прямі l1 і l2 називаються такими, що схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Нехай а та b - напрямні вектори цих прямих, а точки M1 та M2 належать відповідно прямим і l1 та l2

Тоді вектори а, b, M1M2> не компланарні, і тому їх змішаний твірне дорівнює нулю, тобто. , і, отже, прямі l1 і l2 не лежать в одній площині, тобто схрещуються. і b - напрямні вектори прямих, а M1 та M2 - точки, що належать відповідно до даних прямим. Умова(а, b, M1M2>) = 0 є необхідною та достатньою умовою того, що прямі лежать в одній площині. Якщо прямі задані своїми канонічними рівняннями

то а = (а1; а2; а3), b = (b1; b2; b3), М1 (x1; у1; z1), М2 (х2; у2; z2) і умова (2) записується наступним чином:

Відстань між схрещуючими прямими

це відстань між однією з прямих, що схрещуються, і паралельною їй площиною, що проходить через іншу пряму. Відстань між схрещувальними прямими - це відстань від деякої точки однієї з схрещуваних прямих до площини, що проходить через іншу пряму паралельно першій прямій.

26.Визначення еліпса, канонічне рівняння. Виведення канонічного рівняння. Властивості.

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фокусованих точок F1 і F2 цієї площини, званих фокусами є величина постійна. При цьому не виключається збіг фокусів еліпсису. систему координат таку, що еліпс описуватиметься рівнянням (канонічне рівняння еліпса):

Воно описує еліпс із центром на початку координат, осі якого збігаються з осями координат.

Якщо ж у правій частині стоїть одиниця зі знаком мінус, то рівняння, що вийшло:

описує уявний еліпс. Зобразити такий еліпс у дійсній площині неможливо. Позначимо фокуси через F1 та F2, а відстань між ними через 2с, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів – через 2а

Для виведення рівняння еліпса виберемо систему координат Оху так, щоб фокуси F1 та F2 лежали на осі Ох, а початок координат збігався із серединою відрізка F1F2. Тоді фокуси матимуть наступні координати: і Нехай М (х; у) - довільна точка еліпса. Тоді, згідно з визначенням еліпса, тобто.

Це, власне, і є рівняння еліпса.

27.Визначення гіперболи, канонічне рівняння. Виведення канонічного рівняння. Властивості

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, для якої абсолютна величина різниці відстані до двох фіксованих точок F1 і F2 цієї площини, званих фокусами, є постійна величина. Нехай M(x;y) - довільна точка гіперболи. Тоді згідно з визначенням гіперболи |MF 1 – MF 2 |=2a або MF 1 – MF 2 =±2a,

28.Визначення параболи, канонічне рівняння. Висновок канонічного рівняння. Властивості. Параболою називається ГМТ площини, для яких відстань до деякої фіксованої точки F цієї площини дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, також розташованої в площині, що розглядається. F – фокус параболи; фіксована пряма – директриса параболи. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 + y 2 = (x + p/2) 2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 = 2px;

Властивості: 1.Парабола має вісь симетрії (вісь параболи); 2.Вся

парабола розташована в правій напівплощині площині Oxy при p>0, і в лівій

якщо p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

Лекція: Пересічні, паралельні і прямі, що схрещуються; перпендикулярність прямих

Пересічні прямі

Якщо на площині є кілька прямих, то вони рано чи пізно перетнуться довільно, або під прямим кутом, або ж будуть паралельними. Давайте розберемося з кожним випадком.

Пересічний можна назвати ті прямі, у яких буде хоча б одна точка перетину.

Ви запитаєте, чому хоча б одна, не може ж пряма перетнути іншу пряму дві чи три рази. Ви маєте рацію! Але прямі можуть повністю збігтися один з одним. У такому разі загальних точок буде безліч.

Паралельність

Паралельнимиможна назвати ті прямі, які ніколи не перетнуться, навіть на нескінченності.

Іншими словами, паралельні – це ті, які не мають жодної спільної точки. Дане визначення справедливе тільки в тому випадку, якщо прямі знаходяться в одній площині, якщо ж вони не мають спільних точок, перебуваючи в різних площинах, то вони вважаються такими, що схрещуються.

Приклади паралельних прямих у житті: два протилежні краї екрану монітора, лінії в зошитах, а також багато інших речей, що мають квадратну, прямокутну та інші форми.

Коли хочуть показати листі, що одна пряма паралельна другий, використовують наступне позначення a||b. Цей запис говорить, що пряма а паралельна прямий b.

При вивченні цієї теми важливо зрозуміти ще одне твердження: через деяку точку на площині, яка не належить цій прямій, можна провести єдину паралельну пряму. Але зверніть увагу, знову виправлення – на площині. Якщо розглядати тривимірний простір, то можна провести безліч прямих, які не будуть перетинатися, але будуть схрещуватися.

Твердження, яке було описано вище, називається аксіомою про паралельність прямих.

Перпендикулярність

Прямі можна назвати лише у тому випадку перпендикулярнимиякщо вони перетинаються під кутом, рівним 90 градусів.

У просторі через деяку точку на прямій можна провести безліч перпендикулярних прямих. Однак, якщо йдеться про площину, то через одну точку на прямій можна провести єдину перпендикулярну пряму.

Схрещені прямі. Сікуча

Якщо деякі прямі перетинаються у певній точці під довільним кутом, їх можна назвати схрещуються.

У будь-яких прямих, що схрещуються, є вертикальні кути і суміжні.

Якщо у кутів, які утворені двома прямими, що схрещуються, одна сторона загальна, то вони називаються суміжними:

Суміжні кути у сумі дають 180 градусів.

Прямі, що схрещуються. Великий Енциклопедичний словник

схрещувальні прямі- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. * * * Прямі, що схрещуються Прямі схрещуються Прямі, прямі в просторі, що не лежать в одній площині … Енциклопедичний словник

Схрещувальні прямі- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. Через С. п. можна провести паралельні площини, відстань між якими називається відстанню між С. п. Вона дорівнює найкоротшій відстані між точками С. п. Велика Радянська Енциклопедія

Прямі, що схрещуються.- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині. Кутом між С. п. зв. будь-який з кутів між двома паралельними їм прямими, що проходять через довільну точку простору. Якщо а і b напрямні вектори С. п., то косинус кута між С. п. Математична енциклопедія

Прямі, що схрещуються.- Прямі в просторі, що не лежать в одній площині ... Природознавство. Енциклопедичний словник

Паралельні прямі- Зміст 1 В Євклідовій геометрії 1.1 Властивості 2 В геометрії Лобачевського … Вікіпедія

Ультрапаралельні прямі- Зміст 1 В евклідовій геометрії 1.1 Властивості 2 В геометрії Лобачевського 3 Див.

РИМАНА ГЕОМЕТРІЯ- е л і п т і ч е с к а я г е про метр і, одна з неевклідових геометрій, тобто геометрич, теорія, заснована на аксіомах, вимоги до рих відмінні від вимог аксіом евклідової геометрії . На відміну від евклідової геометрії в Р. р. Математична енциклопедія

Якщо дві прямі у просторі мають загальну точку, то кажуть, що ці дві прямі перетинаються. На наступному малюнку прямі a іb перетинаються в точці A. Прямі а і с не перетинаються.

Будь-які, дві прямі або мають лише одну спільну точку, або не мають спільних точок.

Паралельні прямі

Дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і при цьому не перетинаються. Для позначення паралельних прямих використовують значок - ||.

Запис a||b означає, що пряма паралельна прямий b. На малюнку представленому вище, прямі а і паралельні.

Теорема про паралельні прямі

Через будь-яку точку простору, що не лежить на даній прямій, проходить пряма, паралельна даній і до того ж лише одна.

Схрещувальні прямі

Дві прямі, які лежать в одній площині, можуть перетинатися або бути паралельними. Але в просторі дві прямі не обов'язково повинні належати до цієї площини. Вони можуть бути розташовані у двох різних площинах.

Очевидно, що прямі розташовані в різних площинах не перетинаються і не є паралельними прямими. Дві прямі, які не лежать в одній площині, називаються схрещуючими прямими.

На наступному малюнку показані дві схрещувальні прямі a і b, які лежать у різних площинах.

Ознака і теорема про схрещувальні прямі

Якщо одна з двох прямих лежить в деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то ці схрещуються.

Теорема про схрещувальні прямі: через кожну з двох прямих, що схрещуються, проходить площина, паралельна іншій прямій, і притому тільки одна.

Таким чином, ми розглянули всі можливі випадки взаємного розташування прямих у просторі. Їх лише три.

1. Прямі перетинаються. (Тобто вони мають лише одну загальну точку.)

2. Прямі паралельні. (Тобто вони не мають спільних точок і лежать в одній площині.)

3. Прямі схрещуються. (Тобто вони розташовані у різних площинах.)