Теорема Виета часто используется для проверки уже найденных корней . Если вы нашли корни, то сможете с помощью формул \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вычислить значения \(p\) и \(q\). И если они получатся такими же как в исходном уравнении – значит корни найдены верно.
Например, пусть мы, используя , решили уравнение \(x^2+x-56=0\) и получили корни: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Проверим, не ошиблись ли мы в процессе решения. В нашем случае \(p=1\), а \(q=-56\). По теореме Виета имеем:
\(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}7+(-8)=-1\\7\cdot(-8)=-56\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1=-1\\-56=-56\end{cases}\)
Оба утверждения сошлись, значит, мы решили уравнение правильно.
Такую проверку можно проводить устно. Она займет 5 секунд и убережет вас от глупых ошибок.
Обратная теорема Виета
Если \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\), то \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\).
Или по-простому: если у вас есть уравнение вида \(x^2+px+q=0\), то решив систему \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вы найдете его корни.
Благодаря этой теореме можно быстро подобрать корни квадратного уравнения, особенно если эти корни – . Это умение важно, так как экономит много времени.
Пример . Решить уравнение \(x^2-5x+6=0\).
Решение
: Воспользовавшись обратной теоремой Виета, получаем, что корни удовлетворяют условиям: \(\begin{cases}x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end{cases}\).
Посмотрите на второе уравнение системы \(x_1 \cdot x_2=6\). На какие два можно разложить число \(6\)? На \(2\) и \(3\), \(6\) и \(1\) либо \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(-1\). А какую пару выбрать, подскажет первое уравнение системы: \(x_1+x_2=5\). Походят \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\).
Ответ
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Примеры
. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни квадратного уравнения:
а) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).
Решение
:
а) \(x^2-15x+14=0\) – на какие множители раскладывается \(14\)? \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\). Какие пары чисел в сумме дадут \(15\)? Ответ: \(1\) и \(14\).
б) \(x^2+3x-4=0\) – на какие множители раскладывается \(-4\)? \(-2\) и \(2\), \(4\) и \(-1\), \(1\) и \(-4\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-3\)? Ответ: \(1\) и \(-4\).
в) \(x^2+9x+20=0\) – на какие множители раскладывается \(20\)? \(4\) и \(5\), \(-4\) и \(-5\), \(2\) и \(10\), \(-2\) и \(-10\), \(-20\) и \(-1\), \(20\) и \(1\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-9\)? Ответ: \(-4\) и \(-5\).
г) \(x^2-88x+780=0\) – на какие множители раскладывается \(780\)? \(390\) и \(2\). Они в сумме дадут \(88\)? Нет. Еще какие множители есть у \(780\)? \(78\) и \(10\). Они в сумме дадут \(88\)? Да. Ответ: \(78\) и \(10\).
Необязательно последнее слагаемое раскладывать на все возможные множители (как в последнем примере). Можно сразу проверять дает ли их сумма \(-p\).
Важно! Теорема Виета и обратная теорема работают только с , то есть таким, у которого коэффициент перед \(x^2\) равен единице. Если же у нас изначально дано не приведенное уравнение, то мы можем сделать его приведенным, просто разделив на коэффициент, стоящий перед \(x^2\).
Например , пусть дано уравнение \(2x^2-4x-6=0\) и мы хотим воспользоваться одной из теорем Виета. Но не можем, так как коэффициент перед \(x^2\) равен \(2\). Избавимся от него, разделив все уравнение на \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Готово. Теперь можно пользоваться обеими теоремами.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Вопрос:
По теореме Виета можно решить любые ?
Ответ:
К сожалению, нет. Если в уравнении не целые или уравнение вообще не имеет корней, то теорема Виета не поможет. В этом случае надо пользоваться дискриминантом
. К счастью, 80% уравнений в школьном курсе математике имеют целые решения.
Функция, заданная формулой y = ax2 + bx + c , где x и y - переменные, а a, b, c - заданные числа, причем a не равно 0 ,
называется квадратичной функцией
Выделение полного квадрата.
Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа.
– дискриминант квадратного уравнения.
Прямая и обратная теоремы Виета.
Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.
Теорема. Пусть
x 1 и x 2 - корни квадратного трехчлена x 2 + px + q . Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом: x 2 + px + q = (x - x 1) (x - x 2).Доказательство. Подставим вместо
p и q их выражения через x 1 и x 2 и воспользуемся способом группировки:x 2 + px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Теорема доказана.
Квадратное уравнение. График квадратного трехчлена
Уравнение вида
называется квадратным уравнением. Число D = b 2 - 4ac — дискриминант
этого уравнения.
Если
то числа
являются корнями (или решениями) квадратного уравнения. Если D = 0, то корни совпадают:
Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Справедливы формулы:
— формулы Виета; а
ах 2 + bх + с = а(х - х 1)(х - х 2) —
формула разложения на множители.
Графиком квадратичной функции (квадратного трехчлена) у = ах 2 + bх + с является парабола. Расположение параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено на рис.
Числа х 1 и х 2 на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах 2 + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях
точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).
Подобно прямой и окружности парабола разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей координаты всех точек удовлетворяют неравенству у > ах 2 + bх + с, а в другой — противоположному. Знак неравенства в выбранной части плоскости определяем, найдя его в какой-либо точке этой части плоскости.
Рассмотрим понятие касательной к параболе (или окружности). Прямую у - kx + 1 назовем касательной к параболе (или окружности), если она имеет с этой кривой одну общую точку.
В точке касания М(х; у) для параболы выполняется равенство kx +1 = ах 2 + bх + с (для окружности — равенство (х - х 0) 2 + (kx + 1 - у 0) 2 - R 2). Приравнивая дискриминант полученного квадратного уравнения нулю (так как уравнение должно иметь единственное решение), приходим к условиям для вычисления коэффициентов касательной.
В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.
В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Формулировка и доказательство теоремы Виета
Формула корней квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 вида x 1 = - b + D 2 · a , x 2 = - b - D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c , устанавливает соотношения x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a . Это подтверждает и теорема Виета.
Теорема 1
В квадратном уравнении a · x 2 + b · x + c = 0 , где x 1 и x 2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a , которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a , т. е. x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .
Доказательство 1
Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны - b a и c a соответственно.
Составим сумму корней x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a . Приведем дроби к общему знаменателю - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Сократим дробь на: 2 - b a = - b a .
Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.
Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.
Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a .
Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: - b + D · - b - D 4 · a 2 .
Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 · a · c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b 2 − 4 · a · c:
b 2 - D 4 · a 2 = b 2 - (b 2 - 4 · a · c) 4 · a 2
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4 · a · c 4 · a 2 . Если сократить ее на 4 · a , то остается c a . Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.
Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:
x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a , x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
При дискриминанте квадратного уравнения равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D = 0 корень квадратного уравнения равен: - b 2 · a , тогда x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a и x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , а так как D = 0 , то есть, b 2 - 4 · a · c = 0 , откуда b 2 = 4 · a · c , то b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x 2 + p · x + q = 0 , где старший коэффициент a равен 1 . В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a , отличное от нуля.
Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.
Теорема 2
Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x 2 + p · x + q = 0 будет равна коэффициенту при x , который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q .
Теорема, обратная теореме Виета
Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x 1 и x 2 приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 будут справедливы соотношения x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q . Из этих соотношений x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q следует, что x 1 и x 2 – это корни квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 . Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.
Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.
Теорема 3
Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 + x 2 = − p и x 1 · x 2 = q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 .
Доказательство 2
Замена коэффициентов p и q на их выражение через x 1 и x 2 позволяет преобразовать уравнение x 2 + p · x + q = 0 в равносильное ему .
Если в полученное уравнение подставить число x 1 вместо x , то мы получим равенство x 1 2 − (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство при любых x 1 и x 2 превращается в верное числовое равенство 0 = 0 , так как x 1 2 − (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это значит, что x 1 – корень уравнения x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0 , и что x 1 также является корнем равносильного ему уравнения x 2 + p · x + q = 0 .
Подстановка в уравнение x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0 числа x 2 вместо x позволяет получить равенство x 2 2 − (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство можно считать верным, так как x 2 2 − (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 = x 2 2 − x 1 · x 2 − x 2 2 + x 1 · x 2 = 0 . Получается, что x 2 является корнем уравнения x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0 , а значит, и уравнения x 2 + p · x + q = 0 .
Теорема, обратная теореме Виета, доказана.
Примеры использования теоремы Виета
Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = a c .
Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.
Пример 1
Какая из пар чисел 1) x 1 = − 5 , x 2 = 3 , или 2) x 1 = 1 - 3 , x 2 = 3 + 3 , или 3) x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2 является парой корней квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 ?
Решение
Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 . Это a = 4 , b = − 16 , c = 9 . В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна - b a , то есть, 16 4 = 4 , а произведение корней должно быть равно c a , то есть, 9 4 .
Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.
В первом случае x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2 . Это значение отлично от 4 , следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.
Во втором случае x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4 . Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3 . Значение, которое мы получили, отлично от 9 4 . Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.
Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 и x 1 · x 2 = 2 + 7 2 · 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Выполняются оба условия, а это значит, что x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.
Ответ: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.
Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.
Пример 2
В качестве примера используем квадратное уравнение x 2 − 5 · x + 6 = 0 . Числа x 1 и x 2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x 1 + x 2 = 5 и x 1 · x 2 = 6 . Подберем такие числа. Это числа 2 и 3 , так как 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6 . Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.
Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .
Пример 3
Рассмотрим квадратное уравнение 512 · x 2 − 509 · x − 3 = 0 . Необходимо найти корни данного уравнения.
Решение
Первым корнем уравнения является 1 , так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x 1 = 1 .
Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение x 1 · x 2 = c a . Получается, что 1 · x 2 = − 3 512 , откуда x 2 = - 3 512 .
Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и - 3 512 .
Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.
Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x 1 и x 2 . Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.
Пример 4
Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа − 11 и 23 .
Решение
Примем, что x 1 = − 11 и x 2 = 23 . Сумма и произведение данных чисел будут равны: x 1 + x 2 = 12 и x 1 · x 2 = − 253 . Это значит, что второй коэффициент - 12 , свободный член − 253.
Составляем уравнение: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .
Ответ : x 2 − 12 · x − 253 = 0 .
Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 следующим образом:
- если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак « + » или « - » ;
- если квадратное уравнение имеет корни и если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет « + » , а второй « - » .
Оба этих утверждения являются следствием формулы x 1 · x 2 = q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.
Пример 5
Являются ли корни квадратного уравнения x 2 − 64 · x − 21 = 0 положительными?
Решение
По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x 1 · x 2 = − 21 . Это невозможно при положительных x 1 и x 2 .
Ответ: Нет
Пример 6
При каких значениях параметра r квадратное уравнение x 2 + (r + 2) · x + r − 1 = 0 будет иметь два действительных корня с разными знаками.
Решение
Начнем с того, что найдем значения каких r , при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D = (r + 2) 2 − 4 · 1 · (r − 1) = r 2 + 4 · r + 4 − 4 · r + 4 = r 2 + 8 . Значение выражения r 2 + 8 положительно при любых действительных r , следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r . Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r .
Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r , при которых свободный член r − 1 отрицателен. Решим линейное неравенство r − 1 < 0 , получаем r < 1 .
Ответ: при r < 1 .
Формулы Виета
Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.
Для алгебраического уравнения степени n
вида a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n = 0 считается, что уравнение имеет n
действительных корней x 1 , x 2 , … , x n
, среди которых могут быть совпадающие:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Определение 1
Получить формулы Виета нам помогают:
- теорема о разложении многочлена на линейные множители;
- определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.
Так, многочлен a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n и его разложение на линейные множители вида a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) равны.
Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n = 2 , мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x 1 + x 2 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 = a 2 a 0 .
Определение 2
Формула Виета для кубического уравнения:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + x 2 · x 3 = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 = - a 3 a 0
Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Суть данного приема состоит в том, чтобы находить корни без помощи дискриминанта. Для уравнения вида x2 + bx + c = 0, где имеется два действительных разных корня, верно два утверждения.Первое утверждение гласит, что сумма корней данного уравнения приравнивается значению коэффициента при переменной x (в данном случае это b), но с противоположным знаком. Наглядно это выглядит так: x1 + x2 = −b.
Второе утверждение уже связано не с суммой, а с произведением этих же двух корней. Приравнивается же это произведение к свободному коэффициенту, т.е. c. Или, x1 * x2 = c. Оба этих примера решаются в системе.
Теорема Виета значительно упрощает решение, но имеет одно ограничение. Квадратное уравнение, корни которого можно найти, используя этот прием, должно быть приведенным. В приведенном уравнении коэффициента a, тот, что стоит перед x2, равен единице. Любое уравнение можно привести к подобному виду, разделив выражение первый коэффициент, но не всегда данная операция рациональна.
Доказательство теоремы
Для начала следует вспомнить, как по традиции принято искать корни квадратного уравнения. Первый и второй корни находятся , а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Вообще делится на 2a, но, как уже говорилось, теорему можно применять только когда a=1.Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. Это значит, что x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
То же справедливо и для произведения неизвестных корней: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. В свою очередь D = b2-4c (опять же при a=1). Получается, что итог таков: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Из приведенного простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.
Вторая формулировка и доказательство
Теорема Виета имеет и другое толкование. Если говорить точнее, то не толкование, а формулировку. Дело в том, что если соблюдаются те же условия, что и в первом случае: имеется два различных действительных корня, то теорему можно записать другой формулой.Эта равенство выглядит следующим образом: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Если функция P(x) пересекается в двух точка x1 и x2, то ее можно записать в виде P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). В случае, когда P имеет вторую степень, а именно так и выглядит первоначальное выражение, то R является простым числом, а именно 1. Это утверждение верно по той причине, что в ином случае равенство выполняться не будет. Коэффициент x2 при раскрытии скобок не должен быть больше единицы, а выражение должно оставаться квадратным.
Одним из методов решений квадратного уравнения является применение формулы ВИЕТА , которую назвали в честь ФРАНСУА ВИЕТА.
Он был известным юристом, и служил в 16 веке у французского короля. В свободное время занимался астрономией и математикой. Он установил связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Достоинства формулы:
1 . Применив формулу, можно быстро найти решение. Потому что не нужно вводить в квадрат второй коэффициент, затем из него вычитать 4ас, находить дискриминант, подставлять его значение в формулу для нахождения корней.
2 . Без решения можно определить знаки корней, подобрать значения корней.
3 . Решив систему из двух записей, несложно найти сами корни. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна значению второго коэффициента со знаком минус. Произведение корней в приведенном квадратном уравнении равно значению третьего коэффициента.
4 . По данным корням записать квадратное уравнение, то есть решить обратную задачу. Например, этот способ применяют при решении задач в теоретической механике.
5 . Удобно применять формулу, когда старший коэффициент равен единице.
Недостатки:
1
. Формула не универсальна.
Теорема Виета 8 класс
Формула
Если x 1
и x 2
- корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0
, то:
Примеры
x 1 = -1; x 2 = 3 - корни уравнения x 2 - 2x - 3 = 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Обратная теорема
Формула
Если числа x 1 , x 2 , p, q
связаны условиями:
То x 1 и x 2 - корни уравнения x 2 + px + q = 0 .
Пример
Составим квадратное уравнение по его корням:
X 1 = 2 - ? 3 и x 2 = 2 + ? 3 .
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.
Искомое уравнение имеет вид: x 2 - 4x + 1 = 0.