Виконуються при всіх значеннях аргументу (із загальної сфери визначення).

Формули універсальної підстановки.

З цими формулами легко будь-який вираз, що містить різні тригонометричні функції одного аргументу, перетворюється на раціональний вираз однієї функції tg (α /2):

Формули перетворення сум на твори та творів на суми.

Раніше наведені формули використовували для спрощення розрахунків. Обчислювали за допомогою логарифмічних таблиць, а пізніше - логарифмічної лінійки, тому що логарифми найкраще підходять для множення чисел. Ось чому кожен вихідний вираз приводився до вигляду, який був би зручний для логарифмування, тобто до творів, наприклад:

2 sin α sin b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 sin α cos b = sin (α - b) + sin (α + b).

де - кут, для якого зокрема,

Формули для функцій тангенсу і котангенсу легко виходять із зазначених вище.

Формули зниження ступеня.

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;
sin 3α = (3 sinα - sin 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

За допомогою даних формул тригонометричні рівняння легко призводять до рівнянь з нижчими ступенями. Так само виводять формули зниження для більш високих ступенів sinі cos.

Вираз тригонометричних функцій через одну з них того ж таки аргументу.

Знак перед коренем залежить від чверті розташування кута α .

Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом та котангенсом – задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті виразити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.

У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, яких достатньо для вирішення більшості задач тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням і заноситимемо в таблиці.

Навігація на сторінці.

Основні тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні тотожностізадають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.

Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок та приклади застосування дивіться у статті .

Формули наведення

Формули наведеннявипливають із властивостей синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу , тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, і навіть властивість зсуву даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.

Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .

Формули додавання

Тригонометричні формули складанняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.

Формули подвійного, потрійного тощо. кута

Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.

Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.

Формули половинного кута

Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.

Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.

Формули зниження ступеня

Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенівтригонометричних функцій до синусів і косинусів у першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.

Формули суми та різниці тригонометричних функцій

Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, так як дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.

Формули твору синусів, косінусів та синуса на косинус

Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синусу на косинус.

Універсальна тригонометрична підстановка

Огляд основних формул тригонометрії завершуємо формулами, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута. Така заміна отримала назву універсальної тригонометричної підстановки. Її зручність у тому, що це тригонометричні функції виражаються через тангенс половинного кута раціонально без коренів.

Список литературы.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Copyright by cleverstudents

Усі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

У тотожних перетвореннях тригонометричних виразівможуть бути використані наступні прийоми алгебри: додавання і віднімання однакових доданків; винесення загального множника за дужки; множення та розподіл на одну й ту саму величину; застосування формул скороченого множення; виділення повного квадрата; розкладання квадратного тричленана множники; запровадження нових змінних з метою спрощення перетворень.

При перетвореннях тригонометричних виразів, що містять дроби, можна використовувати властивості пропорції, скорочення дробів або приведення дробів до спільному знаменнику. Крім того, можна користуватися виділенням цілої частини дробу, множенням чисельника і знаменника дробу на однакову величину, а також по можливості враховувати однорідність чисельника чи знаменника. При необхідності можна представляти дріб у вигляді суми або різниці кількох простіших дробів.

Крім того, застосовуючи всі необхідні методи перетворення тригонометричних виразів, необхідно постійно враховувати об допустимих значеньперетворюваних виразів.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.

Обчислити А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) · cos ( 2x – 7π/2) +
+ sin (3π/2 – x) · sin (2x –5π/2)) 2

Рішення.

З формул приведення випливає:

sin (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x;

sin (2x - 9π/2) = -cos 2x; cos(x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) = sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x - 5π/2) = -cos 2x.

Звідки в силу формул складання аргументів та основної тригонометричної тотожності отримуємо

А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Відповідь: 1.

приклад 2.

Перетворити на твір вираз М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β - sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Рішення.

З формул складання аргументів та формул перетворення суми тригонометричних функцій на твір після відповідного угруповання маємо

М = (cos (α + β) · cos γ - sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β - γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) · 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) · cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β+γ)/2) · cos ((α+β)/2) · cos ((α+γ)/2).

Відповідь: М = 4cos ((α+β)/2) · cos ((α+γ)/2) · cos ((β+γ)/2).

Приклад 3.

Показати, що вираз А = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) приймає для всіх х із R одно і те саме значення. Знайти це значення.

Рішення.

Наведемо два способи вирішення цього завдання. Застосовуючи перший спосіб шляхом виділення повного квадрата і користуючись відповідними основними тригонометричними формулами, отримаємо

А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =

4sin 2 x · sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 - cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Розв'язуючи задачу другим способом, розглянемо А як функцію від х із R і обчислимо її похідну. Після перетворень отримаємо

А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) - 2cos (x - π/6) · sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Звідси через критерій сталості диференційованої на проміжку функції укладаємо, що

А(х) ≡(0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Відповідь: А = 3/4 для x € R.

Основними прийомами доказу тригонометричних тотожностей є:

а)зведення лівої частини тотожності до правої шляхом відповідних перетворень;
б)зведення правої частини тотожності до лівої;
в)зведення правої та лівої частин тотожності одному й тому виду;
г)зведення до нуля різниці лівої та правої частин доказуваного тотожності.

приклад 4.

Перевірити, що cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Рішення.

Перетворюючи праву частину цього тотожності за відповідними тригонометричним формулам, маємо

4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) =

2cos x · (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x · (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x – cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Права частина тотожності зведена до лівої.

Приклад 5.

Довести, що sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, якщо α, β, γ – внутрішні кути деякого трикутника.

Рішення.

Враховуючи, що α, β, γ – внутрішні кути деякого трикутника, отримуємо, що

α + β + γ = π і, отже, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) · (cos (α + β) =

1/2 · (1 - сos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Вихідна рівність доведена.

Приклад 6.

Довести, що для того, щоб один з кутів α, β, γ трикутника дорівнював 60°, необхідно і достатньо, щоб sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Рішення.

Умова цього завдання передбачає доказ як необхідності, і достатності.

Спочатку доведемо необхідність.

Можна показати, що

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2).

Звідси, враховуючи, що cos (3/2 · 60°) = cos 90° = 0, отримуємо, що якщо один із кутів α, β або γ дорівнює 60°, то

cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0 і, отже, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Доведемо тепер достатністьзазначеної умови.

Якщо sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, то cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0, і тому

або cos (3α/2) = 0, або cos (3β/2) = 0, або cos (3γ/2) = 0.

Отже,

чи 3α/2 = π/2 + πk, тобто. α = π/3 + 2πk/3,

чи 3β/2 = π/2 + πk, тобто. β = π/3 + 2πk/3,

або 3γ/2 = π/2 + πk,

тобто. γ = π/3 + 2πk/3, де k ϵ Z.

З того, що α, β, γ – це кути трикутника, маємо

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Тому для α = π/3 + 2πk/3 або β = π/3 + 2πk/3 або

γ = π/3 + 2πk/3 зі всіх kϵZ підходить тільки k = 0.

Звідки випливає, що α = π/3 = 60°, або β = π/3 = 60°, або γ = π/3 = 60°.

Твердження доведене.

Залишились питання? Не знаєте, як спрощувати тригонометричні вирази?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.