рис. 25). Вода, що відштовхується, володіє відомою кількістю руху, спрямованою назад. Кальмар одержує при цьому відповідну швидкість руху вперед за рахунок реактивної сили тяги , тому що перед вистрибуванням кальмара сила врівноважується силою тяжіння .

дія закону збереження кількості руху механічної системи можна проілюструвати на прикладі явища віддачі або відкату при стрільбі, роботи

Застосування теореми про зміну кількості руху дозволяє виключити із розгляду всі внутрішні сили.

ПРИКЛАД 13.

На залізничній платформі, що вільно стоїть на рейках, встановлена ​​лебідка А з барабаном радіуса r (рис. 26). Лебідка призначена для переміщення по платформі вантажу масою m 1 . Маса платформи з лебідкою m2. Барабан лебідки обертається згідно із законом
. У початковий час система була рухлива. Нехтуючи тертям, знайти закон зміни швидкості платформи після включення лебідки.

Р ЇШЕННЯ.

1. Розглянемо платформу, лебідку та вантаж як єдину механічну систему, на яку діють зовнішні сили: сила тяжіння вантажу та платформи та реакції і
.

2. Оскільки всі зовнішні сили перпендикулярні до осі х, тобто.
, застосуємо закон збереження кількості руху механічної системи у проекції на вісь х:
. У початковий момент часу система була нерухома, отже,

Виразимо кількість руху системи у довільний момент часу. Платформа рухається поступово зі швидкістю , вантаж здійснює складний рух, що складається з відносного руху по платформі зі швидкістю та переносного руху разом з платформою зі швидкістю ., звідки
. Платформа переміщатиметься у бік, протилежний відносному руху вантажу.

ПРИКЛАД 14.

М

РІШЕННЯ.

1. Застосуємо теорему про зміну кількості руху механічної системи у проекції на вісь х. Оскільки всі зовнішні сили, що діють на систему, вертикальні, то
тоді
, звідки
. (1)

2. Виразимо проекцію кількості руху на вісь х для аналізованої механічної системи
,

еханическая система складається з прямокутної вертикальної плити 1 масоюm 1 =18кг, що рухається вздовж горизонтальних напрямних і вантажу D масою m 2 =6кг. У момент часу t 0 =0, коли плита рухалася зі швидкістю u 0 =2м/с, вантаж почав рух уздовж жолоба відповідно до рівняння S=AD=0,4sin( t 2) (S-в метрах, t-в секундах), (рис. 26). Визначити швидкість плити на момент часу t 1 =1с, використовуючи теорему про зміну кількості руху механічної системи.

де ,
- кількість руху пластини та вантажу відповідно.

;
, де - Абсолютна швидкість вантажу D. З рівності (1) випливає, що К 1х + К 2х = 1 або m 1 u x + m 2 V Dx = C 1 . (2) Для визначення V Dx розглянемо рух вантажу D як складний, вважаючи його рух по відношенню до пластини відносним, а рух пластини переносним, тоді
, (3)
;або в проекції на вісь х: . (4) Підставимо (4) до (2):
. (5) Постійну інтегрування 1 визначимо з початкових умов: при t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 = C 1 . (6) Підставляючи значення постійної З 1 рівняння (5), отримуємо

м/с.

Складається з nматеріальних точок. Виділимо із цієї системи деяку точку M jз масою m j. На цю точку, як відомо, діють зовнішні та внутрішні сили.

Прикладемо до точки M jрівнодіючу всіх внутрішніх сил F j iта рівнодіючу всіх зовнішніх сил F j e(Рисунок 2.2). Для виділеної матеріальної точки M j(як для вільної точки) запишемо теорему про зміну кількості руху у диференційній формі (2.3):

Запишемо аналогічні рівняння для всіх точок механічної системи (j=1,2,3,…,n).

Малюнок 2.2

Складемо почленно все nрівнянь:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Тут ∑m j ×V j =Q– кількість руху механічної системи;
∑F j e = R e- Головний вектор всіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему;
∑F j i = R i =0- Головний вектор внутрішніх сил системи (за якістю внутрішніх сил він дорівнює нулю).

Остаточно для механічної системи отримуємо

dQ/dt = R e. (2.11)

Вираз (2.11) є теоремою про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі (у векторному вираженні): похідна часу від вектора кількості руху механічної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Проеціюючи векторну рівність (2.11) на декартові осі координат, отримуємо вирази для теореми про зміну кількості руху механічної системи в координатному (скалярному) виразі:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z / dt = R z e, (2.12)

тобто. похідна за часом від проекції кількості руху механічної системи на будь-яку вісь дорівнює проекції на цю вісь головного вектора всіх зовнішніх сил, що діють на цю механічну систему.

Помножуючи обидві частини рівності (2.12) на dt, Отримаємо теорему в іншій диференціальній формі:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

тобто. диференціал кількості руху механічної системи дорівнює елементарному імпульсу головного вектора (сумі елементарних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Інтегруючи рівність (2.13) у межах зміни часу від 0 до tотримуємо теорему про зміну кількості руху механічної системи в кінцевій (інтегральній) формі (у векторному вираженні):

Q - Q 0 = S e,

тобто. зміна кількості руху механічної системи за кінцевий проміжок часу дорівнює повному імпульсу головного вектора (сумі повних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на систему за той самий проміжок часу.

Проеціюючи векторну рівність (2.14) на декартові осі координат, отримаємо вирази для теореми в проекціях (у скалярному виразі):

тобто. зміна проекції кількості руху механічної системи на яку-небудь вісь за кінцевий проміжок часу і проекції на цю ж вісь повного імпульсу головного вектора (сумі повних імпульсів) всіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему, за той же проміжок часу.

З розглянутої теореми (2.11) - (2.15) випливають наслідки:

1. Якщо R e = ∑F j e = 0, то Q = const– маємо закон збереження вектора кількості руху механічної системи: якщо головний вектор R eвсіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху цієї системи залишається постійним за величиною та напрямом і дорівнює своєму початковому значенню Q 0, тобто. Q = Q 0.
2. Якщо R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), то Q x = const– маємо закон збереження проекції на вісь кількості руху механічної системи: якщо проекція головного вектора всіх діючих на механічну систему сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція на цю вісь вектора кількості руху цієї системи буде величиною постійної та рівної проекції на цю вісь початкового вектора кількості руху, тобто. Q x = Q 0x.

Диференціальна форма теореми про зміну кількості руху матеріальної системи має важливі та цікаві додатки в механіці суцільного середовища. З (2.11) можна одержати теорему Ейлера.

Кількість руху матеріальної точкиназивається векторна величина mV,рівна добутку маси точки на вектор її швидкості. Вектор mVприкладений до точки, що рухається.

Кількість руху системиназивають векторну величину Q, рівну геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи:

Вектор Qє вільним вектором. У системі одиниць СІ модуль кількості руху вимірюється кг м/с або Н с.

Як правило, швидкості всіх точок системи різні (див., наприклад, розподіл швидкостей точок колеса, що котиться, показане на рис. 6.21), і тому безпосереднє підсумовування векторів у правій частині рівності (17.2) є скрутним. Знайдемо формулу, за допомогою якої величина Qобчислюється значно легше. З рівності (16.4) випливає, що

Взявши від обох частин похідну за часом, отримаємо Звідси з огляду на рівність (17.2) знаходимо, що

т. е. кількість руху системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас.

Зауважимо, що вектор Q,подібно до головного вектора сил у статиці, є деякою узагальненою векторною характеристикою руху всієї механічної системи. У загальному випадку руху системи її кількість руху Qможна як характеристику поступальної частини руху системи разом із її центром мас. Якщо під час руху системи (тіла) центр мас нерухомий, то кількість руху системи дорівнюватиме нулю. Таке, наприклад, кількість руху тіла, що обертається навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас.

приклад.Визначити кількість руху механічної системи (рис. 17.1, а),що складається з вантажу Амасою т А - 2 кг, однорідного блоку Умасою 1 кг та колеса Dмасою m D - 4кг. Вантаж Арухається зі швидкістю V A - 2 м/с, колесо Dкотиться без ковзання, нитка нерозтяжна та невагома. Рішення. Кількість руху системи тіл

Тіло Арухається поступально та Q A = m A V A(чисельно Q A= 4 кг м/с, напрямок вектора Q Aзбігається з напрямком V A).Блок Уздійснює обертальний рух навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас; отже, Q B - 0. Колесо Dздійснює плоскопаралельне

рух; його миттєвий центр швидкостей знаходиться у точці Дотому швидкість його центру мас (точки Е)дорівнює V E = V A /2= 1 м/с. Кількість руху колеса Q D - m D V E - 4 кг м/с; вектор Q Dспрямований горизонтально вліво.

Зобразивши вектори Q Aі Q Dна рис. 17.1, б, знаходимо кількість руху Qсистеми за формулою (а). Враховуючи напрямки та числові значення величин, отримаємо Q ~^Q A +Q E=4л/2~ кг м/с, напрямок вектора Qпоказано на рис. 17.1, б.

Враховуючи що a -dV/dt,рівняння (13.4) основного закону динаміки можна подати у вигляді

Рівняння (17.4) виражає теорему про зміну кількості руху точки в диференційній формі: у кожний момент часу похідна за часом від кількості руху точки дорівнює чинній на точку силі. (По суті це інше формулювання основного закону динаміки, близьке до тієї, яку дав Ньютон.) Якщо точку діє кілька сил, то правої частини рівності (17.4) буде рівнодіюча сил, прикладених до матеріальної точці.

Якщо обидві частини рівності помножити на dt,то отримаємо

Векторна величина, яка стоїть у правій частині цієї рівності, характеризує дію, що чиниться на тіло силою за елементарний проміжок часу dtцю величину позначають dSі називають елементарним імпульсом сили,тобто.

Імпульс Sсили Fза кінцевий проміжок часу /, - / 0 окреслюється межа інтегральної суми відповідних елементарних імпульсів, тобто.

В окремому випадку, якщо сила Fпостійна за модулем і за напрямом, то S = F(t| -/ 0) та S-F(t l -/0). У загальному випадку модуль імпульсу сили може бути обчислений за його проекціями на координатні осі:

Тепер, інтегруючи обидві частини рівності (17.5) при т= const, отримаємо

Рівняння (17.9) виражає теорему про зміну кількості руху точки в кінцевій (інтегральній) формі: зміна кількості руху точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу чинної на точку сили (або імпульсу рівнодіючої всіх прикладених до неї сил) за той самий проміжок часу.

При розв'язанні задач користуються рівняннями цієї теореми у проекціях на координатні осі

Тепер розглянемо механічну систему, що складається з пматеріальних точок. Тоді для кожної точки можна застосувати теорему про зміну кількості руху у формі (17.4), враховуючи додані до точок зовнішні та внутрішні сили:

Підсумовуючи ці рівності та враховуючи, що сума похідних дорівнює похідній від суми, отримуємо

Оскільки за якістю внутрішніх сил HF k=0 і визначення кількості руху ^fn k V/ c = Q, то остаточно знаходимо

Рівняння (17.11) виражає теорему про зміну кількості руху системи у диференційній формі: у кожний момент часу похідна за часом від кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють систему.

Проеціюючи рівність (17.11) на координатні осі, отримаємо

Помножуючи обидві частини (17.11) на dtта інтегруючи, отримаємо

де 0, Q 0 -кількості руху системи в моменти часу відповідно та / 0 .

Рівняння (17.13) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за якийсь час дорівнює сумі імпульсів усіх зовнішніх сил, що діють систему за той же час.

У проекціях на координатні осі отримаємо

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки, які висловлюють закон збереження кількості руху системи.

• 1. Якщо геометрична ^умма всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю (LF k=0), то з рівняння (17.11) випливає, що при цьому Q= const, тобто вектор кількості руху системи буде постійний за модулем та напрямом.
• 2. Якщо зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь дорівнює нулю (наприклад, I e kx = 0), то із рівнянь (17.12) випливає, що при цьому Q x = const, т. Е. Проекція кількості руху системи на цю вісь залишається незмінною.

Зазначимо, що внутрішні сили системи беруть участь у рівнянні теореми про зміну кількості руху системи. Ці сили, хоч і впливають на кількість руху окремих точок системи, не можуть змінити кількість руху системи в цілому. Враховуючи цю обставину, при вирішенні завдань дану систему доцільно вибирати так, щоб невідомі сили (усі або їх частина) зробити внутрішніми.

Закон збереження кількості руху зручно застосовувати у тих випадках, коли щодо зміни швидкості однієї частини системи треба визначити швидкість іншої її частини.

Завдання 17.1. Довізку масою т х- 12 кг, що рухається по гладкій горизонтальній площині, у точці Аза допомогою циліндричного шарніру прикріплений невагомий стрижень ADдовжиною /= 0,6 м з вантажем Dмасою т 2 - 6 кг на кінці (рис. 17.2). У момент часу / 0 = 0, коли швидкість візка та () - 0,5 м/с, стрижень ADпочинає обертатися навколо осі А,перпендикулярної площині креслення, згідно із законом ф = (тг/6)(3^ 2 - 1) рад (/-в секундах). Визначити: u=f.

§ 17.3. Теорема про рух центру мас

Теорему про зміну кількості руху механічної системи можна висловити ще в іншій формі, що має назву теореми про рух центру мас.

Підставивши в рівняння (17.11) рівність Q = MV C ,отримаємо

Якщо маса Мсистеми постійна, то отримаємо

де а з -прискорення центру мас системи.

Рівняння (17.15) та виражає теорему про рух центру мас системи: добуток маси системи на прискорення її центру мас дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Проеціюючи рівність (17.15) на координатні осі, отримаємо

де x c , y c , z c -координати центру мас системи.

Ці рівняння є диференціальними рівняннями руху центру мас в проекціях на осі декартової системи координат.

Обговоримо одержані результати. Попередньо нагадаємо, що центр мас системи є геометричною точкою, розташованою часом поза геометричними межами тіла. Діючі ж на механічну систему сили (зовнішні та внутрішні) прикладені до всіх матеріальних точок системи. Рівняння (17.15) дозволяють визначити рух центру мас системи, не визначаючи руху окремих її точок. Зіставивши рівняння (17.15) теореми про рух центру мас та рівняння (13.5) другого закону Ньютона для матеріальної точки, приходимо до висновку: центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи, і начебто до цієї точки прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему.Таким чином, рішення, які отримуємо, розглядаючи це тіло як матеріальну точку, визначають закон руху центру мас цього тіла.

Зокрема, якщо тіло рухається поступально, то кінематичні характеристики всіх точок тіла та його центру мас однакові. Тому тіло, що поступально рухається, можна завжди розглядати як матеріальну точку з масою, що дорівнює масі всього тіла.

Як видно з (17.15), внутрішні сили, що діють на точки системи, не впливають на рух центру мас системи. Внутрішні сили можуть вплинути на рух центру мас у тих випадках, коли під їх впливом змінюються зовнішні сили. Приклади цього будуть наведені далі.

З теореми про рух центру мас можна отримати такі важливі наслідки, які виражають закон збереження руху центру мас системи.

1. Якщо геометрична сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю (LF k=0), то з рівняння (17.15) випливає,

що при цьому а з = 0 або V c = const, тобто центр мас цієї системи

рухається з постійною по модулю та напрямку швидкістю (інакше, рівномірно та прямолінійно). В окремому випадку, якщо спочатку центр мас був у спокої ( V c=0), то він і залишиться у спокої; звідки

слід е, що його становище у просторі не зміниться, тобто. r c = const.

2. Якщо зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад, вісь х)дорівнює нулю (?F e kx= 0), то з рівняння (17.16) випливає, що при цьому х з=0 або V Cx =х з = const, т. Е. Проекція швидкості центру мас системи на цю вісь є величина постійна. В окремому випадку, якщо в початковий момент Vex= 0, то й у будь-який наступний момент часу це значення збережеться, а звідси випливає, що координата х зцентру мас системи не зміниться, тобто. х з - const.

Розглянемо приклади, що ілюструють закон руху центру мас.

приклади. 1. Як було зазначено, рух центру мас залежить лише від зовнішніх сил, внутрішніми силами змінити положення центру мас не можна. Але внутрішні сили системи можуть спричинити зовнішні впливи. Так, рух людини по горизонтальній поверхні відбувається під дією сил тертя між підошвами його взуття та поверхнею дороги. Силою своїх м'язів (внутрішні сили) людина ногами відштовхується від поверхні дороги, через що в точках контакту з дорогою виникає сила тертя (зовнішня для людини), спрямована у бік її руху.

• 2. Аналогічним чином рухається автомобіль. Внутрішні сили тиску в його двигуні змушують обертатися колеса, але оскільки останні мають зчеплення з дорогою, сили тертя, що виникають, «штовхають» машину вперед (в результаті колеса не обертаються, а рухаються плоскопаралельно). Якщо ж дорога буде абсолютно гладкою, то центр мас автомобіля буде нерухомий (при нульовій початковій швидкості) і колеса за відсутності тертя пробуксовуватимуть, тобто здійснювати обертальний рух.
• 3. Рух за допомогою гребного гвинта, пропелера, весел відбувається за рахунок відкидання деякої маси повітря (або води). Якщо розглядати масу, що відкидається, і тіло, що рухається, як одну систему, то сили взаємодії між ними, як внутрішні, не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Однак кожна з частин цієї системи рухатиметься, наприклад, човен уперед, а вода, яку відкидають весла, – назад.
• 4. У безповітряному просторі під час руху ракети «масу, що відкидається», слід «брати з собою»: реактивний двигун повідомляє рух ракеті за рахунок відкидання назад продуктів горіння палива, яким заправлена ​​ракета.
• 5. При спуску на парашуті можна керувати рухом центру мас системи людина – парашут. Якщо м'язовими зусиллями людина підтягує стропи парашута отже змінюється форма його купола чи кут атаки повітряного потоку, це викликатиме зміна і зовнішнього впливу повітряного потоку, а цим впливає на рух всієї системи.

Завдання 17.2. Узадачі 17.1 (див. рис. 17.2) визначити: 1) закон руху візка х (= /)(/), якщо відомо, що у початковий момент часу t 0 =О система перебувала у спокої та координата х 10 = 0; 2) ^акон зміни з часом сумарного значення нормальної реакції N(N = N" + N")горизонтальну площину, тобто. N = f 2 (t).

Рішення. Тут, як і в задачі 17.1, розглянемо систему, що складається з візка та вантажу D,у довільному положенні під дією прикладених до неї зовнішніх сил (див. рис. 17.2). Координатні осі Охупроведемо так, щоб вісь х була горизонтальна, а вісь упроходила через точку А 0тобто місце розташування точки Ау момент часу t-t 0 - 0.

1. Визначення закону руху візка. Для визначення х, = /, (0 скористаємося теоремою про рух центру мас системи. Складемо диференціальне рівняння його руху в проекції на вісь х:

Оскільки всі зовнішні сили вертикальні, то T,F e kx = 0, і, отже,

Проінтегрувавши це рівняння, знайдемо, що Мх с = В,т. е. проекція швидкості центру мас системи на вісь х є постійна величина. Так як у початковий момент часу

Інтегруючи рівняння Мх з= 0, отримаємо

тобто координата х зцентру мас системи постійна.

Запишемо вираз Мх здля довільного становища системи (див. рис. 17.2), взявши до уваги, що х А - х { , x D - х 2і х 2 - х ( - I sin ф. Відповідно до формули (16.5), що визначає координату центру мас системи, в даному випадку Мх с - т (х ( + т 2 х 2”.

для довільного моменту часу

для моменту часу /() = 0, х (= 0 і

Відповідно до рівності (б) координата х зцентру мас всієї системи залишається незмінною, т. е. хД^,) = x c (t).Отже, прирівнявши вирази (в) та (г), отримаємо залежність координати х, від часу.

Відповідь: Х - 0,2 м, де t -за секунди.

2. Визначення реакції N.Для визначення N = f 2 (t) складемо диференціальне рівняння руху центру мас системи у проекції на вертикальну вісь у(див. рис. 17.2):

Звідси, позначивши N = N + N",отримаємо

За формулою, що визначає ординату у зцентру мас системи, Му з = т (у х + т 2 у 2 ,де у = у С1,у 2= y D = Уа ~ 1 cos Ф» отримаємо

Продиференціювавши цю рівність двічі за часом (з огляду на те, що у С1і у Авеличини постійні і, отже, їх похідні дорівнюють нулю), знайдемо

Підставивши цей вираз у рівняння (е), визначимо шукану залежність Nвід t.

Відповідь: N- 176,4 + 1,13,

де ф = (я/6) (3/-1), t - у секундах, N- у ньютонах.

Завдання 17.3.Електричний мотор масою т х прикріплено на горизонтальній поверхні фундаменту болтами (рис. 17.3). На валу мотора під прямим кутом до осі обертання закріплений одним кінцем невагомий стрижень завдовжки /, на іншому кінці стрижня насажений точковий вантаж А масою т 2 . Вал обертається поступово з кутовою швидкістю зі. Знайти горизонтальний тиск двигуна на болти. Рішення. Розглянемо механічну систему, що складається з мотора та точкового вантажу А, у довільному положенні. Зобразимо зовнішні сили, що діють на систему: сили тяжіння Р х, Р 2 реакцію фундаменту у вигляді вертикальної сили N та горизонтальної сили R. Проведемо координатну вісь х горизонтально.

Щоб визначити горизонтальний тиск мотора на болти (а він буде чисельно дорівнює реакції R і направлено протилежно вектору R ), складемо рівняння теореми про зміну кількості руху системи в проекції на горизонтальну вісь х:

Для аналізованої системи в її довільному положенні, враховуючи, що кількість руху корпусу двигуна дорівнює нулю, отримаємо Q x = - т 2 У А сощ. Приймаючи до уваги, що V A = a з/, ф = з/ (обертання мотора рівномірне), отримаємо Q x - - m 2 co/cos з/. Диференціюючи Q x за часом і підставляючи на рівність (а), знайдемо R- m 2 co 2 /sin з/.

Зауважимо, що саме такі сили є примушуючими (див. § 14.3), за їх впливу виникають вимушені коливання конструкцій.

Вправи для самостійної роботи

• 1. Що називають кількістю руху точки та механічної системи?
• 2. Як змінюється кількість руху точки, що рівномірно рухається по колу?
• 3. Що характеризує імпульс сили?
• 4. Чи впливають внутрішні сили системи на її кількість руху? На рух її центру мас?
• 5. Як впливають на рух центру мас системи прикладені до неї пари сил?
• 6. За яких умов центр мас системи перебуває у спокої? рухається рівномірно та прямолінійно?

7. У нерухомому човні за відсутності течії води на кормі сидить доросла людина, але в носі човна - дитина. У якому напрямі переміститься човен, якщо вони поміняються місцями?

У разі модуль переміщення човна буде великим: 1) якщо дитина перейде до дорослому на корму; 2) якщо дорослий перейде до дитини на ніс човна? Якими будуть при цих рухах переміщення центру мас системи «човен і дві людини»?

Диференційне рівняння руху матеріальної точки під дією сили Fможна представити у наступній векторній формі:

Оскільки маса точки mприйнята постійною, її можна внести під знак похідної. Тоді

Формула (1) виражає теорему про зміну кількості руху точки у диференційній формі: перша похідна за часом від кількості руху точки дорівнює чинній на точку силі.

У проекціях на координатні осі (1) можна подати у вигляді

Якщо обидві частини (1) помножити на dt, то отримаємо іншу форму цієї ж теореми – теорему імпульсів у диференціальній формі:

тобто. диференціал кількості руху точки дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє на точку.

Проеціюючи обидві частини (2) на координатні осі, отримуємо

Інтегруючи обидві частини (2) у межах від нуля до t (рис. 1), маємо

де - швидкість точки на момент t; - швидкість при t = 0;

S- імпульс сили за час t.

Вираз у формі (3) часто називають теоремою імпульсів у кінцевій (або інтегральній) формі: зміна кількості руху точки за будь-який проміжок часу дорівнює імпульсу сили за той самий проміжок часу.

У проекціях на координатні осі цю теорему можна подати у такому вигляді:

Для матеріальної точки теорема про зміну кількості руху в будь-якій формі, по суті, не відрізняється від диференціальних рівнянь руху точки.

Теорема про зміну кількості руху системи

Кількість руху системи називатиме векторну величину Q, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи.

Розглянемо систему, що складається з n матеріальних точок. Складемо для цієї системи диференціальні рівняння руху та складемо їх почленно. Тоді отримаємо:

Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,

Остаточно знаходимо:

Рівняння (4) виражає теорему про зміну кількості руху системи у диференційній формі: похідна за часом кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил.

Знайдемо інший вираз теореми. Нехай у момент t= 0 кількість руху системи дорівнює Q 0, а в момент часу t 1стає рівним Q1.Тоді, помножуючи обидві частини рівності (4) на dtта інтегруючи, отримаємо:

Або , де:

(S-імпульс сили)

так як інтеграли, що стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил,

рівняння (5) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той самий проміжок часу.

У проекціях на осі координат матимемо:

Закон збереження кількості руху

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки:

1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

Тоді з рівняння (4) випливає, що при цьому Q = const.

Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху системи буде постійний за модулем і напрямом.

2. Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад Ох) дорівнює нулю:

Тоді з рівнянь (4`) випливає, що при цьому Q = const.

Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи цю вісь є величина постійна.

Ці результати і висловлюють закон збереження кількості руху системи.З них випливає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть.

Розглянемо деякі приклади:

· Я в л е н е н н е д а ч і л і л о т к а т а. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити сумарну кількість руху системи. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це викличе рух гвинтівки тому, тобто. так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).

· Р а б о т а г р е б н о г о в і н т а (п о п о л е р а). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища як внутрішні не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) одержують відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишається рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.

Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.

· Реактизнайдення. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору в хвостовій частині ракети (із сопла реактивного двигуна). Діючі при цьому сили тиску будуть внутрішніми силами і вони не можуть змінити сумарну кількість руху системи ракета-порохові гази. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість руху вперед.

Теорема моментів щодо осі.

Розглянемо матеріальну точку маси m, що рухається під дією сили F. Знайдемо для неї залежність між моментом векторів mVі Fщодо якоїсь нерухомої осі Z.

m z (F) = xF - уF (7)

Аналогічно для величини m (mV), якщо винести mза дужку буде

m z (mV) = m(хV - уV)(7`)

Беручи від обох частин цієї рівності похідні за часом, знаходимо

У правій частині отриманого виразу перша дужка дорівнює 0, оскільки dx/dt=V і dу/dt=V, друга ж дужка згідно з формулою (7) дорівнює

m z (F), оскільки за основним законом динаміки:

Остаточно матимемо (8)

Отримане рівняння виражає теорему моментів щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху точки щодо якоїсь осі дорівнює моменту діючої сили щодо тієї ж осі.Аналогічна теорема має місце й у моментів щодо будь-якого центру Про.

(Фрагменти математичної симфонії)

Зв'язок імпульсу сили з основним рівнянням ньютонівської динаміки висловлює теорема про зміну кількості руху матеріальної точки.

Теорема.Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу сили (), що діє на матеріальну точку за той самий проміжок часу.Математичне підтвердження цієї теореми можна назвати фрагментом математичної симфонії. Ось він.

Диференціал кількості руху матеріальної точки дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє матеріальну точку. Інтегруючи вираз (128) диференціала кількості руху матеріальної точки, маємо

(129)

Теорема доведена і математики вважають свою місію закінченою, а в інженерів, доля яких свято вірити математикам, виникають питання при використанні доведеного рівняння (129). Але їх міцно блокує послідовність і краса математичних дій (128 та 129), які зачаровують та спонукають назвати їх фрагментом математичної симфонії. Скільки поколінь інженерів погоджувалися з математиками та тремтіли перед таємничістю їхніх математичних символів! Але знайшовся інженер, незгодний з математиками, і ставить їм питання.

Шановні математики!Чому в жодному з Ваших підручників з теоретичної механіки не розглядається процес застосування Вашого симфонічного результату (129) на практиці, наприклад, при описі процесу розгону автомобіля? Ліва частина рівняння (129) гранично зрозуміла. Автомобіль починає розгін зі швидкості та завершує його, наприклад, на швидкості . Цілком природно, що рівняння (129) стає таким

І відразу виникає перше запитання: як із рівняння (130) визначити силу , під впливом якої автомобіль розігнаний до швидкості 10м/с? Відповіді це питання немає у жодному з незліченних підручників з теоретичної механіці. Ходімо далі. Після розгону автомобіль починає рівномірний рух із досягнутою швидкістю 10м/с. Яка ж сила рухає автомобіль????????? У мене нічого не залишається, як червоніти разом із математиками. Перший закон ньютонівської динаміки стверджує, що при рівномірному русі автомобіля на нього не діють жодні сили, а автомобіль, образно кажучи, чхає на цей закон, витрачає бензин і робить роботу, переміщаючись, наприклад, на відстань 100 км. А де ж сила, яка здійснила роботу з переміщення автомобіля на 100 км? Симфонічне математичне рівняння (130) мовчить, а життя продовжується і вимагає відповіді. Починаємо шукати його.

Оскільки автомобіль рухається прямолінійно і рівномірно, то сила, що переміщає його, постійна за величиною та напрямом та рівняння (130) стає таким

(131)

Отже, рівняння (131) у разі описує прискорений рух тіла. Чому ж дорівнює сила? Як висловити її зміну з часом? Математики вважають за краще обходити це питання і залишають його інженерам, вважаючи, що вони повинні шукати відповіді на це питання. У інженерів залишається одна можливість - врахувати, що якщо після завершення прискореного руху тіла, настає фаза рівномірного руху, що супроводжується під дією постійної сили уявити рівняння (131) для моменту переходу від прискореного до рівномірного руху в такому вигляді

(132)

Стрілка у цьому рівнянні означає результат інтегрування цього рівняння, а процес переходу від його інтегрального вигляду до спрощеному виду. Сила у цьому рівнянні еквівалентна усередненій силі, що змінила кількість руху тіла від нуля до кінцевого значення. Отже, шановні, математики та фізики-теоретики, відсутність Вашої методики визначення величини Вашого імпульсу змушує нас спрощувати процедуру визначення сили , а відсутність методики визначення часу дії цієї сили взагалі ставить нас у безвихідь і ми змушені використовувати вираз для аналізу процесу зміни кількості руху тіла . Через війну виходить, що довше діятиме сила , то більше вписувалося її імпульс . Це явно суперечить уявленням, що давно склалися, про те, що імпульс сили тим більше, чим менше час його дії.

Звернімо увагу на те, що зміна кількості руху матеріальної точки (імпульсу сили) при прискореному її русі відбувається під дією ньютонівської сили та сил опору руху у вигляді сил, що формуються механічними опорами, і силою інерції. Але ньютонівська динаміка в абсолютній більшості завдань ігнорує силу інерції, а механідинаміка стверджує, що зміна кількості руху тіла при його прискореному русі відбувається за рахунок перевищення величини ньютонівської сили над силами опору руху, в тому числі і над силою інерції.

При уповільненому русі тіла, наприклад, автомобіля з вимкненою передачею, ньютонівська сила відсутня, і зміна кількості руху автомобіля відбувається за рахунок перевищення сил опору руху над силою інерції, яка рухає автомобіль при його уповільненому русі.

Як тепер повернути результати зазначених «симфонічних» математичних дій (128) в русло причинно-наслідкових зв'язків? Вихід один – знайти нове визначення поняттям «імпульс сили» та «ударна сила». Для цього розділимо обидві частини рівняння (132) на час t. В результаті матимемо

. (133)

Звернемо увагу, що вираз mV/t - швидкість зміни кількості руху (mV/t) матеріальної точки чи тіла. Якщо врахувати, що V/t – прискорення, то mV/t – сила, яка змінює кількість руху тіла. Однакова розмірність зліва і з права знака рівності дає нам право назвати силу F ударною силою та позначити її символом, а імпульс S-ударним імпульсом і позначити його символом. З цього випливає і нове визначення ударної сили. Ударна сила, що діє на матеріальну точку або тіло, дорівнює відношенню зміни кількості руху матеріальної точки або тіла на час цієї зміни.

Звернемо особливу увагу на те, що у формуванні ударного імпульсу (134) бере участь тільки ньютонівська сила, яка змінила швидкість автомобіля від нульового значення до максимального - , тому рівняння (134) цілком належить ньютонівській динаміці. Оскільки величину швидкості фіксувати експериментально значно легше, ніж прискорення, то формула (134) дуже зручна для розрахунків.

З рівняння (134) випливає такий незвичайний результат.

Звернімо увагу на те, що згідно з новими законами механодинаміки генератором імпульсу сили при прискореному русі матеріальної точки або тіла є ньютонівська сила. Вона формує прискорення руху точки або тіла, при якому автоматично виникає сила інерції, спрямована протилежно ньютонівській силі та ударна ньютонівська сила повинна долати дію сили інерції, тому сила інерції має бути представлена ​​в балансі сил у лівій частині рівняння (134). Так як сила інерції дорівнює масі точки або тіла, помноженої на уповільнення, яке вона формує, то рівняння (134) стає таким

(136)

Шановні математики!Бачите, який вид набула математична модель, яка описує ударний імпульс, який прискорює рух тіла, що ударяється, від нульової швидкості до максимальної V (11). Тепер перевіримо її роботу у визначенні ударного імпульсу, який дорівнює ударній силі, що вистрілила 2-й енергоблок СШГ (рис. 120), а Вам залишимо Ваше марне рівняння (132). Щоб не ускладнювати виклад, ми залишимо поки що формулу (134) у спокої і скористаємося формулами, що дають усереднені значення сил. Бачите, у яке положення Ви ставите інженера, який прагне вирішити конкретне завдання.

Почнемо з динаміки Ньютона. Експерти встановили, що 2-й енергоблок піднявся на висоту 14м. Оскільки він піднімався у полі сили тяжіння, то на висоті h=14м його потенційна енергія виявилася рівною

а середня кінетична енергія дорівнювала

Рис. 120. Фото машинного залу до катастрофи

З рівності кінетичної (138) та потенційної (137) енергій випливає середня швидкість підйому енергоблока (рис. 121, 122)

Рис. 121. Фотон машинного залу після катастрофи

Згідно з новими законами механодинаміки підйом енергоблока складався з двох фаз (рис. 123): перша фаза ОА - прискорений підйом і друга фаза АВ - уповільнений підйом , , .

Час та відстані їхньої дії, приблизно, рівні (). Тоді кінематичне рівняння прискореної фази підйому енергоблоку запишеться так

. (140)

Рис. 122. Вид колодязя енергоблоку та самого енергоблоку після катастрофи

Закон зміни швидкості підйому енергоблока у першій фазі має вигляд

. (141)

Рис. 123. Закономірність зміни швидкості V польоту енергоблока

Підставляючи час із рівняння (140) до рівняння (141), маємо

. (142)

Час підйому блоку у першій фазі визначиться з формули (140)

. (143)

Тоді загальний час підйому енергоблоку на висоту 14м буде рівним. Маса енергоблоку та кришки дорівнює 2580 тонн. Згідно з динамікою Ньютона сила, що піднімала енергоблок, дорівнює

Шановні математики!Наслідуємо Ваші симфонічні математичні результати і записуємо Вашу формулу (129), що випливає з динаміки Ньютона, для визначення ударного імпульсу, що вистрілив 2-й енергоблок

і ставимо елементарне питання: як визначити час дії ударного імпульсу, що вистрілив 2-й енергоблок??????????

Шановні!Згадайте, скільки крейди списали на навчальних дошках покоління Ваших колег, вивчаючи студентів, як визначати ударний імпульс і ніхто не пояснив, як визначати час дії ударного імпульсу в кожному конкретному випадку. Ви скажете час дії ударного імпульсу і інтервалу часу зміни швидкості енергоблока від нуля до, вважатимемо, максимального значення 16,75 м/с (139). Воно у формулі (143) і дорівнює 0,84 с. Погоджуємося поки що з Вами та визначаємо усереднену величину ударного імпульсу

Відразу виникає питання: а чому величина ударного імпульсу (146) менше ньютонівської сили 50600тон? Відповіді, у Вас, шановні математики, немає. Ходімо далі.

Згідно з динамікою Ньютона, головна сила, яка чинила опір підйому енергоблоку, - сила тяжіння. Оскільки ця сила спрямована проти руху енергоблоку, вона генерує уповільнення, яке дорівнює прискоренню вільного падіння . Тоді сила гравітації, що діє на енергоблок, що летить вгору, дорівнює

Інших сил, що перешкоджали дії ньютонівської сили 50 600 тонн (144), динаміка Ньютона не враховує, а механодинаміка стверджує, що підйому енергоблоку чинила опір і сила інерції, рівна

Відразу постає питання: як знайти величину уповільнення руху енергоблоку? Динаміка Ньютона мовчить, а механодинаміка відповідає: у момент дії ньютонівської сили, що піднімала енергоблок, їй чинили опір: сила тяжіння і сила інерції, тому рівняння сил, що діяли на енергоблок в цей момент, записується так.