A legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket általában képletekkel oldják meg. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x a keresendő szög,
a tetszőleges szám.
És itt vannak a képletek, amelyekkel azonnal felírhatod ezeknek a legegyszerűbb egyenleteknek a megoldásait.
A szinuszhoz:
A koszinuszhoz:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Érintőhöz:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
A kotangenshez:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Valójában ez az, ami elméleti rész legegyszerűbb megoldások trigonometrikus egyenletek. Ráadásul mindent!) Egyáltalán semmit. Az ebben a témában előforduló hibák száma azonban egyszerűen lemaradt a listáról. Főleg, ha a példa kissé eltér a sablontól. Miért?
Igen, mert sokan leírják ezeket a leveleket, anélkül, hogy megértené a jelentésüket!Óvatosan írja le, nehogy valami történjen...) Ezt rendezni kell. Trigonometria az embereknek, vagy emberek a trigonometria számára!?)
Találjuk ki?
Egy szög egyenlő lesz arccos a, második: -arccos a.
És ez mindig így fog menni. Bármilyen A.
Ha nem hiszi, vigye az egeret a kép fölé, vagy érintse meg a képet a táblagépén.) Megváltoztattam a számot A valami negatívra. Mindenesetre megvan az egyik sarkunk arccos a, második: -arccos a.
Ezért a válasz mindig két gyöksorozatként írható fel:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Kössük össze ezt a két sorozatot egybe:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
És ennyi. Kaptunk egy általános képletet a legegyszerűbb koszinuszos trigonometrikus egyenlet megoldására.
Ha megérted, hogy ez nem valamiféle tudományfeletti bölcsesség, hanem csak két válaszsorozat rövidített változata, A „C” feladatokat is képes lesz kezelni. Egyenlőtlenségekkel, adott intervallumból való gyökválasztással... Ott a plusz/mínuszos válasz nem működik. De ha üzletszerűen kezeli a választ, és két külön válaszra bontja, akkor minden megoldódik.) Valójában ezért vizsgáljuk. Mit, hogyan és hol.
A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletben
sinx = a
két gyökérsort is kapunk. Mindig. És ezt a két sorozatot fel is lehet venni egy sorban. Csak ez a sor lesz trükkösebb:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
De a lényeg ugyanaz marad. A matematikusok egyszerűen olyan képletet készítettek, amely a gyöksorozatok két bejegyzése helyett egyet ad. Ez minden!
Ellenőrizzük a matematikusokat? És sosem lehet tudni...)
Az előző leckében egy szinuszos trigonometrikus egyenlet megoldását (képletek nélkül) részletesen tárgyaltuk:
A válasz két gyökérsorozatot eredményezett:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ha ugyanazt az egyenletet a képlet segítségével oldjuk meg, a választ kapjuk:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Valójában ez egy befejezetlen válasz.) A tanulónak tudnia kell azt arcsin 0,5 = π /6. A teljes válasz a következő lenne:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Ez egy érdekes kérdést vet fel. Válasz ezen keresztül x 1; x 2 (ez a helyes válasz!) és magányos x (és ez a helyes válasz!) - ugyanaz a dolog vagy sem? Most megtudjuk.)
A válaszban helyettesítjük ezzel x 1 értékeket n =0; 1; 2; stb., számolunk, akkor egy sor gyökérsorozatot kapunk:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 stb.
Ugyanazzal a helyettesítéssel válaszul x 2 , kapunk:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 stb.
Most cseréljük be az értékeket n (0; 1; 2; 3; 4...) az egyes általános képletébe x . Vagyis a mínusz egyest a nulla hatványra emeljük, majd az elsőre, a másodikra stb. Nos, természetesen behelyettesítjük a 0-t a második tagba; 1; 2 3; 4 stb. És számolunk. Megkapjuk a sorozatot:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 stb.
Ez minden, amit láthat.) Általános képlet ad nekünk pontosan ugyanazok az eredmények ahogy a két válasz külön-külön is. Mindent egyszerre, sorrendben. A matematikusokat nem tévesztették meg.)
A trigonometrikus egyenletek érintővel és kotangenssel történő megoldására szolgáló képletek is ellenőrizhetők. De nem fogjuk.) Már egyszerűek.
Ezt a teljes helyettesítést és ellenőrzést konkrétan kiírtam. Itt fontos megérteni egy dolgot egyszerű dolog: vannak képletek az elemi trigonometrikus egyenletek megoldására, csak a válaszok rövid összefoglalása. Ehhez a rövidséghez a koszinusz-oldatba plusz/mínusz, a szinusz-oldatba pedig (-1) n-t kellett beszúrnunk.
Ezek a betétek semmilyen módon nem zavarnak olyan feladatokat, ahol csak egy elemi egyenletre kell felírni a választ. De ha meg kell oldania egy egyenlőtlenséget, vagy tennie kell valamit a válasszal: válasszon gyököket egy intervallumon, ellenőrizze az ODZ-t stb., ezek a beillesztések könnyen elbizonytalaníthatják az embert.
Szóval mit tegyek? Igen, vagy írja le a választ két sorozatban, vagy oldja meg az egyenletet/egyenlőtlenséget a trigonometrikus kör segítségével. Aztán ezek a betétek eltűnnek, és az élet könnyebbé válik.)
Összegezhetjük.
A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldására kész válaszképletek állnak rendelkezésre. Négy darab. Arra jók, hogy azonnal leírják egy egyenlet megoldását. Például meg kell oldania a következő egyenleteket:
sinx = 0,3
Könnyen: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nincs mit: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Könnyen: x = arctán 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Egy maradt: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ha tudástól ragyogva, azonnal írd meg a választ:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
akkor már ragyogsz, ez... az... tócsából.) Helyes válasz: nincsenek megoldások. Nem értem miért? Olvassa el, mi az arc koszinusz. Ezenkívül, ha az eredeti egyenlet jobb oldalán szinusz, koszinusz, érintő, kotangens táblázatos értékei vannak, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 stb. - a válasz az íveken keresztül befejezetlen lesz. Az íveket radiánra kell konvertálni.
És ha egyenlőtlenséggel találkozol, pl
akkor a válasz:
x πn, n ∈ Z
ritka hülyeség van, igen...) Itt kell trigonometrikus kör döntsd el. Mit fogunk tenni a megfelelő témában.
Azoknak, akik hősiesen elolvassák ezeket a sorokat. Egyszerűen nem tudom nem értékelni a titáni erőfeszítéseiteket. Bónusz neked.)
Bónusz:
Amikor egy riasztó harci helyzetben formulákat írunk le, még a tapasztalt nebulók is gyakran összezavarodnak, hogy hol πn, És hol 2π n. Íme egy egyszerű trükk az Ön számára. Ban ben mindenki képletek érdemes πn. Kivéve az egyetlen képletet, amelynek ív koszinusza van. Ott áll 2πn. Kettő peen. Kulcsszó - kettő. Ugyanebben a képletben vannak kettő jele az elején. Plusz és mínusz. Itt-ott - kettő.
Szóval ha írtál kettő jel az ív koszinusz előtt, könnyebb megjegyezni, mi fog történni a végén kettő peen. És ez fordítva is megtörténik. Az illetőnek hiányozni fog a jel ± , a végére ér, helyesen ír kettő Pien, és magához tér. Van valami előtte kettő jel! Az ember visszatér az elejére és kijavítja a hibát! Mint ez.)
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
A trigonometrikus egyenletek nem könnyű téma. Túl sokfélék.) Például ezek:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = kiságy (2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Stb...
De ezeknek (és az összes többi) trigonometrikus szörnynek van két közös és kötelező jellemzője. Először is – el sem hiszed – trigonometrikus függvények vannak az egyenletekben.) Másodszor: minden x-szel rendelkező kifejezés megtalálható ugyanezen funkciókon belül.És csak ott! Ha X megjelenik valahol kívül, Például, sin2x + 3x = 3, ez már vegyes típusú egyenlet lesz. Az ilyen egyenletek egyéni megközelítést igényelnek. Ezeket itt nem fogjuk figyelembe venni.
Ebben a leckében sem fogunk gonosz egyenleteket megoldani.) Itt azzal fogunk foglalkozni a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Miért? Igen, mert a megoldás Bármi A trigonometrikus egyenletek két szakaszból állnak. Az első szakaszban a gonosz egyenletet egyszerűvé redukálják különféle transzformációk révén. A másodiknál ezt a legegyszerűbb egyenletet oldjuk meg. Nincs más mód.
Tehát, ha problémái vannak a második szakaszban, az első szakasznak nincs sok értelme.)
Hogyan néznek ki az elemi trigonometrikus egyenletek?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Itt A bármely számot jelöl. Bármi.
Egyébként egy függvényen belül lehet, hogy nem tiszta X, hanem valamilyen kifejezés, mint pl.
cos(3x+π /3) = 1/2
stb. Ez bonyolítja az életet, de nem befolyásolja a trigonometrikus egyenlet megoldásának módszerét.
Hogyan lehet trigonometrikus egyenleteket megoldani?
A trigonometrikus egyenletek kétféleképpen oldhatók meg. Az első módszer: a logika és a trigonometrikus kör használata. Itt megnézzük ezt az utat. A második módszerről - a memória és a képletek használatával - a következő leckében lesz szó.
Az első út világos, megbízható és nehezen felejthető.) Jó trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek és mindenféle trükkös nem szabványos példa megoldására. A logika erősebb, mint a memória!)
Egyenletek megoldása trigonometrikus kör segítségével.
Beleértjük az elemi logikát és a trigonometrikus kör használatának képességét. Nem tudod hogyan? Azonban... Nehéz dolgod lesz a trigonometriában...) De nem számít. Vessen egy pillantást a "Trigonometrikus kör...... Mi ez?" és "Szögek mérése trigonometrikus körön". Ott minden egyszerű. A tankönyvekkel ellentétben...)
Ó, tudod!? És még elsajátította a „Gyakorlati munkát a trigonometrikus körrel”!? Gratulálunk. Ez a téma közel áll és érthető lesz számodra.) Ami különösen kellemes, hogy a trigonometrikus körnek nem mindegy, milyen egyenletet oldasz meg. Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens – nála minden ugyanaz. Csak egy megoldási elv létezik.
Tehát bármilyen elemi trigonometrikus egyenletet felveszünk. Legalább ezt:
cosx = 0,5
Meg kell találnunk X-et. Emberi nyelven szólva kell keressük meg azt a szöget (x), amelynek koszinusza 0,5.
Hogyan használtuk korábban a kört? Rajzoltunk rá egy szöget. Fokban vagy radiánban. És azonnal fűrész ennek a szögnek a trigonometrikus függvényei. Most tegyük az ellenkezőjét. Rajzoljunk egy koszinuszot a körre, amely egyenlő 0,5-tel, és azonnal meglátjuk sarok. Már csak a választ kell leírni.) Igen, igen!
Rajzolj egy kört, és jelöld meg a koszinusz 0,5-tel. Természetesen a koszinusz tengelyen. Mint ez:
Most rajzoljuk meg azt a szöget, amelyet ez a koszinusz ad nekünk. Vigye az egeret a kép fölé (vagy érintse meg a képet táblagépén), és látni fogod pont ezt a sarkot X.
Melyik szög koszinusza 0,5?
x = π /3
kötözősaláta 60°= cos( π /3) = 0,5
Vannak, akik szkeptikusan röhögnek, igen... Például érdemes volt egy kört tenni, amikor már minden világos... Lehet persze röhögni...) De tény, hogy ez egy hibás válasz. Vagy inkább elégtelen. A kör ínyencei megértik, hogy van itt egy csomó más szög is, amelyek szintén 0,5-ös koszinuszot adnak.
Ha elfordítja a mozgó oldalt OA teljes fordulat, az A pont visszatér eredeti helyzetébe. Ugyanaz a koszinusz 0,5. Azok. a szög megváltozik 360°-kal vagy 2π radiánnal, és koszinusz - nem. Az új 60° + 360° = 420° szög egyenletünk megoldása is lesz, mert
Ilyen teljes forradalmakat lehet csinálni végtelen halmaz... És mindezek az új szögek a trigonometrikus egyenletünk megoldásai lesznek. És mindegyiket le kell írni valahogy válaszként. Minden. Egyébként a döntés nem számít, igen...)
A matematika ezt egyszerűen és elegánsan meg tudja csinálni. Írd le egy rövid válaszban végtelen halmaz döntéseket. Így néz ki az egyenletünkhöz:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
megfejtem. Még írj értelmesen Kellemesebb, mint bután rejtélyes betűket rajzolni, igaz?)
π /3 - ez ugyanaz a sarok, mint mi fűrész a körön és eltökélt a koszinusz táblázat szerint.
2π egy teljes forradalom radiánban.
n - ennyi a teljesek száma, i.e. egész fordulat Egyértelmű, hogy n egyenlő lehet 0, ±1, ±2, ±3.... és így tovább. Amint azt a rövid bejegyzés is jelzi:
n ∈ Z
n tartozik ( ∈ ) egész számok halmaza ( Z ). Egyébként a levél helyett n betűk jól használhatók k, m, t stb.
Ez a jelölés azt jelenti, hogy bármilyen egész számot vehet n . Legalább -3, legalább 0, legalább +55. Amit csak akarsz. Ha ezt a számot behelyettesíti a válaszba, akkor egy meghatározott szöget kap, amely minden bizonnyal megoldása lesz a kemény egyenletünkre.)
Vagy más szóval, x = π /3 a végtelen halmaz egyetlen gyöke. Az összes többi gyökér megszerzéséhez elegendő tetszőleges számú teljes fordulatot hozzáadni π /3-hoz ( n ) radiánban. Azok. 2πn radián.
Minden? Nem. Szándékosan meghosszabbítom az élvezetet. Hogy jobban emlékezzünk.) Az egyenletünkre adott válaszoknak csak egy részét kaptuk meg. A megoldás első részét így írom le:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nem csak egy gyökér, hanem egy egész sor gyökér, rövid formában leírva.
De vannak olyan szögek is, amelyek szintén 0,5-ös koszinust adnak!
Térjünk vissza a képünkhöz, amelyről felírtuk a választ. Itt is van:
Vigye az egeret a kép fölé, és látjuk egy másik szög az 0,5 koszinuszát is ad. Szerinted mivel egyenlő? A háromszögek ugyanazok... Igen! Ez egyenlő a szöggel x , csak negatív irányban késik. Ez itt a sarok -X. De már kiszámoltuk x-et. π /3 vagy 60°. Ezért nyugodtan írhatjuk:
x 2 = - π /3
Nos, természetesen hozzáadjuk a teljes fordulatszámon elért összes szöget:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Most ennyi.) A trigonometrikus körön mi fűrész(aki érti, persze)) Minden szögek, amelyek 0,5 koszinuszot adnak. És röviden leírta ezeket a szögeket matematikai forma. A válasz két végtelen gyökérsorozatot eredményezett:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ez a helyes válasz.
Remény, trigonometrikus egyenletek megoldásának általános elve kör használata egyértelmű. Jelöljük a körön a koszinuszát (szinusz, érintő, kotangens). adott egyenlet, rajzolja meg a megfelelő szögeket, és írja le a választ. Természetesen rá kell jönnünk, milyen sarkok vagyunk fűrész a körön. Néha ez nem olyan nyilvánvaló. Nos, mondtam, hogy itt logika kell.)
Nézzünk például egy másik trigonometrikus egyenletet:
Kérem, vegye figyelembe, hogy nem a 0,5 az egyetlen lehetséges szám az egyenletekben!) Egyszerűen kényelmesebb ezt leírnom, mint a gyököket és a törteket.
Az általános elv szerint dolgozunk. Rajzolunk egy kört, jelöljük meg (természetesen a szinuszos tengelyen!) 0,5. Az ennek a szinusznak megfelelő összes szöget egyszerre rajzoljuk meg. Ezt a képet kapjuk:
Először foglalkozzunk a szöggel x az első negyedévben. Felidézzük a szinusztáblázatot, és meghatározzuk ennek a szögnek az értékét. Ez egy egyszerű dolog:
x = π /6
Emlékszünk a teljes fordulatokra, és tiszta lelkiismerettel írjuk le a válaszok első sorozatát:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
A munka fele kész. De most meg kell határoznunk második sarok... Bonyolultabb, mint koszinuszokat használni, igen... De a logika megment minket! Hogyan határozzuk meg a második szöget x-en keresztül? Igen Könnyű! A képen látható háromszögek ugyanazok, és a piros sarok x szöggel egyenlő x . Csak azt számoljuk a π szögből negatív irányba. Ezért piros.) A válaszhoz pedig szükségünk van egy helyesen mért szögre a pozitív féltengely OX-ból, azaz. 0 fokos szögből.
Vigyük a kurzort a rajz fölé, és mindent látunk. Az első sarkot eltávolítottam, hogy ne bonyolítsam a képet. A minket érdeklő szög (zöld színnel rajzolva) egyenlő lesz:
π - x
X ezt tudjuk π /6 . Ezért a második szög a következő lesz:
π - π /6 = 5π /6
Ismét emlékezünk a teljes fordulatok hozzáadására, és írjuk le a válaszok második sorozatát:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ez minden. A teljes válasz két gyökérsorozatból áll:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Az érintő- és kotangens egyenletek könnyen megoldhatók a trigonometrikus egyenletek megoldásának ugyanazon általános elvével. Ha persze tudja, hogyan rajzoljon érintőt és kotangenst egy trigonometrikus körre.
A fenti példákban a szinusz és a koszinusz táblázatértékét használtam: 0,5. Azok. azon jelentések egyike, amelyeket a tanuló ismer kell. Most bővítsük ki képességeinket minden más érték. Dönts, hát dönts!)
Tehát tegyük fel, hogy meg kell oldanunk ezt a trigonometrikus egyenletet:
A rövid táblázatokban nincs ilyen koszinusz érték. Ezt hidegvérrel figyelmen kívül hagyjuk hátborzongató tény. Rajzolj egy kört, jelöld be a 2/3-ot a koszinusz tengelyen és rajzold meg a megfelelő szögeket. Ezt a képet kapjuk.
Nézzük először a szöget az első negyedévben. Ha tudnánk, hogy x mennyivel egyenlő, azonnal felírnánk a választ! Nem tudjuk... Kudarc!? Nyugodt! A matematika nem hagyja bajban a saját népét! Erre az esetre ív koszinuszokat talált ki. Nem tudom? Hiába. Tudja meg, ez sokkal könnyebb, mint gondolná. Ezen a linken egyetlen trükkös varázslat sincs az „inverz trigonometrikus függvényekről”... Ez ebben a témában felesleges.
Ha tisztában vagy vele, csak mondd magadnak: „X olyan szög, amelynek koszinusza 2/3.” És azonnal, pusztán az arc koszinusz definíciója alapján írhatjuk:
Emlékezzünk a további fordulatokra, és nyugodtan írjuk le trigonometrikus egyenletünk gyökeinek első sorozatát:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
A második szög gyökeinek második sorozata szinte automatikusan le van írva. Minden a régi, csak az X (arccos 2/3) lesz mínuszos:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
És ez az! Ez a helyes válasz. Még egyszerűbb, mint a táblázatos értékekkel. Nem kell semmire sem emlékezni.) Egyébként a legfigyelmesebbek észreveszik, hogy ez a kép az ív koszinuszon keresztül mutatja a megoldást lényegében nem különbözik a képen láthatótól cos egyenletek x = 0,5.
Pontosan! Általános elv Ezért általános! Szándékosan rajzoltam két majdnem egyforma képet. A kör a szöget mutatja x koszinuszával. Hogy ez egy táblázatos koszinusz-e vagy sem, mindenki számára ismeretlen. Hogy ez milyen szög, π /3, vagy mekkora az arc koszinusz - ezt mi döntjük el.
Ugyanaz a dal a szinuszossal. Például:
Rajzolj újra egy kört, jelöld meg a szinust 1/3-al, rajzold meg a szögeket. Ezt a képet kapjuk:
És megint csaknem ugyanaz a kép, mint az egyenletnél sinx = 0,5. Ismét a sarokból indulunk az első negyedben. Mire egyenlő X, ha a szinusza 1/3? Nincs mit!
Most elkészült az első csomag gyökér:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Foglalkozzunk a második szöggel. A 0,5-ös táblázatértékkel rendelkező példában ez egyenlő volt:
π - x
Itt is pontosan így lesz! Csak x különbözik, arcsin 1/3. És akkor mi van!? Nyugodtan leírhatja a második gyökércsomagot:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ez egy teljesen helyes válasz. Bár nem tűnik túl ismerősnek. De remélem egyértelmű.)
Így oldják meg a trigonometrikus egyenleteket egy kör segítségével. Ez az út világos és érthető. Ő ment trigonometrikus egyenletekben a gyökök kiválasztásával egy adott intervallumon, in trigonometrikus egyenlőtlenségek- ezeket általában szinte mindig körben oldják meg. Röviden, minden olyan feladatban, amely egy kicsit nehezebb, mint a szokásos.
Alkalmazzuk a tudást a gyakorlatban?)
Oldja meg a trigonometrikus egyenleteket:
Először is egyszerűbben, egyenesen ebből a leckéből.
Most már bonyolultabb a helyzet.
Tipp: itt a körre kell gondolnia. Személyesen.)
És most már külsőleg egyszerűek... Különleges eseteknek is nevezik őket.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Tipp: itt egy körben kell kitalálni, hogy hol van két válaszsorozat és hol egy... És hogyan írjunk egyet két válaszsorozat helyett. Igen, hogy végtelen számból egyetlen gyök se vesszen el!)
Nos, nagyon egyszerű):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Tipp: itt tudnod kell, mi az az arcszinusz és az arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens? A legtöbb egyszerű meghatározások. De nem kell emlékeznie a táblázat értékeire!)
A válaszok Természetesen káosz):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nem minden sikerül? Megtörténik. Olvasd el újra a leckét. Csak elgondolkodva(van ilyen elavult szó...) És kövesd a linkeket. A fő linkek a körről szólnak. Enélkül a trigonometria olyan, mintha bekötött szemmel kelnénk át az úton. Néha működik.)
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Lehet rendelni részletes megoldás a te feladatod!!!
A jel alatt ismeretlent tartalmazó egyenlőség trigonometrikus függvény(`sin x, cos x, tan x` vagy `ctg x`) trigonometrikus egyenletnek nevezzük, és a képleteiket vizsgáljuk tovább.
A legegyszerűbb egyenletek a `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ahol `x` a keresendő szög, `a` tetszőleges szám. Írjuk fel mindegyikhez a gyökképleteket.
1. `sin x=a` egyenlet.
Az `|a|>1` esetén nincs megoldás.
Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.
Gyökképlet: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. "cos x=a" egyenlet
Az `|a|>1` - mint a szinusz esetében - nincs megoldása valós számok között.
Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.
Gyökképlet: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Szinusz és koszinusz speciális esetei grafikonokban. 
3. "tg x=a" egyenlet
Végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.
Gyökérképlet: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. `ctg x=a` egyenlet
Ezenkívül végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.
Gyökérképlet: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
A táblázatban szereplő trigonometrikus egyenletek gyökereinek képletei
A szinuszhoz: 
A koszinuszhoz: 
Érintő és kotangens esetén: 
Képletek inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldására:
Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei
Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésből áll:
- a legegyszerűbbre való átalakítás segítségével;
- oldja meg a fent leírt gyökképletek és táblázatok segítségével kapott legegyszerűbb egyenletet.
Nézzük meg a fő megoldási módszereket példákon keresztül.
Algebrai módszer.
Ez a módszer magában foglalja egy változó lecserélését és egyenlőségbe való behelyettesítését.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,
cserélje ki: `cos(x+\frac \pi 6)=y, majd `2y^2-3y+1=0`,
megtaláljuk a gyökereket: `y_1=1, y_2=1/2`, amiből két eset következik:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Válasz: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizáció.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `sin x+cos x=1`.
Megoldás. Mozgassuk az egyenlőség összes tagját balra: `sin x+cos x-1=0`. Használatával a bal oldalt transzformáljuk és faktorizáljuk:
"sin x - 2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Válasz: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukálás homogén egyenletre
Először is le kell redukálnia ezt a trigonometrikus egyenletet a két alak egyikére:
`a sin x+b cos x=0` (elsőfokú homogén egyenlet) vagy `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (másodfokú homogén egyenlet).
Ezután ossza el mindkét részt `cos x \ne 0` -val - az első esetben, és "cos^2 x \ne 0" - a második esetben. Egyenleteket kapunk a `tg x`-re: `a tg x+b=0` és `a tg^2 x + b tg x +c =0`, amelyeket ismert módszerekkel kell megoldani.
Példa. Oldja meg az egyenletet: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Megoldás. Írjuk a jobb oldalt a következőképpen: `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ez egy homogén másodfokú trigonometrikus egyenlet, bal és jobb oldalát elosztjuk `cos^2 x \ne 0`-val, így kapjuk:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Vezessük be a `tg x=t` helyettesítést, ami `t^2 + t - 2=0`-t eredményez. Ennek az egyenletnek a gyöke: `t_1=-2` és `t_2=1`. Akkor:
- „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Válasz. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Áttérés félszögre
Példa. Oldja meg az egyenletet: "11 sin x - 2 cos x = 10".
Megoldás. Alkalmazzuk a képleteket kettős szög, ami a következőt eredményezi: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`
"4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0".
A fentiek alkalmazása algebrai módszer, kapunk:
- „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
- „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.
Válasz. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Segédszög bevezetése
Az „a sin x + b cos x =c” trigonometrikus egyenletben, ahol a,b,c együtthatók, x pedig egy változó, mindkét oldalt ossza el „sqrt (a^2+b^2)”-vel:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".
A bal oldali együtthatók szinusz és koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, vagyis négyzeteinek összege 1, moduljaik pedig nem nagyobbak 1-nél. Jelöljük őket a következőképpen: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, akkor:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Nézzük meg közelebbről a következő példát:
Példa. Oldja meg az egyenletet: `3 sin x+4 cos x=2`.
Megoldás. Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk `sqrt (3^2+4^2)-vel, így kapjuk:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".
"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".
Jelöljük `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Mivel a `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, akkor a `\varphi=arcsin 4/5`-t vesszük segédszögnek. Ezután az egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
A szinusz szögösszegének képletét alkalmazva egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:
"sin (x+\varphi)=2/5",
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Válasz. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Törtracionális trigonometrikus egyenletek
Ezek olyan tört egyenlőségek, amelyek számlálói és nevezői trigonometrikus függvényeket tartalmaznak.
Példa. Oldja meg az egyenletet. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.
Megoldás. Szorozd meg és oszd el az egyenlőség jobb oldalát "(1+cos x)"-vel. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0
"\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0".
Figyelembe véve, hogy a nevező nem lehet egyenlő nullával, a következőt kapjuk: `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Tegyük egyenlővé a tört számlálóját nullával: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Ezután `sin x=0` vagy `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Tekintettel arra, hogy ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, a megoldások: `x=2\pi n, n \in Z` és `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Válasz. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
A trigonometriát és különösen a trigonometrikus egyenleteket a geometria, a fizika és a mérnöki tudomány szinte minden területén használják. A tanulás a 10. osztályban kezdődik, az egységes államvizsgához mindig vannak feladatok, ezért próbálja meg emlékezni a trigonometrikus egyenletek összes képletére - ezek biztosan hasznosak lesznek az Ön számára!
Azonban még csak memorizálni sem kell őket, a lényeg az, hogy megértsük a lényeget és le tudjuk vezetni. Nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Győződjön meg Ön is a videó megtekintésével.
Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.
Információk közlése harmadik fél számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai jellegűeket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek az egyenletek
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Egyenlet cos(x) = a
Magyarázat és indoklás
- A cosx = a egyenlet gyökei. Mikor | a | > 1 az egyenletnek nincs gyöke, mivel | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 vagy a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Legyen | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Az intervallumon az y = cos x függvény 1-ről -1-re csökken. De egy csökkenő függvény minden értékét a definíciós tartományának csak egy pontján veszi fel, ezért a cos x = a egyenletnek csak egy gyöke van ezen az intervallumon, amely az arccosine definíciója szerint egyenlő: x 1 = arccos a (és ehhez a gyökhöz cos x = A).
koszinusz - páros funkció, ezért a [-n; 0] a cos x = egyenletnek, és szintén csak egy gyöke van - az x 1-gyel szemben álló szám, azaz
x 2 = -arccos a.
Így a [-n; p] (2p hossz) cos x = a egyenlet | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Az y = cos x függvény periodikus 2n periódussal, ezért az összes többi gyök eltér a 2n által talált gyököktől (n € Z). A következő képletet kapjuk a cos x = a mikor egyenlet gyökére
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- A cosx = a egyenlet megoldásának speciális esetei.
Hasznos megjegyezni a cos x = a mikor egyenlet gyökeinek speciális jelöléseit
a = 0, a = -1, a = 1, ami könnyen megszerezhető az egységkör referenciaként való felhasználásával.
Mivel a koszinusz egyenlő a megfelelő pont abszcisszájával egységkör, akkor és csak akkor kapjuk meg, hogy cos x = 0, ha az egységkör megfelelő pontja A vagy B pont.
Hasonlóképpen, cos x = 1 akkor és csak akkor, ha az egységkör megfelelő pontja C pont, ezért
x = 2πп, k € Z.
Cos x = -1 is akkor és csak akkor, ha az egységkör megfelelő pontja D pont, így x = n + 2n,
Sin(x) egyenlet = a
Magyarázat és indoklás
- Gyökerek sinx egyenletek= a. Mikor | a | > 1 az egyenletnek nincs gyöke, mivel | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 vagy a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
