Формула градусной меры дуги окружности. Окружность. Центральный и вписанный угол

Формула для нахождения длины дуги окружности довольно проста, и очень часто на важных экзаменах типа ЕГЭ встречаются такие задачи, которые невозможно решить без ее применения. Также необходимо ее знать для сдачи международных стандартизированных тестов, например SAT и других.

Чему равна длина дуги окружности?

Формула выглядит следующим образом:

l = πrα / 180°

Что собой представляет каждый из элементов формулы:

π - число Пи (постоянная величина, равная ≈ 3,14);
r - радиус данной окружности;
α - величина угла, на который опирается дуга (центральный, а не вписанный).

Как видно, чтобы решить задачу, в условии должны присутствовать r и α. Без этих двух величин длину дуги найти невозможно.

Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?

Все предельно легко. Станет намного понятнее, если в знаменателе поставить 360°, а в числителе спереди добавить двойку. Также можно α не оставить в дроби, вывести ее и написать со знаком умножения. Это вполне можно себе позволить, так как данный элемент стоит в числителе. Тогда общий вид станет таким:

l = (2πr / 360°) × α

Просто для удобства сократили 2 и 360°. А теперь, если приглядеться, то можно заметить очень знакомую формулу длины всей окружности, а именно - 2πr. Весь круг состоит из 360°, потому мы делим полученную меру на 360 частей. Затем мы умножаем на число α, то есть на то количество "кусков пирога", которое нам требуется. Но всем доподлинно известно, что число (то есть длина всей окружности) не может делиться на градус. Что же делать в таком случае? Обычно, как правило, градус сокращается с градусом центрального угла, то есть с α. После же остаются только числа, а в итоге получается конечный ответ.

Этим можно объяснить то, почему длина дуги окружности находится таким образом и имеет такой вид.

Пример задачи средней сложности с применением данной формулы

Условие: Имеется окружность с радиусом 10 сантиметров. Градусная мера центрального угла составляет 90°. Найти длину дуги окружности, образованную этим углом.

Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Ответ: l = 5π

Также возможно, чтоб вместо градусной меры давалась бы радианная мера угла. Ни в коем случае не стоит пугаться, ведь на сей раз задача стала намного легче. Чтобы перевести радианную меру в градусную, нужно данное число умножить на 180° / π. Значит, теперь можно подставить вместо α следующую комбинацию: m × 180° / π. Где m - это радианное значение. А дальше 180 и число π сокращаются и получается совершенно упрощенная формула, которая выглядит следующим образом:

m - радианная мера угла;
r - радиус данной окружности.

Приложение

Длина дуги кривой линии в декартовой системе координат на сайт для закрепления студентами пройденного материала. Вычислить длину дуги кривой от явно заданной функции с помощью приложения интеграла сводится к базовому вычислению определенного интеграла на отрезке, который задан условием задачи. Зачастую приходится знать, как длина кривой рассчитывается на практике без использования подручных средств. Как никому математикам эта поставленная задача известна еще с древних времен, когда кривую спрямляли, разбивая на множество прямых отрезков, и вычисляли их сумму. Тогда еще не знали великие умы, что значение длины дуги вычисляется точно только через интеграл, при этом зная ее формулу. Именно функция от аргумента, описывающая линию, подставляется в формулу и вычислить длину кривой после таких манипуляций очень и очень просто. Можно использовать наш калькулятор сайт для этого, специально предназначенный для студентов и школьников, чтобы им не тратить много времени. На нашем ресурсе множество решебников, среди которых длина кривой решается онлайн в считанные секунды и с высокой точностью результат выводится на странице сайта. В современной математике каждому учащемуся необходимо вычислить длину дуги кривой в рамках некоторой конкретной задачи, а может быть и попутно при выполнении более сложной работы. Даже выделили спец занятия, в котором изучаются приложения определенного интеграла с помощью множества выведенных учеными формул, среди которых есть такая задача, как найти длину дуги кривой от явно или неявно заданной функции. сайт - это и есть калькулятор для вычисления длины дуги кривой в заданной системе координат, которые изучают в школьной и вузовской программах. Помимо пройденного пути по условию текстовой задачи, еще вычисляется длина дуги кривой через интеграл, именно той, которая соответствует траектории движения пешехода. Не касаясь абстрактных объектов или заурядных сложных систем исчисления, например, таких как риманово пространство, затрагивающих аффинные преобразования, будем считать, что длина дуги кривой находится в декартовой системе координат. Поэтому смело обращайтесь к сайту сайт, где представлен раздел по нахождению длины дуги онлайн. Вообще-то говоря, значение длины кривой в разных системах координат будет тоже разным и это неоспоримый факт, но очень любопытный. Допустим мы имеем криволинейную систему координат в трехмерном пространстве, и длина кривой зависит от начальной и конечной точки исследуемого отрезка. Так вот, если по точкам отобразить кривую в этой системе, то визуально она будет представлять прямую относительно прямоугольных координат и длина дуги определится через обычный интеграл. Но к этому неочевидному факту порой очень сложно прийти опытным путем, да и представить визуально криволинейное пространство человек не в силе по своей природе. Мы все сводим к сравнению к привыкшей прямоугольной декартовой системе. Однако вычислить длину кривой можно в любой системе координат, если она спрямляема, что является основой при решении такой задачи. Существуют кривые не спрямляемые, длина кривой онлайн которой не найдёт ни один калькулятор. Вообще такую кривую не задать в нормальном представлении. Есть правило, по которому она строится и все. А вот вычислить длину дуги кривой не получится никому, потому что ее просто не существует. Помимо расчета массы тела или моментов инерции тел и пластин, с помощью приложения определенного интеграла можно с легкостью найти длину дуги кривой линии в различных системах координат, даже в полярной, к слову это даже легче сделать, нежели в декартовой. Переход из первой системы координат во вторую выполняется несложным преобразованием через тригонометрические функции, определяя зависимость между углом и радиусом-функции от начала координат. Далее можно воспользоваться бесплатным калькулятором длины дуги кривой и получить результат сразу здесь в окне браузера.. Не тратьте свое драгоценное время на то, чтобы, зная материал, по несколько раз проделывать сложные действия и искать длину дуги кривой самому, в то время как то же самое и мгновенно сможет выполнить сайт сайт и поможет в решении поставленной задачи. При этом длина дуги онлайн будет найдена от любой функции из любого задачника по высшей математике. По ходу математического решения длину кривой возможно найти через определенный интеграл от заданной функции по нижнему и верхнему пределам интегрирования. Одновременно с нахождением общего решения задачи, длина дуги через конкретный интеграл определяется моментально при подстановке требуемых величин в итоговую сумму подынтегральной функции, что приводит нас к исследованию радикальной функции на концах отрезка. Единовременно к математической задаче присоединяется параллельная, а именно правильно вычислить длину кривой линии по переменной t, как зависимость функции от временной шкалы по ходу движения материальной точки. Однако траектория движения тела как совокупности материальных точек, либо конкретной точки в отдельности, не может представить полного характера движения, не имея закон, по которому описывается ее линия движения. Но можно, используя конечно математический анализ, с легкостью исследовать ее движение, в том числе ускорения на определенных участках, а также определить, чему равна длина кривой с вычислением этой величины онлайн на сайте сайт. Как находится длина дуги кривой через интеграл известно давным-давно ученым во всем мире, но донести это до студентов вовремя не так-то просто, как кажется на первый вид. Это замечательный и полезный для студентов и учеников школ ресурс позволяет вычислить длину дуги кривой, как говорится, здесь и сейчас прямо на ваших глазах, и при этом ответ будет абсолютно без погрешностей с точностью до тысячных знаков. Поскольку приложения определенного интеграла не в полной мере изучаются в ВУЗах, потому что на это отводится немного учебного времени, студентам необходимо самим приложить усилия в познании данного важного раздела математики, потому что это пригодится в дальнейшем в жизни. Аналогичные сайты, в отличие от сайт, тоже помогут вам найти длину дуги кривой от заданной функции, но мы рекомендуем все-таки вычислительные результаты сравнить с полученным ответом нашего ресурса, за который мы отвечаем совей репутацией. Какой бы современный и мощнейший калькулятор длины дуги кривой вы ни использовали для исследования задачи по математике, ни один такой калькулятор или компьютер не сможет помочь научиться решать такие задачи самому. От вас требуется внимательность, усидчивость, а главное терпение при изучении любого математического раздела, поскольку это наука точная и требует постепенного освоения, в силу своей специфики. Возвращаясь к нашей тематике, подытожим мысли о том, как все-таки без особых затруднений выяснить, что длина дуги кривой может быть найдена по заранее заданной формуле и вычислена правильно. Мы настоятельно советуем каждому кто примется за познание науки математики, уметь и знать, как вычисляется длина дуги онлайн на сайте сайт. Как обычно в таких задачах необходима такая длина дуги кривой, вычисленная через интеграл, поскольку от этого зависит ход дальнейшего решения задачи. Назначение условия по выявлению критических точек не связано напрямую с поставленной задаче, но длина кривой находится по тем же принципам математических законов. Правильно заметили ученики, что длина дуги как определенный интеграл дает максимум ответов на все поставленные вопросы при исследовании участка движения материальной точки. При изучении движения материальной пластины, достаточно знать траекторию движения хотя бы двух ее точек, потому что линии всех остальных ее точек можно определить исходя из геометрических связей, тем более затем вычислить длину кривой движения любой точки на пластине. Используя калькулятор на сайт, длина кривой онлайн определяется практически сразу и с высочайшей точностью в ответе, поскольку мы используем современные технологии в подходе решения подобных математических проблем. И если вам вдруг предстоит вычислить длину дуги кривой от явной или неявной функции, то не расстраивайтесь сразу, пока не посетите наш ресурс, поскольку помимо приложения определенного интеграла для площадей или вычисления объемов тел, вам с легкостью представится возможность найти длину дуги кривой прямо здесь и сию минуту. Рациональное использование ресурсов, а время - это самый важный и главный ресурс, которым обладает человек, позволяет экономить время с калькулятором длины дуги кривой, потому что этот уникальный по своей сути инструмент в руках умельца, даст наибольший результат, нежели от простого заучивания сложных математических формул без отработанных практических навыков. Вовсе не секрет тот факт, что усидчивость и терпение - залог успешности любой личности, поскольку только в трудных ситуациях студент учится быть самостоятельным и прививает себе качество лидера. Ваши друзья и коллеги не смогут быстрее вас выявить, что длина дуги кривой будет больше у первой функции, но не у второй функции, хотя отрезки берутся одинаковые от первой точки до последней. Бывает так, что длина дуги онлайн имеет значение отличное от того, которое получилось при ручном подсчете при помощи подручных калькуляторов и таблиц, но не стоит раньше времени делать необоснованные выводы, потому что естественная погрешность допустима при вычислениях вручную. В заключение все же студентам необходимо рекомендовать сайт сайт и однозначно сказать, что длина дуги кривой через интеграл вычисляется гораздо более быстрее, продуктивнее и намного точнее, чем использовать численные методы по приблизительным вычислениям. Повсеместно принято на уровне учащихся такое мнение, что длина кривой не может быть вычислена через математические формулы, если не знать их. Однако нет, это ошибочное суждение, потому что существуют современные сервисы в интернете, специально заточенные под студентов, где есть калькуляторы по математике и длина дуги как интеграл рассчитывается в считанные секунды прямо на глазах пользователей сайтом. Такие калькуляторы могут вычислить длину кривой от любой заданной функции, используя математические законы для этого, определяя и выбирая оптимальные расчеты, как бы это сделал грамотный преподаватель. Ведь запрограммировать сколь угодно сложный вычислительный процесс выгоднее и менее затратнее, чем постоянно лезть в заумные книги, искать подходящую формулу, определять вид функции и так далее и тому подобное. Используйте все преимущества сайта сайт для своих поставленных целей, будьте гибче в подходе к изучению точных наук, таких как математика, физика или химия, выжимайте по максимуму их аналогичных ресурсов, уделяя больше времени к изучению теоретических моментов, чем практических, поскольку практика хоть и является основой закрепления пройденного материала, но все же теория заставляет шевелить мозгами более интенсивно и тем самым развивая ваш кругозор. Если длина кривой онлайн находится сразу и дает достаточно точный ответ, то принимая во внимание условия подзадачи, сразу переходите к следующим вычислениям, и завершайте до логического заключения выводы. сайт позволит вам и всем остальным ученикам вычислить длину дуги кривой по траектории движения материальной точки и завязать формулировку задачи на базовом определении местоположения объекта как материального тела. Из приложения определенного интеграла с легкостью и наибольшей точностью, чем численными методами, которые дают приближенные результаты, можно и нужно решать такие задачки, как объем тела вращения фигуры вокруг оси в декартовой системе координат, или, например, определение массы пластины материальной, с заданной плотностью, и много чего полезного в изучении точных наук. А мы с вами в свое время сможем найти длину дуги кривой для функции, которая задана явно или параметрически, базируясь на принципах правильного подхода к решению такого рода задач математического анализа. Как известно, найти или однозначно определить решение нельзя, не опираясь на фундаментальные законы матери природы. Зачастую в аспекте изучения науки студенты ошибаются довольно редко, если под рукой имеется качественный калькулятор длины дуги кривой и он доступен 24 часа в сутки, с помощью которого выполняются сложнейшие математические расчеты. Прямо укажем такую очевидную вещь как правильный и своевременный подход к изучению теории и практики в совокупности по мере возрастания и прибавления знаний ученика. Длина дуги кривой имеет огромный прикладной смысл, поскольку инженерам дает возможность так сконструировать строительный объект, чтобы не было аварийных ситуаций при его эксплуатации в ближайшем и далеком будущем. Взять, например, проект моста через крупную реку. Просто километры тросов свисают гирляндами над проезжей или прохожей частями этого моста, огромный массы металла нагружают конструкцию, делая ее с одной стороны гигантским искусственным бесподобием, с дугой - уникальным достижением человеческой мысли и его возможностями в этом мире. Как никогда при расчетах длина дуги онлайн вычисляется с незамедлительным результатом, поскольку миллионы математических функций должны отработать в разумные периоды времени, описывая конструкцию как единый живой механизм со своими естественными деформациями вдоль и поперек. И если вам скажут, что длина дуги кривой через интеграл - это бесполезное занятие, то вы знаете как дать ответ этим глупостям. Все, чем мы пользуемся повседневно и чем гордится наша страна - плод развития человека в этой среде. Как только истинная длина кривой достигнет своего верхнего предельного значения, используя метод спрямляемой линии, то есть вписыванием все новых отрезков половинного деления, так сразу в ответе математической задачи получим приближенное значение интегрального метода. То есть, другими словами говоря, длина дуги через интеграл нам дает абсолютно точное значение той величины, которой соответствует в пространстве прямоугольных координат применяемый метод решения. Студенты на этом этапе постановки задачи немного теряются и допускают простейшие ошибки. Если все-таки не удалось в полной мере вычислить длину кривой с использованием явной формулы для ее вычисления, то разбейте задачу на несколько подпунктов, так вам станет визуально легче ее воспринимать и в дальнейшем избавиться от математических неточностей. Рекомендуем индивидуально использовать ресурс сайт, чтобы знать, как длина кривой онлайн вычисляется за несколько секунд после того, как ввести данные по условию задачи и нажать на кнопку "Решение". Предположим вы знаете как вычислить длину дуги кривой и имеете достаточный практический опыт в этом, но не забывайте, что, экономя свое время на простых вещах, вы оставляете за собой право распоряжаться личным свободным временем для дальнейшего изучения математики онлайн. Известные всем приложения определенного интеграла дают массу возможностей ученым применять их повсеместно в строительстве, монтаже конструкций и просто в целях безопасности окружающей среды. Поможет вам и всем остальным студентам найти длину дуги кривой сайт сайт, который специально разработан упростить и облегчить труд учащихся. но тем самым наставляя их на путь правильного понимания сущности теоретических знаний. Вы сможете без проблем в Google или в Yandex по соответствующему запросу найти калькулятор длины дуги кривой и воспользоваться им в полной мере, но будьте бдительны, когда наталкиваетесь на недобросовестных исполнителей, которым лишь бы взять с вас оплату за услуги, тем самым, не думая, как вам сдать успешно экзамен или сессию. Потому что преподаватели уже умеют распознавать заказал ли студент работу, или выполнил ее самостоятельно. Попробуйте решать математику все-таки сами, не поленитесь изучить нужный для этого материал и подсказками решебников, а в помощь вам мы предлагаем мощный математический инструмент под названием сайт и задачи, в которых требуется длина дуги кривой для дальнейших действий, решаются в два счета! Вам только нужно грамотно ввести все скобки выражения, проставить знаки сложения, вычитания, делении и умножения, возможно с радикалами, короче правильно применить синтаксис, и длина дуги вычистится онлайн прямо тут же и на мониторе вы увидите свой ответ. Как бы вы ни дробили шаг интегрирования, разумеется в допустимых пределах, лучше, чем длина дуги кривой через интеграл она вычислена быть не сможет, поскольку это наиточнейший способ добиться высокой точности ответа. Заслуга в этом принадлежит ученым из позапрошлого века и даже еще раньше. А теперь в заключение хотим поговорить о длине кривой f=f(x) или любой другой явно заданной функции, которые часто встречаются в задачниках в школах и вузах. Если вы заметили все задачи разделены на подтипы, это сделано для наилучшего восприятия учащимися пройденного материала. Как только преподаватель объяснит какую-то теорию, то сразу приводит пример для закрепления пройденного материала. Так длина кривой может быть найдена с помощью численных методов или же с помощью интеграла, что более предпочтительней. Потому что длина дуги как интеграл от функции вычислить можно по-разному, но это в точности дает нужный результат и его можно далее применять в расчетах любого типа задач. Поскольку вычислить длину кривой требуется практически на каждом занятии, в то время как учитель доносит материал по мере усложнения, то мы советуем выбрать наш сайт с названием сайт и облегчить себе труд. поскольку так делают современные молодые люди. Они не зацикливаются на каком-то сложном примере, а как только встречают на своем пути преграды, то берут и в лоб решают задачи с помощью калькулятора. Зная, как длина кривой онлайн вычисляется с помощью сервиса сайт, то нет сомнений, что ответ из любого другого раздела этого ресурса будет как никогда тоже точным и правильным. А в ряде калькуляторов доступны пошаговые решения, что вообще дает насказанное преимущество перед теми, кто ими не пользуется, ну или не знает, как использовать калькуляторы и правильно вычислить длину дуги кривой. Не забываем проверять себя после каждого действия, будь то обыкновенное извлечение корня, или умножение столбиком, или деление многочлена на многочлен, в ряде случаев приложения определенного интеграла дают колоссальный результат по определению веса тела или пластины, нахождения моментов инерции, что в механике представляют очень существенные показатели при проектировании, тем более помогают найти длину дуги кривой, что тоже будет важно для инженеров. Как мы ранее указали вам, пользуйтесь калькулятор длины дуги кривой на сайте сайт и будет ваше ожидание удовлетворено в полной мере, так как математические задачи тут решаются как дважды два! Об этом вы можете в интернете узнать о положительных отзывах о нас, так как мы не взимаем плату за решение математики онлайн, и гарантируем точность вычислений любой сложности, благодаря мощной вычислительной системе. На сегодняшний день известно множество способов определить, что длина дуги кривой не представляет сложности при проектировании сооружений, потому что уже в инженерных калькуляторах запрограммировано вычисление этого важного этапа. Но все-таки существуют, и их множество, специально заточенных под нахождение длины дуги онлайн калькуляторов, в которых кривая может быть задана различными способами. Отсюда универсальность таких изобретений. Однако каким бы хорошим численным методом ни была найдена длина дуги кривой, но через интеграл эта длина все равно будет иметь точное значение, так сказать эталонное по сравнению с аналогичными по сути численными результатами.

Часть фигуры, которая образует окружность, точки которой равноудалены, называется дугой. Если из точки центра окружности, провести лучи в точки, совпадающие с концами дуги, будет образован её центральный угол.

Определение длины дуги

Производится по следующей формуле:

где L – искомая длина дуги, π = 3,14 , r – радиус окружности, α – центральный угол.

3,14 × 10 × 85

14,82

Ответ:

Длина дуги окружности равна 14,82 сантиметра.

В элементарной геометрии под дугой понимается подмножество окружности, расположенной между двумя расположенными на ней точками. На практике решать задачи по определению ее длины инженерам и архитекторам приходится достаточно часто, поскольку этот геометрический элемент широко распространен в самых разнообразных конструкциях.

Пожалуй, первым, перед кем встала эта задача, были древние зодчие, которым так или иначе приходилось определять этот параметр для сооружения сводов, широко используемых для перекрытия промежутков между опорами в круглых, многоугольных или эллиптических зданиях. Если внимательно присмотреться к дошедшим до наших дней шедеврам древнегреческого, древнеримского и особенно арабского зодчества, то можно заметить, что в их конструкциях дуги и своды встречаются чрезвычайно часто. Творения современных архитекторов ими не так богаты, но эти геометрические элементы наличествуют, конечно же, и в них.

Длину различных дуг необходимо рассчитывать при сооружении автомобильных и железных дорог, а также автодромов, причем во многих случаях от правильности и точности вычислений во многом зависит безопасность движения. Дело в том, что многие повороты магистралей с точки зрения геометрии представляют собой именно дуги, и по движению по ним на транспорт воздействуют различные физические силы. Параметры их результирующей во многом определяются длиной дуги, а также ее центральным углом и радиусом.

Конструкторам машин и механизмов приходится вычислить длины различных дуг для правильной и точной компоновки составных частей различных агрегатов. В данном случае ошибки в расчетах чреваты тем, что важные и ответственные детали будут неправильно взаимодействовать друг с другом и механизм просто не сможет функционировать так, как планируют его создатели. В качестве примеров конструкций, изобилующих такими геометрическими элементами, как дуги, можно привести двигатели внутреннего сгорания, коробки переключения передач, дерево- и металлообрабатывающее оборудование, кузовные элементы легковых и грузовых автомобилей и т.д.

Дуги достаточно широко встречаются в медицине, в частности, в стоматологии. Например, они используются для исправления неправильного прикуса. Корректирующие элементы, называемые брекетами (или брекет-системами) и имеющие соответствующую форму, изготавливаются из специальных сплавов, и устанавливаются таким образом, чтобы изменить положение зубов. Само собой разумеется, что для того, чтобы лечение проходило успешно, эти дуги должны быть очень точно рассчитаны. Кроме того, дуги очень широко используются в травматологии, и, пожалуй, самым ярким примером тому является знаменитый аппарат Илизарова, изобретенный российским врачом в 1951 году и чрезвычайно успешно используемый по сей день. Неотъемлемыми его частями являются металлические дуги, снабженные отверстиями, через которые продеваются специальные спицы, и являющиеся основными опорам всей конструкции.

Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним - смотри на картинки - освежай знания.

Ну, во-первых - центр окружности - такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во-вторых - радиус - отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов - одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр - точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности ? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда» .

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.

Кроме хорд бывают еще и секущие.

Вспомнили самое простое?

Центральный угол - угол между двумя радиусами.

А теперь - вписанный угол

Вписанный угол - угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности .

При этом говорят, что вписанный угол опирается на дугу (или на хорду) .

Смотри на картинку:

Измерения дуг и углов.

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет - нужно научиться измерить дугу в градусах.

Градусная мера (величина дуги) - это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

Видишь две дуги и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о страшном - о радианах!

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы - это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной радиан - такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос - а сколько же радиан в развёрнутом угле?

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в раза или в раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву.

Итак, - это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём радиан. Именно оттого, что половина окружности в раз больше радиуса.

Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число, получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы - нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна, а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом - нужна буква. И тогда эта длина окружности окажется равной. И конечно, длина окружности радиуса равна.

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится радиан.

Что имеем:

Значит, рад., то есть рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.

Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду (), что и вписанный угол.

Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

Что же тут получается? Рассмотрим. Он равнобедренный - ведь и - радиусы. Значит, (обозначили их).

Теперь посмотрим на. Это же внешний угол для! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:

То есть! Неожиданный эффект. Но и есть центральный угол для вписанного.

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри.

Давай сделаем вот что: проведём диаметр. И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что

Значит, (на чертеже, а)

Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла.

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку. Все то же самое, но вместо суммы - разность.

Вот и всё!

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Иллюстрируем:

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга) - бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол (), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2

Угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Смотри: какой угол является центральным для?

Конечно, . Но он равен! Ну вот, поэтому (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на) и равен.

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

или такой?

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует.

a) (как внешний угол для). Но - вписанный, опирается на дугу - . - вписанный, опирается на дугу - .

Для красоты говорят:

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

Так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь - «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь (снова применяем свойство внешнего угла для). То есть теперь.

И значит, . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!

ОКРУЖНОСТЬ И ВПИСАННЫЙ УГОЛ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Что такое окружность, знает и пятилетний ребёнок, не правда ли? У математиков, как всегда, на этот счёт есть заумное определение, но мы его приводить не будем (смотри ), а лучше вспомним, как называются точки, линии и углы, связанные с окружностью.

Важные термины

Ну, во-первых:

центр окружности - такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во-вторых:

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда стягивает дугу. А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,

А теперь - названия для углов.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра - значит, угол - центральный.

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание - НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности - вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Давай увидим разницу на картинках:

По-другому ещё говорят:

Тут есть один хитрый момент. Что такое «соответствующий» или «свой» центральный угол? Просто угол с вершиной в центре окружности и концами в концах дуги? Не совсем так. Посмотри-ка на рисунок.

Один из них, правда, и на угол-то не похож - он больше. Но это в треугольнике не может быть углов больше, а в окружности - вполне может! Так вот: меньшей дуге AB соответствует меньший угол (оранжевый), а большей - больший. Просто как, не правда ли?

Соотношение между величинами вписанного и центрального угла

Запомни очень важное утверждение:

В учебниках этот же факт любят записывать так:

Правда, с центральным углом формулировка проще?

Но всё же давай найдём соответствие между двумя формулировками, а заодно научимся находить на рисунках «соответствующий» центральный угол и дугу, на которую «опирается» вписанный угол.

Смотри: вот окружность и вписанный угол:

Где же его «соответствующий» центральный угол?

Снова смотрим:

Какое же правило?

Но! При этом важно, чтобы вписанный и центральный угол «смотрели» с одной стороны на дугу. Вот, например:

Как ни странно, голубой! Потому что дуга-то длинная, длиннее половины окружности! Вот и не путай никогда!

Какое же следствие можно вывести из «половинчатости» вписанного угла?

А вот, например:

Угол, опирающийся на диаметр

Ты уже успел заметить, что математики очень любят об одном и том же говорить разными словами? Зачем это им? Понимаешь, язык математики хоть и формальный, но живой, а поэтому, как и в обычном языке, каждый раз хочется сказать так, как удобнее. Ну вот, что такое «угол опирается на дугу» мы уже видели. И представь себе, та же самая картина называется «угол опирается на хорду». На какую? Да конечно на ту, которая стягивает эту дугу!

Когда же опираться на хорду удобнее, чем на дугу?

Ну, в частности, когда эта хорда - диаметр.

Для такой ситуации есть удивительно простое, красивое и полезное утверждение!

Смотри: вот окружность, диаметр и угол, который на него опирается.

ОКРУЖНОСТЬ И ВПИСАННЫЙ УГОЛ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Основные понятия.

3. Измерения дуг и углов.

Угол величиной радиан - такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Длина окружности радиуса равна.

4. Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.