Matematika tanár: Nashkenova A.N. Maybalyk középiskola Óraterv a „Fokozat a racionális mutató»

(algebra, 11. osztály)

Az óra céljai:

Bővítse és elmélyítse a tanulók tudását a számok hatványairól; a hallgatók megismertetése a racionális kitevővel rendelkező fokozat fogalmával és tulajdonságaival;

Fejleszteni kell ismereteket, készségeket és képességeket a kifejezések értékeinek tulajdonságok segítségével történő kiszámításához;

Folytassa a munkát az elemzéshez, összehasonlításhoz, a legfontosabb kiemeléshez, fogalmak meghatározásához és magyarázatához szükséges készségek fejlesztésén;

Alak kommunikációs kompetenciák, képes megindokolni tetteit, fejleszteni a függetlenséget és a kemény munkát.

Felszerelés: tankönyv, szórólapok, laptop,bemutató anyag Power Point ;

Az óra típusa: lecke az új ismeretek tanulmányozásáról és kezdetben megszilárdításáról.

Tanterv:

1.Org. pillanat. - 1 perc.

2.Az óra motivációja.-2 perc

3.Alapismeretek frissítése. - 5 perc.

4.Új anyag tanulása. - 15 perc.

5. Testnevelés perc - 1 perc.

6.A vizsgált anyag elsődleges konszolidációja - 10 perc

7.Önálló munkavégzés. - 7 perc.

8.Házi feladat. - 2 perc.

9. Reflexió – 1 perc.

10. Óra összefoglalója. - 1 perc.

Az órák alatt

1. Idő szervezése

Érzelmi hangulat a leckéhez.

Szeretnék dolgozni, kívánok

munka,
Sok sikert kívánok mára.
Végtére is, a jövőben mindez neked szól

jól fog jönni.
És a jövőben könnyebb lesz

tanulmány(1. dia)

2. Óramotiváció

A hatványozás és a gyökkivonás műveletei, valamint a négy aritmetikai művelet gyakorlati igény eredményeként merült fel. Tehát a négyzet területének kiszámításának problémájával együtt az oldalA amely ismert, az inverz probléma merült fel: „Mekkora legyen egy négyzet oldala, hogy a területe egyenlő legyenV. A 14-15. században Nyugat-Európában megjelentek a bankok, amelyek kamatra adtak pénzt fejedelmeknek és kereskedőknek, magas kamattal finanszírozva őket. hosszú utakatés hódítások. A kamatos kamat kiszámításának megkönnyítése érdekében táblázatokat állítottunk össze, amelyekből azonnal megtudhatja, mennyit kell átfizetnieP év, ha az összeget kölcsön vettékA ÁltalR % évente. A fizetett összeget a képlet fejezi ki: s = a(1 + ) P Néha nem egész évre vettek fel pénzt, hanem például 2 évre 6 hónapra. Ha 2,5 év után az összegA kapcsolatba lépni aq , majd a következő 2,5 évben még egyel nőq alkalommal és egyenlővé válikaq 2 . 5 év után:a=(1 + 5 , Ezért q 2 = (1 + 5 És Eszközök q =

(2. dia) .

Így született meg a törtkitevős fokozat ötlete.

3.Alapismeretek frissítése.

Kérdések:

1.Mit jelent a bejegyzés;A P

2. Mi az A ?

3. Mi az P ?

4. A -P =?

5.Írja fel a füzetébe egy egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságait!

6. Milyen számok természetesek, egészek, racionálisak? Rajzolja meg őket Euler-körök segítségével.(3. dia)

Válaszok: 1. Fokozat egész kitevővel

2. A- bázis

3. P- kitevő

4. A -P =

5. Egy fok tulajdonságai egész kitevővel:

a m *a n = a (m+n) ;

a m : a n = a (m-n) ( nál nél a Nem egyenlő nulla );

(a m ) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n )/(b n ) (nál nél b nem egyenlő nullával);

a 1 = a;

a 0 = 1 (val a nem egyenlő nullával);

Ezek a tulajdonságok bármely a, b és bármely m és n egész számra érvényesek.

6.1,2,3, … - pozitív számok - természetes számok halmaza -N

0,-1,-2,-3,.. O szám és negatív számok – egész számok halmaza -Z

K , – törtszámok(negatív és pozitív) – racionális számok halmaza -K Z

N

Euler-körök (4. dia)

4. Új anyag tanulmányozása.

Legyen. A - egy nem negatív szám, és tört hatványra kell emelni . Ismered az egyenlőséget?A m ) n = a m n (4. dia) , azaz a hatalom hatalommá emelésének szabálya. A fenti egyenlőségben azt feltételezzük m = , akkor kapjuk: (A ) P = a =a (4. dia)

Ebből arra következtethetünk, hogy igenA gyökér P - szám hatványaA , azaz A = . ebből következik, hogy (A P ) = P =a (4. dia).

Ennélfogva A =(a ) m =(a m ) = m . ( 4. dia ).

Így a következő egyenlőség áll fenn:A = m (4. dia)

Meghatározás: nem negatív szám foka A racionális kitevővel , Ahol - irreducibilis tört, egy szám n-edik gyökének értékét nevezzük A T .

Ezért definíció szerint A = m (5. dia)

Nézzük az 1. példát : Írja be a fokozatot racionális kitevővel az űrlapba gyökér nth fokok:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (6. dia) Megoldás: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( 7. dia) A racionális kitevővel rendelkező hatványokkal ugyanazok a szabályok szerint hajthatja végre a szorzás, osztás, hatványozás és gyökkivonás műveleteit, mint az egész kitevővel és azonos bázisú hatványokkal:A = a + A = A - (A ) = a * (a*c) = a * V ) = A / V ahol p, q – természetes számok, t, p egész számok. (8. dia) 5. Testnevelési perc

Fordítsa a tekintetét jobbra

Fordítsa a tekintetét balra

Felnézett a plafonra

Mindenki előre nézett.

Egyszer - hajlíts - egyenesíts,

Kettő ─ hajlítás - nyújtás,

Három-három kézcsapás,

Három fejbiccentés.

Öt és hat csendben ülnek le.

És újra az úton! (9. dia)

6. A vizsgált anyag elsődleges konszolidációja:

51. oldal, 90. szám, 91. szám – csináld magad a füzetedben,

csekkel a táblánál

7.Önálló munkavégzés

1.opció

(10. dia)

1.opció

(11. dia)

Végrehajtás önálló munkavégzés kölcsönös ellenőrzéssel.

Válaszok:

1.opció

(12. dia)

Tehát ma a leckében megismerkedtünk a racionális kitevővel rendelkező fokozat fogalmával, és megtanultuk gyök formájában írni, alkalmazni a fokozatok alapvető tulajdonságait a numerikus kifejezések értékeinek megtalálásakor.8.Házi feladat: 92. sz., 93. sz Információ valamiről házi feladat

9. Visszaverődés

(13. dia)

10. Óra összefoglalója:

Mi a hasonlóság és a különbség az egész kitevővel rendelkező fok és a tört kitevővel rendelkező fok között? (hasonlóság: az egész kitevővel rendelkező fok minden tulajdonsága a racionális kitevővel rendelkező fokra is érvényes;

különbség: fok)

Sorolja fel a hatványok tulajdonságait racionális kitevőkkel!

A mai lecke véget ért,
Nem is lehetnél barátságosabb.
De mindenkinek tudnia kell:
Tudás, kitartás, munka
Előrelépéshez vezetnek az életben.
Köszönöm a leckét! (14. dia)

A „Kitevő racionális kitevővel” videólecke vizualitást tartalmaz oktatási anyag leckét tartani erről a témáról. A videóóra információkat tartalmaz a racionális kitevővel rendelkező diploma fogalmáról, az ilyen fokozatok tulajdonságairól, valamint példákat mutat be az oktatási anyagok gyakorlati problémák megoldására való felhasználására. Ennek a videóórának az a célja, hogy világosan és érthetően bemutassa az oktatási anyagot, elősegítse a tanulók fejlesztését és memorizálását, valamint a tanult fogalmak felhasználásával a problémamegoldó képesség fejlesztése.

A videóóra fő előnyei a transzformációk és számítások vizuális végrehajtásának képessége, valamint az animációs effektusok használatának lehetősége a tanulási hatékonyság javítására. A hangkíséret segíti a helyes matematikai beszéd fejlesztését, és lehetővé teszi a tanári magyarázat helyettesítését is, felszabadítva őt az egyéni munka elvégzésére.

A videóóra a téma bemutatásával kezdődik. Tanulmányok összekapcsolása új téma A korábban tanulmányozott anyagokkal azt javasoljuk, hogy emlékezzünk arra, hogy n √a-t egyébként 1/n-nel jelöljük természetes n esetén és pozitív a-t. Ez az n-root ábrázolás megjelenik a képernyőn. Ezután azt javasoljuk, hogy vizsgáljuk meg, mit jelent az a m/n kifejezés, amelyben a pozitív szám, m/n pedig tört. Egy m/n = n √a m racionális kitevővel rendelkező fok definíciója adott, a keretben kiemelve. Megjegyezzük, hogy n lehet természetes szám, m pedig egész szám.

A fokozat racionális kitevővel történő meghatározása után példákon keresztül derül ki a jelentése: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Szintén látható egy példa, amelyben a fokozatot képviseli decimális, közönséges törtté alakul, hogy gyökként ábrázoljuk: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 és példa negatív érték fok: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Külön jelezzük annak a speciális esetnek a sajátosságát, amikor a fokozat alapja nulla. Megjegyzendő, hogy ennek a foknak csak pozitív törtkitevője esetén van értelme. Ebben az esetben az értéke nulla: 0 m/n =0.

A racionális kitevővel rendelkező fok másik jellemzője, hogy a tört kitevővel rendelkező fok nem tekinthető tört kitevővel. Példák a fokok helytelen jelölésére: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

A következő videó leckében a fok tulajdonságait tárgyaljuk racionális kitevővel. Megjegyzendő, hogy az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságai a racionális kitevővel rendelkező fokra is érvényesek lesznek. Javasoljuk az ebben az esetben is érvényes tulajdonságok listájának felidézését:

1. Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, kitevőik összeadódnak: a p a q =a p+q.
2. Az azonos bázisú fokok felosztása adott bázisú fokra redukálódik és a kitevők különbsége: a p:a q =a p-q.
3. Ha a fokot egy bizonyos hatványra emeljük, akkor egy adott bázisú fokot és a kitevők szorzatát kapjuk: (a p) q =a pq.

Mindezek a tulajdonságok érvényesek p, q racionális kitevővel és a>0 pozitív bázissal rendelkező hatványokra. A zárójelek nyitásakor a fokozatváltások is igazak maradnak:

1. (ab) p =a p b p - racionális kitevővel valamilyen hatványra emelve két szám szorzatát olyan számok szorzatára redukáljuk, amelyek mindegyikét egy adott hatványra emeljük.
2. (a/b) p =a p /b p - tört hatványra emelése racionális kitevővel olyan törtté redukálódik, amelynek számlálója és nevezője adott hatványra emelve.

Az oktatóvideó olyan példák megoldását tárgyalja, amelyek a hatványok figyelembe vett tulajdonságait racionális kitevővel használják. Az első példa arra kéri, hogy keresse meg az x in változókat tartalmazó kifejezés értékét tört hatvány: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). A kifejezés bonyolultsága ellenére a hatványok tulajdonságait felhasználva egészen egyszerűen megoldható. A probléma megoldása a kifejezés leegyszerűsítésével kezdődik, amely azt a szabályt használja, hogy egy racionális kitevővel rendelkező hatványt hatványra emelünk, valamint az azonos bázisú hatványokat megszorozzuk. Csere után érték beállítása x=8 az x 1/3 +48 egyszerűsített kifejezésben, könnyen megkapható az -50 érték.

A második példában csökkentenie kell egy törtet, amelynek számlálója és nevezője racionális kitevővel rendelkező hatványokat tartalmaz. A fokozat tulajdonságait felhasználva a különbségből kivonjuk az x 1/3 tényezőt, amelyet ezután a számlálóban és a nevezőben csökkentünk, és a négyzetek különbségének képletével a számlálót faktorizáljuk, ami további csökkentéseket ad az azonos tényezők a számlálóban és a nevezőben. Az ilyen transzformációk eredménye az x 1/4 +3 rövid tört.

A „Kitevő racionális kitevővel” videólecke használható ahelyett, hogy a tanár egy új óra témáját magyarázza el. Ez a kézikönyv kellően teljes körű információkat is tartalmaz a következőkről az önálló tanulás diák. Az anyag távoktatáshoz is hasznos lehet.

Az a n kifejezés (egész kitevővel rendelkező hatvány) minden esetben definiálva lesz, kivéve azt az esetet, amikor a = 0 és n kisebb vagy egyenlő nullával.

A fokozatok tulajdonságai

Az egész kitevővel rendelkező fokok alapvető tulajdonságai:

a m *a n = a (m+n);

a m: a n = a (m-n) (val a nem egyenlő nullával);

(a m) n = a (m*n);

(a*b) n = a n *bn;

(a/b) n = (a n)/(b n) (val b nem egyenlő nullával);

a 0 = 1 (val a nem egyenlő nullával);

Ezek a tulajdonságok bármely a, b és bármely m és n egész számra érvényesek. Érdemes megjegyezni a következő tulajdonságokat is:

Ha m>n, akkor a m> a n, a>1 és a m esetén

A szám fokának fogalmát általánosíthatjuk olyan esetekre, amikor a racionális számok kitevőként működnek. Ugyanakkor szeretném, ha a fentiek mind teljesülnének felsorolt ​​ingatlanok vagy legalábbis ezek egy része.

Például, ha az (a m) n = a (m*n) tulajdonság teljesül, a következő egyenlőség állna fenn:

(a (m/n)) n = a m .

Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy az a számnak (m/n) az a m szám n-edik gyökének kell lennie.

Valamely a (nullánál nagyobb) szám hatványa r = (m/n) racionális kitevővel, ahol m valamilyen egész, n valamilyen természetes szám nagyobb egynél, hívta a számot n√(a m). A definíció alapján: a (m/n) = n√(a m).

Minden pozitív r esetén a nulla hatványa kerül meghatározásra. Definíció szerint 0 r = 0. Vegye figyelembe azt is, hogy bármely egész számra bármilyen természetes m és n, valamint pozitív A a következő egyenlőség igaz: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Például: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

A racionális kitevővel rendelkező fok definíciójából egyenesen következik, hogy bármely pozitív a és bármely racionális r esetén az a r szám lesz pozitív.

A racionális kitevővel rendelkező fok alapvető tulajdonságai

Bármely p, q és bármely a>0 és b>0 racionális számra a következő egyenlőségek igazak:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p): (b q) = a (p-q);

3. (a p) q = a (p*q);

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Ezek a tulajdonságok a gyökerek tulajdonságaiból következnek. Mindezek a tulajdonságok hasonló módon bizonyítottak, ezért csak az egyik bizonyítására szorítkozunk, például az első (a p)*(a q) = a (p + q) .

Legyen p = m/n, és q = k/l, ahol n, l természetes számok, m, k pedig egész számok. Akkor bizonyítanod kell, hogy:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Először is csökkentsük az m/n k/l törteket közös nevező. Az (m*l)/(n*l) és a (k*n)/(n*l) törteket kapjuk. Írjuk át az egyenlőség bal oldalát ezekkel a jelölésekkel, és kapjuk:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m) /n)+(k/l)) .

Az a (m/n) alakú kifejezés, ahol n valamilyen természetes szám, m valamilyen egész szám, és a fokszám alapja nagyobb, mint nulla, törtkitevőjű foknak nevezzük. Ráadásul igaz a következő egyenlőség. n√(a m) = a (m/n) .

Mint már tudjuk, az m/n alakú számokat, ahol n valamilyen természetes szám, m pedig egész szám, tört- vagy racionális számoknak nevezzük. A fentiek mindegyikéből azt kapjuk, hogy a fok bármely racionális kitevőre és a fok bármely pozitív bázisára definiálva van.

Bármilyen racionálisnak számok p,qés bármely a>0 és b>0 esetén a következő egyenlőségek igazak:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p): (b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Ezeket a tulajdonságokat széles körben használják olyan kifejezések konvertálásakor, amelyek tört kitevővel rendelkező hatványokat tartalmaznak.

Példák törtkitevős hatványokat tartalmazó kifejezések transzformációjára

Nézzünk meg néhány példát, amelyek bemutatják, hogyan használhatók ezek a tulajdonságok kifejezések átalakítására.

1. Számítsd ki 7 (1/4) * 7 (3/4) .

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Számítsd ki 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Számítsa ki (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Számítsa ki 24 (2/3) .

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Számítsa ki (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Egyszerűsítse az ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) kifejezést

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Számítsa ki (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Egyszerűsítse a kifejezést

• (a (1/3) - a (7/3)/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3)/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 +a - (1-a) = 2*a.

Amint látható, ezekkel a tulajdonságokkal jelentősen leegyszerűsíthet néhány olyan kifejezést, amelyek tört kitevővel rendelkező hatványokat tartalmaznak.