Egy ponton középre állítva A.
α - radiánban kifejezett szög.

Meghatározás
Szinusz (sin α) egy trigonometrikus függvény, amely a hipotenusz és a láb közötti α szögtől függ derékszögű háromszög, egyenlő az aránnyal a szemközti oldal hossza |BC| a hypotenus hosszára |AC|.

Koszinusz (cos α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszára |AC|.

Elfogadott jelölések

;
;
.

;
;
.

A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x

A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x

A szinusz és a koszinusz tulajdonságai

Periodikaság

Függvények y = bűn xés y = cos x periodikus periódussal 2π.

Paritás

A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.

Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés

A szinusz és koszinusz függvények definíciós tartományukban folytonosak, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).

	y = bűn x	y = cos x
Hatály és folytonosság	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Növekvő
Csökkenő
Maxima, y ​​= 1
Minimum, y = - 1
Nullák, y = 0
Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0	y = 0	y = 1

Alapképletek

A szinusz és a koszinusz négyzetösszege

Szinusz és koszinusz képlete összegből és különbségből

;
;

Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára

Összeg és különbség képletek

Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül

;
;
;
.

Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül

;
;
;
.

Kifejezés érintőn keresztül

; .

Mikor van nálunk:
; .

Nál nél :
; .

Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata

Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum bizonyos értékeihez.

Kifejezések összetett változókon keresztül

;

Euler-képlet

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

;
;

Származékok

; . Képletek származtatása >>>

N-edrendű származékai:
{ -∞ < x < +∞ }

Szekáns, koszekáns

Inverz függvények

A szinusz és a koszinusz inverz függvénye arszinusz, illetve arkoszinusz.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Alapfogalmak

Először emlékezzünk a definícióra páros, páratlan és periodikus függvények.

2. definíció

A páros függvény olyan függvény, amely nem változtatja meg értékét a független változó előjelének megváltozásakor:

3. definíció

Egy függvény, amely bizonyos szabályos időközönként megismétli az értékeit:

T -- a függvény periódusa.

Páros és páratlan trigonometrikus függvények

Tekintsük a következő ábrát (1. ábra):

1. kép

Itt a $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ és a $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ egységnyi hosszúságú vektorok, amelyek szimmetrikusak a $Ox$ tengelyre.

Nyilvánvaló, hogy ezeknek a vektoroknak a koordinátáit a következő összefüggések kapcsolják össze:

Mivel az egység segítségével a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei meghatározhatók trigonometrikus kör, akkor azt találjuk, hogy a szinusz függvény páratlan, a koszinusz pedig páros függvény lesz, azaz:

A trigonometrikus függvények periodikussága

Tekintsük a következő ábrát (2. ábra).

2. ábra.

Itt a $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ egységnyi hosszúságú vektor.

Csináljunk egy teljes forradalmat a $\overrightarrow(OA)$ vektorral. Azaz forduljunk adott vektor$2\pi $ radiánnal. Ezt követően a vektor teljesen visszatér eredeti helyzetébe.

Mivel a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei meghatározhatók az egységnyi trigonometrikus kör segítségével, így azt kapjuk, hogy

Vagyis a szinusz és a koszinusz függvények periodikus függvények, amelyeknek a legkisebb periódusa $T=2\pi $.

Nézzük most az érintő és a kotangens függvényét. Mivel $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, akkor

Mivel $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, akkor

Példák a trigonometrikus függvények paritása, páratlansága és periodicitása használatával kapcsolatos problémákra

1. példa

Bizonyítsa be a következő állításokat:

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

Mivel az érintő egy periodikus függvény, amelynek minimális periódusa $(360)^0$, így kapjuk

b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$

Mivel a koszinusz egy páros és periodikus függvény, minimum $2\pi $ periódussal, ezt kapjuk

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

Mivel a szinusz egy páratlan és periodikus függvény, amelynek minimális periódusa $(360)^0$, így kapjuk

Egy y változó függőségét egy x változótól, amelyben minden x értéke y egyetlen értékének felel meg, függvénynek nevezzük. A jelöléshez használja az y=f(x) jelölést. Mindegyik függvénynek számos alapvető tulajdonsága van, például monotonitás, paritás, periodicitás és mások.

A paritás és a periodicitás tulajdonságai

Vizsgáljuk meg részletesebben a paritás és a periodicitás tulajdonságait az alap példáján trigonometrikus függvények: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Az y=f(x) függvényt akkor is meghívjuk, ha teljesíti a következő két feltételt:

2. A függvény definíciós tartományába tartozó x pontban lévő függvény értékének meg kell egyeznie a függvény -x pontbeli értékével. Vagyis bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = f(-x).

Ha egy páros függvény grafikonját ábrázolja, az szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

Például az y=cos(x) trigonometrikus függvény páros.

A páratlanság és a periodicitás tulajdonságai

Az y=f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha teljesíti a következő két feltételt:

1. Egy adott függvény definíciós tartományának szimmetrikusnak kell lennie az O ponthoz képest. Vagyis ha valamelyik a pont a függvény definíciós tartományába tartozik, akkor a megfelelő -a pontnak is a definíció tartományába kell tartoznia. az adott függvényről.

2. Bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = -f(x).

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O ponthoz - a koordináták origójához.

Például az y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) trigonometrikus függvények páratlanok.

A trigonometrikus függvények periodikussága

Az y=f (x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha van egy bizonyos T!=0 szám (amelyet az y=f (x) függvény periódusának nevezünk), így a definíciós tartományhoz tartozó x bármely értékére a függvény, az x + T és az x-T számok is a függvény definíciós tartományába tartoznak és az f(x)=f(x+T)=f(x-T) egyenlőség teljesül.

Meg kell érteni, hogy ha T a függvény periódusa, akkor a k*T szám, ahol k bármely nullától eltérő egész szám, egyben a függvény periódusa is. A fentiek alapján azt találjuk, hogy bármely periodikus függvénynek végtelen sok periódusa van. A beszélgetés leggyakrabban egy funkció legkisebb időszakáról szól.

A sin(x) és cos(x) trigonometrikus függvények periodikusak, a legkisebb periódus 2*π.

az egyenlőtlenségek rendszerének kielégítése:

b) Tekintsünk a számegyenesen egy olyan számhalmazt, amely kielégíti az egyenlőtlenségrendszert:

Határozza meg a halmazt alkotó szakaszok hosszának összegét.

7. § A legegyszerűbb képletek

A 3. §-ban megállapítottuk éles sarkokα egy ilyen képlet:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Ugyanaz a képlet			amikor,
				amikor α bármely			tulajdonképpen
				le, legyen M egy pont a trigonometrián
				megfelelő kör
				α szám (7.1. ábra). Akkor		M-nek van társ-
				ordináták x = cos α, y
				Azonban minden pont (x; y) fekszik
				egységsugarú kör középponttal
				trome az eredetnél, kielégítő
				kielégíti az x2 + y2 egyenletet		1, honnan
				cos2 α + sin2 α = 1, szükség szerint.

Tehát a kör egyenletéből következik a cos2 α + sin2 α = 1 képlet. Úgy tűnhet, hogy ezzel új bizonyítást adtunk ennek a hegyesszög-képletnek (összehasonlítva a 3. §-ban megadottal, ahol a Pitagorasz-tételt használtuk). A különbség azonban pusztán külső: az x2 + y2 = 1 kör egyenletének levezetésénél ugyanazt a Pitagorasz-tételt használjuk.

A hegyesszögekre például más képleteket is kaptunk

A szimbólum szerint a jobb oldal mindig nem negatív, míg a bal oldal lehet negatív is. Ahhoz, hogy a képlet minden α-ra igaz legyen, négyzetre kell emelni. A kapott egyenlőség: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Bizonyítsuk be, hogy ez a képlet minden α:1-re igaz

1/(1 + tan2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Probléma 7.1. Vezesse le az alábbi képleteket a definíciókból és a sin2 α + cos2 α = 1 képletből (néhányat már bizonyítottunk):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + cotg2 α

bűn2

Ezek a képletek lehetővé teszik az egyik trigonometrikus függvény értékének ismeretében adott szám, szinte minden mást megtalál-

új Tudjuk például, hogy sin x = 1/2. Ekkor cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, tehát cos x vagy 3/2, vagy − 3/2. Ahhoz, hogy megtudjuk, e két szám közül melyik cos x egyenlő, további információkra van szükség.

Probléma 7.2. Mutassuk meg példákkal, hogy mindkét fenti eset lehetséges.

Probléma 7.3. a) Legyen tan x = −1. Keresse meg a sin x-et. Hány válasz van erre a problémára?

b) Tudjuk az a) pont feltételein túl, hogy sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Amelyre tan α van definiálva, azaz cos α 6= 0.

Probléma 7.4. Legyen sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Keresse meg tg x-et.

7.5. probléma. Legyen tan x = 3, cos x > sin x. Keresse meg cos x, sin x.

7.6. probléma. Legyen tg x = 3/5. Keresse meg sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Probléma 7.7. Bizonyítsd be az azonosságokat:

tan α − sin α

c) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

7.8. probléma. Egyszerűsítse a kifejezéseket:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2;

c) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

8. § A trigonometrikus függvények periódusai

Az x, x+2π, x−2π számok a trigonometrikus kör ugyanazon pontjának felelnek meg (ha a trigonometrikus kör mentén egy plusz kört sétálsz, vissza fogsz térni oda, ahol voltál). Ez a következő azonosságokat jelenti, amelyekről az 5. §-ban már szó volt:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Ezekkel az identitásokkal kapcsolatban már használtuk az „időszak” kifejezést. Adjunk most pontos definíciókat.

Meghatározás. A T 6= 0 számot az f függvény periódusának nevezzük, ha minden x-re igaz az f(x − T) = f(x + T) = f(x) egyenlőség (feltételezzük, hogy x + T és x) − T szerepelnek a függvény definíciós tartományában, ha benne van x). Egy függvényt periodikusnak nevezünk, ha van periódusa (legalább egy).

A periodikus függvények természetesen felmerülnek a leírás során oszcillációs folyamatok. Az egyik ilyen folyamatot már tárgyaltuk az 5. §-ban. Íme, további példák:

1) Legyen ϕ = ϕ(t) az óra lengőingájának a függőlegestől való eltérési szöge t pillanatban. Ekkor ϕ t periodikus függvénye.

2) A feszültség („potenciálkülönbség”, ahogy egy fizikus mondaná) egy váltakozó áramú aljzat két aljzata között,

hogy az idő függvényének tekintjük-e, az periodikus függvény1.

3) Halljuk a zenei hangot. Ekkor a légnyomás egy adott pontban az idő periodikus függvénye.

Ha egy függvénynek van T periódusa, akkor ennek a függvénynek a periódusai is a −T, 2T, −2T számok lesznek. . . - egyszóval minden nT szám, ahol n olyan egész szám, amely nem egyenlő nullával. Valóban, nézzük meg például, hogy f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Meghatározás. Az f függvény legkisebb pozitív periódusa - a szavak szó szerinti jelentésével összhangban - egy pozitív T szám, amelyben T egy f periódusa, és egyetlen T-nél kisebb pozitív szám sem f periódusa.

Egy periodikus függvénynek nem kell a legkisebb pozitív periódussal rendelkeznie (például egy állandó függvénynek tetszőleges számú periódusa van, ezért nincs a legkisebb pozitív periódusa). Példákat is hozhatunk olyan nem állandó periodikus függvényekre, amelyeknek nincs a legkisebb pozitív periódusuk. Ennek ellenére a legtöbb érdekes esetben a periodikus függvények legkisebb pozitív periódusa létezik.

1 Amikor azt mondják, hogy „a hálózat feszültsége 220 volt”, az „effektív effektív értékét” jelenti, amelyről a 21. §-ban fogunk beszélni. Maga a feszültség folyamatosan változik.

Rizs. 8.1. Érintő és kotangens periódusa.

Különösen a szinusz és a koszinusz legkisebb pozitív periódusa a 2π. Bizonyítsuk be ezt például az y = sin x függvényre. Tegyük fel, hogy ellentétben azzal, amit állítunk, a szinusznak olyan T periódusa van, hogy 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Az oszcillációkat leíró függvény legkisebb pozitív periódusát (mint az 1-3. példákban) egyszerűen e rezgések periódusának nevezzük.

Mivel 2π a szinusz és a koszinusz periódusa, ez lesz az érintő és a kotangens periódusa is. Ezeknél a függvényeknél azonban nem 2π a legkisebb periódus: az érintő és a kotangens legkisebb pozitív periódusa π lesz. Valójában az x és x + π számoknak megfelelő pontok a trigonometrikus körön átlósan ellentétesek: x ponttól x + 2π pontig a kör felével pontosan megegyező π távolságot kell megtenni. Ha most az érintő és a kotangens definícióját használjuk az érintők és kotangensek tengelyével, akkor nyilvánvalóvá válnak a tg(x + π) = tan x és ctg(x + π) = ctg x egyenlőségek (8.1. ábra). Könnyen ellenőrizhető (a feladatokban ezt javasoljuk), hogy π valóban az érintő és a kotangens legkisebb pozitív periódusa.

Egy megjegyzés a terminológiáról. A „függvény periódusa” szavakat gyakran a „legkisebb pozitív időszak” jelentésére használják. Tehát ha egy vizsgán azt kérdezik tőled: „100π a szinuszfüggvény periódusa?”, ne rohanjon a válaszadásra, hanem tisztázza, hogy a legkisebb pozitív periódusra gondol, vagy csak az egyik periódusra.

A trigonometrikus függvények tipikus példái a periodikus függvényeknek: bármely "nem túl rossz" periodikus függvény bizonyos értelemben kifejezhető trigonometrikus függvényekkel.

Probléma 8.1. Keresse meg a függvények legkisebb pozitív periódusait:

				c) y = cos πx;

d) y = cos x + cos(1,01x).

Probléma 8.2. A váltóáramú hálózatban a feszültség időfüggőségét az U = U0 sin ωt képlet adja meg (itt t az idő, U feszültség, U0 és ω állandók). A váltakozó áram frekvenciája 50 Hertz (ez azt jelenti, hogy a feszültség másodpercenként 50 oszcillációt okoz).

a) Határozzuk meg ω-t, feltételezve, hogy t másodpercben mérjük;

b) Határozza meg U (legkisebb pozitív) periódusát t függvényében!

8.3. probléma. a) Bizonyítsuk be, hogy a koszinusz legkisebb pozitív periódusa 2π;

b) Igazoljuk, hogy az érintő legkisebb pozitív periódusa egyenlő π-vel.

8.4. probléma. Legyen az f függvény legkisebb pozitív periódusa T. Bizonyítsuk be, hogy az összes többi periódusa nT alakú néhány n egész számra.

8.5. probléma. Bizonyítsuk be, hogy a következő függvények nem periodikusak!

Trigonometrikus funkciókat időszakos, vagyis bizonyos idő elteltével ismétlődnek. Ennek eredményeként elegendő a függvényt ezen az intervallumon tanulmányozni, és a felfedezett tulajdonságokat kiterjeszteni az összes többi periódusra.

Utasítás

1. Ha adunk egy primitív kifejezést, amelyben csak egy trigonometrikus függvény van (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), és a függvényen belüli szöget nem szorozzuk meg egyetlen számmal sem, magát pedig nem emeljük hatalom – használja a definíciót. A sin, cos, sec, cosec tartalmú kifejezéseknél a periódusnak merészen állítsa be a 2P-t, ha pedig az egyenletben szerepel a tg, ctg, akkor P. Tegyük fel, hogy az y=2 sinx+5 függvénynél a periódus egyenlő lesz 2P-vel. .

2. Ha egy trigonometrikus függvény előjele alatti x szöget megszorozzuk valamilyen számmal, akkor ennek a függvénynek a periódusának meghatározásához osszuk el ezzel a számmal a jellemző periódust. Tegyük fel, hogy adott egy y = sin 5x függvény. A szinusz tipikus periódusa 2P; elosztva 5-tel, 2P/5-öt kapunk - ez a kifejezés kívánt periódusa.

3. Egy hatványra emelt trigonometrikus függvény periódusának meghatározásához értékelje ki a hatvány paritását. Mert páros fokozat felére csökkenti a tipikus időszakot. Tegyük fel, hogy ha megadjuk az y = 3 cos^2x függvényt, akkor a tipikus 2P periódus 2-szeresére csökken, tehát a periódus egyenlő lesz P-vel. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a tg, ctg függvények minden P-re periodikusak. fokozat.

4. Ha kap egy egyenletet, amely két trigonometrikus függvény szorzatát vagy hányadosát tartalmazza, először keresse meg mindegyik periódusát külön-külön. Ezek után keresse meg azt a minimális számot, amely mindkét pont egészét tartalmazza. Tegyük fel, hogy az y=tgx*cos5x függvény adott. Érintő esetén a periódus P, koszinusznál 5x a periódus 2P/5. A minimális szám, amelyben mindkét időszak elhelyezhető, 2P, így a kívánt periódus 2P.

5. Ha nehéznek találja ezt a javasolt módon megtenni, vagy kételkedik az eredményben, próbálja meg definíció szerint megtenni. Vegyük T-t a függvény periódusának, nagyobb nullánál. Helyettesítsd be az (x + T) kifejezést x helyett az egyenletbe, és oldd meg a kapott egyenlőséget úgy, mintha T egy paraméter vagy egy szám lenne. Ennek eredményeként felfedezi a trigonometrikus függvény értékét, és meg tudja találni a legkisebb periódust. Tegyük fel, hogy az enyhülés eredményeként az azonosságbűn (T/2) = 0 értéket kapja. A T minimális értéke, amelynél végrehajtják, 2P, ez lesz a feladat eredménye.

A periodikus függvény olyan függvény, amely megismétli értékeit egy nem nulla periódus után. A függvény periódusa egy olyan szám, amely egy függvény argumentumához hozzáadva nem változtatja meg a függvény értékét.

Szükséged lesz

• Elemi matematikai ismeretek és alapvető áttekintés.

Utasítás

1. Jelöljük az f(x) függvény periódusát K számmal. Feladatunk ennek a K értékének a feltárása. Ehhez képzeljük el, hogy az f(x) függvényt egy periodikus függvény definíciójával egyenlítjük ki. f(x+K)=f(x).

2. A kapott egyenletet úgy oldjuk meg az ismeretlen K vonatkozásában, mintha x egy állandó lenne. A K értékétől függően több lehetőség is lesz.

3. Ha K>0 – akkor ez a függvény periódusa Ha K=0 – akkor az f(x) függvény nem periodikus Ha az f(x+K)=f(x) egyenlet megoldása nem létezik ha bármely K nem egyenlő nullával, akkor egy ilyen függvényt aperiodikusnak nevezünk, és nincs is periódusa.

Videó a témáról

Jegyzet!
Minden trigonometrikus függvény periodikus, és minden 2-nél nagyobb fokú polinom aperiodikus.

Hasznos tanács
2-ből álló függvény periódusa periodikus függvények, e függvények periódusainak legkisebb univerzális többszöröse.

A trigonometrikus egyenletek olyan egyenletek, amelyek egy ismeretlen argumentum trigonometrikus függvényeit tartalmazzák (például: 5sinx-3cosx =7). Annak érdekében, hogy megtanulja, hogyan oldja meg őket, ismernie kell ennek néhány módját.

Utasítás

1. Az ilyen egyenletek megoldása 2 lépésből áll: az első az egyenlet reformálása, hogy elnyerje a legegyszerűbb formáját. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek: Sinx=a; Cosx=a stb.

2. A második a megoldás a kapott legegyszerűbbre trigonometrikus egyenlet. Az ilyen típusú egyenletek megoldásának alapvető módjai vannak: Algebrai megoldás. Ez a módszer híresen ismert az iskolából, egy algebratanfolyamból. Más néven a változó helyettesítésének és helyettesítésének módszere. Redukciós képletek segítségével átalakítjuk, behelyettesítjük, majd megkeressük a gyökereket.

3. Egyenlet faktorálása. Először az összes kifejezést balra mozgatjuk, és figyelembe vesszük őket.

4. Az egyenletet homogénre redukáljuk. Az egyenleteket homogén egyenleteknek nevezzük, ha minden tag azonos fokú, és a szinusz és a koszinusz azonos szögű.A megoldáshoz a következőket kell tenni: először át kell vinni az összes tagját a jobb oldalról a bal oldalra; helyezzen ki minden univerzális tényezőt a zárójelekből; a tényezőket és a zárójeleket nullával egyenlővé tenni; az egyenértékű zárójelek alacsonyabb fokú homogén egyenletet adnak, amelyet a cos-szal (vagy sin) kell a legmagasabb fokig elosztani; megoldani az eredményt algebrai egyenlet barnulást illetően.

5. A következő mód az, hogy fél szögre lépünk. Mondjuk, oldja meg az egyenletet: 3 sin x – 5 cos x = 7. Térjünk át a félszögre: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 sin ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , ami után az összes tagot egy részre redukáljuk (lehetőleg a jobb oldalra), és megoldjuk az egyenletet.

6. Segédszög belépés. Amikor lecseréljük a cos(a) vagy sin(a) egész értéket. Az „a” jel egy segédszög.

7. A termék összeggé alakításának módszere. Itt kell alkalmazni a megfelelő képleteket. Tegyük fel, hogy adott: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Oldja meg úgy, hogy a bal oldalt összeggé alakítja, azaz: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.

8. Az utolsó módszert többfunkciós helyettesítésnek nevezik. Átalakítjuk a kifejezést és módosítjuk, mondjuk Cos(x/2)=u, majd megoldjuk az egyenletet az u paraméterrel. A végösszeg megvásárlásakor az értéket az ellenkezőjére váltjuk.

Videó a témáról

Ha egy kör pontjait tekintjük, akkor x, x + 2π, x + 4π stb. egybeesnek egymással. Így trigonometrikus funkciókat egyenes vonalon időszakosan ismételje meg a jelentésüket. Ha híres az időszak funkciókat, lehetőség van arra, hogy függvényt építsünk erre az időszakra, és megismételjük azt másokon.

Utasítás

1. A periódus egy T szám, amelyben f(x) = f(x+T). A periódus megtalálásához oldja meg a megfelelő egyenletet x és x+T behelyettesítésével argumentumként. Ebben az esetben a már jól ismert periódusokat használják a függvényekhez. A szinuszos és koszinuszfüggvényeknél a periódus 2π, az érintő és kotangens függvényeknél pedig π.

2. Legyen adott az f(x) = sin^2(10x) függvény. Tekintsük a sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) kifejezést. Használja a képletet a fok csökkentésére: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Ekkor kapsz 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) vagy cos 20x = cos (20x+20T). Tudva, hogy a koszinusz periódusa 2π, 20T = 2π. Ez azt jelenti, hogy T = π/10. T a minimális helyes periódus, és a függvény megismétlődik 2T és 3T után, valamint a másik irányban a tengely mentén: -T, -2T stb.

Hasznos tanács
Képletekkel csökkentheti a függvény mértékét. Ha már ismeri egyes függvények periódusait, próbálja meg a meglévő függvényt ismertekre redukálni.

Egy függvény páratlanságának és páratlanságának vizsgálata segít a függvény grafikonjának felépítésében és a viselkedésének megértésében. Ehhez a kutatáshoz össze kell hasonlítania az „x” és a „-x” argumentumhoz írt függvényt.

Utasítás

1. Írja le a vizsgálni kívánt függvényt y=y(x) formában.

2. Cserélje ki a függvény argumentumát „-x”-re. Helyettesítse ezt az argumentumot funkcionális kifejezésre.

3. Egyszerűsítse a kifejezést.

4. Így ugyanaz a függvény van írva az „x” és „-x” argumentumokhoz. Nézd meg ezt a két bejegyzést: Ha y(-x)=y(x), akkor ez az páros funkció.Ha y(-x)=-y(x), akkor ez páratlan függvény.Ha egy függvényről nem lehet azt mondani, hogy y(-x)=y(x) vagy y(-x)=-y(x), akkor a paritás tulajdonsága alapján univerzális alakú függvény. Vagyis se nem páros, se nem páratlan.

5. Írd le a megállapításaidat. Most már használhatja őket egy függvény grafikonjának felépítéséhez vagy egy függvény tulajdonságainak jövőbeni analitikai vizsgálatához.

6. Egy függvény páratlanságáról és páratlanságáról akkor is beszélhetünk, ha a függvény grafikonja már adott. Tegyük fel, hogy a gráf egy fizikai kísérlet eredményeként szolgált Ha egy függvény grafikonja szimmetrikus az ordináta tengelyre, akkor y(x) páros függvény. Ha egy függvény grafikonja szimmetrikus az abszcissza tengelyre, akkor x(y) páros függvény. x(y) az y(x) függvény inverze, Ha egy függvény grafikonja szimmetrikus az origóra (0,0), akkor y(x) páratlan függvény. Furcsa is lesz inverz függvény x(y).

7. Fontos megjegyezni, hogy a függvény egyenletességének és páratlanságának gondolata közvetlen kapcsolatban áll a függvény meghatározásának tartományával. Ha mondjuk egy páros vagy páratlan függvény nem létezik x=5-nél, akkor x=-5-nél nem létezik, ami nem mondható el egy univerzális alakú függvényről. A páros és páratlan paritás megállapításakor ügyeljen a függvény tartományára.

8. Az egyenlőség és a páratlanság függvényének keresése korrelál a függvényértékek halmazának megtalálásával. Egy páros függvény értékkészletének megtalálásához elegendő a függvény felét megnézni, a nullától jobbra vagy balra. Ha x>0-nál az y(x) páros függvény értéket vesz A-ból B-be, akkor x-ben ugyanazokat az értékeket veszi fel.<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>A 0 páratlan y(x) függvény egy értéktartományt vesz fel A-tól B-ig, majd x-ben<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

A „trigonometrikus” egykor olyan függvényeknek nevezték, amelyeket a derékszögű háromszög hegyesszögeinek oldalainak hosszától való függése határoz meg. Ilyen függvények közé tartozik mindenekelőtt a szinusz és a koszinusz, másodsorban ezeknek a függvényeknek az inverze, a szekáns és a koszekáns, származékaik tangens és kotangens, valamint az arcszinusz, arkoszinusz stb. inverz függvényei. Pozitívabb, ha nem beszélünk róla. az ilyen függvények „megoldása”, hanem „számításuk”, azaz számérték keresése.

Utasítás

1. Ha a trigonometrikus függvény argumentuma ismeretlen, akkor értéke indirekt módszerrel számítható ki e függvények definíciói alapján. Ehhez ismerni kell a háromszög oldalainak hosszát, amelynek egyik szögéhez ki kell számítani a trigonometrikus függvényt. Tegyük fel, hogy definíció szerint egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza az ezzel a szöggel ellentétes láb hosszának és a befogó hosszának az aránya. Ebből az következik, hogy egy szög szinuszának meghatározásához elegendő ennek a 2 oldalnak a hosszát ismerni. Egy hasonló definíció szerint a hegyesszög szinusza az ezzel a szöggel szomszédos láb hosszának és a hipotenusz hosszának az aránya. A hegyesszög érintője kiszámítható úgy, hogy az ellenkező láb hosszát elosztjuk a szomszédos láb hosszával, a kotangenshez pedig el kell osztani a szomszédos láb hosszát a szemközti láb hosszával. Az akut szög szekánsának kiszámításához meg kell találnia a befogó hosszának és a kívánt szöggel szomszédos láb hosszának arányát, és a koszekánst a befogó hosszának a hosszhoz viszonyított aránya határozza meg. az ellenkező lábról.

2. Ha a trigonometrikus függvény argumentuma helyes, akkor nem kell tudnia a háromszög oldalainak hosszát - használhat értéktáblázatokat vagy trigonometrikus függvények számológépeit. Egy ilyen számológép megtalálható a Windows operációs rendszer szabványos programjaiban. Az elindításához nyomja meg a Win + R billentyűkombinációt, írja be a calc parancsot, és kattintson az „OK” gombra. A program felületén bontsa ki a „Nézet” részt, és válassza ki a „Mérnök” vagy a „Tudós” elemet. Ezek után lehetőség van a trigonometrikus függvény argumentumának bevezetésére. A szinusz, koszinusz és tangens függvények kiszámításához inkább az érték megadása után kattintsunk a megfelelő interfész gombra (sin, cos, tg), az inverz arcszinusz, arccosinusz és arctangens megkereséséhez pedig érdemes előre bejelölni az Inv jelölőnégyzetet.

3. Vannak alternatív módszerek is. Az egyik ilyen, hogy felkeresi a Nigma vagy a Google keresőmotor webhelyét, és keresési lekérdezésként beírja a kívánt függvényt és annak argumentumát (mondjuk sin 0,47). Ezek a keresők beépített számológépekkel rendelkeznek, így egy ilyen kérés elküldése után megkapja a beírt trigonometrikus függvény értékét.

Videó a témáról

7. tipp: Hogyan lehet felfedezni a trigonometrikus függvények értékét

A trigonometrikus függvények először eszközként jelentek meg egy derékszögű háromszögben az oldalak hosszában lévő hegyesszögek értékének függésének absztrakt matematikai számításaihoz. Ma már széles körben használják az emberi tevékenység tudományos és műszaki területein egyaránt. A trigonometrikus függvények adott argumentumokból történő haszonelvű számításaihoz különféle eszközöket használhat – ezek közül néhány különösen elérhető az alábbiakban.

Utasítás

1. Használja mondjuk az operációs rendszerhez alapértelmezés szerint telepített számológépet. Megnyílik a „Számológép” elem kiválasztásával a „Szolgáltatás” mappában a „Tipikus” alszakaszban, amely a „Minden program” részben található. Ez a rész az operációs rendszer főmenüjének megnyitásával érhető el a „Start” gombra kattintva. Ha Windows 7 verziót használ, akkor valószínűleg egyszerűen be kell írnia a „Számológép” szót a főmenü „Programok és fájlok felfedezése” mezőjébe, majd kattintson a megfelelő hivatkozásra a keresési eredmények között.

2. Adja meg azt a szögértéket, amelyhez a trigonometrikus függvényt ki szeretné számítani, majd kattintson a függvénynek megfelelő gombra - sin, cos vagy tan. Ha aggasztja az inverz trigonometrikus függvények (ívszinusz, ív koszinusz vagy arctangens), akkor először kattintson az Inv feliratú gombra – ez megfordítja a számológép segédgombjaihoz rendelt függvényeket.

3. Az operációs rendszer korábbi verzióiban (mondjuk Windows XP) a trigonometrikus függvények eléréséhez meg kell nyitnia a „Nézet” részt a számológép menüjében, és ki kell választania a „Műszaki” sort. Ráadásul az Inv gomb helyett a program régebbi verzióinak felületén egy jelölőnégyzet is található, amelyen ugyanaz a felirat szerepel.

4. Számológép nélkül is megteheti, ha rendelkezik internet-hozzáféréssel. Az interneten számos szolgáltatás található, amelyek különböző módon rendezett trigonometrikus függvényszámítókat kínálnak. Az egyik különösen kényelmes lehetőség a Nigma keresőbe van beépítve. A főoldalra lépve egyszerűen írja be az Önt aggasztó értéket a keresési lekérdezési mezőbe - mondjuk „arc tangens 30 fok”. A „Detect!” gombra kattintás után A kereső kiszámítja és megjeleníti a számítás eredményét - 0.482347907101025.

Videó a témáról

A trigonometria a matematika olyan ága, amely olyan függvények megértésére szolgál, amelyek a derékszögű háromszög oldalainak különböző függőségét fejezik ki a hipotenuzus hegyesszögeinek értékétől. Az ilyen függvényeket trigonometrikusnak nevezték, és a velük való munka megkönnyítése érdekében trigonometrikus függvényeket származtattak identitások .

Teljesítmény identitások a matematikában olyan egyenlőséget jelöl, amely a benne szereplő függvények argumentumainak minden értékére teljesül. Trigonometrikus identitások a trigonometrikus függvények egyenlőségei, megerősítve és elfogadottak a trigonometrikus képletekkel végzett munka egyszerűsítése érdekében.. A trigonometrikus függvény egy derékszögű háromszög egyik szárának a befogópontnál bezárt hegyesszög értékétől való függésének elemi függvénye. A leggyakrabban használt hat alapvető trigonometrikus függvény a sin (szinusz), a cos (koszinusz), a tg (tangens), a ctg (kotangens), a sec (szekantáns) és a cosec (koszekans). Ezeket a függvényeket nevezzük direkt függvényeknek, vannak inverz függvények is, mondjuk szinusz - arcszinusz, koszinusz - arkkoszinusz stb. Kezdetben a trigonometrikus függvények tükröződtek a geometriában, majd a tudomány más területeire is átterjedtek: fizikára, kémiára, földrajzra, optika, valószínűségszámítás, valamint akusztika, zeneelmélet, fonetika, számítógépes grafika és még sok más. Manapság nehéz elképzelni a matematikai számításokat e függvények nélkül, bár régebben csak a csillagászatban és az építészetben használták őket. identitások a hosszú trigonometrikus képletekkel végzett munka egyszerűsítésére és emészthető formára való redukálására szolgálnak. Hat fő trigonometrikus azonosság létezik, amelyek közvetlen trigonometrikus függvényekhez kapcsolódnak: tg ? = sin?/cos?; bűn^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = sin ?. Ezek identitások derékszögű háromszög oldalai és szögei arányának tulajdonságaiból könnyen megerősíthető: sin ? = BC/AC = b/c; kötözősaláta? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Az első azonosság tg ? = sin ?/cos ? a háromszög oldalainak arányából és a c oldal (hipoténusz) kizárásából következik, amikor a sint cos-szal osztjuk. A ctg ? azonosság meghatározása ugyanígy. = cos ?/sin ?, mert ctg ? = 1/tg ?.A Pitagorasz-tétel alapján a^2 + b^2 = c^2. Osszuk el ezt az egyenlőséget c^2-vel, megkapjuk a második azonosságot: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Harmadik és negyedik identitások b^2-vel és a^2-vel osztva kapjuk: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? vagy 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?. Ötödik és hatodik alap identitások egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összegének meghatározásával bizonyítjuk, amely egyenlő 90°-kal vagy?/2. Nehezebb trigonometrikus identitások: formulák argumentumok összeadására, kettős és hármas szögekre, fokok csökkentésére, függvények összegének vagy szorzatának reformálására, valamint képletek trigonometrikus helyettesítésre, nevezetesen az alapvető trigonometrikus függvények kifejezései a félszög tg-jén keresztül: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

A minimum megtalálásának szükségessége jelentése matematikai funkciókat ténylegesen érdekelt az alkalmazott problémák megoldásában, mondjuk a közgazdaságtanban. Hatalmas jelentése a veszteségek minimalizálása elengedhetetlen az üzleti tevékenységhez.

Utasítás

1. A minimum felfedezése érdekében jelentése funkciókat, meg kell határozni, hogy az x0 argumentum mekkora értékénél teljesül az y(x0) egyenlőtlenség? y(x), hol x? x0. Szokás szerint ez a probléma egy bizonyos intervallumon vagy minden értéktartományon belül megoldódik funkciókat, ha nincs megadva. A megoldás egyik aspektusa a fix pontok megtalálása.

2. Egy stacionárius pontot nevezünk jelentése argumentum, amelyben a származék funkciókat nullára megy. Fermat tétele szerint, ha egy differenciálható függvény szélsőértéket vesz fel jelentése egy bizonyos ponton (jelen esetben egy lokális minimum), akkor ez a pont stacioner.

3. Minimális jelentése a függvény gyakran pontosan ezt a pontot veszi fel, de nem határozható meg változatlanul. Továbbá, nem mindig lehet pontosan megmondani, hogy mi a minimum funkciókat vagy elfogadja a végtelenül kicsikét jelentése. Aztán szokás szerint megtalálják azt a határt, amelyre a csökkenéssel hajlik.

4. A minimum meghatározása érdekében jelentése funkciókat, négy lépésből álló műveletsort kell végrehajtania: a definíciós tartomány megtalálása funkciókat, fix pontok megszerzése, értékek áttekintése funkciókat ezeken a pontokon és a rés végein a minimum kimutatása.

5. Kiderült, hogy valamilyen y(x) függvény adott egy intervallumon, amelynek határai az A és B pontban vannak. Keressük meg a definíciójának tartományát, és derítsük ki, hogy az intervallum a részhalmaza-e.

6. Számítsa ki a származékot funkciókat. Egyenlítse a kapott kifejezést nullával, és keresse meg az egyenlet gyökereit. Ellenőrizze, hogy ezek az álló pontok a résbe esnek-e. Ha nem, akkor azokat a további szakaszban nem veszik figyelembe.

7. Vizsgálja meg a rést a határok típusa szerint: nyitott, zárt, összetett vagy mérhetetlen. Ez határozza meg, hogyan keresi a minimumot jelentése. Tegyük fel, hogy az [A, B] szakasz egy zárt intervallum. Csatlakoztassa őket a függvényhez, és számítsa ki az értékeket. Tegye ugyanezt egy álló ponttal. Válassza ki a legalacsonyabb összeget.

8. Nyílt és mérhetetlen időközök esetén a helyzet valamivel nehezebb. Itt olyan egyoldalú határokat kell keresnie, amelyek nem mindig adnak egyértelmű eredményt. Tegyük fel, hogy egy zárt és egy átszúrt határú intervallumhoz [A, B) keresni kell egy függvényt x = A pontban és egy lim y egyoldalú határértéket x-ben? B-0.