A vektor koordinátáinak megtalálása meglehetősen gyakori feltétele számos matematikai feladatnak. A vektorkoordináták megtalálásának képessége segít más, összetettebb problémák megoldásában hasonló témákat. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a vektorkoordináták megtalálásának képletét és számos problémát.

Vektor koordinátáinak megtalálása egy síkban

Mi az a repülőgép? A síkot kétdimenziós térnek tekintjük, kétdimenziós térnek (x dimenzió és y dimenzió). Például a papír lapos. Az asztal felülete sík. Bármely nem térfogati alak (négyzet, háromszög, trapéz) egyben sík is. Így, ha a problémafelvetésben meg kell találni egy síkon fekvő vektor koordinátáit, azonnal eszünkbe jut x és y. Egy ilyen vektor koordinátáit a következőképpen találhatja meg: A vektor AB koordinátái = (xB – xA; yB – xA). A képlet azt mutatja, hogy ki kell vonni a kezdőpont koordinátáit a végpont koordinátáiból.

Példa:

• A Vector CD kezdeti (5; 6) és végső (7; 8) koordinátákkal rendelkezik.
• Keresse meg magának a vektornak a koordinátáit.
• A fenti képlet segítségével a következő kifejezést kapjuk: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Így a CD vektor koordinátái = (2; 2).
• Ennek megfelelően az x koordináta egyenlő kettővel, az y koordináta is kettővel.

Egy vektor koordinátáinak megtalálása a térben

Mi az a tér? A tér már háromdimenziós dimenzió, ahol 3 koordináta adott: x, y, z. Ha olyan vektort kell találnia, amely a térben fekszik, a képlet gyakorlatilag nem változik. Csak egy koordináta kerül hozzáadásra. A vektor megtalálásához ki kell vonni a kezdő koordinátákat a végkoordinátákból. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Példa:

• A DF vektornak kezdő (2; 3; 1) és végső (1; 5; 2) van.
• A fenti képletet alkalmazva a következőt kapjuk: Vektor koordináták DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Ne feledje, a koordináta érték negatív is lehet, nincs probléma.

Hogyan keressünk vektorkoordinátákat online?

Ha valamilyen oknál fogva nem szeretné saját maga megtalálni a koordinátákat, használhat egy online számológépet. Kezdésként válassza ki a vektordimenziót. Egy vektor dimenziója felelős a méreteiért. A 3. dimenzió azt jelenti, hogy a vektor a térben van, a 2. dimenzió azt, hogy a síkon van. Ezután illessze be a pontok koordinátáit a megfelelő mezőkbe, és a program meghatározza magának a vektor koordinátáit. Minden nagyon egyszerű.

A gombra kattintva az oldal automatikusan lefelé gördül és megadja a helyes választ a megoldás lépéseivel együtt.

Javasolt jól tanulni ez a téma, mert a vektor fogalma nemcsak a matematikában, hanem a fizikában is megtalálható. Kar hallgatói Információs technológiák Tanulmányozzák a vektorok témáját is, de összetettebb szinten.

Végül a kezembe került ez a kiterjedt és régóta várt téma. analitikus geometria. Először is egy kicsit a felsőbb matematikának erről a részéről... Bizonyára emlékszel most egy iskolai geometria tanfolyamra, számos tétellel, azok bizonyításával, rajzával stb. Mit kell titkolni, a hallgatók jelentős része számára nem szeretett és gyakran homályos tárgy. Analitikus geometria furcsa módon érdekesebbnek és elérhetőbbnek tűnhet. Mit jelent az „analitikus” jelző? Két sablonos matematikai kifejezés jut azonnal eszembe: „grafikus megoldási módszer” és „analitikus megoldási módszer”. Grafikus módszer természetesen grafikonok és rajzok készítéséhez kapcsolódik. Elemző vagy módszer problémák megoldásával jár főként keresztül algebrai műveletek. Ebben a tekintetben az analitikus geometria szinte minden problémájának megoldására szolgáló algoritmus egyszerű és átlátható, gyakran elegendő a szükséges képletek gondos alkalmazása - és a válasz kész! Nem, természetesen ezt egyáltalán nem fogjuk tudni megtenni rajzok nélkül, ráadásul az anyag jobb megértése érdekében a szükségen túl igyekszem azokat idézni.

Az újonnan megnyílt geometria tantárgy elméletileg nem teljes, hanem a gyakorlati problémák megoldására összpontosít. Előadásaimban csak azt veszem fel, ami az én szemszögemből gyakorlati szempontból fontos. Ha bármely alfejezetben teljesebb segítségre van szüksége, ajánlom a következő, könnyen hozzáférhető irodalmat:

1) Egy dolog, amit nem vicc, több generáció ismer: Iskolai tankönyv a geometriáról, szerzők - L.S. Atanasyan and Company. Ez az iskolai öltözői fogas már 20 (!) utánnyomáson esett át, ami persze nem a határ.

2) Geometria 2 kötetben. Szerzői L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ez az irodalom Gimnázium, szükséged lesz első kötet. A ritkán előforduló feladatok kieshetnek a szemem elől, és oktatóanyag felbecsülhetetlen értékű segítséget nyújt majd.

Mindkét könyv ingyenesen letölthető online. Ezen kívül használhatja az archívumomat kész megoldások, amely megtalálható az oldalon Példák letöltése a felsőbb matematikából.

Az eszközök között ismét saját fejlesztést javaslok - Szoftver csomag analitikus geometriában, ami nagyban leegyszerűsíti az életet és sok időt takarít meg.

Feltételezhető, hogy az olvasó ismeri az alapokat geometriai fogalmakés ábrák: pont, egyenes, sík, háromszög, paralelogramma, paralelepipedon, kocka stb. Célszerű megjegyezni néhány tételt, legalább a Pitagorasz-tételt, üdv az ismétlőknek)

És most szekvenciálisan megvizsgáljuk: a vektor fogalmát, a vektorokkal végzett műveleteket, a vektorkoordinátákat. Javaslom tovább olvasni a legfontosabb cikk Vektorok pontszorzata, és még Vektor és vektorok vegyes szorzata. Egy helyi feladat - ebből a szempontból egy szegmens felosztása - szintén nem lesz felesleges. A fenti információk alapján elsajátíthatja egy síkban lévő egyenes egyenlete Val vel a megoldások legegyszerűbb példái, ami lehetővé teszi megtanulják megoldani a geometriai feladatokat. A következő cikkek is hasznosak: Egy sík egyenlete a térben, Egy egyenes egyenletei a térben, Alapfeladatok egyenesen és síkon, az analitikus geometria egyéb szakaszai. Természetesen a szokásos feladatokat is figyelembe veszik az út során.

Vektor koncepció. Ingyenes vektor

Először is ismételjük meg a vektor iskolai definícióját. Vektor hívott irányította egy szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje a pont, a szakasz vége a pont. Magát a vektort jelöli. Irány elengedhetetlen, ha a nyilat a szegmens másik végére mozgatjuk, akkor kapunk egy vektort, és ez már meg is van teljesen más vektor. Kényelmes a vektor fogalmát a fizikai test mozgásával azonosítani: egyet kell érteni, egy intézet ajtaján belépni vagy egy intézet ajtaján elhagyni teljesen más dolog.

Célszerű egy sík vagy tér egyes pontjait ún nulla vektor. Egy ilyen vektornál a vége és a kezdet egybeesik.

!!! Jegyzet: Itt és a továbbiakban is feltételezhetjük, hogy a vektorok egy síkban helyezkednek el, vagy feltételezhetjük, hogy térben helyezkednek el - a bemutatott anyag lényege síkra és térre egyaránt érvényes.

Megnevezések: Sokan azonnal észrevették a botot, amelynél nincs nyíl a jelölésben, és azt mondták: van egy nyíl is a tetején! Igaz, nyíllal is írhatod: , de az is lehetséges a bejegyzés, amelyet a jövőben használni fogok. Miért? Nyilvánvalóan gyakorlati okokból alakult ki ez a szokásom az iskolában és az egyetemen túlságosan eltérő méretűnek és bozontosnak bizonyultak. BAN BEN oktatási irodalom néha egyáltalán nem foglalkoznak az ékírással, hanem félkövér betűkkel emelik ki a betűket: , ezzel utalva arra, hogy ez egy vektor.

Ez a stilisztika volt, most pedig a vektorok írásának módjairól:

1) A vektorok két nagy latin betűvel írhatók:
stb. Ebben az esetben az első betű Szükségszerűen a vektor kezdőpontját, a második betű pedig a vektor végpontját jelöli.

2) A vektorokat kis latin betűkkel is írják:
Különösen a rövidség kedvéért vektorunkat kicsinek lehet nevezni latin betű.

Hossz vagy modult a nullától eltérő vektort a szakasz hosszának nevezzük. A nulla vektor hossza nulla. Logikus.

A vektor hosszát a modulusjel jelzi: ,

Kicsit később megtanuljuk, hogyan találjuk meg egy vektor hosszát (vagy megismételjük, attól függően, hogy ki).

Ez alapvető információ volt a vektorokról, amelyeket minden iskolás ismer. Az analitikus geometriában az ún ingyenes vektor.

Egyszerűen szólva - a vektor bármely pontból ábrázolható:

Megszoktuk, hogy az ilyen vektorokat egyenlőnek nevezzük (az egyenlő vektorok definícióját az alábbiakban közöljük), de pusztán matematikai szempontból UGYANAZ A VEKTOR ill. ingyenes vektor. Miért ingyenes? Mert a feladatmegoldás során a sík vagy tér BÁRMELYIK pontjához „ragaszthatja” ezt vagy azt az „iskola” vektort. Ez egy nagyon klassz funkció! Képzeljünk el egy tetszőleges hosszúságú és irányú irányított szegmenst - végtelen számú alkalommal és a tér bármely pontján „klónozható”, valójában MINDENHOL létezik. Van egy hallgató, aki azt mondja: Minden oktató aggodalommal tölti el a vektort. Végtére is, ez nem csak egy szellemes rím, szinte minden rendben van - egy irányított szegmens is hozzáadható. De ne rohanjon örülni, gyakran maguk a diákok szenvednek =)

Így, ingyenes vektor- Ezt Egy csomó azonos irányított szegmensek. A vektor iskolai definíciója, amelyet a bekezdés elején adunk meg: „Az irányított szakaszt vektornak nevezzük...” különleges egy adott halmazból vett irányított szakasz, amely a sík vagy tér egy meghatározott pontjához van kötve.

Megjegyzendő, hogy a fizika szempontjából a szabad vektor fogalma ben általános eset hibás, és az alkalmazás lényege számít. Valójában egy ugyanolyan erejű közvetlen ütés az orron vagy a homlokon, ami elég ahhoz, hogy továbbfejlessze a hülye példámat, más következményekkel jár. Azonban, szabadon vektorok is megtalálhatók a vyshmat során (oda ne menj :)).

Műveletek vektorokkal. A vektorok kollinearitása

BAN BEN iskolai tanfolyam geometria, számos vektoros műveletet és szabályt veszünk figyelembe: összeadás a háromszög szabály szerint, összeadás a paralelogramma szabály szerint, vektorkülönbség szabály, vektor szorzása számmal, vektorok skaláris szorzata stb. Kiindulásként ismételjünk meg két olyan szabályt, amelyek különösen fontosak az analitikus geometria problémáinak megoldására.

A vektorok hozzáadásának szabálya a háromszögszabály segítségével

Tekintsünk két tetszőleges nem nulla vektort és:

Meg kell találni ezeknek a vektoroknak az összegét. Tekintettel arra, hogy minden vektort szabadnak tekintünk, a vektort félretesszük vége vektor:

A vektorok összege a vektor. A szabály jobb megértése érdekében célszerű fizikai jelentést adni bele: hadd mozogjon valamilyen test a vektoron, majd a vektoron. Ekkor a vektorok összege a kapott útvonal vektora, melynek kezdete a kiindulási pontban van, a vége pedig az érkezési pontban van. Hasonló szabályt fogalmaznak meg tetszőleges számú vektor összegére. Ahogy mondani szokták, a test nagyon dőlve is haladhat cikkcakk mentén, vagy esetleg robotpilóta segítségével - a kapott összegvektor mentén.

By the way, ha a vektor elhalasztják elindult vektor, akkor megkapjuk az ekvivalenst paralelogramma szabály vektorok összeadása.

Először is a vektorok kollinearitásáról. A két vektort ún kollineáris, ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek. Nagyjából véve párhuzamos vektorokról beszélünk. De velük kapcsolatban mindig a „kollineáris” jelzőt használják.

Képzeljünk el két kollineáris vektort. Ha ezeknek a vektoroknak a nyilai ugyanabba az irányba mutatnak, akkor az ilyen vektorokat hívjuk társrendező. Ha a nyilak felé mutatnak különböző oldalak, akkor a vektorok lesznek ellentétes irányokba.

Megnevezések: A vektorok kollinearitása a szokásos párhuzamossági jellel írható: , míg a részletezés lehetséges: (a vektorok együtt irányítottak) vagy (a vektorok ellentétes irányúak).

A munka egy nem nulla vektor egy számon olyan vektor, amelynek hossza egyenlő , és a és a vektorok együtt irányulnak és ellentétes irányúak.

A vektor számmal való szorzásának szabálya könnyebben érthető kép segítségével:

Nézzük meg részletesebben:

1 irány. Ha a szorzó negatív, akkor a vektor irányt változtat az ellenkezőjére.

2) Hossz. Ha a szorzót vagy belül tartalmazza, akkor a vektor hossza csökken. Tehát a vektor hossza fele a vektor hosszának. Ha a modulo szorzó több mint egy, akkor a vektor hossza növeli időben.

3) Kérjük, vegye figyelembe minden vektor kollineáris, míg az egyik vektor egy másikon keresztül fejeződik ki, például . Ennek a fordítottja is igaz: ha egy vektor kifejezhető egy másikon keresztül, akkor az ilyen vektorok szükségszerűen kollineárisak. És így: ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor kollineárist kapunk(az eredetihez képest) vektor.

4) A vektorok közös irányításúak. Vektorok és szintén társrendezők. Az első csoport bármely vektora ellentétes irányú a második csoport bármely vektorához képest.

Mely vektorok egyenlők?

Két vektor egyenlő, ha azonos irányúak és azonos hosszúságúak. Megjegyzendő, hogy az együttirányú irányúság a vektorok kollinearitását jelenti. A meghatározás pontatlan (redundáns) lenne, ha azt mondanánk: „Két vektor egyenlő, ha kollineárisak, egyirányúak és azonos hosszúságúak.”

A szabad vektor fogalma szempontjából az egyenlő vektorok ugyanazok a vektorok, amint azt az előző bekezdésben tárgyaltuk.

Vektor koordináták a síkon és a térben

Az első pont az, hogy vegyük figyelembe a vektorokat a síkon. Ábrázoljunk egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert, és ábrázoljuk a koordináták origójából egyetlen vektorok és:

Vektorok és ortogonális. Ortogonális = merőleges. Azt javaslom, hogy lassan szokja meg a kifejezéseket: a párhuzamosság és a merőlegesség helyett használjuk a szavakat, ill. kollinearitásÉs ortogonalitás.

Kijelölés: A vektorok ortogonalitását a szokásos merőlegességi szimbólummal írjuk, például: .

A vizsgált vektorokat ún koordináta vektorok vagy orts. Ezek a vektorok kialakulnak alapon a felszínen. Hogy mi az alap, az sokak számára intuitív módon világos, a cikkben részletesebb információk találhatók A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja Egyszerű szavakkal, a koordináták alapja és eredete meghatározza az egész rendszert - ez egyfajta alap, amelyen a teljes és gazdag geometriai élet forr.

Néha a konstruált alapot ún ortonormális a sík alapja: „orto” - mivel a koordinátavektorok merőlegesek, a „normalizált” jelző egységet jelent, pl. a bázisvektorok hossza eggyel egyenlő.

Kijelölés: zárójelbe szokták írni az alapot, amelyen belül szigorú sorrendben bázisvektorok vannak felsorolva, például: . Koordinátavektorok ez tiltottátrendezni.

Bármi sík vektor az egyetlen módja kifejezve:
, Ahol - számok amelyeket úgy hívnak vektor koordináták ezen az alapon. És maga a kifejezés hívott vektorbontásalapján .

Felszolgált vacsora:

Kezdjük az ábécé első betűjével: . A rajzon jól látható, hogy egy vektor bázisra bontásakor az imént tárgyaltak kerülnek felhasználásra:
1) a vektor számmal való szorzásának szabálya: és ;
2) vektorok összeadása a háromszögszabály szerint: .

Most mentálisan ábrázolja a vektort a sík bármely más pontjáról. Teljesen nyilvánvaló, hogy hanyatlása „kérlelhetetlenül követni fogja őt”. Itt van, a vektor szabadsága - a vektor „mindent magával visz”. Ez a tulajdonság természetesen minden vektorra igaz. Vicces, hogy magukat az alapvektorokat (szabad) nem kell az origóból kirajzolni, pl. az egyiket a bal alsóba, a másikat a jobb felsőbe lehet rajzolni, és semmi sem fog változni! Igaz, ezt nem kell megtennie, mivel a tanár eredetiséget is mutat, és egy váratlan helyen „kreditet” von le.

A vektorok pontosan szemléltetik a vektor számmal való szorzásának szabályát, a vektor az alapvektorral együtt, a vektor az alapvektorral ellentétes irányban irányul. Ezeknél a vektoroknál az egyik koordináta egyenlő nullával, pontosan így írhatja le:


A bázisvektorok pedig egyébként ilyenek: (sőt, önmagukon keresztül fejeződnek ki).

És végül: , . Egyébként mi a vektoros kivonás, és miért nem beszéltem a kivonás szabályáról? Valahol a lineáris algebrában, nem emlékszem, hol, megjegyeztem, hogy a kivonás különleges eset kiegészítés. Így a „de” és „e” vektorok kiterjesztése egyszerűen összegként írható fel: , . Kövesse a rajzot, hogy megtudja, mennyire tisztán működik ezekben a helyzetekben a vektorok háromszögszabály szerinti jó öreg összeadása.

A forma figyelembe vett dekompozíciója néha vektorbontásnak nevezik az ort rendszerben(azaz egységvektorok rendszerében). De nem ez az egyetlen módja a vektor írásának, a következő lehetőség gyakori:

Vagy egyenlőségjellel:

Magukat a bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel: és

Azaz a vektor koordinátái zárójelben vannak feltüntetve. Gyakorlati feladatokban mindhárom jelölési lehetőséget alkalmazzuk.

Kételkedtem, hogy szóljak-e, de mégis elmondom: a vektorkoordináták nem rendezhetők át. Szigorúan az első helyen felírjuk az egységvektornak megfelelő koordinátát, szigorúan a második helyen felírjuk az egységvektornak megfelelő koordinátát. Valóban, és két különböző vektor.

Kitaláltuk a koordinátákat a gépen. Most nézzük a vektorokat a háromdimenziós térben, itt szinte minden a régi! Csak még egy koordinátát ad hozzá. Nehéz háromdimenziós rajzokat készíteni, ezért egy vektorra korlátozom magam, amelyet az egyszerűség kedvéért félreteszek az origótól:

Bármi vektor háromdimenziós tér Tud az egyetlen módja bontsa ki ortonormális alapon:
, hol vannak a vektor (szám) koordinátái ebben a bázisban.

Példa a képről: . Nézzük meg, hogyan működnek itt a vektorszabályok. Először megszorozzuk a vektort egy számmal: (piros nyíl), (zöld nyíl) és (málna nyíl). Másodszor, itt van egy példa több, jelen esetben három vektor összeadására: . Az összegvektor a kezdeti kiindulási pontnál (a vektor kezdetén) kezdődik és a végső érkezési pontnál (a vektor végén) ér véget.

A háromdimenziós tér minden vektora természetesen szintén szabad, próbálja meg mentálisan félretenni a vektort bármely más pontból, és megérti, hogy a felbomlása „vele marad”.

Hasonló a lapos tokhoz, írás mellett széles körben használatosak a zárójeles változatok: akár .

Ha egy (vagy két) koordinátavektor hiányzik a bővítésből, akkor a helyükre nullákat teszünk. Példák:
vektor (alaposan ) - írjunk ;
vektor (alaposan ) - írjunk ;
vektor (alaposan ) - írjunk .

A bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel:

Valószínűleg ez a minimum elméleti tudás, az analitikus geometriai problémák megoldásához szükséges. Sok kifejezés és meghatározás lehet, ezért azt javaslom, hogy a bábuk olvassák el újra és értsék meg ez az információújra. És minden olvasó számára hasznos lesz, ha időnként az alapleckére hivatkozik, hogy jobban elsajátítsa az anyagot. Kollinearitás, ortogonalitás, ortonormális alap, vektorbontás – ezeket és más fogalmakat a jövőben gyakran használni fogják. Megjegyzem, hogy az oldalon található anyagok nem elegendőek az elméleti teszt vagy a geometriai kollokvium sikeres teljesítéséhez, mivel minden tételt gondosan titkosítok (és bizonyítások nélkül) - a tudományos előadásmód rovására, de plusz a megértéshez. a téma. Ha részletes elméleti információkat szeretne kapni, kérjük, hajoljon meg Atanasyan professzor előtt.

És áttérünk a gyakorlati részre:

Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatai.
Műveletek koordinátákban lévő vektorokkal

Nagyon tanácsos megtanulni a teljesen automatikusan figyelembe veendő feladatok megoldását és a képleteket memorizálni, nem is kell szándékosan emlékezni rá, ők maguk is emlékezni fognak rá =) Ez nagyon fontos, mivel az analitikus geometria egyéb problémái a legegyszerűbb elemi példákon alapulnak, és bosszantó lesz további időt tölteni a gyalogevéssel. . Nem kell rögzíteni a felső gombokat az ingen, sok minden ismerős az iskolából.

Az anyag bemutatása párhuzamos menetet fog követni - mind a sík, mind a tér szempontjából. Azért, mert az összes képletet... majd meglátod.

Hogyan keressünk vektort két pontból?

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

Ha a térben két pont és és adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

vagyis a vektor végének koordinátáiból ki kell vonni a megfelelő koordinátákat a vektor eleje.

Gyakorlat: Ugyanezekre a pontokra írjuk fel a vektor koordinátáinak megkeresésére szolgáló képleteket. Képletek az óra végén.

1. példa

Adott a sík két pontja és . Keresse meg a vektor koordinátáit

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Alternatív megoldásként a következő bejegyzés használható:

Az esztéták ezt fogják eldönteni:

Én személy szerint a felvétel első verzióját szoktam meg.

Válasz:

A feltétel szerint nem kellett rajzot készíteni (ami jellemző az analitikus geometriai problémákra), de azért, hogy néhány pontot tisztázzunk a próbabábukra, nem leszek lusta:

Mindenképpen meg kell értened pontkoordináták és vektorkoordináták közötti különbség:

Pont koordinátái– ezek közönséges koordináták egy téglalap alakú koordinátarendszerben. Tedd fel a pontokat Koordináta sík Szerintem 5-6 osztálytól mindenki tudja. Minden pontnak szigorú helye van a síkon, és nem mozgathatók sehova.

A vektor koordinátái– ez a bázis szerinti bővítése, jelen esetben. Bármely vektor szabad, így ha kívánjuk vagy szükséges, könnyen el tudjuk távolítani a sík másik pontjáról. Érdekes, hogy a vektorokhoz egyáltalán nem kell tengelyeket vagy téglalap alakú koordinátarendszert építeni, csak egy bázisra, jelen esetben a sík ortonormális bázisára van szükség.

A pontok koordinátái és a vektorok koordinátái hasonlónak tűnnek: , és koordináták jelentése teljesen különböző, és tisztában kell lennie ezzel a különbséggel. Ez a különbség természetesen a térre is vonatkozik.

Hölgyeim és uraim, töltsük meg a kezünket:

2. példa

a) Pontokat és kapnak. Keresse meg a vektorokat és .
b) Pontokat adunk És . Keresse meg a vektorokat és .
c) Pontokat és kapnak. Keresse meg a vektorokat és .
d) Pontokat adnak. Keressen vektorokat .

Talán ennyi is elég. Ezek a példák, hogy döntsd el magad, próbáld meg nem hanyagolni, kifizetődik ;-). Nincs szükség rajzok készítésére. Megoldások és válaszok az óra végén.

Mi a fontos analitikus geometriai feladatok megoldásánál? Fontos, hogy RENDKÍVÜL ÓVATOSAN legyünk, hogy elkerüljük a mesteri „kettő plusz kettő egyenlő nulla” hibát. Azonnal elnézést kérek, ha valahol hibáztam =)

Hogyan lehet megtudni egy szakasz hosszát?

A hosszt, mint már említettük, a modulusjel jelzi.

Ha a sík két pontja és , akkor a szakasz hosszát a képlet segítségével számíthatjuk ki

Ha a térben két pont és és adott, akkor a szakasz hossza a képlet segítségével számítható ki

Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat felcseréljük: és , de az első lehetőség szabványosabb

3. példa

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot

Vonalszakasz - ez nem vektor, és természetesen nem mozgathatja sehova. Ezen kívül, ha méretarányosan rajzol: 1 egység. = 1 cm (két jegyzetfüzet cella), akkor a kapott válasz szabályos vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.

Igen, a megoldás rövid, de van benne még egy-két fontos pont, amit szeretnék tisztázni:

Először is, a válaszban a dimenziót helyezzük el: „egységek”. A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért a matematikailag helyes megoldás az általános megfogalmazás: „egységek” - rövidítve „egységek”.

Másodszor, ismételjük meg iskolai anyag, ami nem csak a vizsgált probléma esetén hasznos:

figyelni fontos technikai technika – a szorzó eltávolítása a gyökér alól. A számítások eredményeként eredményt kapunk, és a jó matematikai stílus magában foglalja a faktor eltávolítását a gyökér alól (ha lehetséges). Részletesebben a folyamat így néz ki: . Természetesen nem lenne hiba, ha a választ úgy hagynánk, de ez mindenképpen hiányosság és nyomós érv lenne a tanári civakodás mellett.

Íme más gyakori esetek:

Gyakran van elég a gyökérnél nagy szám, Például . Mi a teendő ilyen esetekben? A számológép segítségével ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e 4-gyel: . Igen, teljesen felosztották, így: . Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? . És így: . A szám utolsó számjegye páratlan, így a harmadszori 4-gyel való osztás nyilvánvalóan nem működik. Próbáljunk meg osztani kilenccel: . Ennek eredményeként:
Kész.

Következtetés: ha a gyökér alatt olyan számot kapunk, amely egészében nem kinyerhető, akkor megpróbáljuk eltávolítani a faktort a gyökér alól - számológéppel ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb.

A különböző problémák megoldása során a gyökerek mindig a gyökér alól igyekeznek kiszedni a tényezőket, hogy elkerüljék az alacsonyabb osztályzatot és a szükségtelen problémákat a tanári megjegyzések alapján történő véglegesítés során.

Ismételjük meg a négyzetgyököket és más hatványokat is:

A fokozattal rendelkező műveletek szabályai Általános nézet egy iskolai algebrai tankönyvben megtalálható, de szerintem a megadott példákból már minden vagy majdnem minden világos.

Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:

4. példa

Pontokat és kapnak. Keresse meg a szakasz hosszát.

A megoldás és a válasz a lecke végén található.

Hogyan találjuk meg a vektor hosszát?

Ha adott egy síkvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki.

Ha adott egy térvektor, akkor a hosszát a képlet alapján számítjuk ki .

Analitikus geometria

		Az esemény hete	A modul pontszáma pontokban
		modulvezérlés
			Maximális		Minimális
1. félév
DZ No. 1, 1. rész
DZ No. 1, 2. rész
Vezérlés 1. számú modullal
Díjpontok
Vezérlés 2. számú modullal
Díjpontok

Ellenőrző intézkedések és végrehajtásuk ütemezése 1. modul

1. DZ No. 1 1. rész „Vektoralgebra” Kiadási határidő 2 hét, esedékesség - 7 hét

2. DZ No. 1 2. rész „Egyenesek és síkok”

A kibocsátás időtartama 1 hét, esedékessége 9 hét

3. Teszt az 1. számú modulon (RC No. 1) „Vektoralgebra, egyenesek és síkok”. Időtartam: 10 hét

1. DZ No. 2 „Görbék és felületek 2. rendelés" Kiadási idő 6 hét, esedékesség - 13 hét

5. "Görbék és felületek" teszt 2. sorrend." Időtartam: 14 hét

6. Vezérlés a 2. számú modulon (RC No. 2) „Lineáris mátrixok és rendszerek algebrai egyenletek»

Időtartam: 16 hét

Az aktuális szabályozási lehetőségek kialakításánál használt jellemző feladatok

1. Házi feladat 1. sz. "Vektoralgebra és analitikus geometria"

Adott: A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) pont,			A(1;2;0); 30-as számok,				b 1; sarok
1. Határozza meg a | vektor hosszát		n | , Ha			p aq ,	n bp q	és p, q egységnyi

vektorok, amelyek szögei egyenlők.

2. Határozzuk meg az AB vektort a:1 arányban osztó M pont koordinátáit!

3. Ellenőrizze, hogy lehetséges-e vektorokon AB és AD paralelogrammát szerkeszt. Ha igen, akkor keresse meg a paralelogramma oldalainak hosszát!

4. Határozzuk meg az ABCD paralelogramma átlói közötti szögeket!

5. Keresse meg az ABCD paralelogramma területét.

6. Győződjön meg arról, hogy a vektorok AB, AD, AA 1 paralelepipedont építhetsz. Határozzuk meg ennek a paralelepipedonnak a térfogatát és a magasságának hosszát!

7. Keresse meg a vektor koordinátáit AH, az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelepipedon magassága mentén, az A pontból az A 1 B 1 C 1 D 1 alapsíkba húzva,

a H ​​pont koordinátái és az AH vektorral egybeeső egységvektor koordinátái.

8. Keresse meg a vektorbontást AH az AB, AD, AA 1 vektorokkal.

9. Keresse meg a vektor vetületét! AH az AA 1 vektorba.

10. Írja fel az A, B, D pontokon áthaladó a) P síkok egyenleteit;

b) P1 áthalad az A ponton és az A1 B1 egyenesen;

c) P2 a P síkkal párhuzamosan áthaladó A1 ponton; d) P3, amely AD és AA1 egyeneseket tartalmaz;

e) P4, amely áthalad az A és C1 pontokon, merőleges a P síkra.

11. Határozzuk meg azon egyenesek távolságát, amelyeken az AB és CC élek fekszenek 1; írd fel a rájuk merőleges közös kanonikus és parametrikus egyenleteit.

12. Keresse meg az A1 pontra szimmetrikus A 2 pontot az alap síkjához képest!

13. Határozza meg a szöget azon egyenes között, amelyen az A átló fekszik 1 C, és az ABCD alapsík.

14. megtalálja éles sarok ABC síkok között 1 D (P sík) és ABB1 A1 (P1 sík).

2. 2. házi feladat. "Másodrendű görbék és felületek"

Az 1–2. feladatban hozzuk kanonikus alakba egy másodrendű egyenes egyenletét, és készítsünk egy görbét az OXY koordinátarendszerben.

BAN BEN A 3. feladat a megadott adatok felhasználásával keresse meg a görbe egyenletét az OXY koordinátarendszerben! A feladatokhoz 1-3 jelzi:

1) kanonikus nézet egyenes egyenletek;

2) párhuzamos fordítási transzformáció, amely kanonikus formához vezet;

3) ellipszis esetén: féltengelyek, excentricitás, középpont, csúcsok, gócok, távolságok a C ponttól a gócokig; hiperbola esetén: féltengelyek, excentricitás, középpont, csúcsok, gócok, távolságok a C ponttól a gócokig, aszimptoták egyenletei; parabola esetén: paraméter, csúcs, fókusz, direktrix egyenlet, távolságok a C ponttól a fókuszig és irányvonal;

4) a C pontnál ellenőrizze azt a tulajdonságot, amely pontok helyeként jellemzi ezt a típusú görbét.

BAN BEN A 4. feladat jelölje meg azt a párhuzamos transzformációt, amely az adott felületi egyenletet kanonikus formába hozza, a felületi egyenlet kanonikus alakját és a felület típusát. Szerkesszünk felületet az OXYZ kanonikus koordinátarendszerben.

	5x 2y 2 20x 2y 4, C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	A parabola szimmetrikus az y 1 0 egyeneshez képest, és fókusza van							; 1 ,
	metszi az OX tengelyt a C pontban				; 0 , és ágai a félsíkban fekszenek	x 0.
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Teszt az 1. modulon „Vektoralgebra. Analitikus geometria"

1. A vektorok jobb és bal hármasa. Meghatározás vektor termék vektorok. Fogalmazza meg a vektorok vektorszorzatának tulajdonságait! Készítsen képletet két, a koordinátáikkal meghatározott vektor vektorszorzatának kiszámítására ortonormális alapon!

vektorok

a m n,

mn,

1, m, n

Talán,

vektorbontás

c 3 i

12 j 6k

vektorok

3 j 2 k és b 2 i 3 j 4 k.

Írd fel a sík egyenletét,

áthalad az M 1 5, 1, 4 pontokon,

M 2 2, 3,1 és

merőleges a síkra

6x 5y 4z 1 0. Írj fel kanonikus egyenleteket!

az M 0 0, 2,1 ponton átmenő és a talált síkra merőleges egyenes.

Teszt "Másodrendű görbék és felületek"

1. Az ellipszis definíciója a pontok geometriai lokuszaként. Ellipszis kanonikus egyenletének levezetése derékszögű derékszögű koordinátarendszerben. A görbe alapvető paraméterei.

2. Felületi egyenlet x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 kanonikushoz vezet

ész. Készítsen rajzot a kanonikus koordinátarendszerben! Adja meg ennek a felületnek a nevét.

3. Írjon fel egyenletet egy egyentengelyű hiperbolára, ha ismert O 1 1, 1 középpontja és F 1 3, 1 egyik fókusza! Készítsen rajzot.

Teszt a 2. számú modulon „Másodrendű görbék és felületek. Mátrixok és lineáris algebrai egyenletrendszerek"

1. Homogén lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE). A homogén SLAE rögzítésének formái. Egy homogén SLAE nullától eltérő megoldásainak létezésére vonatkozó kritérium bizonyítása.

2. Oldja meg az AX B mátrixegyenletet,

Csinálj egy ellenőrzést.

3. a) Oldja meg a SLAE-t. b) Keresse meg a megfelelő homogén rendszer normál alapvető megoldási rendszerét, az inhomogén rendszer egy adott megoldását; írja át rajtuk ennek az inhomogén rendszernek az általános megoldását:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Kérdések a modultesztekre való felkészüléshez, próba munka, teszt és vizsga

1. Geometriai vektorok. Ingyenes vektorok. Kollineáris és koplanáris vektorok definíciója. Lineáris műveletek vektorokon és tulajdonságaik.

2. Meghatározás lineáris függőségés a vektorok lineáris függetlensége. Lineáris függési feltételek bizonyítása 2 és 3 vektorok.

3. Bázis meghatározása vektorterekben V 1, V 2, V 3. A vektor bázishoz viszonyított kiterjesztésének létezéséről és egyediségéről szóló tétel bizonyítása. Lineáris műveletek a bázis koordinátáival meghatározott vektorokon.

4. Vektorok skaláris szorzatának meghatározása, kapcsolata a vektor tengelyre merőleges vetületével. A skalárszorzat tulajdonságai, bizonyítása. A vektorok skaláris szorzatának ortonormális alapon számított képletének levezetése.

5. Az ortonormális alap definíciója. Egy ortonormális bázisban lévő vektor koordinátái és ennek a bázisnak a vektoraira vetített ortogonális vetületei közötti kapcsolat. Levezetési képletek egy vektor hosszának, iránykoszinuszainak és két vektor közötti szög kiszámításához ortonormális alapon.

6. A vektorok jobb és bal hármasa. A vektorok vektorszorzatának definíciója, mechanikai és geometriai jelentése. A vektorszorzat tulajdonságai (anélkül dokumentum). A vektorszorzat ortonormális alapon történő kiszámítására szolgáló képlet levezetése.

7. Meghatározás vegyes termék vektorok. Nem egysíkú vektorokra épített paralelepipedon és egy gúla térfogata. Három vektor egysíkúságának feltétele. Vegyes termék tulajdonságai. A vegyes szorzat ortonormális alapon történő kiszámítására szolgáló képlet levezetése.

8. Derékszögű derékszögű koordinátarendszer definíciója. Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatainak megoldása.

9. Különféle típusú egyenletek egy síkon: vektoros, parametrikus, kanonikus. Az irányvektor egyenes.

10. Kettőn átmenő egyenes egyenletének levezetése adott pontokat.

11. Annak a tételnek a bizonyítása, miszerint egy síkon egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy elsőfokú egyenlet határoz meg egy egyenest. Egy egyenes normálvektorának meghatározása.

12. Egyenlet -val lejtő, egy egyenes egyenlete „szegmensekben”. Geometriai jelentés az egyenletekben szereplő paraméterek. Két egyenes közötti szög. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei, általános vagy kanonikus egyenleteik alapján.

13. Egy pont és egy sík egyenes távolságának képletének levezetése.

14. Annak a tételnek a bizonyítása, hogy a térben egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy elsőfokú egyenlet határoz meg egy síkot. A sík általános egyenlete. Egy sík normálvektorának meghatározása. Három adott ponton áthaladó sík egyenletének levezetése. A sík egyenlete „szegmensekben”.

15. Síkok közötti szög. Két sík párhuzamosságának és merőlegességének feltételei.

16. A pont és a sík távolságának képletének levezetése.

17. Egyenes térbeli általános egyenletei. Kimenet vektor, kanonikus és parametrikus egyenletek egyenesen a térben.

18. Két egyenes térbeli szöge, két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei. Két egyenes ugyanahhoz a síkhoz való tartozásának feltételei.

19. Az egyenes és a sík szöge, az egyenes és a sík párhuzamosságának és merőlegességének feltételei. Feltétel, hogy egy egyenes egy adott síkhoz tartozzon.

20. A keresztező vagy párhuzamos vonalak közötti távolság megtalálásának problémája.

21. Az ellipszis definíciója a pontok geometriai lokuszaként. Az ellipszis kanonikus egyenletének levezetése.

22. A hiperbola definíciója pontok lokuszaként. A kanonikus hiperbola egyenlet levezetése.

23. A parabola definíciója pontok helyeként. A kanonikus parabola egyenlet levezetése.

24. Meghatározás hengeres felület. Kanonikus egyenletek hengeres felületek 2. rend.

25. A forradalom felületének fogalma. Ellipszis, hiperbola és parabola elforgatásával képzett felületek kanonikus egyenletei.

26. Egy ellipszoid és egy kúp kanonikus egyenlete. Ezen felületek alakjának vizsgálata metszetek módszerével.

27. Hiperboloidok kanonikus egyenletei. Hiperboloidok alakjának vizsgálata metszetek módszerével.

28. Paraboloidok kanonikus egyenletei. Paraboloidok alakjának vizsgálata metszetek módszerével.

29. A mátrix fogalma. A mátrixok típusai. Mátrix egyenlőség. Lineáris műveletek mátrixokon és tulajdonságaik. Mátrixok transzponálása.

30. Mátrixszorzás. A mátrixszorzási művelet tulajdonságai.

31. Inverz mátrix definíciója. Az inverz mátrix egyediségének bizonyítása. A tétel bizonyítása két invertálható mátrix szorzatának inverz mátrixán.

32. Inverz mátrix létezésének kritériuma. Az adjungált mátrix fogalma, kapcsolata az inverz mátrixszal.

33. Cramer-képletek levezetése a rendszer megoldására lineáris egyenletek nem szinguláris négyzetmátrixszal.

34. Lineáris függés és lineáris függetlenség a mátrix sorai (oszlopai). A sorok (oszlopok) lineáris függésének kritériumának bizonyítása.

35. A mátrix-moll definíciója. Alap moll. A tétel alapon moll (doqua nélkül). Következményének bizonyítéka négyzetmátrixokra.

36. A kiskorúak határolásának módszere a mátrix rangjának megállapításához.

37. Mátrix sorok (oszlopok) elemi transzformációi. Az inverz mátrix megtalálása elemi transzformációk módszerével.

38. Tétel egy mátrix rangjának invarianciájáról elemi transzformációk esetén. Mátrix rangjának meghatározása elemi transzformációk módszerével.

39. Lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE). A SLAE rögzítésének különféle formái. Csatlakozó és inkompatibilis SLAE. A Kronecker-Kapell kritérium igazolása az SLAE kompatibilitására vonatkozóan.

40. Homogén lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE). Megoldásaik tulajdonságai.

41. Meghatározás alapvető rendszer egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer (SLAE) megoldásai (FSR). Struktúratétel általános megoldás homogén SLAE. Az FSR építése.

42. Inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE). Inhomogén SLAE általános megoldásának szerkezetére vonatkozó tétel bizonyítása.

Esemény vezérlése	Feladatok száma	Pontok a feladatért
DZ No. 1, 1. rész
Elért pontok
Esemény vezérlése	Feladatok száma	Pontok a feladatért
DZ No. 1, 2. rész
Elért pontok

Esemény vezérlése				Feladatok száma			Pontok a feladatért
Vezérlés 1. számú modullal				1 elmélet és 3 probléma			elmélet – 0; 3; 6
							feladatok - 0; 1; 2
			Elért pontok
Esemény vezérlése				Feladatok száma			Pontok a feladatért
	Elért pontok
Esemény vezérlése				Feladatok száma			Pontok a feladatért
				1 elmélet és 3 probléma			elmélet – 0; 3; 6
							feladatok - 0; 1; 2
			Elért pontok
						01 elmélet és 3 probléma			elmélet – 0; 3; 6
		feladatok - 0; 1; 2
			Elért pontok

A magazinban a pontozás szabályai

1. Pontok a távirányítóért. A munkavégzésért járó pontokat a határidőt követő héten adjuk ki, a megfelelő táblázat szerint. A tanulónak joga van az egyéni feladatokat határidő előtt felülvizsgálatra leadni és a tanár által feljegyzett hibákat kijavítani, a szükséges tanácsok megszerzése mellett. Ha a feladat beadási határidejéig a hallgató a probléma megoldását a megfelelő változatba hozza, akkor díjazásban részesül maximális pontszám. A feladat beadási határidejének lejárta után az a hallgató folytathatja a feladat elvégzését, aki nem érte el a minimális pontszámot. Ráadásul abban az esetben sikeres munka a hallgatót jóváírják minimális pontszám DZ számára.

2. Pontok a CD-ért. Ha egy hallgató nem éri el időben a CD minimum pontszámát, akkor a félév során kétszer is átírhatja ezt a munkát. Ha az eredmény pozitív (a pontszámok nem alacsonyabbak a megállapított minimumnál), a hallgató megkapja a CR minimális pontszámát.

3. Pontok a „moduláris vezérlésért”.„Modulos vezérlésként” javasolt papírmunka, amely elméleti és gyakorlati részekből áll. A modulvezérlés minden részét külön értékeljük. Az a tanuló, aki a vizsga valamelyik részében a minimumnál nem alacsonyabb osztályzatot kap, ezt a részt sikeresnek tekinti, és a jövőben mentesül a teljesítése alól. A tanár döntése alapján a feladat elméleti részében interjú is készíthető. Ha egy hallgató nem éri el az egyes munkarészeknél a megállapított minimumot, akkor a félév során részenként kétszer próbálkozik a helyzet javítására. Egy pozitív

Ennek eredményeként (a megállapított minimumnál nem kevesebb pontkészlet) a hallgató minimális pontszámot kap a „modulellenőrzésért”.

4. Modul fokozat. Ha a hallgató elvégezte a modul összes aktuális ellenőrzési tevékenységét (legalább a megállapított minimális pontszámot elérte),

akkor a modul érdemjegye a modul összes kontrolltevékenységének pontjainak összege (ebben az esetben a hallgató automatikusan eléri legalább a minimális küszöböt). A modul végső pontszámait az összes ellenőrzési tevékenység befejezése után rögzítik a naplóban.

5. Összpontszám. Pontok összege két modulra.

6. Értékelés. A záróbizonyítvány (vizsga, differenciált teszt, teszt) az abban a félévben végzett munka eredménye alapján történik, miután a hallgató a tervezett mennyiségű oktató munkát elvégezte, és minden modulra a megállapított minimumnál nem alacsonyabb osztályzatot kapott. Az összes modul maximális pontszáma, beleértve a szorgalmi pontokat is, 100, a minimum 60. Az összes modul pontösszege képezi a tudományág félévi értékelését. Az a hallgató, aki minden ellenőrző eseményen sikeresen teljesített, a félévre a tudományágból a skála szerint záró osztályzatot kap:

		vizsgapontszám,	Értékelés a teszten
		differenciált helyezés
		kielégítően
		elégtelen

A záróvizsgán (a tudományág anyagának egészére vonatkozó írásbeli munka, a vizsgaidőszak során végzett írásbeli munka) emelheti értékelését, így a vizsgajegyét is, a maximális pontszám 30, a minimum -16 . Ezeket a pontokat összeadjuk a szakterület összes moduljára kapott pontokkal. Ugyanakkor a vizsga „jó” osztályzatának emeléséhez a hallgatónak legalább 21 pontot kell elérnie, „kitűnőre” ─ legalább 26 pontot. Azon szakterületeken, ahol a tudományágban kreditet biztosítanak, a minősítés nem emelkedik. Azok a hallgatók nyernek, akiknek a vizsgaidőszak elején 0-59 osztályzatuk van minimum szükséges tudományágból pozitív osztályzatot szerezni az egyes modulokban korábban nem teljesített teszttevékenységek ismételt teljesítésével. Ugyanakkor a diákok, akik nem jó ok, végül (a vizsgaidőszak végére) „elégedő”-nél nem magasabb osztályzatot kaphat.

Az abszcisszát és az ordinátatengelyt ún koordináták vektor. A vektorkoordinátákat általában az űrlapon tüntetik fel (x, y), és maga a vektor: =(x, y).

Kétdimenziós feladatok vektorkoordinátáinak meghatározására szolgáló képlet.

Kétdimenziós probléma esetén ismert vektorral pontok koordinátái A(x 1;y 1)És B(x 2 ; y 2 ) kiszámítható:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Térbeli problémák vektorkoordinátáinak meghatározására szolgáló képlet.

Térbeli probléma esetén ismert vektorral pontok koordinátái A (x 1;y 1;z 1 ) és B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) képlettel lehet kiszámítani:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

A koordináták átfogó leírást adnak a vektorról, mivel a koordináták segítségével maga a vektor is megszerkeszthető. A koordináták ismeretében könnyen kiszámítható és vektor hossza. (3. ingatlan lent).

A vektorkoordináták tulajdonságai.

1. Bármelyik egyenlő vektorok egyetlen koordinátarendszerben van egyenlő koordináták.

2. Koordináták kollineáris vektorok arányos. Feltéve, hogy egyik vektor sem nulla.

3. Bármely vektor hosszának négyzete egyenlő annak négyzeteinek összegével koordináták.

4.A műtét során vektor szorzás tovább valós szám minden koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal.

5. A vektorok összeadásánál a megfelelő összegét számítjuk ki vektor koordináták.

6. Skaláris szorzat két vektor egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével.