Az óra céljai

Ismertesse meg ezzel az iskolásokat matematikai fogalom, egy szám modulusaként;
Megtanítani az iskolásoknak a számmodulok megtalálásának készségeit;
A tanult anyag megerősítése különböző feladatok elvégzésével;

Feladatok

Erősítse a gyerekek tudását a számmodulusról;
A megoldás használata tesztfeladatokat ellenőrizze, hogy a tanulók hogyan sajátították el a tanult anyagot;
Folytassa az érdeklődés felkeltését a matematika órák iránt;
A logikus gondolkodás, a kíváncsiság és a kitartás nevelése az iskolásokban.

Tanterv

1. Általános fogalmakés egy szám modulusának meghatározása.
2. Geometriai jelentés modul.
3. Egy szám modulusa és tulajdonságai.
4. Szám modulusát tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.
5. Történelmi hivatkozás a „szám modulusa” kifejezésről.
6. Feladat az érintett témakör ismereteinek megszilárdítása.
7. Házi feladat.

Általános fogalmak egy szám modulusáról

Egy szám modulusát általában magának a számnak nevezik, ha nincs negatív érték, vagy ugyanez a szám negatív, de ellenkező előjellel.

Vagyis egy a nem negatív valós szám modulusa maga a szám:

És egy negatív x valós szám modulusa az ellenkező szám:

A felvételen így fog kinézni:

A könnyebb megértés érdekében mondjunk egy példát. Így például a 3-as szám modulusa 3, és a -3-as szám modulusa is 3.

Ebből következik, hogy egy szám modulusa abszolút értéket jelent, vagyis abszolút értékét, de előjelének figyelembe vétele nélkül. Még egyszerűbben fogalmazva, el kell távolítani a jelet a számról.

Egy szám modulja a következőképpen jelölhető ki: |3|, |x|, |a| stb.

Így például a 3-as szám modulusát |3|-nak jelöljük.

Azt is meg kell jegyezni, hogy egy szám modulusa soha nem negatív: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 stb.

A modul geometriai jelentése

A szám modulusa az a távolság, amelyet egységnyi szegmensekben mérnek az origótól a pontig. Ez a definíció egy modult tár fel a geometriai pont látomás.

Vegyünk egy koordináta egyenest, és jelöljünk ki rajta két pontot. Ezek a pontok olyan számoknak feleljenek meg, mint a −4 és a 2.

Most figyeljünk erre az ábrára. Látjuk, hogy a koordinátavonalon feltüntetett A pont a -4 számnak felel meg, és ha figyelmesen megnézi, látni fogja, hogy ez a pont 4 egységnyi távolságra van a 0 referenciaponttól. Ebből következik, hogy az OA szegmens hossza négy egységgel egyenlő. Ebben az esetben az OA szakasz hossza, azaz a 4-es szám a -4 szám modulusa lesz.

Ebben az esetben egy szám modulját a következőképpen jelöljük és írjuk: |−4| = 4.

Most vegyük és jelöljük ki a B pontot a koordinátaegyenesen.

Ez a B pont a +2 számnak felel meg, és amint látjuk, két egységnyi távolságra van az origótól. Ebből következik, hogy az OB szegmens hossza két egységgel egyenlő. Ebben az esetben a 2-es szám a +2-es szám modulusa lesz.

A felvételen így fog kinézni: |+2| = 2 vagy |2| = 2.

Most pedig foglaljuk össze. Ha egy ismeretlen a számot jelölünk ki a koordináta egyenesen A pontnak, akkor ebben az esetben az A ponttól az origóig mért távolság, vagyis az OA szakasz hossza pontosan az „a” szám modulusa. ”.

Írásban így fog kinézni: |a| = OA.

Egy szám modulusa és tulajdonságai

Most próbáljuk meg kiemelni a modul tulajdonságait, vegyük figyelembe az összes lehetséges esetet, és írjuk le azokat szó szerinti kifejezésekkel:

Először is, egy szám modulusa nem negatív szám, ami azt jelenti, hogy egy pozitív szám modulusa egyenlő magával a számmal: |a| = a, ha a > 0;

Másodszor, az ellentétes számokból álló modulok egyenlőek: |a| = |–a|. Vagyis ez a tulajdonság azt mondja meg, hogy az ellentétes számoknak mindig egyenlő moduljai vannak, csakúgy, mint egy koordinátaegyenesben, bár vannak ellentétes számok, de ugyanolyan távolságra vannak a referenciaponttól. Ebből következik, hogy ezen ellentétes számok moduljai egyenlők.

Harmadszor, a nulla modulusa egyenlő nullával, ha ez a szám nulla: |0| = 0, ha a = 0. Itt bátran kijelenthetjük, hogy a nulla modulusa definíció szerint nulla, mivel megfelel a koordinátaegyenes origójának.

A modulus negyedik tulajdonsága, hogy két szám szorzatának modulusa egyenlő ezen számok modulusainak szorzatával. Most nézzük meg közelebbről, mit is jelent ez. Ha követjük a definíciót, akkor te és én tudjuk, hogy az a és b számok szorzatának modulusa egyenlő lesz a b-vel, vagy −(a b), ha a b ≥ 0, vagy – (a b), ha a b nagyobb, mint 0. B felvételkor így fog kinézni: |a b| = |a| |b|.

Az ötödik tulajdonság, hogy a számok hányadosának modulusa egyenlő ezen számok modulusainak arányával: |a: b| = |a| : |b|.

És a számmodul következő tulajdonságai:

Szám modulusát tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

Amikor elkezdi megoldani a számmodulusos feladatokat, ne feledje, hogy egy ilyen feladat megoldásához fel kell tárni a modulus előjelét azon tulajdonságok ismeretében, amelyeknek ez a probléma megfelel.

1. Feladat

Tehát például, ha a modul jele alatt van egy változótól függő kifejezés, akkor a modult ki kell bővíteni a definíció szerint:

Természetesen a problémák megoldása során előfordulnak olyan esetek, amikor a modul egyedileg tárul fel. Ha például vesszük

, itt azt látjuk, hogy egy ilyen modulusjel alatti kifejezés nem negatív x és y bármely értékére.

Vagy például vegyük

, azt látjuk, hogy ez a moduluskifejezés nem pozitív z egyetlen értékére sem.

2. feladat

Egy koordinátavonal látható Ön előtt. Ezen a sorban meg kell jelölni azokat a számokat, amelyek modulusa 2 lesz.

Megoldás

Először is meg kell húznunk egy koordinátavonalat. Azt már tudja, hogy ehhez először az egyenesen ki kell választani az origót, az irányt és az egységszakaszt. Ezután olyan pontokat kell elhelyeznünk az origóból, amelyek egyenlőek két egységnyi szegmens távolságával.

Mint látható, a koordináta egyenesen két ilyen pont található, amelyek közül az egyik a -2, a másik a 2 számnak felel meg.

Történelmi információk a számok modulusáról

A „modul” kifejezés a latin modulus elnevezésből származik, ami „mérést” jelent. Ezt a kifejezést Roger Cotes angol matematikus alkotta meg. De a modulusjelet Karl Weierstrass német matematikusnak köszönhetően vezették be. Íráskor egy modult a következő szimbólummal jelölünk: | |.

Kérdések az anyag ismereteinek megszilárdítására

A mai leckében egy olyan fogalommal ismerkedtünk meg, mint a szám modulusa, és most nézzük meg, hogyan sajátította el ezt a témát a feltett kérdések megválaszolásával:

1. Mi a neve annak a számnak, amelyik a pozitív szám ellentéte?
2. Mi a neve annak a számnak, amelyik a negatív szám ellentéte?
3. Nevezze meg a számot, amely a nullával ellentétes! Létezik ilyen szám?
4. Nevezzen meg egy számot, amely nem lehet egy szám modulusa!
5. Határozza meg egy szám modulusát!

Házi feladat

1. Ön előtt számok vannak, amelyeket a modulok csökkenő sorrendjébe kell rendeznie. Ha helyesen oldja meg a feladatot, megtudja annak a nevét, aki először vezette be a „modul” kifejezést a matematikába.

2. Rajzoljon egy koordinátavonalat, és keresse meg M (-5) és K (8) távolságát az origótól.

Tantárgyak > Matematika > Matematika 6. osztály

Ez a lecke áttekinti a valós szám modulusának fogalmát, és bemutatja annak néhány alapvető definícióját, majd példákat mutat be, amelyek bemutatják e definíciók különféle használatát.

Tantárgy:Valós számok

Lecke:Valós szám modulusa

1. Modul definíciók

Tekintsünk egy ilyen fogalmat egy valós szám modulusának, több definíciója is van.

Definíció 1. A koordinátaegyenes egy pontjától a nulláig mért távolságot nevezzük modulo szám, amely ennek a pontnak a koordinátája (1. ábra).

1. példa . Figyeljük meg, hogy az ellentétes számok modulusai egyenlőek és nem negatívak, mivel ez távolság, de nem lehet negatív, és a nulla körül szimmetrikus számoktól az origóig mért távolság egyenlő.

2. definíció. .

2. példa Tekintsük az előző példában feltett egyik problémát a bevezetett definíciók egyenértékűségének bemutatására. , mint látjuk, negatív számmal a modulus előjele alatt, ha elé még egy mínuszt adunk, nem negatív eredményt kapunk, amint az a modulus definíciójából következik.

Következmény. Két olyan pont távolsága, amelyek koordinátái egy koordinátaegyenesben vannak, a következőképpen határozható meg tekintet nélkül relatív pozíció pontok (2. ábra).

2. A modul alapvető tulajdonságai

1. Bármely szám modulusa nem negatív

2. A szorzat modulusa a modulok szorzata

3. A hányados modul a modulok hányadosa

3. Problémamegoldás

3. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Használjuk a második moduldefiníciót: és írjuk fel az egyenletünket egyenletrendszer formájában arra különféle lehetőségeket a modul megnyitása.

4. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Az előző példa megoldásához hasonlóan azt kapjuk, hogy .

5. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Oldjuk meg a modul első definíciójából következő következményen keresztül: . Ábrázoljuk ezt a számtengelyen, figyelembe véve, hogy a kívánt gyök a 3. ponttól 2 távolságra lesz (3. ábra).

Az ábra alapján megkapjuk az egyenlet gyökereit: , mivel az ilyen koordinátájú pontok 2 távolságra vannak a 3. ponttól, amint azt az egyenlet megköveteli.

Válasz. .

6. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Az előző problémához képest csak egy bonyodalom van - ez az, hogy nincs teljes hasonlóság a koordinátatengelyen lévő számok közötti távolságra vonatkozó következtetés megfogalmazásával, mivel a modulus jele alatt plusz jel található, nem mínusz. jel. De nem nehéz a kívánt formába hozni, mi pedig ezt tesszük:

Ábrázoljuk ezt a számtengelyen az előző megoldáshoz hasonlóan (4. ábra).

Az egyenlet gyökerei .

Válasz. .

7. példa Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Ez az egyenlet kicsit bonyolultabb, mint az előző, mert az ismeretlen a második helyen áll és van egy mínusz előjele, ráadásul számszerű szorzóval is rendelkezik. Az első probléma megoldásához a modul egyik tulajdonságát használjuk, és megkapjuk:

A második feladat megoldásához hajtsunk végre egy változóváltást: , ami a legegyszerűbb egyenlethez vezet. A modul második definíciója szerint . Helyettesítse be ezeket a gyököket a helyettesítő egyenletbe, és kapjon két lineáris egyenletet:

Válasz. .

4. Négyzetgyök és modulus

Gyakran a gyökerekkel kapcsolatos problémák megoldásakor modulok merülnek fel, és figyelni kell azokra a helyzetekre, amelyekben felmerülnek.

Első pillantásra erre az identitásra vonatkozóan kérdések merülhetnek fel: „miért van ott egy modul?” és „miért hamis az azonosság?” Kiderül, hogy a második kérdésre egy egyszerű ellenpéldát adhatunk: ha ennek igaznak kell lennie, akkor ez ekvivalens, de ez hamis azonosság.

Ezek után felmerülhet a kérdés: „egy ilyen identitás nem oldja meg a problémát?”, de van erre a javaslatra egy ellenpélda is. Ha ennek igaznak kell lennie, akkor ez egyenértékű, de ez hamis azonosság.

Ennek megfelelően, ha arra emlékszünk Négyzetgyök Egy nem negatív szám nemnegatív szám, a modulus értéke pedig nem negatív, akkor világossá válik, hogy miért igaz a fenti állítás:

.

8. példa Számítsa ki a kifejezés értékét!

Megoldás. Az ilyen feladatoknál fontos, hogy ne egyből meggondolatlanul szabaduljunk meg a gyökértől, hanem a fent említett identitást használjuk, mert .

Különleges számként nincs előjele.

Példák számok írására: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) Utolsó szám nincs előjele, ezért pozitív.

Meg kell jegyezni, hogy a plusz és mínusz a számok előjelét jelzi, a literális változók vagy algebrai kifejezések esetében azonban nem. Például képletekben − t ; a+b; − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) a plusz és mínusz jelek nem az általuk megelőzött kifejezés előjelét, hanem a jelét adják meg aritmetikai művelet, tehát az eredmény előjele bármi lehet, csak a kifejezés kiértékelése után kerül meghatározásra.

Az aritmetika mellett a jel fogalmát a matematika más ágaiban is használják, beleértve a nem numerikus matematikai objektumokat is (lásd alább). A jel fogalma a fizika azon ágaiban is fontos, ahol a fizikai mennyiségeket két osztályra osztják, amelyeket hagyományosan pozitívnak és negatívnak neveznek - például elektromos töltések, pozitív és negatív visszacsatolás, különféle vonzási és taszító erők.

Számjel

Pozitív és negatív számok

A nullához nincs előjel hozzárendelve + 0 (\displaystyle +0)És − 0 (\displaystyle -0)- ez ugyanaz a szám aritmetikában. A matematikai elemzésben a szimbólumok jelentése + 0 (\displaystyle +0)És − 0 (\displaystyle -0) változhat, lásd erről a negatív és pozitív nulláról; számítástechnikában a két nulla számítógépes kódolása (egész típusú) eltérhet, lásd: Közvetlen kód.

A fentiekhez kapcsolódóan számos hasznosabb kifejezést vezetünk be:

• Szám nem negatív, ha nagyobb vagy egyenlő nullával.
• Szám negatív, ha kisebb vagy egyenlő nullával.
• A nulla nélküli pozitív és a nulla nélküli negatív számokat néha (kihangsúlyozandó, hogy nem nullák) „szigorúan pozitívnak”, illetve „szigorúan negatívnak” nevezik.

Ugyanezt a terminológiát néha valódi függvényekre is használják. Például a függvényt hívják pozitív, ha minden értéke pozitív, nem negatív, ha minden értéke nem negatív, stb. Azt is mondják, hogy egy függvény pozitív/negatív a definíciójának adott intervallumán.

A függvény használatára vonatkozóan lásd a Négyzetgyök#Komplex számok című cikket.

Egy szám modulusa (abszolút értéke).

Ha a szám x (\displaystyle x) eldobjuk az előjelet, a kapott értéket hívjuk modul vagy abszolút érték számok x (\displaystyle x), ki van jelölve | x | . (\displaystyle |x|.) Példák: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Bármilyen valós számra a , b (\megjelenítési stílus a,b) a következő tulajdonságok érvényesek.

Nem numerikus objektumok jele

Szög jel

Egy síkon egy szög értékét pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes irányban mérjük, egyébként negatívnak. A forgatás két esetét hasonlóan osztályozzák:

• elforgatás egy síkban - például a (–90°-os) elforgatás az óramutató járásával megegyező irányban történik;
• a térben egy orientált tengely körüli forgást általában pozitívnak tekintjük, ha teljesül a „kapocsszabály”, ellenkező esetben negatívnak.

Iránytábla

Az analitikus geometriában és fizikában az adott egyenes vagy görbe mentén végzett előrehaladást gyakran pozitívra és negatívra osztják. Ez a felosztás függhet a probléma megfogalmazásától vagy a választott koordináta-rendszertől. Például egy görbe ívhosszának kiszámításakor gyakran célszerű mínuszjelet rendelni ehhez a hosszhoz a két lehetséges irány egyikében.

Jelentkezzen be a számítástechnikába

legjelentősebb bit
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Az egész szám jelének ábrázolására a legtöbb számítógép ezt használja

Ma, barátaim, nem lesz takony vagy szentimentalizmus. Ehelyett kérdések nélkül csatába küldöm a 8-9. osztályos algebra tanfolyam egyik legfélelmetesebb ellenfelével.

Igen, mindent jól értettél: modulusos egyenlőtlenségekről beszélünk. Négy alapvető technikát fogunk megvizsgálni, amelyek segítségével megtanulhatja az ilyen problémák körülbelül 90%-át. Mi van a maradék 10%-kal? Nos, róluk egy külön leckében lesz szó. :)

Mielőtt azonban bármelyik technikát elemezném, szeretném emlékeztetni két tényre, amelyeket már tudnod kell. Ellenkező esetben azt kockáztatja, hogy egyáltalán nem érti a mai óra anyagát.

Amit már tudnod kell

A Captain Obviousness arra utal, hogy az egyenlőtlenségek modulusos megoldásához két dolgot kell tudnod:

1. Hogyan oldódnak fel az egyenlőtlenségek;
2. Mi az a modul?

Kezdjük a második ponttal.

Modul meghatározása

Itt minden egyszerű. Két definíció létezik: algebrai és grafikus. Kezdésként - algebrai:

Meghatározás. Egy $x$ szám modulusa vagy maga a szám, ha nem negatív, vagy a vele ellentétes szám, ha az eredeti $x$ még mindig negatív.

Így van írva:

\[\bal| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Beszélő egyszerű nyelven, a modulus „egy mínusz nélküli szám”. És ebben a kettősségben (egyes helyeken nem kell semmit kezdeni az eredeti számmal, máshol viszont el kell távolítani valamilyen mínuszt) ez az, ahol az egész nehézség a kezdő hallgatók számára.

Van még néhány geometriai meghatározás. Ezt is hasznos tudni, de csak bonyolult és néhány speciális esetben térünk rá, ahol a geometriai megközelítés kényelmesebb, mint az algebrai (spoiler: ma nem).

Meghatározás. Jelöljük a számegyenesen $a$ pontot. Ezután a $\left| modul x-a \right|$ a távolság $x$ ponttól $a$ pontig ezen az egyenesen.

Ha rajzolsz egy képet, valami ilyesmit kapsz:

Grafikus definíció modul

Így vagy úgy, egy modul definíciójából a kulcstulajdonsága azonnal következik: egy szám modulusa mindig nem negatív mennyiség. Ez a tény az egész mai narratívánkon áthaladó vörös szál lesz.

Egyenlőtlenségek megoldása. Intervallum módszer

Most nézzük az egyenlőtlenségeket. Nagyon sok van belőlük, de most az a feladatunk, hogy legalább a legegyszerűbbet meg tudjuk oldani. Azok, amelyek lejönnek lineáris egyenlőtlenségek, valamint az intervallum módszerre.

Két nagy leckém van ebben a témában (mellesleg nagyon, NAGYON hasznos - javaslom ezek tanulmányozását):

1. Intervallum módszer az egyenlőtlenségekre(különösen nézze meg a videót);
2. Tört racionális egyenlőtlenségek- egy nagyon terjedelmes lecke, de utána egyáltalán nem lesz kérdése.

Ha mindezt tudod, ha az „egyenlőtlenségből térjünk át az egyenletre” kifejezés nem ébreszt benned homályos vágyat, hogy a falhoz ütd magad, akkor készen állsz: üdv a pokolban az óra fő témájában. :)

1. A „modulus kisebb, mint a függvény” alakú egyenlőtlenségek

Ez az egyik leggyakoribb probléma a modulokkal. Meg kell oldani a forma egyenlőtlenségét:

\[\bal| f\right| \ltg\]

A $f$ és $g$ függvények bármiek lehetnek, de általában polinomok. Példák az ilyen egyenlőtlenségekre:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \jobbra| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra|+3\left(x+1 \jobbra) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\bal| x \jobbra|-3 \jobbra| \lt 2. \\\end(igazítás)\]

Mindegyik szó szerint egy sorban megoldható a következő séma szerint:

\[\bal| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(igazítás) \jó jó)\]

Könnyen belátható, hogy megszabadulunk a modultól, de cserébe kettős egyenlőtlenséget (vagy ami ugyanaz, két egyenlőtlenség rendszerét) kapunk. De ez az átmenet abszolút minden lehetséges problémát figyelembe vesz: ha a modulus alatti szám pozitív, a módszer működik; ha negatív, akkor is működik; és még akkor is működni fog a módszer, ha a $f$ vagy $g$ helyett a legelégtelenebb függvény van.

Természetesen felmerül a kérdés: nem lehetne egyszerűbb? Sajnos ez nem lehetséges. Ez a modul lényege.

Azonban elég a filozofálásból. Oldjunk meg pár problémát:

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| 2x+3 \jobbra| \lt x+7\]

Megoldás. Tehát előttünk van egy klasszikus „a modulus kisebb” formájú egyenlőtlenség – nincs is mit átalakítani. A következő algoritmus szerint dolgozunk:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Jobbra -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \jobbra| \lt x+7\Jobbra -\balra(x+7 \jobbra) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\vége(igazítás)\]

Ne rohanjon a „mínusz” előtti zárójelek kinyitásával: nagyon valószínű, hogy a sietség miatt sértő hibát követ el.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(igazítás) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

A probléma két elemi egyenlőtlenségre redukálódott. Jegyezzük fel megoldásaikat párhuzamos számegyeneseken:

Sokak kereszteződése

Ezeknek a halmazoknak a metszéspontja lesz a válasz.

Válasz: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra|+3\left(x+1 \jobbra) \lt 0\]

Megoldás. Ez a feladat egy kicsit nehezebb. Először is izoláljuk a modult a második tag jobbra mozgatásával:

\[\bal| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Nyilvánvalóan ismét van egy „a modul kisebb” alakú egyenlőtlenségünk, így a már ismert algoritmussal megszabadulunk a modultól:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Most figyelem: valaki azt fogja mondani, hogy egy kicsit perverz vagyok ezekkel a zárójelekkel. De hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy a legfontosabb célunk az helyesen oldja meg az egyenlőtlenséget, és kapja meg a választ. Később, amikor tökéletesen elsajátítottad az ebben a leckében leírtakat, te magad is elferdítheted, ahogy akarod: nyisd ki a zárójeleket, írj be mínuszokat stb.

Először egyszerűen megszabadulunk a bal oldali dupla mínusztól:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]

Most nyissuk meg a kettős egyenlőtlenség összes zárójelét:

Térjünk át a kettős egyenlőtlenségre. Ezúttal a számítások komolyabbak lesznek:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( igazítás)\jobbra.\]

Mindkét egyenlőtlenség másodfokú, és az intervallum módszerrel megoldható (ezért mondom: ha nem tudod, mi ez, jobb, ha még nem vállalsz modulokat). Térjünk át az első egyenlőtlenség egyenletére:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\vége(igazítás)\]

Mint látható, a kimenet hiányos volt másodfokú egyenlet, ami elemi módon megoldható. Most nézzük a rendszer második egyenlőtlenségét. Itt alkalmaznia kell Vieta tételét:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\vége(igazítás)\]

A kapott számokat két párhuzamos egyenesre jelöljük (külön az első egyenlőtlenséghez és külön a másodikhoz):

Ismételten, mivel egyenlőtlenségi rendszert oldunk meg, az árnyékolt halmazok metszéspontja érdekel minket: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ez a válasz.

Válasz: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Szerintem ezek után a példák után a megoldási séma rendkívül világos:

1. Izolálja le a modult úgy, hogy az összes többi tagot az egyenlőtlenség ellenkező oldalára helyezi. Így egy $\left| alakú egyenlőtlenséget kapunk f\right| \ltg$.
2. Oldja meg ezt az egyenlőtlenséget úgy, hogy a fent leírt séma szerint megszabadul a modultól. Valamikor a kettős egyenlőtlenségről át kell térni egy két független kifejezésből álló rendszerre, amelyek mindegyike már külön-külön is megoldható.
3. Végül nem marad más hátra, mint e két független kifejezés megoldását metszeni – és ennyi, megkapjuk a végső választ.

Hasonló algoritmus létezik a következő típusú egyenlőtlenségekre, amikor a modulus több funkciót. Van azonban egy-két komoly „de”. Most ezekről a "de"-ekről fogunk beszélni.

2. A „modulus nagyobb, mint a függvény” alakú egyenlőtlenségek

Így néznek ki:

\[\bal| f\right| \gtg\]

Hasonló az előzőhöz? Úgy tűnik. Pedig az ilyen problémákat egészen más módon oldják meg. Formálisan a séma a következő:

\[\bal| f\right| \gt g\Jobbra \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Más szóval, két esetet vizsgálunk:

1. Először egyszerűen figyelmen kívül hagyjuk a modult, és megoldjuk a szokásos egyenlőtlenséget;
2. Ezután lényegében kibővítjük a modult a mínusz előjellel, majd az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk −1-gyel, miközben nálam van az előjel.

Ebben az esetben a lehetőségeket szögletes zárójellel kombinálják, pl. Két követelmény kombinációja áll előttünk.

Még egyszer jegyezd meg: ez nem egy rendszer, hanem egy totalitás, tehát a válaszban a halmazokat inkább kombinálják, mint metszik. Ez alapvető különbség az előző ponthoz képest!

Általánosságban elmondható, hogy sok diák teljesen össze van zavarodva a szakszervezetekkel és a kereszteződésekkel, ezért rendezzük ezt a kérdést egyszer s mindenkorra:

• A "∪" egy szakszervezeti jel. Lényegében ez egy stilizált "U" betű, amelyből érkezett hozzánk angolulés az „Union” rövidítése, azaz "Egyesületek".
• A "∩" a kereszteződés jele. Ez a baromság nem jött sehonnan, hanem egyszerűen a „∪” ellenpontjaként jelent meg.

Hogy még könnyebben emlékezzen, csak húzza lábát ezekhez a jelekhez, hogy szemüveget készítsen (csak most ne vádoljon a kábítószer-függőség és az alkoholizmus népszerűsítésével: ha komolyan tanulja ezt a leckét, akkor már kábítószerfüggő):

Különbség a halmazok metszéspontja és uniója között

Oroszra fordítva ez a következőket jelenti: az unió (összesség) mindkét halmazból tartalmaz elemeket, ezért semmiképpen sem kisebb mindegyiknél; de a metszéspont (rendszer) csak azokat az elemeket foglalja magában, amelyek egyszerre szerepelnek az első halmazban és a másodikban is. Ezért a halmazok metszéspontja soha nem nagyobb, mint a forráshalmazok metszéspontja.

Szóval világosabb lett? Az nagyszerű. Térjünk át a gyakorlásra.

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| 3x+1 \jobbra| \gt 5-4x\]

Megoldás. A séma szerint járunk el:

\[\bal| 3x+1 \jobbra| \gt 5-4x\Jobbra \balra[ \begin(igazítás) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \jobbra) \\\vége(igazítás) \ jobb.\]

Megoldjuk a sokaság minden egyenlőtlenségét:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left[ \begin(igazítás) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

Minden kapott halmazt megjelölünk a számegyenesen, majd egyesítjük őket:

A halmazok egyesülése

Teljesen nyilvánvaló, hogy a válasz $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Válasz: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \gt x\]

Megoldás. Jól? Semmi – minden ugyanaz. A modulusos egyenlőtlenségtől a két egyenlőtlenség halmaza felé haladunk:

\[\bal| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \gt x\Jobbra \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Minden egyenlőtlenséget megoldunk. Sajnos az ottani gyökerek nem lesznek túl jók:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\vége(igazítás)\]

A második egyenlőtlenség is egy kicsit vad:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\vége(igazítás)\]

Most meg kell jelölnie ezeket a számokat két tengelyen - egy tengely minden egyenlőtlenséghez. A pontokat azonban be kell jelölni megfelelő sorrendben: hogyan nagyobb szám, minél tovább toljuk jobbra a pontot.

És itt egy beállítás vár ránk. Ha minden világos a $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ számokkal (az első szám számlálójában szereplő kifejezések tört kisebb, mint a második számlálójában szereplő tagok, így az összeg is kisebb), a $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) számokkal (21))(2)$ szintén nem lesz nehézség (pozitív szám nyilván inkább negatív), akkor az utolsó párral nem minden olyan egyértelmű. Melyik a nagyobb: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vagy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? A kérdésre adott választól függ a pontok elhelyezése a számegyeneseken, sőt, a válasz is.

Tehát hasonlítsuk össze:

\[\begin(mátrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(mátrix)\]

Elszigeteltük a gyökeret, nem negatív számokat kaptunk az egyenlőtlenség mindkét oldalán, így jogunk van mindkét oldalt négyzetre emelni:

\[\begin(mátrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(mátrix)\]

Szerintem nem ötlet, hogy $4\sqrt(13) \gt 3$, tehát $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, a tengelyek utolsó pontjai a következőképpen kerülnek elhelyezésre:

Csúnya gyökerek esete

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy halmazt oldunk meg, így a válasz egy unió lesz, nem pedig az árnyékolt halmazok metszéspontja.

Válasz: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Amint látja, a rendszerünk mindkettőnél remekül működik egyszerű feladatokat, és nagyon keményeknek. Az egyetlen „gyenge pont” ebben a megközelítésben az, hogy helyesen kell összehasonlítani az irracionális számokat (és hidd el: ezek nem csak gyökök). De egy külön (és nagyon komoly) leckét szentelünk az összehasonlítás kérdéseinek. És továbbmegyünk.

3. Egyenlőtlenségek a nem negatív „farokkal”

Most elérkezünk a legérdekesebb részhez. Ezek a formai egyenlőtlenségek:

\[\bal| f\right| \gt\left| g\right|\]

Általánosságban elmondható, hogy az algoritmus, amelyről most beszélünk, csak a modulra vonatkozik. Minden olyan egyenlőtlenségben működik, ahol garantáltan nem negatív kifejezések vannak a bal és a jobb oldalon:

Mi a teendő ezekkel a feladatokkal? Csak ne feledd:

A nem negatív „farokkal” rendelkező egyenlőtlenségekben mindkét oldal bármelyikre emelhető természetes fok. További korlátozások nem lesznek.

Először is érdekelni fogunk a négyzetesítésben - modulokat és gyökereket éget:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\vége(igazítás)\]

Csak ne keverje össze ezt a négyzet gyökerének felvételével:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Számtalan hibát követtek el, amikor egy diák elfelejtett modult telepíteni! De ez egy teljesen más történet (mintha irracionális egyenletek), ezért ebbe most nem megyünk bele. Oldjunk meg néhány problémát jobban:

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Megoldás. Két dolgot azonnal vegyünk észre:

1. Ez nem szigorú egyenlőtlenség. A számegyenes pontjai kilyukasztva lesznek.
2. Az egyenlőtlenség mindkét oldala nyilvánvalóan nem negatív (ez a modul tulajdonsága: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Ezért az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelhetjük, hogy megszabaduljunk a modulustól és megoldjuk a problémát a szokásos intervallum módszerrel:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Az utolsó lépésnél kicsit csaltam: a modul egyenletességét kihasználva megváltoztattam a kifejezések sorrendjét (sőt, az $1-2x$ kifejezést -1-gyel szoroztam).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ jobb)\jobb)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallum módszerrel oldjuk meg. Térjünk át az egyenlőtlenségről az egyenletre:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\vége(igazítás)\]

A talált gyökereket a számegyenesen jelöljük. Még egyszer: minden pont árnyékolt, mert az eredeti egyenlőtlenség nem szigorú!

A modulus jeltől való megszabadulás

Hadd emlékeztessem a különösen makacsokat: az előjeleket az utolsó egyenlőtlenségből vesszük, amelyet az egyenletre való továbblépés előtt írtunk le. És ugyanabban az egyenlőtlenségben átfestjük a szükséges területeket. Esetünkben ez $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Rendben, most mindennek vége. A probléma megoldódott.

Válasz: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \jobbra|\]

Megoldás. Mindent ugyanúgy csinálunk. Nem nyilatkozom, csak nézze meg a műveletek sorrendjét.

Négyzet alakú:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \jobbra| \jobbra))^(2))\le ((\left(\left) ((x)^(2))+3x+4 \jobbra| \jobbra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \jobbra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ jobb))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \jobbra)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(igazítás)\]

Intervallum módszer:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Jobbra nyíl x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Jobbra D=16-40 \lt 0\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Csak egy gyök van a számegyenesen:

A válasz egy egész intervallum

Válasz: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Egy kis megjegyzés az utolsó feladathoz. Ahogy egyik tanítványom pontosan megjegyezte, ebben az egyenlőtlenségben mindkét szubmoduláris kifejezés nyilvánvalóan pozitív, így a modulusjel elhagyható egészségkárosodás nélkül.

De ez egy teljesen más gondolkodási szint és más megközelítés - feltételesen nevezhetjük a következmények módszerének. Erről - külön leckében. Most pedig térjünk át a mai lecke utolsó részére, és nézzük meg univerzális algoritmus, ami mindig működik. Még akkor is, ha minden korábbi megközelítés tehetetlen volt. :)

4. Az opciók számbavételének módja

Mi van, ha ezek a technikák nem segítenek? Ha az egyenlőtlenség nem redukálható nem negatív farokra, ha lehetetlen elkülöníteni a modult, ha általában van fájdalom, szomorúság, melankólia?

Ekkor színre lép az összes matematika „nehéztüzérsége” – a nyers erő módszere. A modulusos egyenlőtlenségekkel kapcsolatban így néz ki:

1. Írja ki az összes szubmoduláris kifejezést, és állítsa őket nullára;
2. Oldja meg a kapott egyenleteket, és jelölje meg az egyik számegyenesen talált gyököket;
3. Az egyenes több szakaszra lesz osztva, amelyeken belül minden modulnak van egy rögzített előjele, és ezért egyedileg látható;
4. Oldja meg az egyenlőtlenséget minden ilyen szakaszon (a megbízhatóság érdekében külön figyelembe veheti a 2. lépésben kapott gyökereket-határokat). Kombinálja az eredményeket - ez lesz a válasz. :)

Szóval hogyan? Gyenge? Könnyen! Csak sokáig. Lássuk a gyakorlatban:

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\bal| x+2 \jobbra| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Megoldás. Ez a baromság nem olyan egyenlőtlenségekre vezethető vissza, mint a $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ vagy $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, tehát előre járunk.

Szubmoduláris kifejezéseket írunk ki, nullával egyenlővé tesszük, és megkeressük a gyökereket:

\[\begin(align) & x+2=0\Jobbra x=-2; \\ & x-1=0\Jobbra x=1. \\\vége(igazítás)\]

Összességében két gyökünk van, amelyek a számsort három részre osztják, amelyeken belül minden modul egyedileg jelenik meg:

A számegyenes particionálása szubmoduláris függvények nullákkal

Nézzük meg az egyes szakaszokat külön-külön.

1. Legyen $x \lt -2$. Ekkor mindkét szubmoduláris kifejezés negatív, és az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen lesz átírva:

\[\begin(igazítás) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(igazítás)\]

Kaptunk egy meglehetősen egyszerű korlátozást. Vegyük keresztbe azzal a kezdeti feltételezéssel, hogy $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Nyilvánvaló, hogy a $x$ változó nem lehet egyszerre kisebb, mint −2 és nagyobb, mint 1,5. Ezen a téren nincsenek megoldások.

1.1. Nézzük külön a határesetet: $x=-2$. Helyettesítsük be ezt a számot az eredeti egyenlőtlenségbe, és ellenőrizzük: igaz?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) \ \ & 0 \lt \left| -3\jobbra|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Nyilvánvaló, hogy a számítások láncolata téves egyenlőtlenséghez vezetett. Ezért az eredeti egyenlőtlenség is hamis, és $x=-2$ nem szerepel a válaszban.

2. Legyen most $-2 \lt x \lt 1$. A bal oldali modul már „plusszal”, de a jobb oldali továbbra is „mínusz”-al fog megnyílni. Nekünk van:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(igazítás)\]

Ismét keresztezzük az eredeti követelményt:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

És újra üres készlet megoldásokat, mivel nincs olyan szám, amely egyszerre kisebb, mint -2,5 és nagyobb, mint -2.

2.1. És újra különleges eset: $x=1$. Az eredeti egyenlőtlenségbe behelyettesítjük:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\jobbra| \lt \left| 0\jobbra|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Az előző „speciális esethez” hasonlóan a $x=1$ szám egyértelműen nem szerepel a válaszban.

3. A sor utolsó darabja: $x \gt 1$. Itt minden modul pluszjellel nyílik meg:

\[\begin(igazítás) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(igazítás)\ ]

És ismét metszi a talált halmazt az eredeti megszorítással:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Végül! Találtunk egy intervallumot, amely a válasz lesz.

Válasz: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Végül egy megjegyzés, amely megóvhatja Önt a hülye hibáktól a valódi problémák megoldása során:

A modulusos egyenlőtlenségek megoldásai általában folytonos halmazokat jelentenek a számegyenesen - intervallumokat és szegmenseket. Az elszigetelt pontok sokkal kevésbé gyakoriak. És még ritkábban előfordul, hogy a megoldás határa (a szakasz vége) egybeesik a vizsgált tartomány határával.

Következésképpen, ha a határok (ugyanazok a „speciális esetek”) nem szerepelnek a válaszban, akkor ezektől a határoktól balra és jobbra eső területek szinte biztosan nem fognak szerepelni a válaszban. És fordítva: a határ belépett a válaszba, ami azt jelenti, hogy körülötte néhány terület válasz is lesz.

Ezt tartsa szem előtt a megoldások áttekintésekor.