A trigonometrikus egyenletek megoldásának fő módszerei a következők: az egyenletek redukálása a legegyszerűbbre (a trigonometrikus képletek), új változók bevezetése, faktorizálás. Nézzük meg példákkal a felhasználásukat. Ügyeljen a trigonometrikus egyenletek megoldásainak formátumára.

Szükséges feltétel sikeres megoldás trigonometrikus egyenletek a trigonometrikus képletek ismerete (6. munka 13. témaköre).

Példák.

1. Egyenletek a legegyszerűbbre redukálva.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

2) Keresse meg az egyenlet gyökereit!

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, a szegmenshez tartozó.

Megoldás:

Válasz:

2. Másodfokúvá redukáló egyenletek.

1) Oldja meg a 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 egyenletet.

Megoldás: A sin 2 x = 1 – cos 2 x képlet segítségével kapjuk

Válasz:

2) Oldja meg a cos 2x = 1 + 4 cosx egyenletet!

Megoldás: A cos 2x = 2 cos 2 x – 1 képlet segítségével azt kapjuk, hogy

Válasz:

3) Döntse el tgx egyenlet– 2ctgx + 1 = 0

Megoldás:

Válasz:

3. Homogén egyenletek

1) Oldja meg a 2sinx – 3cosx = 0 egyenletet

Megoldás: Legyen cosx = 0, majd 2sinx = 0 és sinx = 0 – ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1. Ez azt jelenti, hogy cosx ≠ 0, és az egyenletet oszthatjuk cosx-szel. Kapunk

Válasz:

2) Oldja meg az 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x egyenletet

Megoldás:

Az 1 = sin 2 x + cos 2 x és sin 2x = 2 sinxcosx képleteket használjuk, így kapjuk

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Legyen cosx = 0, akkor sin 2 x = 0 és sinx = 0 – ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ez azt jelenti, hogy cosx ≠ 0, és az egyenletet eloszthatjuk cos 2 x-szel . Kapunk

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Jelöljük tgx = y-t
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

Válasz: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Formaegyenletek a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

5. Tényezősítéssel megoldott egyenletek.

1) Oldja meg a sin2x – sinx = 0 egyenletet.

Az egyenlet gyökere f (x) = φ ( x) csak a 0 számként szolgálhat. Ellenőrizzük ezt:

cos 0 = 0 + 1 – az egyenlőség igaz.

A 0 szám az egyetlen gyöke ennek az egyenletnek.

Válasz: 0.

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei Tartalom

• Változócsere módszere
• Faktorizációs módszer
• Homogén trigonometrikus egyenletek
• Trigonometrikus képletek használata:
• Összeadási képletek
• Redukciós képletek
• Kettős argumentumképletek

Változócsere módszere

A t = sinx vagy t = cosx helyettesítéssel, ahol t∈ [−1;1] az eredeti egyenlet megoldása másodfokú vagy más algebrai egyenlet megoldására redukálódik.

Lásd az 1–3. példákat

Néha univerzális trigonometrikus helyettesítést alkalmaznak: t = tg

1. példa 2. példa 3. példa Faktorizációs módszer

Ennek a módszernek az a lényege, hogy több tényező szorzata nullával egyenlő, ha legalább az egyik nulla, a többi pedig nem veszíti el jelentését:

f(x) g(x) h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 vagy g(x) = 0 vagy h(x) = 0

stb. feltéve, hogy mindegyik tényező fennáll

Lásd a 4–5. példákat

4. példa 5. példa Homogén trigonometrikus egyenletek Az a sin x + b cos x = 0 alakú egyenletet elsőfokú homogén trigonometrikus egyenletnek nevezzük.

a sin x + b cos x = 0

Megjegyzés.

A cos x-szel való osztás elfogadható, mivel a megoldások cos egyenletek x = 0 nem megoldásai az a sin x + b cos x = 0 egyenletnek.

a sin x b cos x 0

a tan x + b = 0

barna x = –

Homogén trigonometrikus egyenletek

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

Az a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 alakú egyenletet másodfokú homogén trigonometrikus egyenletnek nevezzük.

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

Megjegyzés. Ha be adott egyenlet a = 0 vagy c = 0, akkor az egyenletet a bővítési módszerrel oldjuk meg

szorzókkal.

6. példa

8. példa 9. példa 10. példa 11. példa 1. Összeadási képletek:

sin (x + y) = sinx hangulatos + cosx siny

cos (x + y) = cosx cozy − sinx siny

tgx + tgy

barna (x + y) =

1 − tgx tgy

sin (x − y) = sinx cozy + cosx siny

cos (x − y) = cosx cozy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x − y) =

1 + tgx tgy

сtgx сtgy − 1

сtg (x + y) =

сtгу + с tgх

сtgx сtgy + 1

сtg (x − y) =

сtгу − с tgх

12. példa 13. példa Trigonometrikus képletek használata 2. Csökkentési képletek:

Lószabály

A régi szép időkben élt egy szórakozott matematikus, aki amikor választ keresett, megváltoztatta vagy nem változtatta meg a függvény nevét ( sinus tovább koszinusz), ránézett az okos lovára, és a nő a fejével a koordinátatengely mentén biccentett, amelyhez az érvelés első tagjának megfelelő pont tartozik. π/ 2 + α vagy π + α .

Ha a ló a tengely mentén bólintott a fejével OU, akkor a matematikus úgy vélte, hogy a választ megkapták "igen, változás", ha a tengely mentén Ó, Azt "nem, ne változz".

Trigonometrikus képletek használata 3. Kettős argumentumképletek:

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos2x – sin2x

cos 2x = 2cos2x – 1

cos 2x = 1 – 2sin2x

1 – tg2x

ctg 2x =

ctg2x – 1

14. példa Trigonometrikus képletek használata 4. Képletek a fokozat csökkentésére:

5. Félszög képletek:

Trigonometrikus képletek használata 6. Összeg és különbség képletek: Trigonometrikus képletek használata 7. Termékképletek: Mnemonikai szabály „Trigonometria a tenyerében”

Nagyon gyakran fejből kell tudnia a jelentéseket kötözősaláta, bűn, tg, ctg 0°, 30°, 45°, 60°, 90° szögekhez.

De ha hirtelen feledésbe merül valamilyen jelentés, akkor használhatja a kézszabályt.

Szabály: Ha vonalakat húz a kisujjon és a hüvelykujjon keresztül,

akkor a „holddombnak” nevezett pontban metszik egymást.

90°-os szög alakul ki. A kisujj vonala 0°-os szöget zár be.

A „holddomb” sugarait a gyűrűs, a középső és a mutatóujjon keresztül levonva 30°-os, 45°-os, 60°-os szögeket kapunk.

Helyettesítés n: 0, 1, 2, 3, 4, megkapjuk az értékeket bűn, 0°, 30°, 45°, 60°, 90° szögekhez.

Mert kötözősaláta A visszaszámlálás fordított sorrendben történik.

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.

A trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésből áll: egyenlet transzformáció hogy a legegyszerűbb legyen típus (lásd fent) és megoldása kapott legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet. Hét van trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.

1. Algebrai módszer.

(változó helyettesítésének és helyettesítésének módja).

2. Faktorizáció.

1. példa Oldja meg az egyenletet: bűn x+cos x = 1 .

Megoldás Mozgassuk az egyenlet összes tagját balra:

Bűn x+cos x – 1 = 0 ,

Alakítsuk át és faktorizáljuk a kifejezést

Az egyenlet bal oldala:

2. példa Oldja meg az egyenletet: kötözősaláta 2 x+ bűn x kötözősaláta x = 1.

Megoldás: cos 2 x+ bűn x kötözősaláta x– bűn 2 x– cos 2 x = 0 ,

Bűn x kötözősaláta x– bűn 2 x = 0 ,

Bűn x· (cos x– bűn x ) = 0 ,

3. példa Oldja meg az egyenletet: cos 2 x-cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Megoldás: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 bűn 3 x bűn x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). bűn 3 x= 0, 3). bűn x = 0 ,

3. Csökkentése erre homogén egyenlet. Az egyenlet hívott homogén től tekintetében bűnÉs kötözősaláta , Ha az egészet viszonyítva azonos fokú feltételekkel bűnÉs kötözősaláta ugyanaz a szög. A homogén egyenlet megoldásához a következőkre lesz szüksége: A) mozgassa az összes tagját a bal oldalra; b) tegyen zárójelbe minden gyakori tényezőt; V) minden tényezőt és zárójelet nullával egyenlővé kell tenni; G) a nullával egyenlő zárójelek adják kisebb fokú homogén egyenlet, amelyet fel kell osztani kötözősaláta(vagy bűn) felsőfokon; d) oldja meg az eredményt algebrai egyenlet viszonylagCser . bűn 2 x+ 4 bűn x kötözősaláta x+ 5 cos 2 x = 2. Megoldás: 3sin 2 x+ 4 bűn x kötözősaláta x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Bűn 2 x+ 4 bűn x kötözősaláta x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 barnaság x + 3 = 0 , innen y 2 + 4y +3 = 0 , Ennek az egyenletnek a gyökerei a következők:y 1 = - 1, y 2 = - 3, tehát 1) barna x= –1, 2) cser x = –3,

4. Átmenet félszögre.

Nézzük meg ezt a módszert példaként:

PÉLDA Oldja meg az egyenletet: 3 bűn x– 5 költség x = 7.

Megoldás: 6 sin ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 bűn ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) – 3 barnaság ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Segédszög bevezetése.

Tekintsük az alak egyenletét:

a bűn x + b kötözősaláta x = c ,

Ahol a, b, c– együtthatók;x– ismeretlen.

Most az egyenlet együtthatói a szinusz és a koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, ugyanis: mindegyik modulusa (abszolút értéke). ebből legfeljebb 1, és négyzetük összege 1. Akkor jelölhetjük őket ennek megfelelően Hogyan cos and sin (itt - ún segédszög), Ésvegyük az egyenletünket