В единичном кубе найти расстояние между прямыми. Четыре способа решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между прямыми в пространстве

Расстояние между скрещивающимися прямыми есть длина их общего перпендикуляра (отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из них). Поэтапно вычислительный метод (построение общего перпендикуляра). b ρ Пример а

Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от какой- нибудь точки второй прямой до построенной плоскости (на этом этапе можно использовать координатный метод) Метод параллельных прямой и плоскости. Пример b ρ а α А В shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/k oordinatnyj_metod_kljuchevye_za dachi/

Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию другой прямой. Метод ортогонального проектирования. Пример b ρ а α А В Н С СВ – проекция b

Если AB и CD – скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды ABCD, d – расстояние между ними, α – угол между AB и CD, V – объем пирамиды ABCD, то Опорная задача. Пример B C А D Методы нахождения угла между прямыми смотри по адресу:

Из системы определить координаты, затем найти Пусть, тогда выполнено условие: Определить координаты направляющих векторов и. Векторно - координатный метод. Пример B C А D Замечание: для записи координат точек М и К воспользоваться формулой: М К Если АМ:МВ=k, то

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA. Решение: Д. п.: ОН можно найти из треугольника АОS методом площадей. O А В С D S H OH – общий перпендикуляр к прямым BD и AS Назад

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA. Решение: (половина диагонали единичного квадрата) O А В С D S H Назад

В правильной треугольной призме ABCA 1 C 1 B 1, все рёбра которой равны 1, найти расстояние между прямыми АA 1 и B 1 C. Решение: B C C1C1 B1B1 H А А1А1 Д. п.: (перпендикуляр, проведенный к пересечению перпендикулярных плоскостей) Из треугольника АСН Назад

В правильной усечённой четырехугольной пирамиде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами оснований равными 4 и 8 и высотой равной 6 найти расстояние между диагональю и BD 1 диагональю большего основания AC. Решение: B А С D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 O O1O1 Д. п.: H (является своей проекцией на (BB 1 D 1)) Рассмотрим равнобедренную трапецию ВВ 1 D 1 D Назад

В правильной усечённой четырехугольной пирамиде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами оснований равными 4 и 8 и высотой равной 6 найти расстояние между диагональю и BD 1 диагональю большего основания AC. Решение: BD B1B1 D1D1 O Назад K H В треугольнике ВD 1 K Треугольники BD 1 K и ВОН подобны по двум углам В треугольнике ВHO

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: Рассмотрим пирамиду D 1 AB 1 B. За основание примем АВ 1 В, тогда высота – ВС. (диагональ единичного квадрата) А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В (диагональ единичного куба) Найдем угол между прямыми АВ 1 и В 1 D 1. Можно использовать векторно - координатный метод. Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: Введем прямоугольную систему координат А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В X Z Y Тогда: Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Введем прямоугольную систему координат Тогда: Пусть М К Тогда: X Z Y Назад и

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В X Z Y М К Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: Назад

2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC Тренировочные упражнения Решение 3) Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение 1)Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна 1.

Решение: Назад Задачи 1)Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна 1. А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В O O1O1 Н Построим ортогональную проекцию прямой АВ 1 на плоскость (ВВ 1 D 1) Д. п.: Найдем О 1 Н найдем из треугольника В 1 ОО 1

Решение: А D В С М О Н 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. (треугольник АMD –равносторонний) Найдем угол между прямыми АD и ВС. Задачи ВС || AD => "> "> " title="Решение: А D В С М О Н 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. (треугольник АMD –равносторонний) Найдем угол между прямыми АD и ВС. Задачи ВС || AD =>"> title="Решение: А D В С М О Н 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. (треугольник АMD –равносторонний) Найдем угол между прямыми АD и ВС. Задачи ВС || AD =>">

А В С D Решение: А1А1 С1С1 3)Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Отрезки АС 1 и ВА 1 – ребра треугольной пирамиды С 1 АВА 1 (опорная задача). 5) Объем пирамиды с основанием ВА 1 А? 4)Расстояние от точки С 1 до плоскости (BDA) (высота пирамиды)? 6) ρ(ВА 1 ;АС 1)? 1) Длины ребер ВА 1 и АС 1 ? 2) Синус угла между прямыми ВА 1 и АС 1 ? 3) Площадь основания пирамиды – ВА 1 А? O Задачи

A 3)Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: O А D А1А1 X Z Y х СхС 1) Введем прямоугольную систему координат Тогда: хDхD Найдем координаты точек С и D B X Y O C H (свойство медиан треугольника) хDхD х СхС С B С1С1 Задачи

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: А В С D А1А1 С1С1 X Z Y (середины СD и АD) Определим координаты направляющих векторов Задачи

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: 4) Найдем расстояние от точки С 1 до плоскости (BDA) (высоту пирамиды). Выведем уравнение плоскости (ЕFP) Задачи

При создании презентации использовано пособие:

«Расстояние между скрещивающимися прямыми» - Теорема. Подготовительные устные задачи. Найдите расстояние между прямой MN и плоскостью AA1D1D. Найдите расстояние между прямой B1K и плоскостью DD1C1C. OK=OO1?OM/O1M =a/3 (по теореме Пифагора O1M=3/2?2, OM=1/2?2). Диагональная плоскость AA1C1C перпендикулярна прямой BD. Новые положения точек B и N будут ближайшими друг к другу точками прямых AD и BM.

«Урок Скорость время расстояние» - Математическая разминка. Цель урока: научить учащихся решать задачи на движение. Расстояние. За какое время можно пройти 30 км с постоянной скоростью 5 км/ч? Взаимосвязь между скоростью, временем и расстоянием. Сколько человек шло в город? Самолет пролетает расстояние от города А до города В за 1 ч. 20 мин.

«Скорость время расстояние математика» - Сумму чисел 5 и 65 уменьшить в 2раза. Незнайка отправился на Луну. Путешествие по страницам сказочной книги. Физкультминутка. Один вышел в 8 часов, а другой – в 10 часов. Подведение итогов. Права ли Лора? -Лора задачу такую решила: «500 км. проедет машина За 10 часов. Время. Ключ с ответом «38» открывает книгу:

«Диалог прямая речь» - Чем отличается прямая речь от диалога? Например: Л. Н. Толстой сказал: «Все мы на свете друг другу нужны». Графика прямой речи. А: «п.». Задание 3. Заменить прямую речь диалогом. Например: «П?» - а. «П!» - а. Укажите правильные схемы к следующим предложениям. Графика диалога. Как на письме оформить прямую речь и диалог?

«Предложения с прямой речью» - Петроний, древнеримский писатель. Игра «Найди ошибку» (проверка). Авторские слова, вводящие прямую речь: Я пов..новался и пошёл в дом отца Герасима. Ко мне приехала в гости подруга из деревни. Предложения с прямой речью. Творческое задание. На письме прямая речь заключается в кавычки. Читайте!» - восклицал Константин Георгиевич Паустовский.

«Расстояние и масштаб» - Модель атома в высоком масштабе увеличения. На карте с масштабом расстояние равно 5 см. Если масштаб задан дробью с числителем 1, то. Модель пожарной машины в уменьшенном масштабе. Алгоритм нахождения расстояния на местности: По автотрассе протяженность маршрута 700 км. Закончите фразу: Расстояние между двумя городами равно 400 км.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым. Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью. Если две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между этими прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями.

Куб 1 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BC. Ответ: 1.

Куб 2 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и CD. Ответ: 1.

Куб 3 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и B 1 C 1. Ответ: 1.

Куб 4 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и C 1 D 1. Ответ: 1.

Куб 5 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BC 1. Ответ: 1.

Куб 6 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и B 1 C. Ответ: 1.

Куб 7 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и CD 1. Ответ: 1.

Куб 8 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и DC 1. Ответ: 1.

Куб 9 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и CC 1. Ответ:

Куб 10 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD. Решение. Пусть O – середина BD. Искомым расстоянием является длина отрезка AO. Она равна Ответ:

Куб 11 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и B 1 D 1. Ответ:

Куб 12 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1. Решение. Пусть P, Q – середины AA 1, BD 1. Искомым расстоянием является длина отрезка PQ. Она равна Ответ:

Куб 13 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AA 1 и BD 1. Ответ:

Куб 14 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние прямыми AB 1 и CD 1. Ответ: 1.

Куб 15 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BC 1. Решение. Искомое расстояние равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1. Диагональ A 1 C перпендикулярна этим плоскостям и делится в точках пересечения на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно Ответ:

Куб 16 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и A 1 C 1. Решение аналогично предыдущему. Ответ:

Куб 17 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BD. Решение аналогично предыдущему. Ответ:

Куб 18 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние прямыми AB 1 и BD 1. Решение. Диагональ BD 1 перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника ACB 1 и пересекает его в центре P вписанной в него окружности. Искомое расстояние равно радиусу OP этой окружности. OP = Ответ:

Пирамида 1 В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние между прямыми AD и BC. Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF, где E, F – середины ребер AD, GF. В треугольнике DAG DA = 1, AG = DG = Ответ: Следовательно, EF =

Пирамида 2 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и CD. Ответ: 1.

Пирамида 3 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и BD. Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SAO, где O – середина BD. В прямоугольном треугольнике SAO имеем: SA = 1, AO = SO = Ответ: Следовательно, OH =

Пирамида 4 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и BC. Решение. Плоскость SAD параллельна прямой BC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию между прямой BC и плоскостью SAD. Оно равно высоте EH треугольника SEF, где E, F – середины ребер BC, AD. В треугольнике SEF имеем: EF = 1, SE = SF = Высота SO равна Следовательно, EH = Ответ:

Пирамида 5 В правильной 6 -ой пирамиде SABCDEF, ребра основания которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и DE. Ответ:

Пирамида 6 В правильной 6 -ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BC. Решение: Продолжим ребра BC и AF до пересечения в точке G. Общим перпендикуляром к SA и BC будет высота AH треугольника ABG. Она равна Ответ:

Пирамида 7 В правильной 6 -ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BF. Решение: Искомым расстоянием является высота GH треугольника SAG, где G – точка пересечения BF и AD. В треугольнике SAG имеем: SA = 2, AG = 0, 5, высота SO равна Отсюда находим GH = Ответ:

Пирамида 8 В правильной 6 -ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и CE. Решение: Искомым расстоянием является высота GH треугольника SAG, где G – точка пересечения CE и AD. В треугольнике SAG имеем: SA = 2, AG = , высота SO равна Отсюда находим GH = Ответ:

Пирамида 9 В правильной 6 -ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BD. Решение: Прямая BD параллельна плоскости SAE. Искомое расстояние равно расстоянию между прямой BD и этой плоскостью и равно высоте PH треугольника SPQ. В этом треугольнике высота SO равна, PQ = 1, SP = SQ = Отсюда находим PH = Ответ:

Пирамида 10 В правильной 6 -ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BG, где G – середина ребра SC. Решение: Через точку G проведем прямую, параллельную SA. Обозначим Q точку ее пересечения с прямой AC. Искомое расстояние равно высоте QH прямоугольного треугольника ASQ, в котором AS = 2, AQ = , SQ = Отсюда находим QH = Ответ: .

Призма 1 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: BC и B 1 C 1. Ответ: 1.

Призма 2 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC. Ответ:

Призма 3 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1. Ответ:

Призма 4 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C 1. Ответ: 1.

Призма 5 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C. Решение: Искомое расстояние равно расстоянию между прямой AB и плоскостью A 1 B 1 C. Обозначим D и D 1 середины ребер AB и A 1 B 1. В прямоугольном треугольнике CDD 1 из вершины D проведем высоту DE. Она и будет искомым расстоянием. Имеем, DD 1 = 1, CD = Ответ: Следовательно, DE = , CD 1 = .

Призма 6 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BC 1. Решение: Достроим призму до 4 -х угольной призмы. Искомое расстояние будет равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1. Оно равно высоте OH прямоугольного треугольника AOO 1, в котором Ответ. Эта высота равна

Призма 7 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 B 1. Ответ: 1.

Призма 8 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и B 1 C 1. Ответ: 1.

Призма 9 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и C 1 D 1. Ответ: 1.

Призма 10 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и DE. Ответ: .

Призма 11 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и D 1 E 1. Ответ: 2.

Призма 12 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CC 1. Ответ: .

Призма 13 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и DD 1. Ответ: 2.

Призма 14 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1. Решение: Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G. Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром. Его длина равна. Ответ: .

Призма 15 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1. Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1. Его длина равна. Ответ: .

Призма 16 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1. Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1. Оно равно. Ответ: .

Призма 17 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1. Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC. Его длина равна. Ответ: .

Призма 18 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и DE 1. Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 E 1. Его длина равна. Ответ: .

Призма 19 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BD 1. Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок AB. Его длина равна 1. Ответ: 1.

Призма 20 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1. Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1. Оно равно. Ответ: .

Призма 21 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BE 1. Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью BEE 1. Оно равно. Ответ: .

Призма 22 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CF 1. Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CFF 1. Оно равно. Ответ: .

Призма 23 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB 1 и DE 1. Решение: Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ABB 1 и DEE 1. Расстояние между ними равно. Ответ: .

Призма 24 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB 1 и CF 1. Решение: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AB 1 и плоскостью CFF 1. Оно равно. Ответ:

Призма 25 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BC 1. Решение: Пусть O, O 1 –центры граней призмы. Плоскости AB 1 O 1 и BC 1 O параллельны. Плоскость ACC 1 A 1 перпендикулярна этим плоскостям. Искомое расстояние d равно расстоянию между прямыми AG 1 и GC 1. В параллелограмме AGC 1 G 1 имеем AG = Ответ: ; AG 1 = Высота, проведенная к стороне AA 1 равна 1. Следовательно, d= . .

Призма 26 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BD 1. Решение: Рассмотрим плоскость A 1 B 1 HG, перпендикулярную BD 1. Ортогональная проекция на эту плоскость переводит прямую BD 1 в точку H, а прямую AB 1 – в прямую GB 1. Следовательно искомое расстояние d равно расстоянию от точки H до прямой GB 1. В прямоугольном треугольнике GHB 1 имеем GH = 1; Ответ: B 1 H = . Следовательно, d = .

Призма 27 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BE 1. Решение: Рассмотрим плоскость A 1 BDE 1, перпендикулярную AB 1. Ортогональная проекция на эту плоскость переводит прямую AB 1 в точку G, а прямую BE 1 оставляет на месте. Следовательно искомое расстояние d равно расстоянию GH от точки G до прямой BE 1. В прямоугольном треугольнике A 1 BE 1 имеем A 1 B = ; A 1 E 1 =. Ответ: Следовательно, d = .

В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB 1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M , N и B 1: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений: