Урок и презентация на тему: "Тригонометрическая функция числового аргумента, определение, тождества"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Определение числового аргумента.
2. Основные формулы.
3. Тригонометрические тождества.
4. Примеры и задачи для самостоятельного решения.
Определение тригонометрической функции числового аргумента
Ребята, мы знаем что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.Давайте посмотрим, можно ли через значения одних тригонометрических функций найти значения других тригонометрических функций?
Определим тригонометрическую функцию числового элемента, как: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Вспомним основные формулы:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Кстати, как называется эта формула?
$tg(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
$ctg(t)=\frac{cos(t)}{sin(t)}$, при $t≠πk$.
Давайте выведем новые формулы.
Тригонометрические тождества
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Ребята, давайте обе части тождества разделим на $cos^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Преобразуем: $(\frac{sin(t)}{cos(t)})^2+1=\frac{1}{cos^2(t)}.$
У нас получается тождество: $tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
Теперь разделим обе части тождества на $sin^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{sin^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{sin^2(t)}=\frac{1}{sin^2(t)}$.
Преобразуем: $1+(\frac{cos(t)}{sin(t)})^2=\frac{1}{sin^2(t)}.$
У нас получается новое тождество, которое стоит запомнить:
$ctg^2(t)+1=\frac{1}{sin^2(t)}$, при $t≠πk$.
Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их.
Эти формулы используются, если по какому-то известному значению тригонометрической функции требуется вычислить значение другой функции.
Решение примеров на тригонометрические функции числового аргумента
Пример 1.$cos(t) =\frac{5}{7}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех t.
Решение:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Тогда $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac{5}{7})^2=1-\frac{25}{49}=\frac{49-25}{49}=\frac{24}{49}$.
$sin(t)=±\frac{\sqrt{24}}{7}=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$.
$tg(t)=±\sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{25}-1}=±\sqrt{\frac{24}{25}}=±\frac{\sqrt{24}}{5}$.
$ctg(t)=±\sqrt{\frac{1}{sin^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{24}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{24}-1}=±\sqrt{\frac{25}{24}}=±\frac{5}{\sqrt{24}}$.
Пример 2.
$tg(t) = \frac{5}{12}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $0 Решение: Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Цели урока:
Тип урока:
тренировочный. Вид урока:
урок отработки навыков и умений. Форма обучения:
групповая. Тип групп
:
группа, сидящая вместе. Ученики разного уровня обученности, информированности по данному предмету, совместимые учащиеся, что позволяет им взаимно дополнять и обогащать друг друга. Оборудование:
доска; мел; таблица «Тригонометр»; маршрутные листы; карточки с буквами (А, В, С.) для выполнения теста; таблички с названиями экипажей; оценочные листы; таблицы с названиями этапов пути; магниты, мультимедийный комплекс. Ученики сидят по группам: 4 группы по 5-6 человек. Каждая группа – это экипаж машины с названиями, соответствующими названиям тригонометрических функций, во главе с рулевым. Каждому экипажу выдаётся маршрутный лист и определяется цель: пройти заданный маршрут успешно, без ошибок. Урок сопровождается презентацией. Учитель сообщает тему урока, цель урока, ход урока, план работы групп, роль рулевых. Вступительное слово учителя:
–
Ребята! Запишите число и тему урока:«Тригонометрические функции числового аргумента». Сегодня на уроке мы буде учиться: Для этого нужно знать: Известно давно, что одна голова хорошо, а две лучше, поэтому вы сегодня работаете в группах. Известно также, что дорогу осилит идущий. Но мы живём в век скоростей и время дорого, а значит можно сказать так: «Дорогу осилит едущий», поэтому сегодня урок у нас пройдёт в виде игры «Математическое ралли». Каждая группа – это экипаж машины, во главе с рулевым. Цель игры: Название экипажей соответствует марке машины, на которой вы совершаете пробег. Представляются экипажи и их рулевые: Девиз гонки: «Торопись медленно!» Вам предстоит совершить пробег по «математической местности» со множеством препятствий. Маршрутные листы каждому экипажу выданы. Преодолеть препятствия смогут экипажи, которые знают определения и тригонометрические формулы. Во время пробега каждый рулевой руководит экипажем, помогая, и оценивая вклад каждого члена экипажа в преодоление маршрута в виде «плюсов» и «минусов» в оценочном листе. За каждый правильный ответ группа получает «+», неправильный «-». Вам предстоит преодолеть следующие этапы пути: I этап. ПДД (правила дорожного движения). И так в путь! 1) В каждом экипаже рулевые раздают каждому члену экипажа билеты с теоретическими вопросами: 2) Соберите «рассыпавшиеся» формулы. На тайной доске таблица (см. ниже). Экипажи должны привести в соответствие формулы. Ответ каждая команда записывает на доске в виде строки соответствующих букв (парами). Ответ:
аб, вг, де, ёж, зи, йк. Устная работа: тест.
На тайной доске написано: задание: упростить выражение. Рядом записаны варианты ответов. Экипажи определяют правильные ответы за1 мин. и поднимают соответствующий набор букв. Ответ: С В А.
3 минуты экипажам на совещание по решению задания, а далее представители экипажей пишут решение на доске. Когда представители экипажей закончат записывать решение первого задания, все ученики (вместе с учителем) проверяют правильность и рациональность решений и записывают в тетрадь. Рулевые оценивают вклад каждого члена экипажа знаками « + » и « – » в оценочных листах. Задания из учебника: –
Ваш автомобиль сломался. Необходимо устранить неисправность вашего автомобиля. Для каждого экипажа приведены высказывания, но в них допущены ошибки. Найдите эти ошибки и объясните, почему они были допущены. В высказываниях используются тригонометрические функции, соответствующие маркам ваших машин. Вы устали и должны отдохнуть. Пока экипаж отдыхает рулевые подводят предварительные итоги: считают «плюсы» и «минусы» у членов экипажа и в целом у экипажа. Для учеников:
3 и более «+» – оценка «5»; Для экипажей:
«+» и «-» взаимно уничтожаются. Считаются только оставшиеся знаки. Отгадайте шараду
. Из чисел вы мой первый слог возьмите, Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» – треугольник и «метрео» – измеряю) означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием географии и астрономии – науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной. В результате произведённых астрономических наблюдений возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояний и углов. Так как некоторые расстояния, например, от Земли до других планет, нельзя было измерить непосредственно, то учёные стали разрабатывать приёмы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (т. е. нахождению элементов) треугольника. Этим и занимается тригонометрия. Зачатки тригонометрии были обнаружены в древнем Вавилоне. Вавилонские учёные умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются в старинных памятниках других народов древности. Чтобы успешно пересечь линию финиша осталось поднапрячься и совершить «рывок». Очень важно в тригонометрии уметь быстро определять значения sin t, cost, tgt, ctg t, где 0 ≤ t ≤ . Учебники закрыть. Экипажи поочерёдно называют значения функций sin t, cost, tgt, ctg t , если: Итоги игры.
Рулевые сдают оценочные листы. Определяется экипаж, ставший чемпионом «Математического ралли» и характеризуется работа остальных групп. Далее называются фамилии тех, кто получил оценки «5» и «4». Итоги урока.
– Ребята! Чему вы сегодня научились на уроке? (упрощать тригонометрические выражения; находить значения тригонометрических функций). А что для этого нужно знать? – Я думаю, что вы поняли, что формулы нужно хорошо знать, чтобы их правильно применять. Вы также поняли, что тригонометрия очень важная часть математики, так как она применяется в других науках: астрономии, географии, физике и др. Домашнее задание:
Тригонометрические функции числового аргумента.
Тригонометрические функции числового аргумента
t
– это функции вида y
= cos t, С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций. Пояснения
. 1) Возьмем формулу cos 2 t + sin 2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу. Для этого разделим обе части формулы на cos 2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk
). Итак: cos 2 t sin 2 t 1 Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg 2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу: 2) Теперь разделим cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (при t ≠ πk
): cos 2 t sin 2 t 1 Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит: sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1 Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества. Тригонометрические функции углового аргумента.
В функциях
у
=
cos
t
,
у
=
sin
t
,
у
=
tg
t
,
у
=
ctg
t
переменная
t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.
С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого
угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия: 2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x
. В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла. Пояснение
. Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x
, а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла: √3 1 А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.
Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла. Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами: Пример
: найти синус и косинус угла, равного 60º. Решение
: π · 60 π √3 π 1 Пояснение
: мы выяснили, что синус и косинус угла 60º соответствуют значениям точки окружности π/3. Далее просто находим в таблице значения этой точки – и таким образом решаем наш пример. Таблица синусов и косинусов основных точек числовой окружности – в предыдущем разделе и на странице «Таблицы». Определение. Тригонометрическими функциями числового аргумента называются одноименные тригонометрические функции угла, равного радианам. Поясним это определение на конкретных примерах. Пример 1. Вычислим значенйе . Здесь под мы понимаем отвлеченное иррациональное число. Согласно определению . Итак, . Пример 2. Вычислим значение . Здесь под 1,5 мы понимаем отвлеченное число. Согласно определению (см. приложение II). Пример 3. Вычислим значение Аналогично предыдущему получаем (см. приложение II). Итак, в дальнейшем под аргументом тригонометрических функций мы будем понимать угол (дугу) или просто число в зависимости от той задачи, которую решаем. А в ряде случаев аргументом может служить величина, имеющая и другую размерность, например время и т. д. Называя аргумент углом (дугой), мы можем подразумевать под ним число, с помощью которого он измерен в радианах. Основным тригонометрическим тождеством в русскоязычных учебниках математики называют соотношение sin 2 α + cos 2 α = 1 Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций. Какое бы действительное число t
ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin(t)
. Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем. Чтобы по числу t
найти значение sin(t)
, нужно: Фактически речь идет о функции s = sin(t)
, где t
- любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin(0) = 0
, \(sin \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2} \)
и т.д.), знаем некоторые ее свойства. Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях:
s = cos(t)
s = tg(t)
s = ctg(t)
Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t
. Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое. К примеру, самая главная формула, из всей тригонометрии - это основное тригонометрическое тождество
: \[ sin^{2} t + cos^{2} t = 1 \] Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом: \[ \boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \] \[ \boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \neq \pi k} \] Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс: \[ \boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac{\pi k}{2}} \] Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике. ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \(1+ \tan^2 \; t \), б) \(1+ \cot^2 \; t \) а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат: \[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] \[ 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем: \[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем:
\[ 1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t} \] б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким: \[ 1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t} \] Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев: \[ \boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \] \[ \boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \neq \pi k} \] Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!
$tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Тогда $\frac{1}{cos^2(t)}=1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$.
Получаем, что $cos^2(t)=\frac{144}{169}$.
Тогда $cos^2(t)=±\frac{12}{13}$, но $0
Получаем: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac{5}{12}*\frac{12}{13}=\frac{5}{13}$.
$ctg(t)=\frac{1}{tg(t)}=\frac{12}{5}$.Задачи для самостоятельного решения
1. $tg(t) = -\frac{3}{4}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $\frac{π}{2}
4. $cos(t) = \frac{12}{13}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех $t$.
Назад
Вперёд
Ход урока
I. Организационный момент.
II этап. Техосмотр.
III этап. Гонка по пересечённой местности.
IV этап. Внезапная остановка – авария.
V этап. Привал.
VI этап. Финиш.
VII этап. Итоги.I этап. ПДД (правила дорожного движения).
а
tg 2 t + 1
е
1
в
tg t
ж
cos t / sin t, t ≠ к, кZ.
д
sin 2 t + cos 2 t
и
1/ sin 2 t, t ≠ к, кZ.
ё
ctg t
к
1,t ≠ к / 2, кZ.
з
1 + ctg 2 t
г
sin t /cos t, t ≠ /2 + к, кZ.
й
tg t ∙ctg t
б
1/ cos 2 t, t ≠ /2 + к, кZ.
II этап. Техосмотр.
№
Выражение
Варианты ответов
А
В
С
1.
1 – cos 2 t
cos 2 t
- sin 2 t
sin 2 t
2.
sin 2 t – 1
cos 2 t
- cos 2 t
2 cos 2 t
3.
(cos t – 1)(1+ cos t)
-sin 2 t
(1+ cos t) 2
(cos t – 1) 2
III этап. Гонка по пересечённой местности.
IV этап.
Внезапная остановка – авария.
V этап. Привал.
2 «+» – оценка «4»;
1 «+» – оценка «3».
Второй – из слова «гордецы».
А третьим лошадей вы погоните,
Четвёртым будет блеянье овцы.
Мой пятый слог такой же, как и первый,
Последней буквой в алфавите является шестой,
А если отгадаешь ты всё верно,
То в математике раздел получишь ты такой.
(Три-го-но-ме-три-я)VI этап. Финиш.
VII этап. Итоги.
y
= sin t, y
= tg t, y
= ctg t.
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
--- + --- = ---, где t ≠ πk
+ πk
, k
– целое число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t
Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;
--; --
2 2
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2
cos 60º = cos -- = -
3 2Тригонометрические функции числового аргумента
Связь тригонометрических функций
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!