Az algebra és geometria iskolai tantárgyból ismerjük a háromdimenziós tér fogalmát. Ha megnézzük, magát a „háromdimenziós tér” kifejezést háromdimenziós koordinátarendszerként határozzuk meg (ezt mindenki tudja). Valójában bármely háromdimenziós objektum leírható a klasszikus értelemben vett hosszúság, szélesség és magasság használatával. Ássunk azonban egy kicsit mélyebbre, ahogy mondani szokás.

Mi a háromdimenziós tér

Mint már világossá vált, a háromdimenziós tér és a benne létező objektumok megértését három alapfogalom határozza meg. Igaz, egy pont esetében ez pontosan három érték, egyenes, görbe, szaggatott vonalak vagy térfogati objektumok esetén több megfelelő koordináta is lehet.

Ebben az esetben minden az objektum típusától és a használt koordináta-rendszertől függ. Ma a legelterjedtebb (klasszikus) a derékszögű rendszer, amelyet néha négyszögletesnek is neveznek. Erről és néhány más fajtáról egy kicsit később lesz szó.

Többek között itt kell megkülönböztetni elvont fogalmak(úgymond formátlan), mint a pontok, egyenesek vagy síkok és ábrák, amelyeknek véges méretei vagy akár térfogata van. Mindegyik definícióhoz léteznek egyenletek is, amelyek leírják a lehetséges helyzetüket a háromdimenziós térben. De most nem erről van szó.

A pont fogalma a háromdimenziós térben

Először is határozzuk meg, mit jelent egy pont a háromdimenziós térben. Általánosságban egy bizonyos alapegységnek nevezhető, amely meghatároz bármely lakást ill háromdimenziós figura, egyenes, szakasz, vektor, sík stb.

Magát a pontot három fő koordináta jellemzi. Számukra a téglalap alakú rendszerben speciális vezetőket használnak, az úgynevezett X, Y és Z tengelyeket, ahol az első két tengely az objektum vízszintes helyzetének kifejezésére szolgál, a harmadik pedig a koordináták függőleges beállítására vonatkozik. Természetesen az objektum nulla koordinátákhoz viszonyított helyzetének kifejezésének kényelme érdekében pozitív ill negatív értékeket. Ma azonban más rendszereket is találhat.

A koordinátarendszerek típusai

Mint már említettük, a Descartes által létrehozott téglalap alakú koordinátarendszer ma a fő. Azonban egyes technikák egy objektum helyének háromdimenziós térben történő meghatározására más változatokat is használnak.

A leghíresebbek a hengeres és gömb alakú rendszerek. A különbség a klasszikustól az, hogy ha ugyanazt a három mennyiséget adjuk meg, amelyek meghatározzák egy pont helyét a háromdimenziós térben, az egyik érték szög. Más szavakkal, az ilyen rendszerek 360 fokos szögnek megfelelő kört használnak. Ezért a koordináták konkrét hozzárendelése, beleértve az olyan elemeket, mint a sugár, a szög és a generatrix. Az ilyen típusú háromdimenziós térben (rendszerben) lévő koordinátákra kissé eltérő törvények vonatkoznak. A hozzárendelésüket ebben az esetben a szabály szabályozza jobb kéz: Ha a hüvelykujját és a mutatóujját az X és Y tengelyhez igazítja, a fennmaradó, ívelt helyzetben lévő ujjak a Z tengely irányába mutatnak.

Egyenes vonal fogalma háromdimenziós térben

Most néhány szó arról, hogy mi az egyenes a háromdimenziós térben. Az egyenes alapkoncepciója alapján ez valamiféle végtelen vonal, amelyet egy-két ponton keresztül húznak, nem számítva a sorozatban található sok pontot, amely nem változtatja meg az egyenes rajtuk való közvetlen áthaladását.

Ha egy háromdimenziós tér két pontján keresztül húzott egyenest nézünk, akkor mindkét pont három koordinátáját kell figyelembe venni. Ugyanez vonatkozik a szegmensekre és a vektorokra is. Ez utóbbiak határozzák meg a háromdimenziós tér alapját és dimenzióját.

A háromdimenziós tér vektorainak és bázisainak meghatározása

Vegye figyelembe, hogy ez csak három vektor lehet, de tetszőleges számú vektorhármast definiálhat. A tér dimenzióját a lineárisan független vektorok száma határozza meg (esetünkben három). És a tér, amelyben van végső szám Az ilyen vektorokat véges dimenziósnak nevezzük.

Függő és független vektorok

A függő és független vektorok definícióját tekintve a lineárisan független vektorokat vetületeknek tekintjük (például az Y tengelyre vetített X tengelyes vektorokat).

Mint már világos, bármely negyedik vektor függő (az elmélet lineáris terek). De három független vektor a háromdimenziós térben nem lehet ugyanabban a síkban. Ezen túlmenően, ha háromdimenziós térben definiálunk független vektorokat, ezek nem lehetnek úgymond egyik folytatásai a másiknak. Amint az már világos, az általunk vizsgált három dimenzió esetében az általános elmélet szerint egy bizonyos koordináta-rendszerben (mindegy, hogy milyen típusú) lehet kizárólag lineárisan független vektorok tripletjeit megszerkeszteni.

Sík a háromdimenziós térben

Ha figyelembe vesszük a sík fogalmát, anélkül, hogy belemennénk matematikai definíciók, a kifejezés egyszerűbb megértése érdekében egy ilyen objektum kizárólag kétdimenziósnak tekinthető. Más szóval, ez olyan pontok végtelen gyűjteménye, amelyeknél az egyik koordináta állandó.

Például egy síkot tetszőleges számú, az X és Y tengely mentén eltérő koordinátájú, a Z tengely mentén azonos koordinátákkal rendelkező pont nevezhető, mindenesetre a háromdimenziós koordináták egyike változatlan marad. Ez azonban úgymond általános eset. Bizonyos helyzetekben a háromdimenziós teret minden tengely mentén egy sík metszi.

Háromnál több dimenzió létezik?

A kérdés, hogy hány dimenzió lehet, elég érdekes. Úgy tartják, hogy nem három dimenzióban élünk. klasszikus pont térnézet, de négy dimenzióban. Az ilyen tér a mindenki által ismert hosszúságon, szélességen és magasságon kívül egy tárgy létezésének idejét is magában foglalja, az idő és a tér pedig elég erősen összefügg egymással. Ezt Einstein is bebizonyította a relativitáselméletében, bár ez inkább a fizikára vonatkozik, mint az algebrára és a geometriára.

Egy másik érdekes tény, hogy ma a tudósok már bizonyították legalább tizenkét dimenzió létezését. Természetesen nem mindenki fogja tudni megérteni, hogy mi is ő, hiszen ez inkább egy bizonyos absztrakt területre vonatkozik, amely kívül esik az emberi világfelfogáson. Ennek ellenére a tény továbbra is fennáll. És nem hiába állítja sok antropológus és történész, hogy őseinknek lehetett néhány speciális fejlett érzékszerve, például a harmadik szem, amely segített a többdimenziós valóság érzékelésében, és nem kizárólag a háromdimenziós tér.

Egyébként ma már elég sok vélemény kering arról, hogy az extraszenzoros észlelés is a többdimenziós világ észlelésének egyik megnyilvánulása, és erre elég sok bizonyítékot lehet találni.

Vegyük észre, hogy a négydimenziós világunktól eltérő többdimenziós tereket sem mindig lehet modern alapegyenletekkel és tételekkel leírni. A tudomány pedig ezen a területen sokkal inkább az elméletek és feltételezések birodalmába tartozik, nem pedig ahhoz, amit az ember tisztán érezhet, vagy úgymond megtapinthat vagy láthatott saját szemével. Mindazonáltal a többdimenziós világok létezésének közvetett bizonyítékai, amelyekben négy vagy több dimenzió is létezhet, ma már senki sem kételkedik.

Következtetés

Általában nagyon röviden áttekintettük a háromdimenziós térrel kapcsolatos alapfogalmakat és alapvető definíciók. Természetesen számos speciális eset kapcsolódik a különböző koordináta-rendszerekhez. Emellett igyekeztünk nem a matematikai dzsungelbe menni, hogy csak az alapfogalmakat magyarázzuk el, hogy minden diák számára egyértelmű legyen a hozzájuk kapcsolódó kérdés (úgymond „ujjakon” magyarázat).

Mindazonáltal úgy tűnik, hogy még ilyen egyszerű értelmezésekből is levonható a következtetés az alapelemben szereplő összes komponens matematikai vonatkozásaira. iskolai tanfolyam algebra és geometria.

Hány dimenziója van annak a világnak, amelyben élünk?

Micsoda kérdés! Természetesen hárman mondják közönséges emberés igaza lesz. De létezik egy különleges emberfajta is, akiknek megvan az a képessége, hogy kételkedjenek a nyilvánvaló dolgokban. Ezeket az embereket "tudósoknak" nevezik, mert kifejezetten erre tanítják őket. Számukra nem ilyen egyszerű a kérdésünk: a térmérés megfoghatatlan dolog, nem lehet őket egyszerűen ujjal mutogatva megszámolni: egy, kettő, három. Számukat semmilyen eszközzel, például vonalzóval vagy ampermérővel nem lehet megmérni: a tér mérete 2,97 plusz-mínusz 0,04. Ezt a kérdést mélyebben át kell gondolnunk, és közvetett módszereket kell keresnünk. Az ilyen keresések eredményesnek bizonyultak: a modern fizika úgy véli, hogy a dimenziók száma való Világ szorosan összefügg az anyag legmélyebb tulajdonságaival. De ezekhez az elképzelésekhez vezető út a mindennapi tapasztalataink felülvizsgálatával kezdődött.

Általában azt mondják, hogy a világnak, mint minden testnek, három dimenziója van, amelyek három különböző iránynak felelnek meg, mondjuk: „magasság”, „szélesség” és „mélység”. Világosnak tűnik, hogy a rajzsíkon ábrázolt „mélység” „magasságra” és „szélességre” redukálódik, és bizonyos értelemben ezek kombinációja. Az is világos, hogy a valós háromdimenziós térben minden elképzelhető irány mintegy három előre kiválasztott irányra redukálódik. De mit jelent a „csökkentés”, „egy kombináció”? Hol lesz ez a „szélesség” és „mélység”, ha nem egy téglalap alakú szobában találjuk magunkat, hanem a súlytalanságban valahol a Vénusz és a Mars között? Végül ki tudja garantálni, hogy a „magasság”, mondjuk Moszkvában és New Yorkban, ugyanaz a „méret”?

Az a baj, hogy a megoldani kívánt problémára már tudjuk a választ, és ez nem mindig hasznos. Nos, ha valaki megtalálná magát egy olyan világban, amelynek dimenzióinak száma előre nem ismert, és egyenként megkereshetné őket, vagy legalábbis lemondhatna a valóságról meglévő tudásáról, hogy megnézze annak eredeti tulajdonságait teljesen új módon.

Macskaköves matematikai eszköz

1915-ben Henri Lebesgue francia matematikus kitalálta, hogyan határozható meg a tér méreteinek száma a magasság, szélesség és mélység fogalmainak használata nélkül. Az ötlet megértéséhez csak nézze meg alaposan a macskaköves járdát. Könnyedén megtalálhatja azokat a helyeket, ahol a kövek hármasban-négyesben összeérnek. Lekövezheti az utcát négyzet alakú csempével, amelyek kettesével vagy négyesével szomszédosak lesznek; Ha azonos háromszöglapokat veszel, akkor kettő vagy hat csoportban egymás mellett lesznek. De egyetlen mester sem tudja úgy lekövezni az utcát, hogy a macskakövek mindenhol csak kettesével csatlakozzanak egymáshoz. Ez annyira nyilvánvaló, hogy nevetséges mást sugallni.

A matematikusok éppen abban különböznek a normális emberektől, hogy észreveszik az ilyen abszurd feltételezések lehetőségét, és következtetéseket tudnak levonni belőlük. Esetünkben Lebesgue a következőképpen indokolta: a járda felülete természetesen kétdimenziós. Ugyanakkor elkerülhetetlenül vannak rajta olyan pontok, ahol legalább három macskakő összefolyik. Próbáljuk meg általánosítani ezt a megfigyelést: tegyük fel, hogy valamely régió dimenziója egyenlő N-nel, ha a csempézéskor nem lehet elkerülni az N + 1 ill. több"macskakövek". A tér háromdimenziósságát most minden kőműves megerősíti: elvégre egy vastag fal többrétegű kirakásakor biztosan lesznek olyan pontok, ahol legalább négy tégla összeér!

Első pillantásra azonban úgy tűnik, hogy – ahogy a matematikusok nevezik – „ellenpéldát” találhatunk Lebesgue dimenziódefiníciójára. Ez egy deszkapadló, amelyben a padlólapok egyszerre pontosan kettőt érintenek. Miért nem kövezni? Ezért Lebesgue azt is megkövetelte, hogy a méret meghatározásához használt „macskakövek” kicsik legyenek. Ez egy fontos ötlet, és a végén még visszatérünk rá - egy váratlan szemszögből. És most már világos, hogy a „macskakövek” kis méretének állapota megmenti Lebesgue definícióját: mondjuk a rövid parketta, ellentétben a hosszú padlólapokkal, bizonyos pontokon szükségszerűen hármasban érintkezik. Ez azt jelenti, hogy a tér három dimenziója nem csupán a három „különböző” irány tetszőleges megválasztásának képessége. A három dimenzió igazi korlátja a képességeinknek, amit könnyen érezhetünk, ha kicsit játszunk a kockákkal vagy téglákkal.

A tér dimenziója Stirlitz szemével

A tér háromdimenziósságához kapcsolódó másik korlátot jól érzi a börtöncellába zárt fogoly (például Stirlitz Müller pincéjében). Hogy néz ki ez a kamera az ő szemszögéből? Durva betonfalak, szorosan záródó acélajtó - egyszóval egy kétdimenziós felület repedések és lyukak nélkül, amely minden oldalról körülveszi a zárt teret, ahol ő található. Egy ilyen burok elől tényleg nincs hova menekülni. Be lehet zárni egy személyt egy egydimenziós áramkörbe? Képzeld el, ahogy Müller krétával kört rajzol a padlóra Stirlitz körül, és hazamegy: ez még csak nem is vicc.

Ezekből a megfontolásokból egy másik mód adódik a terünk dimenzióinak meghatározására. Fogalmazzuk meg így: csak egy (N-1) dimenziós „felülettel” lehet az N-dimenziós tér minden oldaláról bezárni. A kétdimenziós térben a „felület” egydimenziós kontúr lesz, az egydimenziós térben két nulla dimenziós pont lesz. Ezt a meghatározást 1913-ban Brouwer holland matematikus találta ki, de csak nyolc évvel később vált híressé, amikor Pavel Urysonunk és az osztrák Carl Menger egymástól függetlenül újra felfedezte.

Itt eltérnek útjaink Lebesgue-tól, Brouwertől és kollégáiktól. A dimenzió új definíciójára volt szükségük ahhoz, hogy absztraktot alkossanak matematikai elmélet tetszőleges méretű terek a végtelenségig. Ez egy tisztán matematikai konstrukció, az emberi elme játéka, amely elég erős ahhoz, hogy olyan furcsa tárgyakat is megértsen, mint a végtelen dimenziós tér. A matematikusok nem próbálják kideríteni, hogy valóban léteznek-e ilyen szerkezetű dolgok: nem ez a szakmájuk. Ellenkezőleg, a világ dimenzióinak száma iránt, amelyben élünk, fizikai érdeklődésünk van: azt akarjuk megtudni, hányan vannak valójában, és hogyan érezzük számukat „a saját bőrünkön”. Tüneményekre van szükségünk, nem tiszta eszmékre.

Jellemző, hogy az összes felhozott példa többé-kevésbé az építészetből származik. Az emberi tevékenységnek ez a területe kapcsolódik a legszorosabban az űrhöz, ahogyan nekünk a világban látszik hétköznapi élet. A fizikai világ dimenzióinak keresésében való továbblépéshez a valóság más szintjeihez való hozzáférésre lesz szükség. Ennek köszönhetően elérhetőek az emberek számára modern technológia, és ezért a fizika.

Mi köze ehhez a fénysebességnek?

Térjünk vissza röviden Stirlitzre, akit a cellában hagytak. Hogy kikerüljön abból a burokból, amely megbízhatóan elválasztotta őt a háromdimenziós világ többi részétől, a negyedik dimenziót használta, amely nem ijed meg a kétdimenziós akadályoktól. Ugyanis gondolkodott egy darabig, és talált magának megfelelő alibit. Más szóval, az új titokzatos dimenzió, amelyet Stirlitz kihasznált, az az idő.

Nehéz megmondani, ki volt az első, aki észrevette az idő és a tér dimenziói közötti hasonlatot. Két évszázaddal ezelőtt már tudtak erről. Joseph Lagrange, a klasszikus mechanika, a testek mozgásának tudományának egyik megalkotója a négydimenziós világ geometriájával hasonlította össze: összehasonlítása úgy hangzik, mint egy idézet modern könyvÁltal Általános elmélet relativitás.

Lagrange gondolatmenete azonban könnyen érthető. Az ő idejében már ismertek voltak a változók időtől való függésének grafikonjai, mint a mai kardiogramok vagy a havi hőmérséklet-ingadozások grafikonjai. Az ilyen grafikonokat kétdimenziós síkon rajzoljuk meg: az ordináta tengelye mentén a változó által megtett utat, az abszcissza tengely mentén az eltelt időt ábrázoljuk. Ebben az esetben az idő valóban csak „egy másik dolog” lesz. geometriai méret. Ugyanígy hozzáadhatja világunk háromdimenziós teréhez.

De vajon az idő valóban olyan, mint a térbeli dimenzió? A megrajzolt grafikonnal ellátott síkon két kiemelt „értelmes” irány van. Azoknak az irányoknak pedig, amelyek egyik tengellyel sem esnek egybe, nincs jelentésük, nem képviselnek semmit. Egy közönséges geometriai kétdimenziós síkon minden irány egyenlő, nincsenek kijelölt tengelyek.

Az idő csak akkor tekinthető igazán negyedik koordinátának, ha nem különbözik a négydimenziós „téridő” más irányaitól. Meg kell találnunk a módot a téridő „forgatására”, hogy az idő és a térdimenziók „keveredjenek”, és bizonyos értelemben átalakulhassanak egymásba.

Ezt a módszert Albert Einstein találta meg, aki megalkotta a relativitáselméletet, és Herman Minkowski, aki szigorúnak adta. matematikai forma. Kihasználták azt a tényt, hogy a természetben létezik egy univerzális fénysebesség.

Vegyünk két térpontot, mindegyiket a maga pillanatában, vagy két „eseményt” a relativitáselmélet zsargonjában. Ha megszorozzuk a köztük lévő másodpercekben mért időintervallumot a fénysebességgel, akkor egy bizonyos távolságot kapunk méterben. Feltételezzük, hogy ez a képzeletbeli szegmens „merőleges” az események közötti térbeli távolságra, és együtt valamilyen „lábat” alkotnak. derékszögű háromszög, melynek „hipoténusza” a kiválasztott eseményeket összekötő téridőszakasz. Minkowski azt javasolta: annak érdekében, hogy megtaláljuk ennek a háromszögnek a „hipoténusza” hosszának négyzetét, nem a „térbeli” láb hosszának négyzetét adjuk hozzá az „időbeli” láb hosszának négyzetéhez, hanem vonjuk le. Ez persze negatív eredményt is eredményezhet: ekkor a „hipoténusz” képzeletbeli hosszúságúnak számít! De mi értelme van?

A sík elforgatásakor a rárajzolt szakaszok hossza megmarad. Minkowski rájött, hogy figyelembe kell venni a téridő olyan „forgását”, amely megőrzi az események közötti szakaszok általa javasolt „hosszát”. Így biztosítható, hogy a fénysebesség univerzális az konstruált elméletben. Ha két eseményt fényjel köt össze, akkor a köztük lévő „Minkowski-távolság” nulla: a térbeli távolság egybeesik az időintervallum és a fénysebesség szorzatával. A Minkowski által javasolt „forgás” ezt a „távolságot” nullán tartja, függetlenül attól, hogy a „forgás” során mennyire keveredik a tér és az idő.

Nem csak ez az oka annak, hogy Minkowski „távolságának” van valósága fizikai jelentése, annak ellenére, hogy a rendkívül furcsa meghatározás egy felkészületlen ember számára. A Minkowski-féle „távolság” módot ad a téridő „geometriájának” felépítésére, hogy az események közötti térbeli és időbeli intervallumokat is egyenlővé lehessen tenni. Talán éppen ez a relativitáselmélet fő gondolata.

Tehát világunk idő és tere olyan szorosan összefügg egymással, hogy nehéz megérteni, hol ér véget az egyik és hol kezdődik a másik. Együtt olyan színpadot alkotnak, amelyen a „The History of the Universe” című darabot adják elő. Karakterek anyagrészecskék, atomok és molekulák, amelyekből galaxisok, ködök, csillagok, bolygók állnak össze, sőt egyes bolygókon élő intelligens szervezetek is (legalább egy ilyen bolygót ismernie kell az olvasónak).

Einstein elődei felfedezései alapján új fizikai világképet alkotott, amelyben a tér és az idő elválaszthatatlanok voltak egymástól, a valóság pedig valóban négydimenzióssá vált. És ebben a négydimenziós valóságban a tudomány által akkor ismert két „alapvető kölcsönhatás” közül az egyik „feloldódott”: a törvény. egyetemes gravitáció a négydimenziós világ geometriai szerkezetére redukálva. De Einstein nem tudott mit kezdeni a másik alapvető kölcsönhatással - az elektromágneses.

A téridő új dimenziókat kap

Az általános relativitáselmélet annyira szép és meggyőző, hogy közvetlenül azután, hogy ismertté vált, más tudósok is megpróbálták ugyanazt az utat követni. Einstein a gravitációt geometriára redukálta? Ez azt jelenti, hogy az ő követőinek marad az elektromágneses erők geometrizálása!

Mivel Einstein kimerítette a négydimenziós tér metrikájában rejlő lehetőségeket, követői elkezdték valahogyan kibővíteni a geometriai objektumok körét, amelyekből egy ilyen elméletet fel lehet építeni. Teljesen természetes, hogy növelni akarták a dimenziók számát.

De míg a teoretikusok az elektromágneses erők geometrizálásával foglalkoztak, két másikat fedeztek fel alapvető kölcsönhatások az úgynevezett erősek és gyengék. Most négy interakciót kellett kombinálni. Ugyanakkor rengeteg váratlan nehézség adódott, amelyek leküzdésére új ötletek születtek, amelyek egyre távolabb vitték a tudósokat a múlt század vizuális fizikájától. Elkezdték fontolóra venni a több tíz, sőt több száz dimenziójú világok modelljeit, és jól jött a végtelen dimenziós tér is. Ahhoz, hogy ezekről a keresésekről beszéljünk, egy egész könyvet kell írni. Egy másik kérdés is fontos számunkra: hol találhatók ezek az új dimenziók? Lehetséges-e úgy érezni őket, ahogyan az időt és a háromdimenziós teret?

Képzeljen el egy hosszú és nagyon vékony csövet – például egy üres tűzoltótömlőt, amelynek mérete ezerszeresére csökkent. Ez egy kétdimenziós felület, de két dimenziója nem egyenlő. Az egyik, a hosszúság, könnyen észrevehető - ez egy „makroszkópikus” méret. A kerület, a „keresztirányú” dimenzió csak mikroszkóp alatt látható. A világ modern többdimenziós modelljei hasonlóak ehhez a csőhöz, bár nem egy, hanem négy makroszkopikus dimenziójuk van - három térbeli és egy időbeli. Ezekben a modellekben a fennmaradó méretek még elektronmikroszkóp alatt sem láthatók. Megnyilvánulásaik kimutatására a fizikusok gyorsítókat használnak - nagyon drága, de durva "mikroszkópokat" a szubatomi világ számára.

Míg egyes tudósok tökéletesítették ezt a lenyűgöző képet, ragyogóan leküzdve egyik akadályt a másik után, másoknak trükkös kérdésük volt:

Lehet-e töredékes a méret?

Miért ne? Ehhez csak „egyszerűen” meg kell találnia a dimenzió egy új tulajdonságát, amely összekapcsolhatja azt nem egész számokkal, és olyan geometriai objektumokat, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal, és tört mérettel rendelkeznek. Ha meg akarjuk találni pl. geometriai alakzat, amelynek másfél dimenziója van, akkor két módunk van. Megpróbálhat kivonni egy fél dimenziót egy kétdimenziós felületből, vagy hozzáadhat egy fél dimenziót egy egydimenziós vonalhoz. Ehhez először gyakoroljuk egy teljes dimenzió összeadását vagy kivonását.

Van egy ilyen híres gyerektrükk. A bűvész fog egy háromszög alakú papírt, ollóval bevágja a lapot, a vágási vonal mentén félbehajlítja a lapot, újabb vágást végez, újra meghajlítja, vágja utoljára, és fel! Kezében nyolc háromszögből álló füzér van, amelyek mindegyike teljesen hasonló az eredetihez, de nyolcszor kisebb területű (és nyolcszoros négyzetgyöke). Talán 1890-ben mutatta be ezt a trükköt Giuseppe Peano olasz matematikus (vagy talán ő maga szerette bemutatni), mindenesetre ekkor vette észre. Vegyünk tökéletes papírt, tökéletes ollót, és ismételjük meg a vágás és hajtogatás sorozatát végtelen számú alkalommal. Ekkor a folyamat egyes lépéseiben kapott egyedi háromszögek mérete nulla lesz, és maguk a háromszögek pontokká zsugorodnak. Ezért egy kétdimenziós háromszögből egydimenziós vonalat kapunk, anélkül, hogy egyetlen papírdarabot is elveszítenénk! Ha ezt a zsinórt nem füzérré nyújtod, hanem olyan „gyűrött” hagyod, mint a vágáskor, akkor teljesen kitölti a háromszöget. Sőt, bármilyen erős mikroszkóp alatt vizsgáljuk is ezt a háromszöget, akárhányszor felnagyítva a töredékeit, a kapott kép pontosan ugyanúgy fog kinézni, mint a nagyítás nélküli: tudományos szempontból a Peano-görbe minden nagyítási skálán ugyanazt a szerkezetet tartalmazza, vagy skálázott” invariáns.”

Tehát, miután számtalanszor meghajlott, az egydimenziós görbe mintegy második dimenziót kaphat. Ez azt jelenti, hogy van remény arra, hogy a kevésbé „gyűrött” görbe mondjuk másfél „dimenziós” lesz. De hogyan találhatunk módot a tört méretek mérésére?

A „macskaköves” méretmeghatározásnál, amint az olvasó emlékszik, meglehetősen kicsi „macskakövek” használatára volt szükség, különben hibás lehet az eredmény. De sok apró „macskakőre” lesz szüksége: minél kisebb a méretük, annál több. Kiderült, hogy a méret meghatározásához nem szükséges azt vizsgálni, hogy a „macskakövek” hogyan szomszédosak egymással, hanem elég csak megtudni, hogyan növekszik a számuk a méret csökkenésével.

Vegyünk egy 1 deciméter hosszú egyenes szakaszt és két Peano-görbét, amelyek együtt kitöltenek egy deciméterenként mérő négyzetet. Kis négyzet alakú „macskakövekkel” fedjük le, amelyek oldalhossza 1 centiméter, 1 milliméter, 0,1 milliméter és így tovább, mikronig. Ha egy „macskakő” méretét deciméterben fejezzük ki, akkor egy szegmenshez mínusz egy hatványával egyenlő számú „macskakőre”, Peano-görbére pedig mínusz kettő hatványára van szükség. Ráadásul a szegmensnek határozottan egy dimenziója van, a Peano-görbének pedig, mint láttuk, kettő. Ez nem csak véletlen egybeesés. A „macskakövek” számát a méretükkel összekötő relációban a kitevő valóban egyenlő (mínusz előjellel) a velük borított ábra méretével. Különösen fontos, hogy a kitevő lehet törtszám. Például egy olyan görbe esetében, amely egy közönséges vonal között közepes, és néha sűrűn kitölti a Peano-görbék négyzetét, a mutató értéke 1-nél nagyobb és 2-nél kisebb. Ez megnyitja az utat, tört méretek meghatározása.

Így határozták meg például Norvégia partvonalának méretét, amely ország partvonala nagyon zord (vagy „gyűrött”, ahogy tetszik). Norvégia partjainak macskakövekkel való burkolása természetesen nem a földön, hanem egy térképen történt. földrajzi atlasz. Az eredmény (nem teljesen pontos, mert a gyakorlatban lehetetlen elérni a végtelenül kicsi „macskaköveket”) 1,52 plusz-mínusz századrész volt. Nyilvánvaló, hogy a dimenzió nem lehet kevesebb egynél, hiszen még mindig egy „egydimenziós” vonalról beszélünk, és kettőnél több, mivel tengerpart Norvégia a földgömb kétdimenziós felületére „rajzolt”.

Az ember, mint minden dolog mértéke

A törtdimenziók nagyszerűek, mondhatja itt az olvasó, de mi közük van ahhoz a kérdéshez, hogy hány dimenzióban élünk a világban? Megtörténhet, hogy a világ dimenziója töredékes, és nem pontosan egyenlő hárommal?

A Peano-görbe és a norvég tengerpart példái azt mutatják, hogy tört dimenziót kapunk, ha a görbe vonal erősen „gyűrött”, végtelenül kicsi ráncokba ágyazott. A törtdimenzió meghatározásának folyamata magában foglalja a végtelenül csökkenő „macskakövek” használatát is, amelyekkel lefedjük a vizsgált görbét. Ezért a töredimenzió tudományosan csak „kellően kis léptékben” tud megnyilvánulni, vagyis a „macskakövek” számát a méretükhöz kötő arányban a kitevő csak a határban érheti el töredékértékét. Ellenkezőleg, egyetlen hatalmas macskakő lefedhet egy fraktál egy olyan tárgyat, amelynek töredékes dimenziója véges dimenziókkal nem különböztethető meg egy ponttól.

Számunkra a világ, amelyben élünk, mindenekelőtt az a lépték, amelyen a mindennapi valóságban elérhető. A technika elképesztő vívmányai ellenére jellemző méreteit továbbra is látásunk élessége és sétáink távolsága, a jellemző időtartamokat reakciónk sebessége és emlékezetünk mélysége, a jellemző energiamennyiségeket a azon kölcsönhatások erőssége, amelyekbe testünk a környező dolgokkal lép. Itt nem sokkal múltuk felül a régieket, és érdemes-e erre törekedni? A természeti és technológiai katasztrófák valamelyest kiterjesztik „mi” valóságunk skáláját, de nem teszik kozmikussá. A mikrovilág még hozzáférhetetlenebb nálunk Mindennapi élet. A számunkra megnyíló világ háromdimenziós, „sima” és „lapos”, ezt tökéletesen leírja az ókori görögök geometriája; a tudomány vívmányainak végső soron nem annyira a terjeszkedést, mint inkább a határok védelmét kell szolgálniuk.

Mi tehát a válasz azoknak, akik a megnyitóra várnak? rejtett méretek a mi világunk? Sajnos az egyetlen rendelkezésünkre álló dimenzió, amellyel a világ három térbeli dimenzión túl van, az az idő. Kevés vagy sok, régi vagy új, csodálatos vagy hétköznapi? Az idő egyszerűen a szabadság negyedik foka, és sokféleképpen felhasználható. Emlékezzünk vissza még egyszer ugyanarra a Stirlitzre, mellesleg fizikusra: minden pillanatnak megvan a maga oka.

Andrej Szobolevszkij

Amelyben arra kérjük tudósainkat, hogy válaszoljanak az első pillantásra egészen egyszerű, de vitatott olvasói kérdésekre. Az Ön számára a PostNauka szakértőinek legérdekesebb válaszait válogattuk össze.

Mindenki ismeri a 3D rövidítést, ami „háromdimenziós” (a D betű a dimenzió szóból származik). Például, amikor moziban választunk egy 3D-s jelzésű filmet, biztosan tudjuk: a nézéséhez speciális szemüveget kell viselnünk, de a kép nem lapos, hanem térbeli lesz. Mi az a 4D? Létezik-e a „négydimenziós tér” a valóságban? És be lehet lépni a „negyedik dimenzióba”?

A kérdések megválaszolásához kezdjük a legegyszerűbb geometriai objektummal - egy ponttal. A pont nulla dimenziós. Nincs se hossza, se szélessége, se magassága.

// 8 cellás egyszerű

Most mozgassuk a pontot egy egyenes mentén bizonyos távolságra. Tegyük fel, hogy a mi pontunk egy ceruza hegye; amikor áthelyeztük, vonalat húzott. A szegmensnek van hossza, és nincs más mérete: egydimenziós. A szakasz egy egyenesen „él”; az egyenes egydimenziós tér.

Most vegyünk egy szakaszt, és próbáljuk meg úgy mozgatni, ahogy korábban mozgattuk egy pontot. Elképzelheti, hogy a mi szegmensünk egy széles és nagyon vékony ecset alapja. Ha túllépünk az egyenesen és merőleges irányban haladunk, akkor téglalapot kapunk. A téglalapnak két mérete van - szélessége és magassága. Egy téglalap egy bizonyos síkban fekszik. A sík egy kétdimenziós tér (2D), amelyen bevezethet egy kétdimenziós koordinátarendszert - minden pont egy számpárnak felel meg. (Például a derékszögű koordinátarendszer táblán vagy a szélesség és hosszúság földrajzi térképen.)

Ha egy téglalapot a síkra merőleges irányba mozgat, akkor egy „téglát” (téglalap alakú paralelepipedont) kap - egy háromdimenziós objektumot, amelynek hossza, szélessége és magassága van; háromdimenziós térben található, ugyanabban, amelyben te és én élünk. Ezért van egy jó elképzelésünk arról, hogyan néznek ki a háromdimenziós tárgyak. De ha kétdimenziós térben élnénk - egy síkon -, akkor nagyon meg kellene erőltetni a fantáziánkat, hogy elképzeljük, hogyan tudnánk elmozdítani a téglalapot úgy, hogy az kijöjjön abból a síkból, amelyben élünk.

A négydimenziós teret is elég nehéz elképzelnünk, bár matematikailag nagyon könnyű leírni. A háromdimenziós tér olyan tér, amelyben egy pont helyzetét három szám adja meg (például egy repülőgép helyzetét a hosszúság, a szélesség és a tengerszint feletti magasság adja meg). A négydimenziós térben egy pont négy koordinátaszámnak felel meg. Egy „négydimenziós téglát” úgy kapunk, hogy egy közönséges téglát olyan irányba tolunk el, amely nem esik a mi háromdimenziós terünkben; négy dimenziója van.

Valójában minden nap találkozunk a négydimenziós térrel: például egy időpont megbeszélésekor nemcsak a találkozási helyet (három számmal megadható), hanem az időpontot is feltüntetjük (egy számmal megadható). például egy bizonyos dátum óta eltelt másodpercek száma). Ha egy igazi téglát nézel, annak nemcsak hossza, szélessége és magassága van, hanem időbeli meghosszabbítása is - a teremtéstől a pusztulásig.

Egy fizikus azt mondja, hogy nemcsak térben élünk, hanem téridőben is; a matematikus hozzáteszi, hogy négydimenziós. Tehát a negyedik dimenzió közelebb van, mint amilyennek látszik.

Háromdimenziós tér - három homogén dimenzióval rendelkezik: magasság, szélesség és hosszúság. Ez anyagi világunk geometriai modellje.

A fizikai tér természetének megértéséhez először meg kell válaszolnunk a dimenziójának eredetére vonatkozó kérdést. Ezért, mint látható, a dimenzió értéke a fizikai tér legjelentősebb jellemzője.

A tér mérete

A dimenzió a téridő legáltalánosabb számszerűsíthető tulajdonsága. Jelenleg fizikai elmélet, amely a valóság tér-időbeli leírásának vallja magát, a dimenzió értékét veszi kezdeti posztulátumnak. A dimenziók számának vagy a térdimenziónak a fogalma a matematika és a fizika egyik legalapvetőbb fogalma.

A modern fizika közel került ahhoz a metafizikai kérdéshez, amelyet Ernst Mach osztrák fizikus és filozófus műveiben feltett: „Miért háromdimenziós a tér?” Úgy gondolják, hogy a tér háromdimenziósságának ténye összefügg alapvető tulajdonságait anyagi világ.

A folyamat egy pontból történő fejlesztése teret generál, i.e. az a hely, ahol a fejlesztési program megvalósításának meg kell történnie. „A létrehozott tér „számunkra az Univerzum formája, vagy az anyag formája az Univerzumban”.

Ezt gondolták az ókorban...

Még Ptolemaiosz is írt a tér dimenziójáról, ahol azt állította, hogy háromnál több térdimenzió nem létezhet a természetben. „A mennyországról” című könyvében egy másik görög gondolkodó, Arisztotelész azt írta, hogy csak a három dimenzió jelenléte biztosítja a világ tökéletességét és teljességét. Az egyik dimenzió, érvelt Arisztotelész, egy vonalat alkot. Ha újabb dimenziót adunk a vonalhoz, akkor felületet kapunk. Egy újabb dimenzió hozzáadása a felülethez térfogati testet képez.

Kiderül, hogy „a térfogattest határain túl már nem lehet másra lépni, hiszen bármilyen változás valamilyen hiányosság miatt következik be, itt pedig nincs. Arisztotelész fenti gondolatmenetének egy jelentős gyengesége van: továbbra is homályos, hogy pontosan milyen okból van egy háromdimenziós térfogati test teljessége és tökéletessége. Valamikor Galilei joggal gúnyolta azt a véleményt, hogy „a 3-as szám tökéletes szám, és fel van ruházva azzal a képességgel, hogy tökéletességet adjon mindennek, aminek hármassága van”.

Hogyan határozható meg a tér mérete?

A térnek minden irányban végtelen kiterjedése van. Azonban csak három független irányban mérhető: hosszúság, szélesség és magasság; Ezeket az irányokat a tér dimenzióinak nevezzük, és azt mondjuk, hogy a terünk háromdimenziós, háromdimenziós. Sőt, „ebben az esetben független iránynak nevezzük azt az egyenest, amely egy másikra merőlegesen fekszik. Az ilyen vonalak, pl. Egyszerre egymásra derékszögben, és egymással nem párhuzamosan fekvő geometriánk csak hármat ismer. Azaz a terünk dimenziósságát a benne lehetséges, egymásra merőleges vonalak száma határozza meg. Egy vonalon nem lehet másik vonal – ez egy egydimenziós tér. A felületen 2 merőleges lehetséges - ez egy kétdimenziós tér. A „térben” három merőleges van – ez a háromdimenziós tér.

Miért háromdimenziós a tér?

Ritka bent földi viszonyok az emberek materializálódásának élménye gyakran fizikai hatással van a szemtanúkra...

De még mindig sok a tisztázatlan a térrel és idővel kapcsolatos elképzelésekben, ami a tudósok közötti folyamatos vitákra ad okot. Miért háromdimenziós a terünk? Létezhetnek-e többdimenziós világok? Létezhetnek-e anyagi tárgyak a téren és az időn kívül?

Az az állítás, hogy a fizikai térnek három dimenziója van, ugyanolyan objektív, mint például az az állítás, hogy az anyagnak három halmazállapota van: szilárd, folyékony és gáznemű; az objektív világ egy alapvető tényét írja le. I. Kant hangsúlyozta, hogy terünk háromdimenziósságának oka máig ismeretlen. P. Ehrenfest és J. Withrow kimutatta, hogy ha a tér dimenzióinak száma több mint három, akkor bolygórendszerek létezése lehetetlen lenne - csak a háromdimenziós világban létezhetnek stabil bolygópályák a bolygórendszerekben. Vagyis az anyag háromdimenziós rendje az egyetlen stabil rend.

De a tér háromdimenziós volta nem mondható valamiféle abszolút szükségszerűségnek. Ez egy fizikai tény, mint bármely más, és ennek következtében ugyanilyen magyarázatnak van alávetve.

Az a kérdés, hogy miért háromdimenziós a terünk, megoldható akár a teleológia álláspontjából, azon a nem tudományos megállapításon alapulva, hogy „a háromdimenziós világ a legtökéletesebb az összes lehetséges világ közül”, vagy tudományos materialista álláspontokból. alapvető fizikai törvényeken alapul.

A kortársak véleménye

A modern fizika azt mondja, hogy a háromdimenziósság jellemzője, hogy ez, és csakis ez teszi lehetővé a fizikai valóság folyamatos oksági törvényeinek megfogalmazását. De, " modern fogalmak nem tükrözik a világ fizikai képének valódi állapotát. Napjainkban a tudósok a teret egy bizonyos, sok szintből álló szerkezetnek tekintik, amelyek szintén bizonytalanok. És ezért nem véletlen modern tudomány nem adhat választ arra a kérdésre, hogy miért háromdimenziós a terünk, amelyben élünk és amit megfigyelünk.”

Összekapcsolt tér elmélet

BAN BEN párhuzamos világok az események a maguk módján történnek, képesek...

„Az erre a kérdésre való válaszkeresési kísérletek, amelyek csak a matematika keretein belül maradnak, kudarcra vannak ítélve. A válasz a fizika egy új, kevéssé feltárt területén rejlik." Próbáljuk meg megtalálni a választ erre a kérdésre a vizsgált összefüggő terek fizikája rendelkezései alapján.

Az összekapcsolt terek elmélete szerint egy tárgy fejlődése három szakaszban történik, mindegyik szakasz a kijelölt iránya mentén fejlődik, azaz. fejlődési tengelye mentén.

Az első szakaszban az objektum fejlesztése az eredetileg kiválasztott irányban halad, azaz. egy fejlődési tengelye van. A második fokozatban az első fokozatban kialakított rendszer 90°-kal elfordul, azaz. a tértengely iránya megváltozik, és a rendszer fejlődése a második kiválasztott irányban, az eredetire merőlegesen kezd haladni. A harmadik szakaszban a rendszer fejlődése ismét 90°-kal elfordul, és a harmadik kiválasztott irányban, az első kettőre merőlegesen kezd fejlődni. Ennek eredményeként három, egymásba ágyazott térszféra jön létre, amelyek mindegyike megfelel valamelyik fejlődési tengelynek. Sőt, mindhárom tér egyetlen stabil formációba kapcsolódik egy fizikai folyamat révén.

És mivel ez a folyamat világunk minden nagy léptékű szintjén megvalósul, minden rendszer, beleértve magukat a koordinátákat is, hármas (három koordináta) elvre épül. Ebből következik, hogy a folyamat három fejlődési szakaszának áthaladása következtében természetes módon háromdimenziós tér jön létre, amelyet a fejlődés fizikai folyamatának következményeként három egymásra merőleges fejlődési irányú koordinátatengely alkot!

Ezek az intelligens lények az Univerzum létezésének hajnalán keletkeztek...

Nem véletlen, hogy Pythagoras, aki nyilván rendelkezhetett ezzel a tudással, birtokolja a kifejezést: „Minden dolog háromból áll”. N.K. is beszél erről. Roerich: „A Szentháromság szimbóluma nagy ókori és világszerte megtalálható, ezért nem korlátozható semmilyen szektára, szervezetre, vallásra vagy hagyományra, valamint személyes vagy csoportos érdekekre, mert a tudat fejlődését képviseli. minden fázisában... Kiderült, hogy a Szentháromság jele az egész világon elterjedt... Ha egyazon jel összes lenyomatát összerakjuk, akkor talán ez lesz a legelterjedtebb és legrégebbi. emberi szimbólumok. Senki sem állíthatja, hogy ez a jel csak egy hiedelemhez tartozik, vagy egy folklóron alapul.”

Nem hiába, világunkat már az ókorban is hármas istenségként ábrázolták (három egybeolvadt): valami egyet, egészet és oszthatatlant, amely szakrális jelentőségében messze meghaladja eredeti értékeit.

A térbeli specializációt (a tér koordinátairányai mentén való eloszlást) egyetlen rendszeren belül követtük nyomon, de pontosan ugyanazt az eloszlást láthatjuk bármely társadalomban az atomoktól a galaxisokig. Ez a három típusú tér nem más, mint a geometriai tér három koordinátaállapota.

A tér többdimenziós témája, amelyben élünk, régóta felkeltette a művészek és a műkritikusok figyelmét. A többdimenziós, a megszokott elképzeléseken túlmutató új és ígéretesnek tűnő lehetőségeket nyit meg. Egyes művészettörténészek már a század elején is azzal érveltek, hogy a tér sokdimenziósságának figyelembevétele nélkül lehetetlen megérteni. modern művészet ez tiltott. Ezzel kapcsolatban helyénvaló két megjegyzést tenni.

Először is a multidimenzionalitás alatt mindig négydimenziósságot, azaz létezést értünk a szokásos három térbeli dimenzió mellett (a legvilágosabban három irányú elmozdulásként képzelhetők el: fel-le, előre-hátra és bal-jobbra), ill. még egy, egy negyedik. Ezt az új dimenziót időnek vették. Ennek köztudott okai voltak, hiszen a század elején megjelent a relativitáselmélet egyetlen tér-idő kontinuum koncepciójával. Meg kell azonban értenünk, hogy ha a modern fizikából indulunk ki, akkor hétköznapi életünk, hétköznapi sebességek és távolságok szempontjából a relativitáselmélet az iskolából ismert tér- és attól függetlenül az aktuális idő banális megjelenését ölti. És ez még akkor is így van, ha a méreteket normál sebességekhez és távolságokhoz vesszük Naprendszerés a bolygó mozgásának sebessége. Ezért a relativitáselmélet a hétköznapi emberi élet közvetítésében, a művészek fő témája, nem változtathat semmit.

A második szempont, amit szeretnék megjegyezni, hogy egy sokkal bonyolultabb négydimenziós tér, ahol a negyedik koordináta nem az idő (amit könnyű elképzelni), hanem egy térbeli koordináta is (ami elképzelhetetlen), régóta vonzza a művészek figyelmét. Sőt, még sikeres ábrázolási módszereket is kidolgoztak. Ez körülbelül századi ikonfestőkről „ebben az időben érte el a négydimenziós tér átadása legnagyobb tökélyét az orosz ikonfestészetben.

Mielőtt rátérnénk a megfelelő ikonokra, számos magyarázatot kell adni geometriai természet, így általános megfontolások a négydimenziós térrel és lehetséges módjai képei élénkebbek lettek. A négydimenziós tér geometriájának vizuális leírásának fő nehézsége abból adódik, hogy nem képzelhető el. Ez lehetetlen, hiszen a természetes három irányban (erről már volt szó: az irányok előre-hátra, balra-jobbra és fel-le) kívül el kell képzelnünk a „negyedik” irányú mozgást, de egy amelyben nincs mozgás a három természetes irányban történik. Vagyis nekünk, háromdimenziós lényeknek a pont mozdulatlannak fog tűnni, de valójában a „negyedik” irányba fog elmozdulni. Az egyetlen módszer, amely itt segíthet, az analógiák módszere. Abból indulunk ki, hogy ismerős háromdimenziós világunk a négydimenziós térbe „ágyazódik”, amit szavakkal könnyű leírni, de elképzelni lehetetlen. De nem kerül semmibe egy hasonló, de elemi elképzelni egyszerű helyzet: egy háromdimenziósba „fészkelt” kétdimenziós világ. Legalább egy papírlap, amely a számunkra ismerős háromdimenziós térben található.

Legyen most ez a papírlap az a kétdimenziós „tér”, amelyen bizonyos „lapos” lények élnek, amelyek végig tudnak mászni a lapon; lapos lények lapos lapon mászkálnak”, egy hasonlat számunkra, a háromdimenziós térben mozgó háromdimenziós organizmusok számára. Legyen ez a levél határtalan, és mindkét oldalán lapos lények másznak: egyesek a levél felső oldalán, mások az alján. Teljesen nyilvánvaló, hogy bármennyit is kúsznak, a felsők soha nem fognak találkozni az alsókkal, bár lehet, hogy végtelenül közel vannak egymáshoz, hiszen az áthatolhatatlan lap végtelen vékony vastagsága mégis elválasztja őket egymástól. Így a lap minden pontját kétszer kell megszámolni, mint a felsőhöz és az alsó oldalhoz tartozónak. Természetesen előfordulhatnak bizonyos események a lap felső oldalán, más események pedig az alsó oldalon, és ezek az események nem zavarják egymást, mivel egymáshoz képest eltolódnak, bár végtelenül. kis mennyiségű, de a lapos lények számára „érthetetlen” irányban, merőlegesen a lap felületére. Ez az „érthetetlenség” abból adódik, hogy a lapos lények soha életükben nem mozdultak ilyen irányba, és nem is tudnak mozogni.

Egy lapnak ez a két oldala analógia útján lehetővé teszi számunkra, hogy elképzeljük a hétköznapi és misztikus tér egyidejű létezését egy helyen, legalább egy szobában. Az elsőben az emberek élnek és cselekszenek, a másodikban pedig például az angyalok. Mindkettő a maga háromdimenziós terében létezik, és nem zavarja egymást, mivel ez a két tér „eltolódik” egymáshoz képest, bár végtelenül csekély mértékben, de az ember számára felfoghatatlan „negyedik” irányban. A fenti feltételezés, hogy hétköznapi terünk négydimenziós térbe „beágyazott”. És ebben az esetben egy ilyen feltételes helyiség minden pontját kétszer kell egy misztikus és egyben hétköznapi térhez tartozónak számolni. Teljes analógia van a háromdimenziós térbe ágyazott lapos lappal. Hiszen a hasonlat teljessége végett abban egyetérthetünk, hogy a lap felső oldala misztikus, az alsó pedig közönséges felület.