Ми розглянули найголовніші тригонометричні функції(Не спокушайтеся крім синуса, косинуса, тангенса і котангенса існує ще безліч інших функцій, але про них пізніше), а поки що розглянемо деякі основні властивості вже вивчених функцій.

Тригонометричні функції числового аргументу

Яке дійсне число t не взяти, йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin(t) . Щоправда, правило відповідності є досить складним і полягає в наступному.

Щоб за кількістю t знайти значення sin(t) потрібно:

1. розташувати числове коло на координатній площині так, щоб центр кола збігся з початком координат, а початкова точка А кола потрапила в точку (1; 0);
2. на колі знайти точку, що відповідає числу t;
3. знайти ординату цієї точки.
4. ця ордината і є шуканим sin(t) .

Фактично йдеться про функцію s = sin(t) , де t - будь-яке дійсне число. Ми вміємо обчислювати деякі значення цієї функції (наприклад, sin(0) = 0 , \(sin \frac(\pi)(6) = \frac(1)(2) \)і т.д.), знаємо деякі її властивості.

Так само ми можемо вважати, що вже отримали деякі уявлення про ще три функції: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) Всі ці функції називають тригонометричними функціями числового аргументу t .

Зв'язок тригонометричних функцій

Як ви, сподіваюся, здогадуєтеся всі тригонометричні функції пов'язані між собою і навіть не знаючи значення однієї, її можна знайти через інше.

Наприклад, найголовніша формула з усієї тригонометрії - це основне тригонометричне тотожність:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Як бачите, знаючи значення синуса можна знайти значення косинуса, а також навпаки. Також дуже поширені формули, що пов'язують синус та косинус з тангенсом та котангенсом:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

З двох останніх формул можна вивести ще одну тригометричну тотожність, яка цього разу зв'язує тангенс і котангенс:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Тепер давайте подивимося, як ці формули діють практично.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз: а) \(1+ \tan^2 \; t \), б) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) Насамперед розпишемо тангенс, зберігаючи квадрат:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Тепер введемо все під спільний знаменник і отримуємо:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Ну і нарешті, як ми бачимо чисельник можна за основним тригонометричним тотожністю скоротити до одиниці, в результаті отримуємо: \[1 + \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

б) З котангенсом виконуємо ті самі дії, тільки в знаменнику буде вже не косинус, а синус і відповідь вийде таким:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Виконавши це завдання, ми вивели ще дві дуже важливі формули, які пов'язують наші функції, які теж потрібно знати, як свої п'ять пальців:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Усі представлені в рамках формули ви повинні знати напам'ять, інакше подальше вивчення тригонометрії без них просто неможливе. Надалі будуть ще формули і їх буде дуже багато і запевняю всі їх ви точно запам'ятовуватимете довго, а може й не запам'ятаєте, але ці шість штук повинні знати ВСІ!

Визначення1:Числова функція, задана формулою y = sin x називається синусом.

Ця крива має назву - синусоїда.

Властивості функції y=sin x

2. Область значення функції: E(y)=[-1; 1]

3. Парність функції:

y=sin x - непарна,.

4. Періодичність: sin(x+2πn)=sin x, де n – ціле число.

Ця функція через певний проміжок набуває однакових значень. Таку властивість функції називають періодичністю.Проміжок – період функції.

Для функції y = sin x період становить 2π.

Функція y=sin x – періодична, із періодом Т=2πn, n – ціле число.

Найменший позитивний період Т=2?

Математично можна записати так: sin(x+2πn)=sin x, де n – ціле число.

Визначення2:Числова функція, задана формулою y = cosx називається косинусом.

Властивості функції y=cos x

1. Область визначення функції: D(y)=R

2. Область значення функції: E(y)=[-1;1]

3. Парність функції:

y=cos x -парна.

4. Періодичність: cos(x+2πn)=cos x, де n – ціле число.

Функція y=cos x – періодична, із періодом Т=2π.

Визначення 3:Числова функція, задана формулою y = tg x називається тангенсом.

Властивості функції y=tg x

1. Область визначення функції: D(y) - всі дійсні числа, крім π/2+πk, k – ціле число. Тому що у цих точках тангенс не визначено.

3. Парність функції:

y = tg x - непарна.

4. Періодичність: tg(x+πk)=tg x, де k – ціле число.

Функція y=tg x – періодична із періодом π.

Визначення 4:Числова функція, задана формулою y = ctg x називається котангенсом.

Властивості функції y=ctg x

1. Область визначення функції: D(y) - всі дійсні числа, крім πk, k– ціле число. Тому що у цих точках котангенс не визначено.

2. Область значення функції: E(y)=R.

Відеоурок «Тригонометричні функції числового аргументу» являє собою наочний матеріал для забезпечення наочності при поясненні теми на уроці. У результаті демонстрації розглядається принцип формування значення тригонометричних функцій від числа, описується ряд прикладів, які навчають обчисленню значень тригонометричних функцій від числа. За допомогою цього посібника легше сформувати навички у вирішенні відповідних завдань, домогтися запам'ятовування матеріалу. Використання посібника підвищує ефективність уроку, сприяє швидкому досягненню мети навчання.

На початку уроку демонструється назва теми. Потім ставиться завдання знаходження відповідного косинуса деякому числовому аргументу. Зазначається, що це завдання вирішується просто і це можна продемонструвати. На екрані зображується одиничне коло із центром на початку координат. При цьому помічено, що точка перетину кола з позитивною піввіссю осі абсцис знаходиться в точці А (1; 0). Наводиться приклад точки М, яка є аргументом t=π/3. Ця точка відзначається на одиничному колі, і від неї опускається перпендикуляр до осі абсцис. Знайдена абсциса точки і є косинусом cos t. У разі абсциссой точки буде х=1/2. Тому cos t = 1/2.

Узагальнюючи розглянуті факти, зазначається, що є сенс говорити про функції s=cos t. Зазначається, деякі знання про цю функцію вже є в учнів. Обчислено деякі значення косинуса cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Також пов'язані з цією функцією є функції s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Зазначається, що вони мають спільну для всіх назву – тригонометричні функції.

Демонструються важливі співвідношення, які використовуються у розв'язанні задач з тригонометричними функціями: основна тотожність sin 2 t+ cos 2 t=1, вираз тангенсу та котангенсу через синус та косинус tg t=sin t/cos t, де t≠π/2+πk для kϵZ, ctg t= cos t/sin t, де t≠πk для kϵZ, а також співвідношення тангенсу до котангенсу tg t·ctg t=1 де t≠πk/2 для kϵZ.

Далі пропонується розглянути доказ співвідношення 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t при t≠π/2+πk для kϵZ. Щоб довести тотожність, необхідно подати tg 2 t у вигляді співвідношення синуса і косинуса, а після доданку в лівій частині привести до спільного знаменника 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/cos 2 t. Використовуючи основне тригонометричне тотожність, отримуємо в чисельнику 1, тобто кінцевий вираз 1/cos 2 t. Що й потрібно було довести.

Аналогічно доводиться тотожність 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t, при t≠πk для kZZ. Так само, як і в попередньому доказі, котангенс замінюється відповідним співвідношенням косинуса і синуса, і обидва доданки в лівій частині наводяться до спільного знаменника 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= t)/sin 2 t. Після застосування основного тригонометричного тотожності до чисельника отримуємо 1/ sin 2 t. Це і є шуканий вираз.

Розглядається рішення прикладів, у якому застосовуються отримані знання. У першому завданні необхідно знайти значення cost, tgt, ctgt, якщо відомий синус числа sint=4/5, а t належить проміжку π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Далі розглядається рішення аналогічного завдання, у якому відомий тангенс tgt=-8/15, а аргумент обмежений значеннями 3π/2

Щоб знайти значення синуса, використовуємо визначення тангенсу tgt = sint / cost. З нього знаходимо sint = tgt · cost = (-8/15) · (15/17) = -8/17. Знаючи, що котангенс - функція, зворотна тангенсу, знаходимо ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Відеоурок «Тригонометричні функції числового аргументу» застосовується підвищення ефективності уроку математики у шкільництві. У ході дистанційного навчання цей матеріал може використовуватися як наочний посібник для формування навичок розв'язання задач, де є тригонометричні функції від числа. Для придбання цих навичок учневі може бути рекомендований самостійний розгляд наочного матеріалу.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

Тема уроку «Тригонометричні функції числового аргументу».

Будь-якому дійсному числу t можна поставити у відповідність однозначно певне число cos t. Для цього необхідно виконати такі дії:

1) на координатній площині розташувати числове коло так, щоб центр кола збігся з початком координат, а початкова точка А кола потрапила в точку (1; 0);

2) на колі знайти точку, яка відповідає числу t;

3) знайти абсцису цієї точки. Це і є cos t.

Тому мова піде про функцію s = cos t (ес і косинус те), де t - будь-яке дійсне число. Деяке уявлення про цю функцію ми вже отримали:

• навчилися обчислювати деякі значення, наприклад cos 0=1, cos = 0, cos = і т.д. (косинус нуля дорівнює одиниці, косинус пі на два дорівнює нулю, косинус пі на три дорівнює одній другій і так далі).
• оскільки значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса взаємопов'язані, отримали деяке уявлення про три функції: s= sint; s = tgt; s = ctgt. (ес одно синус те, ес рівно тангенс те, ес рівно котангенс те)

Всі ці функції називаються тригонометричними функціями числового аргументу t.

З визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу випливають деякі співвідношення:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус квадрат те плюс косинус квадрат те одно одному)

2) tgt = при t ≠ + πk, kϵZ (тангенс те дорівнює відношенню синуса тек до косинусу тэ при те не рівному пи на два плюс піку, ка належить сет)

3) ctgt = при t ≠ πk, kϵZ (котангенс те дорівнює відношенню косинуса те до синуса те при те не рівному піку, ка належить сет).

4) tgt ∙ ctgt = 1 при t ≠ , kϵZ (твір тангенсу те на котангенс те дорівнює одному при те не рівному піку, поділеному на два, ка належить сет)

Доведемо ще дві важливі формули:

Розглянемо приклади.

ПРИКЛАД1. Знайти cost, tgt, ctgt , якщо sint = і< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Рішення. З першого співвідношення знайдемо косинус квадрат е дорівнює одиниця мінус синус квадрат е: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

Значить, cos 2 t = 1 -() 2 = (косинус квадрат теравен дев'яти двадцять п'ятим), тобто cost = (косинус теравен трьом п'ятим) або cost = - (косинус теравен мінус трьом п'ятим). За умовою аргумент t належить другій чверті, а ній cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Значить косину е дорівнює мінус трьом п'ятим, cost = - .

Обчислимо тангенс те:

tgt = = ׃ (-)= - ;(тангенс те равен відношенню синуса тек до косінус те, а значить, чотирьох п'ятих до мінус трьох п'ятих і дорівнює мінус чотирьом третім)

Відповідно обчислюємо (котангенс числа те. так як котангенс те равен відношенню косинуса тек синусу тэ,) ctgt = = - .

(Котангенс те дорівнює мінус трьом четвертим).

Відповідь: cost = - , tgt = -; ctgt = -. (відповідь заповнюємо у міру рішення)

ПРИКЛАД 2. Відомо, що tgt = - і< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Рішення. Скористаємося цим співвідношенням, підставивши значення цієї формули отримаємо:

1 + (-) 2 = (одиниця на косинус квадрат те дорівнює сумі одиниці та квадрата мінус восьми п'ятнадцятих). Звідси знаходимо cos 2 t =

(Косінус квадрат те дорівнює двісті двадцять п'ять двісті вісімдесят дев'ятих). Значить, cost = (косинус те дорівнює п'ятнадцять сімнадцятих) або

cost = . За умовою аргумент t належить четвертій чверті, де cost>0. Тому cost = .(косенус те дорівнює п'ятнадцять сімнадцятих)

Знайдемо значення аргументу синус тэ. Так як із співвідношення (показати співвідношення tgt = при t ≠ + πk, kϵZ) синус те рівний добутку тангенса те на косинус те, то підставивши значення аргументу те..тангенс те равен мінус вісім п'ятнадцятих. вирішеного раніше, отримуємо

sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (синус те равен мінус вісім сімнадцятих)

ctgt = = -. (оскільки котангенс те, є величина зворотна тангенсу, значить, котангенс те дорівнює мінус п'ятнадцять вісімнадцятих)

Визначення. Тригонометричними функціями числового аргументу називаються однойменні тригонометричні функції кута, що дорівнює радіанам.

Пояснимо це визначення на конкретних прикладах.

Приклад 1. Обчислимо значення . Тут під ми розуміємо абстрактне ірраціональне число. Згідно з визначенням. Отже, .

Приклад 2. Обчислимо значення. Тут під 1,5 ми розуміємо абстрактне число. Відповідно до визначення (див. додаток II).

Приклад 3. Обчислимо значення Аналогічно попередньому отримуємо (див. Додаток ІІ).

Отже, надалі під аргументом тригонометричних функцій ми розумітимемо кут (дугу) або просто число залежно від того завдання, яке вирішуємо. А в ряді випадків аргументом може бути величина, що має й іншу розмірність, наприклад, час і т. д. Називаючи аргумент кутом (дугою), ми можемо мати на увазі під ним число, за допомогою якого він виміряний у радіанах.