Нехай задана прямокутна система координат.

Теорема 1.1.Для будь-яких двох точок М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2) площині відстань d між ними виражається формулою

Доведення.Опустимо з точок М 1 і М 2 перпендикуляри М 1 і М 2 А відповідно

на осі Оу та Ох і позначимо через К точку перетину прямих М 1 В та М 2 А (рис. 1.4). Можливі такі випадки:

1) Крапки М 1, М 2 і К різні. Очевидно, що точка має координати (х 2 ;у 1). Неважко помітити, що М 1 К = ôх 2 - х 1 ô, М 2 К = ôу 2 - у 1 ô. Т.к. ∆М 1 КМ 2 прямокутний, то за теоремою Піфагора d = М 1 М 2 = = .

2) Точка До збігається з точкою М 2 але відмінна від точки М 1 (рис. 1.5). В цьому випадку у 2 = у 1

і d = М 1 М 2 = М 1 К = ôх 2 - х 1 ô = =

3) Точка До збігається з точкою М 1 але відмінна від точки М 2 . У цьому випадку х 2 = х 1 та d =

М 1 М 2 = КМ 2 = ôу 2 - у 1 ô = = .

4) Крапка М 2 збігається з точкою М 1 . Тоді х 1 = х 2 , у 1 = у 2 і

d = М 1 М 2 = О =.

Розподіл відрізка у цьому відношенні.

Нехай на площині дано довільний відрізок М 1 М 2 і нехай М ─ будь-яка точка цього

відрізка, відмінна від точки М2 (рис. 1.6). Число l, що визначається рівністю l = , називається ставленням,в якому точка М ділить відрізок М1 М2.

Теорема 1.2.Якщо точка М(х;у) ділить відрізок М1М2 щодо l, то координати цієї визначаються формулами

х = , у = , (4)

де (х 1; у 1) - координати точки М 1, (х 2; у 2) - координати точки М2.

Доведення.Доведемо першу із формул (4). Друга формула доводиться аналогічно. Можливі два випадки.

х = х 1 = = = .

2) Пряма М 1 М 2 не перпендикулярна до осі Ох (рис. 1.6). Опустимо перпендикуляри з точок М1, М, М2 на вісь Ох і позначимо точки їх перетину з віссю Ох відповідно Р1, Р, Р2. По теоремі про пропорційні відрізки = l.

Т.к. Р 1 Р = ôх - х 1 ô, РР 2 = ôх 2 - хô і числа (х - х 1) і (х 2 - х) мають один і той же знак (при х 1< х 2 они положительны, а при х 1 >х 2 негативні), то

l = = ,

х – х 1 = l(х 2 – х), х + lх = х 1 + lх 2,

х = .

Наслідок 1.2.1.Якщо М 1 (х 1 ; у 1) і М 2 (х 2 ; у 2) - дві довільні точки і точка М (х; у) - середина відрізка М 1 М 2, то

х = , у = (5)

Доведення.Оскільки М 1 М = М 2 М, то l = 1 і за формулами (4) одержуємо формули (5).

Площа трикутника.

Теорема 1.3.Для будь-яких точок А(х 1 ;у 1), В(х 2 ;у 2) і С(х 3 ;у 3), що не лежать на одній

прямий, площа S трикутника АВС виражається формулою

S = ô(х 2 – х 1)(у 3 – у 1) – (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)ô (6)

Доведення.Площа АВС, зображеного на рис. 1.7, обчислюємо наступним

S ABC = S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Обчислюємо площі трапецій:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Тепер маємо

S ABC = ((х 3 – х 1)(у 3 + у 1) + (х 3 – х 2)(у 3 + у 2) - (х 2 – -х 1)(у 1 + у 2)) = (х 3 у 3 – х 1 у 3 + х 3 у 1 – х 1 у 1 + + х 2 у 3 – -х 3 у 3 + х 2 у 2 – х 3 у 2 – х 2 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 2 + х 1 у 2) = (х 3 у 1 – х 3 у 2 + х 1 у 2 – х 2 у 1 + х 2 у 3 –

Х 1 у 3) = (х 3 (у 1 – у 2) + х 1 у 2 – х 1 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 1 + у 3 (х 2 – х 1)) = (х 1 (у 2 – у 1) – х 3 (у 2 – у 1) + +у 1 (х 1 – х 2) – у 3 (х 1 – х 2)) = ((х 1 – х 3)( у 2 – у 1) + (х 1 – х 2)(у 1 – у 3)) = ((х 2 – х 1)(у 3 – у 1) –

- (х 3 - х 1) (у 2 - у 1)).

Для іншого розташування ∆ АВС формула (6) доводиться аналогічно, але може бути зі знаком «-». Тому у формулі (6) ставлять знак модуля.

лекція 2.

Рівняння прямої лінії на площині: рівняння прямої з головним коефіцієнтом, загальне рівняння прямої, рівняння прямої у відрізках, рівняння прямої, що проходить через дві точки. Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.

2.1. Нехай на площині задана прямокутна система координат та деяка лінія L.

Визначення 2.1.Рівняння виду F(x;y) = 0, що зв'язує змінні величини x та y, називається рівняння лінії L(в заданій системі координат), якщо цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на лінії L, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій прямій.

Приклади рівнянь ліній на площині.

1) Розглянемо пряму, паралельну осі Oy прямокутної системи координат (рис. 2.1). Позначимо буквою A точку перетину цієї прямої з віссю Ox, (a;o) ─ її ор-

динати. Рівняння x = a є рівнянням даної прямої. Справді, цього рівняння задовольняють координати будь-якої точки M(a;y) цієї прямої і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на прямій. Якщо a = 0, то пряма збігається із віссю Oy, яка має рівняння x = 0.

2) Рівняння x - y = 0 визначає безліч точок площини, що становлять бісектриси І та ІІІ координатних кутів.

3) Рівняння x 2 – y 2 = 0 ─ це рівняння двох бісектрис координатних кутів.

4) Рівняння x 2 + y 2 = 0 визначає площині єдину точку O(0;0).

5) Рівняння x 2 + y 2 = 25 ─ рівняння кола радіусу 5 із центром на початку координат.

Кожна точка А площини характеризується своїми координатами (х, у). Вони збігаються з координатами вектора 0А, що виходить із точки 0 - початку координат.

Нехай А і В - довільні точки площини з координатами (х 1 y 1) та (х 2, у 2) відповідно.

Тоді вектор AB має, очевидно, координати (х 2 - х 1, y 2 - y 1). Відомо, що квадрат довжини вектора дорівнює сумі квадратів координат. Тому відстань d між точками А і В, або, що те саме, довжина вектора АВ, визначається з умови

d 2 = (х 2 – х 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 .

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Отримана формула дозволяє знаходити відстань між будь-якими двома точками площини, якщо відомі координати цих точок

Щоразу, говорячи про координати тієї чи іншої точки площини, ми маємо на увазі цілком певну систему координат х0у. А взагалі систему координат на площині можна вибирати по-різному. Так, замість системи координат х0у можна розглянути систему координат хִу' , яка утворюється в результаті повороту старих осей координат навколо початкової точки 0 проти годинниковоїстрілки на кут α .

Якщо деяка точка площини в системі координат х0у мала координати (х, у), то в новій системі координат хִу' вона матиме вже інші координати (х', у').

Як приклад розглянемо точку М, розташовану на осі 0х' і віддалену від точки 0 на відстані, що дорівнює 1.

Очевидно, що в системі координат x0у ця точка має координати (cos α , sin α ), а в системі координат Х' координати (1,0).

Координати будь-яких двох точок площини А та В залежать від того, як у цій площині задана система координат. А от відстань між цими точками залежить від способу завдання системи координат .

Інші матеріали

Математика

§2. Координати точки на площині

3. Відстань між двома точками.

Ми з вами вміємо тепер говорити про крапки мовою чисел. Наприклад, нам уже немає необхідності пояснювати: візьміть точку, що знаходиться на три одиниці правіше за осі і на п'ять одиниць нижче за осю . Досить сказати просто: візьміть крапку.

Ми вже говорили, що це створює певні переваги. Так, ми можемо малюнок, складений з точок, передати по телеграфу, повідомити його обчислювальної машини, яка зовсім не розуміє креслень, а цифри добре розуміє.

У попередньому пункті ми задали за допомогою співвідношень між числами деякі множини точок на площині. Тепер спробуємо послідовно перекладати мову чисел інші геометричні поняття та факти.

Ми почнемо з простого та звичайного завдання.

Знайти відстань між двома точками площини.

Рішення:
Як завжди, ми вважаємо, що точки задані своїми координатами, і тоді наше завдання полягає в тому, щоб знайти правило, яким можна обчислити відстань між точками, знаючи їх координати. При виведенні цього правила, звичайно, дозволяється вдаватися до креслення, але саме правило не повинно містити жодних посилань на креслення, а повинно тільки показувати, які дії і в якому порядку треба вчиняти над даними числами - координатами точок, щоб отримати кількість - відстань між точками.

Можливо, деяким із читачів цей підхід до вирішення завдання здасться дивним та надуманим. Чого простіше, скажуть вони, точки задані, навіть координатами. Намалюйте ці точки, візьміть лінійку та виміряйте відстань між ними.

Цей спосіб іноді не такий вже й поганий. Однак уявіть собі, що ви маєте справу з обчислювальною машиною. У ній немає лінійки, і вона не малює, зате рахувати вона вміє настільки швидко, що це для неї взагалі не становить жодної проблеми. Зверніть увагу, що наше завдання поставлене так, щоб правило обчислення відстані між двома точками складалося з команд, які може виконати машина.

Поставлене завдання краще спочатку вирішити для окремого випадку, коли одна з даних точок лежить на початку координат. Почніть із кількох числових прикладів: знайдіть відстань від початку координат точок ; та .

Вказівка. Скористайтеся теоремою Піфагора.

Напишіть загальну формулу для обчислення відстані точки від початку координат.

Відстань точки від початку координат визначається за такою формулою:

Очевидно, що правило, що виражається цією формулою, задовольняє поставленим вище умовам. Зокрема, ним можна користуватися при обчисленні на машинах, які здатні множити числа, складати їх та добувати квадратне коріння.

Тепер вирішимо спільне завдання

Дані дві точки площини та знайти відстань між ними.

Рішення:
Позначимо через , , , проекції точок і осі координат.

Точку перетину прямих і позначимо літерою. З прямокутного трикутника за теоремою Піфагора отримуємо:

Але довжина відрізка дорівнює довжині відрізка. Точки і , лежать на осі і відповідно мають координати і . Відповідно до формули, отриманої в п. 3 параграфа 2, відстань між ними дорівнює .

Аналогічно розмірковуючи, отримаємо, що довжина відрізка дорівнює . Підставляючи знайдені значення та у формулу отримуємо.

Вирішення задач з математики у учнів часто супроводжується багатьма труднощами. Допомогти учню впоратися з цими труднощами, а також навчити застосовувати теоретичні знання, що є у нього, при вирішенні конкретних завдань по всіх розділах курсу предмета «Математика» – основне призначення нашого сайту.

Приступаючи до розв'язання задач на тему , учні повинні вміти будувати крапку на площині за її координатами, а як і знаходити координати заданої точки.

Обчислення відстані між взятими на площині двома точками А(х А; у А) та В(х В; у В), виконується за формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), де d - Довжина відрізка, який з'єднує ці точки на площині.

Якщо один із кінців відрізка збігається з початком координат, а інший має координати М(х М; у М), то формула для обчислення d набуде вигляду ОМ = √(х М 2 + у М 2).

1. Обчислення відстані між двома точками за даними координатами цих точок

Приклад 1.

Знайти довжину відрізка, який з'єднує на координатній площині точки А(2; -5) та В(-4; 3) (рис. 1).

Рішення.

За умови завдання дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 та у В = 3. Знайти d.

Застосувавши формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), отримаємо:

d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Обчислення координат точки, яка рівновіддалена від трьох заданих точок

приклад 2.

Знайти координати точки О 1 , яка рівновіддалена від трьох точок А(7; -1) і (-2; 2) і С(-1; -5).

Рішення.

З формулювання умови завдання випливає, що О 1 А = О 1 В = О 1 С. Нехай шукана точка О 1 має координати (а; b). За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знайдемо:

О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);

О 1 З = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Складемо систему із двох рівнянь:

(√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Після зведення в квадрат лівої та правої частин рівнянь запишемо:

((а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
((а - 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Спростивши, запишемо

(-3а + b + 7 = 0,
(-2а - b + 3 = 0).

Розв'язавши систему, отримаємо: а = 2; b = -1.

Крапка О 1 (2; -1) рівновіддалена від трьох заданих за умови точок, які лежать однією прямий. Ця точка - є центр кола, що проходить через три задані точки (Рис. 2).

3. Обчислення абсцис (ординати) точки, яка лежить на осі абсцис (ординат) і знаходиться на заданій відстані від цієї точки

Приклад 3.

Відстань від точки В(-5; 6) до точки А, що лежить на осі Ох дорівнює 10. Знайти точку А.

Рішення.

З формулювання умови завдання випливає, що ордината точки А дорівнює нулю та АВ = 10.

Позначивши абсцис точки А через а, запишемо А(а; 0).

АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).

Отримуємо рівняння √((а + 5) 2 + 36) = 10. Спростивши його, маємо

а 2 + 10а - 39 = 0.

Коріння цього рівняння а 1 = -13; а 2 = 3.

Отримуємо дві точки А 1 (-13; 0) та А 2 (3; 0).

Перевірка:

А 1 = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

А 2 = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Обидві одержані точки підходять за умовою задачі (Рис. 3).

4. Обчислення абсцис (ординати) точки, що лежить на осі абсцис (ординат) і знаходиться на однаковій відстані від двох заданих точок

Приклад 4.

Знайти на осі Оу точку, яка знаходиться на однаковій відстані від точок А(6; 12) та В(-8; 10).

Рішення.

Нехай координати необхідної за умовою задачі точки, що лежить на осі Оу, будуть О 1 (0; b) (у точки, що лежить на осі Оу, абсцис дорівнює нулю). З умови випливає, що 1 А = 1 В.

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знаходимо:

О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

О 1 = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Маємо рівняння √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) або 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .

Після спрощення отримаємо: b - 4 = 0, b = 4.

Потрібна за умовою завдання точка О 1 (0; 4) (Рис. 4).

5. Обчислення координат точки, яка знаходиться на однаковій відстані від осей координат та деякої заданої точки

Приклад 5.

Знайти точку М, розташовану на координатній площині на однаковій відстані від осей координат та від точки А(-2; 1).

Рішення.

Необхідна точка М, як і точка А(-2; 1), розташовується в другому координатному кутку, оскільки вона рівновіддалена від точок А, Р 1 і Р 2 (Рис. 5). Відстань точки М від осей координат однакові, отже, її координатами будуть (-a; a), де а > 0.

З умови завдання випливає, що МА = МР 1 = МР 2 МР 1 = а; МР 2 = |-a|,

тобто. |-a| = а.

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знаходимо:

МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Складемо рівняння:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Після зведення в квадрат та спрощення маємо: а 2 – 6а + 5 = 0. Розв'яжемо рівняння, знайдемо а 1 = 1; а 2 = 5.

Отримуємо дві точки М 1 (-1; 1) та М 2 (-5; 5), що задовольняють умові завдання.

6. Обчислення координат точки, яка знаходиться на однаковій заданій відстані від осі абсцис (ординат) та від даної точки

Приклад 6.

Знайти точку М таку, що відстань її від осі ординат і від точки А(8; 6) дорівнює 5.

Рішення.

З умови завдання слід, що МА = 5 і абсцис точки М дорівнює 5. Нехай ордината точки М дорівнює b, тоді М (5; b) (Рис. 6).

За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) маємо:

МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Складемо рівняння:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Спростивши його, отримаємо: b 2 – 12b + 20 = 0. Коріння цього рівняння b 1 = 2; b 2 = 10. Отже, є дві точки, що задовольняють умові задачі: М 1 (5; 2) та М 2 (5; 10).

Відомо, що багато учнів при самостійному вирішенні завдань потребують постійних консультацій щодо прийомів та методів їх вирішення. Найчастіше знайти шлях до вирішення завдання без допомоги викладача учню не під силу. Необхідні консультації щодо вирішення завдань учень і може отримати на нашому сайті.

Залишились питання? Не знаєте, як знайти відстань між двома точками на площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У цій статті розглянемо способи визначити відстань від точки до точки теоретично та на прикладі конкретних завдань. І спочатку введемо деякі визначення.

Визначення 1

Відстань між точками– це довжина відрізка, що їх сполучає, у наявному масштабі. Задати масштаб необхідно, щоб мати для виміру одиницю довжини. Тому в основному завдання знаходження відстані між точками вирішується при використанні їх координат на координатній прямій, координатній площині або тривимірному просторі.

Вихідні дані: координатна пряма O x і довільна точка А, що лежить на ній. Будь-якій точці прямий притаманне одне дійсне число: нехай для точки А це буде якесь число х A ,воно ж - координата точки А.

У цілому нині можна говорити, що оцінка довжини деякого відрізка відбувається у порівнянні з відрізком, прийнятим за одиницю довжини в заданому масштабі.

Якщо точці А відповідає ціле дійсне число, відклавши послідовно від точки О до точки прямої О А відрізки – одиниці довжини, ми можемо визначити довжину відрізка O A за підсумковою кількістю відкладених одиничних відрізків.

Наприклад, точці А відповідає число 3 - щоб потрапити до неї з точки О, необхідно буде відкласти три одиничні відрізки. Якщо точка А має координату - 4 - поодинокі відрізки відкладаються аналогічним чином, але в іншому негативному напрямку. Таким чином у першому випадку, відстань А дорівнює 3 ; у другому випадку ПРО = 4 .

Якщо точка A має як координату раціональне число, то від початку відліку (точка О) ми відкладаємо ціле число одиничних відрізків, а потім його необхідну частину. Але геометрично який завжди можна зробити вимір. Наприклад, важко відкласти на координатній прямий дріб 4 111 .

Вищезазначеним способом відкласти на прямий ірраціональне число взагалі неможливо. Наприклад, коли координата точки дорівнює 11 . У такому разі можна звернутися до абстракції: якщо задана координата точки А більша за нуль, то O A = x A (число приймається за відстань); якщо координата менша за нуль, то O A = - x A . Загалом, ці твердження є справедливими для будь-якого дійсного числа x A .

Резюмуючи: відстань від початку відліку до точки, якій відповідає дійсне число на координатній прямій, дорівнює:

• 0 якщо точка збігається з початком координат;

• x A, якщо x A > 0;

• - x A якщо x A< 0 .

При цьому очевидно, що сама довжина відрізка не може бути негативною, тому використовуючи знак модуля запишемо відстань від точки O до точки A з координатою x A: O A = x A

Вірним буде твердження: відстань від однієї точки до іншої дорівнює модулю різниці координат.Тобто. для точок A і B , що лежать на одній координатній прямій за будь-якого їх розташування і мають відповідно координати x Aі x B: A B = x B - x A.

Вихідні дані: точки A і B , що лежать на площині прямокутної системі координат O x y із заданими координатами: A (x A , y A) і B (x B , y B) .

Проведемо через точки А і B перпендикуляри до осей координат O x і O y і отримаємо в результаті точки проекції: A x, A y, B x, B y. Виходячи з розташування точок А та B далі можливі наступні варіанти:

Якщо точки А і збігаються, то відстань між ними дорівнює нулю;

Якщо точки А і лежать на прямій, перпендикулярній осі O x (осі абсцис), то точки і збігаються, а | А В | = | А y B y | . Оскільки відстань між точками дорівнює модулю різниці їх координат, то A y B y = y B - y A , а отже A B = A y B y = y B - y A .

Якщо точки A і B лежать на прямій, перпендикулярній до осі O y (осі ординат) – за аналогією з попереднім пунктом: A B = A x B x = x B - x A

Якщо точки A і B не лежать на прямій, перпендикулярній до однієї з координатних осей, знайдемо відстань між ними, вивівши формулу розрахунку:

Ми бачимо, що трикутник АВС є прямокутним за побудовою. При цьому A C = A x B x і B C = A y B y. Використовуючи теорему Піфагора, складемо рівність: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 а потім перетворимо його: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Сформуємо висновок з отриманого результату: відстань від точки А до точки В на площині визначається розрахунком за формулою з використанням координат цих точок

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Отримана формула також підтверджує раніше сформовані твердження для випадків збігу точок або ситуацій, коли лежать точки на прямих, перпендикулярних осях. Так, для випадку збігу точок A і B буде правильна рівність: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуації, коли точки A та B лежать на прямій, перпендикулярній осі абсцис:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Для випадку, коли точки A і B лежать на прямій перпендикулярній осі ординат:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Вихідні дані: прямокутна система координат O x y z з довільними точками, що лежать на ній, із заданими координатами A (x A , y A , z A) і B (x B , y B , z B) . Необхідно визначити відстань між цими точками.

Розглянемо загальний випадок, коли точки A та B не лежать у площині, паралельній одній з координатних площин. Проведемо через точки A і B площини, перпендикулярні координатним осям, і отримаємо відповідні точки проекцій: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Відстань між точками A і B є діагональ отриманого в результаті побудови паралелепіпеда. Відповідно до побудови вимірювання цього паралелепіпеда: A x B x , A y B y та A z B z

З курсу геометрії відомо, що квадрат діагоналі паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Виходячи з цього твердження отримаємо рівність: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Використовуючи отримані висновки, запишемо наступне:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Перетворимо вираз:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Підсумкова формула для визначення відстані між точками у просторібуде виглядати так:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Отримана формула дійсна також для випадків, коли:

Крапки збігаються;

Лежать на одній координатній осі або прямій паралельній одній з координатних осей.

Приклади розв'язання задач на знаходження відстані між точками

Приклад 1

Вихідні дані: задана координатна пряма та точки, що лежать на ній із заданими координатами A (1 - 2) та B (11 + 2) . Необхідно знайти відстань від точки початку відліку O до точки A між точками A і B .

Рішення

1. Відстань від точки початку відліку до точки дорівнює модулю координати цієї точки відповідно O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Відстань між точками A і B визначимо як модуль різниці координат цих точок: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Відповідь: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Приклад 2

Вихідні дані: задана прямокутна система координат і дві точки, що на ній лежать A (1 , - 1) і B (λ + 1 , 3) ​​. λ – деяке дійсне число. Необхідно знайти всі значення цього числа, при яких відстань АВ дорівнює 5 .

Рішення

Щоб знайти відстань між точками A і B необхідно використовувати формулу A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Підставивши реальні значення координат, отримаємо: AB = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

А також використовуємо наявну умову, що АВ = 5 і тоді буде вірним рівність:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Відповідь: А В = 5 якщо λ = ± 3 .

Приклад 3

Вихідні дані: задано тривимірне простір у прямокутній системі координат O x y z і точки A (1 , 2 , 3) ​​і B - 7 , - 2 , 4 , що лежать у ньому.

Рішення

Для вирішення задачі використовуємо формулу A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Підставивши реальні значення, отримаємо: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Відповідь: | А В | = 9

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter