Az iskolából tudjuk, hogy egy háromszög belső szögeinek három felezőpontja egy pontban metszi egymást - a háromszögbe írt kör középpontjában.

1. tétel. Szögfelező A háromszög ABC a felezők metszéspontját elosztjuk az arányban , oldalról számolva, ahol a, b, c– oldalhosszak BC, AC, AB illetőleg.

Bizonyíték. Hadd AA 1 és BB 1 – szögfelezők AÉs BAN BEN illetve háromszögben ABC, L- metszéspontjuk, a, b, c– oldalhosszak BC, AC, AB ennek megfelelően (62. ábra). Ezután a háromszögre alkalmazott felezőtétel-tétellel ABC lesz

Vagy b VA 1 = ac – VA-val 1, ill VA 1 (b + c)= ac, azt jelenti, VA 1 = Val vel. Ugyanezzel a háromszögre alkalmazott tétellel AVA 1 kapunk A 1 L : LA = : Val vel, vagy = .

2. tétel. Ha L ABC akkor kör

Ð ALB= 90° + R S.

Bizonyíték. Tekintettel arra, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°, és a középpontja L a beírt kör a háromszög felezőinek metszéspontja, így lesz (62. ábra):

Ð ALB= 180° – ( Ð ABL + Ð VAL) = 180° – ( Ð ABC + Ð VAS) =

180° – (180° – Ð C) = 180° – 90° + R S= 90° + R S.

3. tétel. Ha L– pont a szögfelezőn VAL VEL háromszög ABC oly módon, hogy Ð ALB= 90° + R S, Azt L– beírt háromszög középpontja ABC kör.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be, hogy egyik pont sem L 1 között CÉs L nem lehet beírt kör középpontja (62a. ábra).

Nekünk van Ð AL 1 VAL VEL 1 < Ð ALC 1, mivel a háromszög külső szöge AL 1 L nagyobb, mint bármely vele nem szomszédos belső szög. Is Ð VL 1 VAL VEL < Р ВЛС 1 .

Ezért Ð AL 1 BAN BEN < Ð ALB= 90° + R S. Eszközök, L 1 nem a beírt kör középpontja, mivel a beírt kör középpontjának előjelének feltétele nem teljesül (lásd 2. Tétel).

Ha a lényeg L 2 a felezőn SS 1 nem tartozik a szegmenshez CL, Azt Ð AL 2 BAN BEN > Ð ALB= 90° + R Sés ismét nem teljesül a beírt kör középpontjának előjelének feltétele. Ez azt jelenti, hogy a beírt kör középpontja a pont L.

4. tétel. A háromszög csúcsától a beírt kör érintési pontja és ezen a csúcson átmenő oldala közötti távolság egyenlő ennek a háromszögnek a szemközti oldallal csökkentett fél kerületével.

Bizonyíték. Hadd A 1 , BAN BEN 1 , VAL VEL 1 – a beírt kör érintési pontjai a háromszög oldalaival ABC(63. ábra), a, b, c– oldalhosszak BC, AC, AB illetőleg.

Hadd AC 1 = x, Akkor AB 1 = x, nap 1 = c – x = VA 1 , BAN BEN 1 VAL VEL = b – x = CA 1 ,

a = BC = VA 1 + SA 1 = (c – x) + (b – x) = c + b – 2 x.

Akkor a + a = a + b + c – 2 x, vagy 2 A = 2 R – 2 x, vagy x = p – a.

5. tétel. Bármelyik háromszögben ABC ponton keresztül L két külső szöge felezőjének metszéspontja átmegy a harmadik szög felezőjén, és a pont L egyenlő távolságra van a háromszög oldalait tartalmazó egyenesektől.

Bizonyíték. Hadd L– két külső szög metszéspontja BAN BENÉs VAL VEL háromszög ABC(64. ábra). Mivel a felezőpont minden pontja azonos távolságra van a szög oldalaitól, akkor a pont L ABÉs Nap, mivel a felezőhöz tartozik ВL. Ugyanolyan távolságra található az egyenes vonalaktól NapÉs AC, mivel a felezőhöz tartozik CL. Ezért pont L azonos távolságra van az egyenesek között ÉS TEÉs Nap. A lényeg óta L azonos távolságra van a vonalaktól ABÉs AC, Azt JSC– szögfelező TE.

Azt a kört, amely egy háromszög egyik oldalát és a másik két oldal kiterjesztését érinti, e háromszög körének nevezzük.

Következmény 1. A háromszöggel excentrikus körök középpontjai a külső szögek felező-párjainak metszéspontjaiban helyezkednek el.

6. tétel. A beírt kör sugara háromszögben egyenlő az aránnyal ennek a háromszögnek az oldalai és a szemközti szög felének koszinusza, megszorozva a másik két szög felének szinuszával.

„Háromszögek típusai” - Háromszögek típusai. Az oldalak összehasonlító hossza alapján a következő típusú háromszögeket különböztetjük meg. A szögek mérete alapján a következő típusokat különböztetjük meg. A pontokat csúcsoknak, a szakaszokat oldalaknak nevezzük.

"A háromszög szögei" - Akut háromszög. Lehet egy háromszögnek két derékszöge? Egyenlő oldalú háromszög. Egyenlő szárú háromszög. Derékszögű háromszög. Tompa háromszög. Lehet-e egy háromszögnek két tompaszöge? BAN BEN egyenlő oldalú háromszög szögek egyenlőek 600. Egy derékszögű egyenlő szárú háromszögben éles sarkok egyenként 450.

„Geometria órák a 7. osztályban” – Problémamegoldás. Lábak BC és SA. Kész rajzok alapján dolgozzon. „Egy háromszög szögeinek összege. Új anyag. Derékszögű háromszög. 1. számú feladat. Feladatok megoldása kész rajzok segítségével. 232. sz. (szóbeli), 231. sz. Bizonyítsuk be: ABC szög kisebb szög ADC. Szóbeli teszt. Geometria óra 7. osztályban. Hypotenuse AB.

„Derékszögű háromszög” – Euklidészről rendkívül kevés információ áll rendelkezésre. A háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala (vagy három szöge) van. Euklidész - csillagászatról, optikáról, zenéről stb. szóló művek szerzője. A háromszög külső szöge egyenlő az összeggel belső sarkok nem szomszédosak vele. Eukleidész az alexandriai iskola első matematikusa. Definíciók. Ellenőrző vizsgálat.

„Egyenlőszárú háromszög és tulajdonságai” - Nevezze meg ezeknek a háromszögeknek az alapját és oldalait. Határozza meg az 1. szög értékét, ha a 2. szög értéke 40 fok? A, C – szögek egy egyenlő szárú háromszög alapjában. A háromszögek egyenlőek? Hol találhatók az életben egyenlő szárú háromszögek? AM – medián. Egy HÁROMSZÖGET, amelynek minden oldala egyenlő, EGYENLŐSSÉGŰ.

"Geometriai derékszögű háromszög" - Egyiptomi számok: Számítsa ki egy egyiptomi paraszt háromszög alakú telkének területét. Földmérők. Hogy hívták az egyiptomiak derékszögű háromszög? Egyiptomi építők: Láb és hipotenusz Egyiptomban Pythagoras: Leg and hypotenus in geometria. Földmérők kérdései: - A láb nagyobb, mint a hipotenusz. A 60 fokos szöggel szemközti láb egyenlő a hypotenus felével.

• ismételje meg és általánosítsa a tanult tételeket;
• fontolja meg ezek felhasználását számos probléma megoldásában;
• a tanulók felkészítése belépő vizsgák egyetemekre;
• a feladatokhoz a rajzok esztétikus kivitelezését műveli.

Felszerelés: multimédiás projektor. melléklet 1 .

Az órák alatt:

1. Szervezeti mozzanat.

2. Házi feladat ellenőrzése:

• tételbizonyítás – 2 hallgató + 2 hallgató – konzulens (ellenőrző);
• házi feladatok megoldása – 3 tanuló;
• munka az osztállyal - szóbeli problémamegoldás:

A C 1 pont az ABC háromszög AB oldalát 2:1 arányban osztja fel. A B 1 pont az AC oldal C ponton túli folytatásán fekszik, és AC = CB 1. Milyen arányban osztja a B 1 C 1 egyenes a BC oldalt? (a 2. dián).

Megoldás: Feltétel alapján Menelaosz tételét használva a következőket kapjuk: .

Az ABC háromszögben AD a medián, az O pont a medián közepe. A BO ​​egyenes metszi az AC oldalt a K pontban.

Milyen arányban osztja a K pont az AC-t, az A ponttól számolva? (a 3. dián).

Megoldás: Legyen ВD = DC = a, АО = ОD = m. A BK egyenes metszi az ADC háromszög két oldalát és a harmadik oldalának folytatását. Menelaus tétele szerint .

Az ABC háromszögben a BC oldalon az N pontot úgy vesszük fel, hogy NC = 3ВN; az AC oldal folytatásán az M pontot vesszük A pontnak úgy, hogy MA = AC. Az MN egyenes az AB oldalt az F pontban metszi. Határozzuk meg az arányt. (a 4. dián).

Megoldás: A feladat feltételei szerint MA = AC, NC = 3 ВN. Legyen MA = AC = b, BN = k, NC = 3k. Az MN egyenes metszi az ABC háromszög két oldalát és a harmadik folytatását. Menelaus tétele szerint

Az N pontot a PQR háromszög PQ oldalán vesszük, az L pontot pedig a PR oldalon, ahol NQ = LR. A QL és NR szakaszok metszéspontja elosztja QR-t m:n arányban, a Q ponttól számítva. Keresse meg a PN: PR-t. (az 5. dián).

Megoldás: NQ = LR, feltétellel. Legyen NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Az NR egyenes metszi a PQL háromszög két oldalát és a harmadik folytatását. Menelaus tétele szerint

3. Gyakorlati készségek gyakorlása.

1. Problémamegoldás:

Igazoljuk a tételt: Egy háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást; a metszéspont mindegyiket a csúcstól számítva 2:1 arányban osztja el. (1. ábra 6. dia).

Bizonyítás: Legyen AM 1, VM 2, CM 3 az ABC háromszög mediánja. Annak bizonyításához, hogy ezek a szakaszok egy ponton metszik egymást, elegendő ezt megmutatni Ekkor Cheva (fordított) tétele szerint az AM 1, VM 2 és CM 3 szakaszok egy pontban metszik egymást. Nekünk van:

Tehát bebizonyosodott, hogy a háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást.

Legyen O a mediánok metszéspontja. Az M 3 C egyenes metszi az ABM 2 háromszög két oldalát és e háromszög harmadik oldalának folytatását. Menelaus tétele szerint

vagy .

Figyelembe véve Menelaus tételét az AM 1 C és AM 2 C háromszögekre, azt kapjuk, hogy

. A tétel bizonyítást nyert.

Bizonyítsuk be a tételt: A háromszög felezői egy pontban metszik egymást.(2. ábra 6. dia).

Bizonyíték: Ezt elég megmutatni . Ekkor Ceva (fordított) tétele szerint AL 1, BL 2, CL 3 egy pontban metszi egymást. A háromszög felezőinek tulajdonsága szerint:

. A kapott egyenlőségeket taggal megszorozva a következőt kapjuk: . Tehát egy háromszög felezőire teljesül a Cheva-egyenlőség, ezért egy pontban metszik egymást. A tétel bizonyítást nyert.

7. probléma

Bizonyítsuk be a tételt: Egy hegyesszögű háromszög magasságai egy pontban metszik egymást.(3. ábra 6. dia).

Bizonyítás: Legyen AH 1, AH 2, AH 3 az a, b, c oldalú ABC háromszög magassága. A Pitagorasz-tétel segítségével az ABN 2 és BSN 2 derékszögű háromszögekből rendre kifejezzük a BN 2 közös láb négyzetét, amely AH 2 = x, CH 2 = b – x.

(VN 2) 2 = c 2 – x 2 és (VN 2) 2 = a 2 – (b – x) 2. a kapott egyenlőségek jobb oldalát egyenlővé téve c 2 – x 2 = a 2 – (b – x) 2-t kapunk, ahonnan x =.

Ekkor b –x = b - = .

Tehát AN 2 = , CH 2 = .

Hasonlóan érvelve az ASN 2 és VSN 3, VAN 1 és SAN 1 derékszögű háromszögeknél, megkapjuk az AN 3 =, VN 3 = és VN 1 =,

A tétel bizonyításához elég ezt megmutatni . Ekkor Cheva (fordított) tétele szerint az AN 1, VN 2 és CH 3 szakaszok egy pontban metszik egymást. Az egyenlőség bal oldalába behelyettesítve az AN 3, VN 3, VN 1, CH 1, CH 2 és AN 2 szakaszok hosszának kifejezéseit a, b, c között, meggyőződhetünk arról, hogy a Cheva-egyenlőség a tengerszint feletti magasságokra. a háromszög teljesül. A tétel bizonyítást nyert.

5 – 7. feladatok önálló megoldása 3 tanulótól. (rajzok a képernyőn).

2. egyebek:

Bizonyítsuk be a tételt: Ha egy kör be van írva egy háromszögbe, akkor a háromszög csúcsait a szemközti oldalak érintkezési pontjaival összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást. (4. ábra 6. dia).

Bizonyítás: Legyenek A 1, B 1 és C 1 az ABC háromszög beírt körének érintőpontjai. Annak bizonyításához, hogy az AA 1, BB 1 és CC 1 szakaszok egy ponton metszik egymást, elegendő megmutatni, hogy Cheva egyenlősége fennáll:

. Az egy pontból húzott érintők tulajdonságát felhasználva bevezetjük a jelölést: BC 1 = BA 1 = x, CA 1 = CB 1 = y, AB 1 = AC 1 = z.

. Cheva egyenlősége teljesül, ami azt jelenti, hogy a jelzett szakaszok (a háromszög felezőszögei) egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot Gergon-pontnak nevezzük. A tétel bizonyítást nyert.

3. Az 5., 6., 7. feladatok elemzése.

9. probléma

Legyen AD az ABC háromszög mediánja. Az AD oldalon a K pontot úgy vesszük fel, hogy AK: KD = 3: 1. A BK egyenes az ABC háromszöget kettévágja. Határozzuk meg e háromszögek területének arányát! (1. ábra a 7. dián)

Megoldás: Legyen AD = DC = a, KD = m, majd AK = 3m. Legyen P a BK egyenes és az AC oldal metszéspontja. Meg kell találni a kapcsolatot. Mivel az ABP és RVS háromszögek egyenlő magasságúak a B csúcsból, akkor = . Menelaus tétele szerint az ADC háromszögre és a szekáns PB-re van: . Tehát = .

10. probléma

A körre körülírt ABC háromszögben AB = 8, BC = 5, AC = 4. A 1 és C 1 a BC, illetve BA oldalhoz tartozó érintőpontok. P – az AA 1 és CC 1 szakaszok metszéspontja. A P pont a BB 1 felezőn fekszik. Keresse meg az AR-t: RA 1.

(2. ábra 7. dián)

Megoldás: A kör AC oldallal való érintkezési pontja nem esik egybe a B1-gyel, mivel az ABC háromszög skála. Legyen C 1 B = x, majd egy pontból körbe húzott érintők tulajdonságát felhasználva bevezetjük a jelölést (lásd az ábrát) 8 – x + 5 – x = 4, x = .

Ez azt jelenti, hogy C 1 B = VA 1 = , A 1 C = 5 - = , AC 1 = 8 - = .

Az ABA 1 háromszögben a C 1 C egyenes metszi a két oldalát és a harmadik oldal folytatását. Menelaus tétele szerint .

Válasz: 70:9.

A háromszög oldalai 5, 6 és 7. Határozzuk meg azon szakaszok arányát, amelyekbe ennek a háromszögnek a nagyobb szögének felezőjét osztjuk a háromszögbe írt kör középpontjával! (a 7. dián).

Megoldás: Az ABC háromszögben legyen AB = 5, BC = 7, AC = 6. A BAC szög az ABC háromszög nagyobbik oldalával szemben van, ami azt jelenti, hogy a BAC szög a háromszög nagyobb szöge. A háromszög beírt körének középpontja a felezők metszéspontjában található. Legyen O a felezők metszéspontja. Meg kell találnia az AO: OD-t. Mivel AD az ABC háromszög felezőpontja, azaz BD = 5k, DC = 6k. mivel BF az ABC háromszög felezőpontja, azaz AF = 5m, FC = 7m. A BF egyenes metszi az ADC háromszög két oldalát és a harmadik oldalának kiterjesztését. Menelaus tétele szerint .

4. 9., 10., 11. feladatok önálló megoldása.– 3 diák.

12. feladat (az osztályban maradt összes tanuló számára):

Az ABC háromszög BE és AD felezői a Q pontban metszik egymást. Határozzuk meg az ABC háromszög területét, ha a BQD háromszög területe = 1, 2AC = 3 AB, 3BC = 4 AB. (4. ábra a 7. dián).

Megoldás: Legyen AB = a, majd AC = , BC = . AD tehát az ABC háromszög felezőpontja , azaz BD = 2p, DC = 3p. BE tehát az ABC háromszög felezőpontja , AE = 3 k, EC = 4k. A BEC háromszögben az AD egyenes metszi annak két oldalát és a harmadik oldal kiterjesztését. Menelaus tétele szerint ... vagyis EQ = 9m, QB = 14m. A QBD és az EBC háromszögeknek közös szöge van, ami azt jelenti , S EBC = .

Az ABC és BEC háromszögek egyenlő magasságúak a B csúcsból, ami azt jelenti, hogy akkor S ABC = .

5. A 9., 10., 11. feladatok elemzése.

Problémamegoldás – workshop:

A. Az AB alappal rendelkező ABC egyenlő szárú háromszög BC, CA, AB oldalain az A 1, B 1, C 1 pontokat veszik, így az AA 1, BB 1, CC 1 egyenesek versengenek.

Bizonyítsd

Bizonyíték:

Ceva tétele szerint: (1).

A szinusz törvénye szerint: , ahonnan CA 1 = CA.,

, ahol A 1 B = AB. , ,

ahol AB 1 = AB. , , ahonnan B 1 C = BC. , mivel CA = BC feltétel szerint. A kapott egyenlőségeket az (1) egyenlőséggel helyettesítve a következőt kapjuk:

Q.E.D.

B. Az ABC háromszög AC oldalán egy M pontot veszünk fel úgy, hogy AM = ?AC, és a BC oldal folytatásán van egy N pont, amelyre BN = CB. Milyen összefüggésben osztja fel ezeket a szakaszokat a P pont, az AB és MN szakaszok metszéspontja?

Menelaus tétele szerint az ABC háromszögre és az MN szekánsra van:

. Feltétel szerint ennélfogva ,

0,5 óta. (-2) . x = 1, - 2x = - 2, x = 1.

Az MNC háromszögre és az AB szekántra Menelaus tétele szerint: feltétel szerint

jelenti, - , honnan, .

8. Független problémamegoldás: 1. lehetőség:

1. Az ABC háromszög AB, BC, AC oldalainak folytatásain a C 1, A 1, B 1 pontokat rendre felvesszük úgy, hogy AB = BC 1, BC = CA 1, CA = AB 1. Határozzuk meg azt az arányt, amelyben az AB 1 egyenes osztja az A 1 B 1 C 1 háromszög A 1 C 1 oldalát! (3 pont).

2. Az ABC háromszög CC 1 mediánján felvesszük az M pontot, az AM és BM egyenesek metszik a háromszög oldalait az A 1 és B 1 pontokban. Bizonyítsuk be, hogy az AB és A 1 B 1 egyenesek párhuzamosak. (3 pont).

3. Legyen C 1, A 1 és B 1 pont az ABC háromszög AB, BC és AC oldalainak folytatásán Bizonyítsuk be, hogy az A 1, B 1, C 1 pontok akkor és csak akkor fekszenek ugyanazon az egyenesen, ha az egyenlőség érvényesül . (4 pont).

6. Legyen C 1, A 1 és B 1 pont az ABC háromszög AB, BC és AC oldalán, így az AA 1, BB 1, CC 1 egyenesek az O pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az egyenlőség teljesül . (5 pont).

7 . Legyen az ABCD tetraéder AB, BC, CD és AD élein rendre az A 1, B 1, C 1, D 1 pontok Bizonyítsuk be, hogy az A 1, B 1, C 1, D 1 pontok azonosak sík akkor és csak akkor, ha , amikor az egyenlőség teljesül (5 pont).

2. lehetőség:

1. Az A 1 és B 1 pontok 2:1 és 1:2 arányban osztják el az ABC háromszög BC és AC oldalait. Az AA 1 és BB 1 egyenesek az O pontban metszik egymást. Az ABC háromszög területe 1. Keresse meg az OBC háromszög területe. (3 pont).

2. Az ABCD négyszög AD és BC oldalainak felezőpontját összekötő MN szakaszt átlókkal három egyenlő részre osztjuk. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD trapéz, az egyik AB vagy CD alap, amely kétszer akkora, mint a másik. (3 pont).

3. Legyen a C 1, A 1 és B 1 pont az ABC háromszög AB oldalon és BC és AC oldalának folytatása. Bizonyítsuk be, hogy az AA 1, BB 1, СС 1 egyenesek egy pontban metszik egymást, vagy akkor és csak akkor párhuzamosak, ha az egyenlőség fennáll . (4 pont).

4. Bizonyítsa be Ceva tételével, hogy a háromszög magasságai vagy kiterjesztéseik egy pontban metszik egymást. (4 pont).

5. Igazolja, hogy a háromszög csúcsain átmenő egyenesek és a körkörök érintőpontjai egy pontban metszik egymást (Nagel-pont). (A kört háromszögben kikerülésnek nevezzük, ha érinti ennek a háromszögnek az egyik oldalát és a másik két oldalának kiterjesztését). (5 pont).

6. Legyen C 1, A 1, B 1 pont az ABC háromszög AB, BC és AC oldalán, így az AA 1, BB 1 és CC 1 egyenesek az O pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az egyenlőség teljesül . (5 pont).

7. Legyen az ABCD tetraéder AB, BC, CD és AD élein rendre A 1, B 1, C 1, D 1 pontok Bizonyítsuk be, hogy az A 1, B 1, C 1, D 1 pontok ugyanaz a sík akkor és csak akkor, ha az egyenlőség teljesül (5 pont).

9. Házi feladat: tankönyv 3. §, 855. sz., 861. sz., 859. sz.