Fiatal Laplace-egyenlet csepp. Röviden kolloid. Smoluchowski elmélete a gyors koagulációról

Az egyenletet kétdimenziós és egydimenziós térben is figyelembe veszik. A kétdimenziós térben a Laplace-egyenlet a következő:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )u)(\partial y^(2)))=0)

Benne is n-dimenziós tér. Ebben az esetben az összeg egyenlő nullával n második származékai.

Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 + . . . (\displaystyle \Delta =(\frac (\partial ^(2))(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2))(\partial y^(2)))+ (\frac (\partial ^(2))(\partial z^(2)))+...)

Megjegyzés: a fent leírtak a lapos tér derékszögű koordinátáira vonatkoznak (bármilyen méretben is). Más koordináták használatakor megváltozik a Laplace-operátor ábrázolása, és ennek megfelelően a Laplace-egyenlet rögzítése is megváltozik (például lásd lent). Ezeket az egyenleteket Laplace-egyenletnek is nevezik, de a terminológia egyértelművé tétele érdekében általában kifejezetten hozzá kell adni a koordináta-rendszer jelzését (és ha teljes egyértelműségre vágyunk, a dimenziót), például: „kétdimenziós Laplace-egyenlet polárkoordinátákban”.

A Laplace-egyenlet egyéb formái

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 0 f ⁡ θ ∂ \displaystyle (1 \over r^(2))(\partial \over \partial r)\left(r^(2)(\partial f \over \partial r)\right)+(1 \over r^( 2)\sin \theta )(\partial \over \partial \theta )\left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta )\right)+(1 \over r^(2)\sin ^(2)\theta )(\partial ^(2)f \over \partial \varphi ^(2))=0)

Különleges pontok r = 0, θ = 0, θ = π (\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi).

1 r ∂ ∂ r (r ∂ u ∂ r) + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ φ 2 = 0 (\displaystyle (\frac (1)(r))(\frac (\partial )(\partial r)) \left(r(\frac (\partial u)(\partial r))\right)+(\frac (1)(r^(2)))(\frac (\partial ^(2)u)(\ részleges \varphi ^(2)))=0)

Különleges pont.

1 r ∂ ∂ r (r ∂ f ∂ r) + ∂ 2 f ∂ z 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 (\displaystyle (1 \over r)(\partial \over \partial r)\ left(r(\partial f \over \partial r)\right)+(\partial ^(2)f \over \partial z^(2))+(1 \over r^(2))(\partial ^ (2)f \over \partial \varphi ^(2))=0)

Egyedi pont r = 0 (\displaystyle r=0).

Laplace-egyenlet alkalmazása

A Laplace-egyenlet a mechanika, a hővezetőképesség, az elektrosztatika és a hidraulika számos fizikai problémájában felmerül. A Laplace-operátor nagy jelentőséggel bír a kvantumfizikában, különösen a Schrödinger-egyenletben.

A Laplace-egyenlet megoldásai

Annak ellenére, hogy a Laplace-egyenlet az egyik legegyszerűbb a matematikai fizikában, megoldása nehézségekbe ütközik. A numerikus megoldás különösen nehézkes a függvények szabálytalansága és a szingularitások jelenléte miatt.

Közös döntés

Egydimenziós tér

f (x) = C 1 x + C 2 (\megjelenítési stílus f(x)=C_(1)x+C_(2))

Ahol C 1 , C 2 (\displaystyle C_(1),C_(2))- tetszőleges állandók.

Kétdimenziós tér

A Laplace-egyenletet egy kétdimenziós térben analitikus függvények teljesítik. Az analitikus függvényeket egy komplex változó függvényelmélete veszi figyelembe, és a Laplace-egyenlet megoldási osztálya egy komplex változó függvényére redukálható.

A Laplace-egyenlet két független változóra a következőképpen fogalmazódik meg

φ x x + φ y y = 0. (\displaystyle \varphi _(xx)+\varphi _(yy)=0.)

Analitikai funkciók

Ha z = x + iy, És

f (z) = u (x, y) + i v (x, y) , (\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),)

akkor a Cauchy-Riemann feltételek szükségesek és elégségesek a függvényhez f(z) elemző volt:

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x . (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial x))=(\frac (\partial v)(\partial y)),~(\frac (\partial u)(\partial y))=- (\frac (\partial v)(\partial x)).)

Az analitikus függvények valós és képzetes része is kielégíti a Laplace-egyenletet. A feltételek megkülönböztetése után

Leonardo da Vincit a kapilláris jelenségek felfedezőjének tartják. A kapilláris jelenségek első pontos megfigyelését csöveken és üveglapokon azonban Francis Hoxby végezte 1709-ben.

A legtöbb tudós munkahipotézise a 18. század óta, hogy az anyag nem korlátlanul osztható, és atomi vagy molekuláris szerkezetű. A 19. század vége felé, amikor pozitivista fizikusok egy csoportja rámutatott, mennyire közvetett az atomok létezésének bizonyítása, alig reagáltak állításukra, és ennek eredményeként ellenérzéseiket csak a század elejéig cáfolták. . Ha utólag alaptalannak tűnnek a kételyek, emlékeznünk kell arra, hogy szinte mindenki, aki akkor hitt az atomok létezésében, az elektromágneses éter anyagi létezésében is szilárdan hitt, és a 19. század első felében. - gyakran kalóriatartalmú. Azonban azok a tudósok, akik a legnagyobb mértékben hozzájárultak a gázok és folyadékok elméletéhez, az anyag diszkrét szerkezetének feltevésével éltek (általában kifejezett formában). Az anyag elemi részecskéit atomoknak vagy molekuláknak (például Laplace), vagy egyszerűen részecskéknek (Jung) nevezték, de mi a modern fogalmakat fogjuk követni, és a „molekula” szót használjuk azokra az elemi részecskékre, amelyek gázt, folyadékot vagy folyadékot alkotnak. szilárd.

század elején. a molekulák között létező erők éppoly tisztázatlanok voltak, mint maguk a részecskék. Az egyetlen erő, amelyhez nem volt kétség, a newtoni gravitáció. Az égitestek között hat, és nyilvánvalóan az egyik ilyen test (a Föld) és egy másik (például egy alma) laboratóriumi tömegű test között; Cavendish nemrégiben kimutatta, hogy két laboratóriumi tömeg között is hat, ezért azt feltételezték, hogy a molekulák között is hat. A folyadékokkal kapcsolatos korai munkák során megtaláljuk a molekulatömegek és a tömegsűrűségek bekerülését az egyenletekbe, amelyekbe most a molekulák számát és a molekulák számának sűrűségét kell felírnunk. Egy tiszta folyadékban minden molekula tömege azonos, így ez a különbség nem számít. De már 1800 előtt is világos volt, hogy a gravitációs erő fogalma nem elegendő a kapilláris jelenségek és a folyadékok egyéb tulajdonságainak magyarázatához. Az üvegcsőben lévő folyadék felemelkedése független az üveg vastagságától (Hoxby, 1709 szerint), így csak az üveg felületi rétegében lévő molekulák által kifejtett erők hatnak a folyadékban lévő molekulákra. A gravitációs erők csak fordítottan arányosak a távolság négyzetével, és, mint ismert, szabadon hatnak a köztes anyagon keresztül.

A gravitációs erőktől eltérő intermolekuláris erők természete nagyon homályos volt, de nem volt hiány a találgatásokból. Ruggero Giuseppe Boscovich jezsuita pap úgy vélte, hogy a molekulák nagyon kis távolságokon taszítják, valamivel nagyobb távolságban vonzzák, majd a távolság növekedésével váltakozó taszítást és vonzást mutatnak, amely csökkenő mértékű. Elképzelései Faraday-ra és Kelvinre is hatással voltak a következő évszázadban, de túl bonyolultak voltak ahhoz, hogy azonnali hasznot vehessenek a kapilláriselméleti szakemberek számára. Ez utóbbi bölcsen megelégedett az egyszerű hipotézisekkel.

Quincke (G.H. Quincke) kísérleteket végzett, hogy meghatározza azt a legnagyobb távolságot, amelyen az intermolekuláris erők hatása észrevehető. Megállapította, hogy különböző anyagoknál ezek a távolságok ~ 1/20000 milliméter, azaz. ~ 5 · 10 -6 cm (a szerint megadott adatok) .

James Jurin kimutatta, hogy azt a magasságot, amelyre a folyadék felemelkedik, a cső teteje határozza meg, amely a folyadék felett van, és független a cső aljának alakjától. Úgy vélte, hogy a folyadék felemelkedése a cső belső hengeres felületének vonzása miatt következik be, amelyhez a folyadék felső felülete csatlakozik. Ennek alapján kimutatta, hogy az azonos anyagú csövekben a folyadék emelkedése fordítottan arányos azok belső sugarával.

Clairaut az elsők között mutatta be, hogy magának a folyadéknak a részecskéi közötti vonzást figyelembe kell venni a kapilláris jelenségek magyarázatához. Ő azonban nem ismerte fel, hogy ezek a távolságok, amelyeken ezek az erők hatnak, észrevehetetlenül kicsik.

1751-ben von Segner bevezette a felületi feszültség fontos gondolatát a membrán mechanikai feszültségével analógiával a rugalmasság elméletében. Napjainkban a felületi feszültség fogalma elterjedt, általában ebből indul ki a kapilláris erők és a felületi jelenségek tanulmányozása az oktatási intézményekben.

Ez a gondolat kulcsfontosságúvá vált az elmélet továbbfejlesztésében. Valójában ez volt az első lépés a jelenség tanulmányozásában – egy fenomenológiai koncepciót vezettek be, amely a rendszer makroszkopikus viselkedését írja le. A második lépés a fenomenológiai fogalmak levezetése és a mennyiségek értékeinek kiszámítása molekuláris elmélet alapján. Ez a lépés nagy jelentőséggel bír, mivel egy adott molekulaelmélet helyességének próbája.

1802-ben John Leslie adta meg az első helyes magyarázatot a folyadék csőben való felemelkedésére, figyelembe véve a szilárd test és a felületén lévő vékony folyadékréteg közötti vonzást. A legtöbb korábbi kutatóval ellentétben ő nem feltételezte, hogy ennek a vonzásnak az ereje felfelé irányul (közvetlenül a folyadék fenntartására). Ellenkezőleg, megmutatta, hogy a vonzás mindenhol normális a szilárd test felületéhez képest.

A vonzás közvetlen hatása az, hogy a szilárd anyaggal érintkező folyadékrétegben megnő a nyomás, így a nyomás nagyobb lesz, mint a folyadék belsejében. Ennek az az eredménye, hogy a réteg hajlamos „elterülni” egy szilárd test felületén, amelyet csak a gravitációs erők állítanak meg. Így egy vízbe merített üvegcsövet vízzel benedvesítenek, ahol „mászni tud”. Ahogy a folyadék felemelkedik, oszlopot képez, amelynek súlya végül kiegyenlíti a folyadék terjedését okozó erőt.

Ez az elmélet nem matematikai szimbólumokkal íródott, ezért nem tudott mennyiségi kapcsolatot kimutatni az egyes részecskék vonzása és a végeredmény között. Leslie elméletét később Laplace-féle matematikai módszerekkel átdolgozta James Ivory a kapilláris működésről szóló cikkében, a „Fluids, Elevation of” cím alatt, az Encyclopaedia Britannica 1819-ben megjelent 4. kiadásának függelékében.

2. Jung és Laplace elméletei

Thomas Young 1804-ben a felületi feszültség elvén támasztotta alá a kapilláris jelenségek elméletét. Megfigyelte a szilárd felület folyadék érintkezési szögének (érintkezési szög) állandóságát is, és kvantitatív összefüggést talált, amely összeköti az érintkezési szöget a megfelelő fázisközi határok felületi feszültségi együtthatóival. Egyensúlyban az érintkezési vonalnak nem szabad elmozdulnia a szilárd test felületén, ami azt jelenti, mondta Hawksby, a Royal Society demonstrátora volt, és kísérletei befolyásolták egy nagyon hosszú esszé tartalmát az anyag elsődleges részecskéiről és a erők között, amellyel Newton befejezte „Optikája” kiadását az év 1717-ben. cm.

Ahol sSV,sSL,s LV fázishatárok felületi feszültségi együtthatói: szilárd - gáz (gőz), szilárd - folyékony, folyékony - gáz, ill. qélszög. Ezt a kapcsolatot ma Young-képletként ismerik. Ez a munka még mindig nem volt olyan hatással a tudomány ezirányú fejlődésére, mint Laplace néhány hónappal később megjelent cikke. Úgy tűnik, ez annak a ténynek köszönhető, hogy Jung kerülte a matematikai jelölés használatát, és mindent szóban próbált leírni, így munkája zavarosnak és homályosnak tűnt. Ennek ellenére ma a kapilláris kvantitatív elméletének egyik megalapítójaként tartják számon.

A kohézió és adhézió jelenségei, a gőz folyadékká kondenzálódása, a szilárd anyagok folyadékok általi nedvesítése és az anyag sok más egyszerű tulajdonsága – mind a gravitációnál sokszor erősebb vonzóerők jelenlétére utaltak, amelyek azonban csak nagyon kis távolságra hatnak molekulák. Ahogy Laplace mondta, a megfigyelhető jelenségekből következő egyetlen feltétel ezekre az erőkre az, hogy „érzékelhető távolságból észrevehetetlenek”.

A taszító erők további gondokat okoztak. Jelenlétüket nem lehetett tagadni – egyensúlyba kell hozniuk a vonzási erőket és meg kell akadályozniuk az anyag teljes pusztulását, de természetük teljesen homályos volt. A kérdést az alábbi két téves vélemény nehezítette. Először is gyakran azt hitték, hogy az aktív taszító erő a hő (általában a kalóriaelmélet támogatóinak véleménye szerint), mivel (ez volt az érv) a folyadék melegítéskor először kitágul, majd felforr, így a molekulák szétválnak. sokkal nagyobb távolságokra, mint egy szilárd testben A második tévhit abból az elképzelésből fakadt vissza Newtonig, hogy a gáz megfigyelt nyomása a molekulák közötti statikus taszításnak köszönhető, nem pedig a tartály falával való ütközésüknek köszönhető, ahogyan Daniel Bernoulli hiába érvelt.

Ennek fényében természetes volt, hogy a kapilláris, vagy általában a folyadékok kohéziójának magyarázatára tett első kísérletek az anyag statikus vonatkozásain alapultak. A mechanika jól érthető elméleti tudományág volt; a termodinamika és a kinetikai elmélet még a jövőben volt. A mechanikai megfontolásban a kulcsfeltevés a nagy, de rövid hatótávolságú vonzó erők feltételezése volt. A nyugalomban lévő folyadékok (akár a kapilláriscsőben, akár azon kívül) nyilvánvalóan egyensúlyban vannak, ezért ezeket a vonzó erőket taszító erőkkel kell egyensúlyba hozni. Mivel még kevesebbet lehetett róluk elmondani, mint a vonzási erőkről, gyakran elhallgatták őket, és – Rayleigh szavaival élve – „a vonzási erőket meghagyták önmaguk egyensúlyozásának felfoghatatlan trükkjére”. Laplace volt az első, aki megnyugtatóan oldotta meg ezt a problémát, mert úgy gondolta, hogy a taszító erők (ahogy elismerte: hő) helyettesíthetők belső nyomással, amely mindenütt összenyomhatatlan folyadékban hat. (Ez a feltevés időnként bizonytalansághoz vezet a 19. századi munkákban azzal kapcsolatban, hogy mit kell érteni szigorúan a „nyomás a folyadékban” alatt.) Adjuk meg Laplace belső nyomásra vonatkozó számítását. (Ez a következtetés közelebb áll Maxwell és Rayleigh következtetéseihez. A következtetést a szerint adjuk meg.)

1819-ben részletesen foglalkozott az intermolekuláris taszító erőkkel, amelyek bár még mindig a hőnek vagy a kalóriának tulajdoníthatók, alapvető tulajdonságuk volt, hogy a távolsággal gyorsabban csökkennek, mint a vonzó erők.

Egyensúlyoznia kell a folyadékban lévő kohéziós erőket, és Laplace ezt az egységnyi területre eső erővel azonosította, amely ellenáll a végtelen folyadéktest két egymástól egymástól távol eső félvégtelen testre, amelyeket sík felületek határolnak. Az alábbi levezetés közelebb áll Maxwell és Rayleigh levezetéséhez, mint Laplace eredeti formájához, de az érvelésben nincs jelentős különbség.

Tekintsünk két félvégtelen, szigorúan sík felületű, réteggel elválasztott folyadéktestet (vastagság l) elhanyagolhatóan kis sűrűségű pár (1. ábra), és mindegyikben kiválasztunk egy térfogatelemet. Az első a felsőtestben található egy magasságban r az alsó test lapos felülete felett; térfogata egyenlő dxdydz. A második a test alsó részén található, és olyan térfogattal rendelkezik, ahol a poláris koordináták origója egybeesik az első elemi térfogat helyzetével. Hadd f(s) két, egymástól távolságra elválasztott molekula között ható erő s, A d- hatásának sugara. Mivel ez mindig vonzó erő, megvan

Ha r mindkét testben a molekulák számának sűrűsége, akkor a két térfogatelem közötti kölcsönhatási erő függőleges összetevője egyenlő

Az egységnyi területre jutó összes vonzási erő (pozitív érték) az

Hadd u(s) az intermolekuláris erő potenciálja:

Újra alkatrészenkénti integrációt kapunk

Belső Laplace nyomás K két sík felület közötti egységnyi területre eső vonzási erő, amikor azok érintkeznek, azaz. F(0):

ahol egy kötet elem, amely így írható fel. Mert a u(r) feltételezés szerint mindenhol negatív vagy nullával egyenlő, akkor K pozitívan. Laplace elhitte K nagy a légköri nyomáshoz képest, de az első reális számszerű becslést Youngnak kellett elkészítenie.

A fenti következtetés azon az implicit feltételezésen alapul, hogy a molekulák egyenletesen oszlanak el a sűrűséggel r, azaz a folyadéknak nincs észrevehető szerkezete az erők hatássugárával arányos méretskálán d. E feltevés nélkül lehetetlen lenne a (2) és (3) kifejezést ilyen egyszerű formában felírni, de ki kellene deríteni, hogy egy molekula jelenléte az első térfogatelemben hogyan befolyásolja a molekula jelenlétének valószínűségét. egy molekula a másodikban.

A folyadék felületén egy tetszőleges vonal mentén az egységnyi hosszra eső feszültségnek egyenlőnek kell lennie (a megfelelő mértékegységrendszerben) az egységnyi szabad felület létrehozására fordított munkával. Ez a folyékony film nyújtására vonatkozó kísérletből következik (2. ábra).

Ennek a munkának az értéke azonnal megkapható a (6) for kifejezésből F(l). Ha két félvégtelen testet érintkezésbe veszünk, és az intermolekuláris erők hatássugarát meghaladó távolságra választjuk el őket, akkor az egységnyi területre eső munkát a következőképpen határozzuk meg:

(8)

Az elválasztás során két szabad felület képződik, így a ráfordított munka a felületi feszültséggel egyenlő felületi energia kétszeresével egyenlő:

(9)

És így, K az intermolekuláris potenciál integrálja, vagy nulla momentuma, és H- első pillanata. Míg K hozzáférhetetlen a közvetlen kísérlethez, H megtalálható, ha meg tudjuk mérni a felületi feszültséget.

Legyen a kohéziós energia sűrűsége a folyadék vagy gáz valamely pontján, pl. hozzáállás dU/dV Ahol d U— kis térfogatú belső energia V ezt a pontot tartalmazó folyadék vagy gáz. A molekuláris modellhez elfogadjuk

(10)

Ahol r— távolság a kérdéses ponttól. Rayleigh azonosította Laplaceét K ennek a potenciálnak a különbsége 2 a folyadék sík felületén lévő pont között (2. érték S) és egy pont belül (2-es érték én). A felszínen a (10)-ben való integráció egy sugarú félgömbre korlátozódik d, a belső régióban pedig az egész szférában történik. Ennélfogva, S fele van én, vagy

(11)

Tekintsünk most egy csepp sugarat R. Számítás f I nem változik, de átvételkor f S Az integráció a felület görbülete miatt most korlátozottabb térfogaton történik. Ha a vektor és egy rögzített sugár közötti szög, akkor

Ekkor a csepp belső nyomása az

Ahol H a (9) egyenlet határozza meg. Ha nem egy gömb alakú cseppet vennénk, hanem egy olyan folyadékrészt, amelynek felülete két fő görbületi sugár határozza meg R 1És R 2, akkor belső nyomást kapnánk a formában

(14)

Az Euler-tétel szerint az összeg egyenlő a felület inverz görbületi sugarainak összegével bármely két merőleges érintő mentén.

Mert KÉs H pozitív és R domború felületre pozitív, akkor a (13)-ból az következik, hogy egy cseppben nagyobb a belső nyomás, mint egy sík felületű folyadékban. Ellenkezőleg, a homorú gömbfelület által határolt folyadék belső nyomása kisebb, mint a sík felületű folyadékban, mivel R ebben az esetben negatív.

Ezek az eredmények képezik Laplace kapilláris elméletének alapját. A nyomáskülönbség egyenlete (folyadéknyomás gömb alakú sugarú cseppen belül R) és (a gáznyomás kívül) most Laplace-egyenletnek nevezik:

Három ötlet elegendő - a felületi feszültség, a belső nyomás és az érintkezési szög, valamint az (1) és (15) kifejezések a szokásos egyensúlyi kapillárisok összes problémájának megoldásához a klasszikus statikus módszerekkel. Így Laplace és Young munkássága után lerakták a kapilláris kvantitatív elméletének alapjait.

Young eredményeit később Gauss szerezte meg variációs módszerrel. De ezeknek a munkáknak (Young, Laplace és Gauss) volt egy közös hátránya, úgyszólván egy hibája. Erről a hátrányról később lesz szó.

Az ívelt folyadékfelületen belüli nyomás kiszámításakor a Rayleigh-potenciál 2 (10) került bevezetésre; Közben azt is megjegyezték én a kohéziós energiasűrűség. Ezt a hasznos fogalmat először 1869-ben Dupre vezette be, aki úgy határozta meg, mint egy anyag egy darabjának az alkotó molekuláiba való összezúzását (la travail de désagré gation totale – a teljes szétbontás munkája).

Mélységben lévő molekulára ható befelé irányuló erő r< d , ellentétes előjelű azzal a kifelé irányuló erővel, amely az árnyékolt térfogatban lévő molekulákból eredne, ha egyenletesen töltené fel sűrűséggel.

A következőképpen idézi kollégája, F. J. D. Massier következtetését. A molekulára a felületen a folyadék térfogata felé ható erő ellentétes előjelű, mint az ábra árnyékolt térfogatából származó erővel. 3, mivel a folyadék belsejében a gömb sugarú térfogatából származó vonzási erő a szimmetria miatt nulla. Így a befelé irányuló erő az

Ez az erő pozitív, mert f(0 < s < d) < 0 и F(d) = 0 a páratlan függvény miatt f(s). Semmiféle erő nem hat a molekulára, hacsak nincs távolságon belül d a felület egyik vagy másik oldalán. Ezért egy molekula folyadékból való eltávolítására végzett munka az

mert a u(r) páros függvény. Ez a munka egyenlő a folyadék széteséséhez szükséges molekulánkénti energia mínusz kétszeresével ( megduplázódott, hogy ne számoljuk kétszer a molekulákat: egyszer eltávolításukkor, máskor a környezet részeként):

(18)

Ez a belső energia egyszerű és érthető kifejezése U folyadékot tartalmazó N molekulák. Ebből következik, hogy a kohéziós energiasűrűséget a (10), ill

ami egybeesik a (11)-el, ha eltávolítjuk az indexet én. Maga Dupre is ugyanezt az eredményt érte el körpályás úton. Számolt dU/dV a folyadékkocka egyenletes tágulása során az intermolekuláris erők elleni munka révén. Ez adott neki

Mert a K alakja ((7) és (11)), ahol az állandó a kifejezés adja meg

(21)

majd a (20) integráció ismét a (19)-hez vezet.

Rayleigh bírálta Dupre következtetését. Úgy vélte, hogy a kohéziós és taszító intermolekuláris erők egyensúlyi állapotából történő egyenletes tágulási munka mérlegelése, amikor csak a kohéziós erőket vesszük figyelembe, alaptalan; Mielőtt megtenne egy ilyen lépést, jobban meg kell ismernie a taszító erők típusát.

Azt látjuk, hogy ebben a következtetésben, akárcsak Young, Laplace és Gauss következtetéseiben, az anyag molekulaszámának sűrűségében a fázis határfelületén bekövetkező ugrásszerű változás feltételezését alkalmazzák. Ugyanakkor ahhoz, hogy a fenti érvek leírhassák az anyag valós jelenségeit, fel kell tételezni, hogy az intermolekuláris erők hatássugara az anyagban sokkal nagyobb, mint a részecskék közötti jellemző távolság. De ennél a feltételezésnél a két fázis közötti határfelület nem lehet éles – folyamatos átmeneti sűrűségprofilnak kell létrejönnie, más szóval egy átmeneti zónának.

Megkísérelték ezeket az eredményeket egy folyamatos tranziens profilra általánosítani. Különösen Poisson, aki ezt az utat próbálta követni, arra a téves következtetésre jutott, hogy egy átmeneti profil jelenlétében a felületi feszültségnek teljesen el kell tűnnie. Maxwell később megmutatta ennek a következtetésnek a tévességét.

Azonban maga az a feltételezés, hogy az intermolekuláris erők hatássugara egy anyagban sokkal nagyobb, mint a részecskék közötti jellemző távolság, nem felel meg a kísérleti adatoknak. A valóságban ezek a távolságok azonos sorrendűek. Ezért a Laplace szellemiségű mechanisztikus megfontolás modern szóhasználattal átlagos térelmélet. Ugyanez az itt le nem írt Vander Waals elmélet, amely a valódi gázok híres állapotegyenletét adta. Mindezen esetekben a pontos számításhoz figyelembe kell venni a részecskeszám-sűrűségek közötti összefüggéseket a különböző pontokon. Ez nagyon megnehezíti a feladatot.

3. Gibbs kapilláris elmélet

Ahogy az gyakran megesik, a termodinamikai leírás egyszerűbbnek és általánosabbnak bizonyul, és nem korlátozzák az egyes modellek hiányosságai.

Gibbs így írta le a kapillárist 1878-ban, tisztán termodinamikai elméletet alkotva. Ez az elmélet Gibbs termodinamikájának szerves részévé vált. Gibbs kapilláriselmélete, anélkül, hogy közvetlenül bármilyen mechanikus modellre támaszkodna, mentes a Laplace-féle elmélet hiányosságaitól; joggal tekinthető a felületi jelenségek első részletes termodinamikai elméletének.

Gibbs kapilláris elméletéről azt mondhatjuk, hogy nagyon egyszerű és nagyon összetett. Egyszerű, mert Gibbsnek sikerült olyan módszert találnia, amely lehetővé teszi a legkompaktabb és legelegánsabb termodinamikai összefüggések elérését, amelyek egyaránt alkalmazhatók sík és ívelt felületekre. „Az elméleti kutatás egyik fő feladata a tudás bármely területén – írta Gibbs –, hogy megállapítsa azt a nézőpontot, amelyből a vizsgálat tárgya a legnagyobb egyszerűséggel jelenik meg. Ez a nézőpont Gibbs kapilláris elméletében a felületek elválasztásának ötlete. Az osztófelület vizuális geometriai képének alkalmazása és a redundáns mennyiségek bevezetése lehetővé tette a felületek tulajdonságainak lehető legegyszerűbb leírását, valamint a felületi réteg szerkezetének és vastagságának kérdéskörének megkerülését, amely eddig teljesen tanulmányozatlan volt. Gibbs idejét, és még mindig messze van a teljes megoldástól. A túlzott Gibbs értékek (adszorpció és egyebek) az elválasztó felület helyzetétől függenek, és ez utóbbi is megtalálható a maximális egyszerűség és kényelem érdekében.

Az osztófelületet minden esetben úgy célszerű megválasztani, hogy az mindenhol merőleges legyen a sűrűséggradiensre. Ha elválasztó felületeket választunk, akkor minden fázis ( l} (l = a, b, g) most megfelel az általa elfoglalt kötetnek V{ l) . Teljes rendszerhangerő

Legyen a fajta molekuláinak sűrűsége j a [tömeges] fázisban ( l). Ezután az ilyen típusú molekulák teljes száma j a vizsgált rendszerben egyenlő

ahol a típusú molekulák felületi többletszáma j(index ( s) felületet jelent). Más kiterjedt fizikai mennyiségek feleslegét is hasonló módon határozzák meg. Nyilvánvaló, hogy például egy síkfólia esetében arányos a területével A. Egy típusú molekulák számának felületi többleteként meghatározott érték j A szórófelület egységnyi területét az ilyen típusú molekulák adszorpciójának nevezzük j ezen a felületen.

Gibbs az elválasztó felület két fő pozícióját használta: az egyiket, amelyben az egyik komponens adszorpciója nulla (ma ezt a felületet ekvimolekulárisnak nevezik), és egy olyan pozíciót, amelynél a felületi energia nyilvánvaló függése a felület görbületétől eltűnik. (ezt a pozíciót Gibbs feszítőfelületnek nevezte). Gibbs az ekvimolekuláris felületet használta a lapos folyékony felületek (és a szilárd anyagok felületeinek), a feszültségfelületet pedig az ívelt felületek figyelembevételére. Mindkét pozíciónál csökken a változók száma, és a maximális matematikai egyszerűség érhető el.

Most Gibbs elméletének összetettségéről. Bár matematikailag nagyon egyszerű, mégis nehéz megérteni; Ez több okból is előfordul. Először is, Gibbs kapilláriselmélete nem értelmezhető a Gibbs-féle termodinamika egészétől elszigetelten, amely egy nagyon általános, deduktív módszeren alapul. Egy elmélet nagy általánossága mindig ad neki némi elvontságot, ami természetesen kihat az észlelés könnyedségére. Másodszor, Gibbs kapilláriselmélete maga egy kiterjedt, de feltételes rendszer, amely megköveteli az észlelés egységét anélkül, hogy elvonatkoztatna az egyes rendelkezésektől. A Gibbs tanulmányozásának amatőr megközelítése egyszerűen lehetetlen. Végül fontos körülmény, hogy Gibbs összes említett munkája nagyon tömören és nagyon nehéz nyelvezeten íródott. Ez a mű Rayleigh szerint „túl sűrített és nehéz nemcsak a legtöbb, hanem, mondhatni, minden olvasó számára”. Guggenheim szerint "sokkal könnyebb Gibbs képleteit használni, mint megérteni."

Természetesen Gibbs formuláinak valódi értelmezése nélküli használata számos hibához vezetett a Gibbs-féle kapilláris elmélet egyes rendelkezéseinek értelmezésében és alkalmazásában. Sok hiba azzal járt, hogy nem értették, hogy a helyes fizikai eredmény elérése érdekében egyértelműen meg kell határozni az osztófelület helyzetét. Ilyen jellegű hibákkal gyakran találkoztunk a felületi feszültség felületgörbülettől való függésének elemzésekor; Még a kapilláris elmélet egyik „pillére”, Bakker sem kerülte el őket. Egy másik hibatípusra példa a kémiai potenciálok helytelen értelmezése a felszíni jelenségek és a külső mezők figyelembevételekor.

Már nem sokkal Gibbs kapilláriselméletének publikálása után a tudományos irodalomban kívánták annak teljesebb és részletesebb magyarázatát. A fent idézett Gibbsnek írt levelében Rayleigh azt javasolta, hogy Gibbs maga vállalja ezt a munkát. Ez azonban jóval később megtörtént: Rice kommentárt készített Gibbs egész elméletéhez, egyes rendelkezéseit pedig Frumkin, Defay, Rehbinder, Guggenheim, Tolman, Buff, Semenchenko és más kutatók művei kommentálták. Gibbs elméletének számos rendelkezése világosabbá vált, és egyszerűbb és hatékonyabb logikai technikákat találtak ezek igazolására.

Tipikus példa Kondo lenyűgöző munkája, amely vizuális és könnyen érthető módszert javasolt a feszítőfelület bevezetésére az elválasztó felület mentális mozgatásával. Ha egy egyensúlyi kétfázisú rendszer energiájára írunk kifejezést a - b (a- belső és b- külső fázis) gömb alakú törésfelülettel

U = T.S. - P a V a- P b V b+ sA +(22)

és gondolatban megváltoztatjuk az osztófelület helyzetét, azaz. változtassa meg a sugarát r, akkor nyilvánvalóan olyan fizikai jellemzők, mint az energia U, hőfok T, entrópia S, nyomás R, kémiai potenciál én komponens m i és tömege m i, valamint a rendszer teljes kötetét V egy + V b változatlan marad. Ami a hangerőt illeti V a = 4 /3pr 3és területek A = 4pr 2 és felületi feszültség s, akkor ezek a mennyiségek az osztófelület helyzetétől és ezért a meghatározott mentális változási folyamattól függenek r kapunk (22)

- P a dVa+ Pb dVb + sdA + Hirdetéss = 0 (23)

(24)

A (24) egyenlet határozza meg a felületi feszültség nem fizikai (ezt a körülményt csillaggal jelöljük) függését az osztófelület helyzetétől. Ezt a függőséget egyetlen minimum jellemzi s, ami a feszítőfelületnek felel meg. Így Kondo szerint a feszítőfelület olyan elválasztó felület, amelynél a felületi feszültségnek minimális értéke van.

Gibbs más módon vezette be a feszítőfelületet. A kapillárisság elméletének alapegyenletéből indult ki

(a fenti sáv többletet jelent egy tetszőleges, fő görbületű elválasztó felülethez VAL VEL 1 és C 2) és figyelembe vette a felület görbületének fizikai (és nem pusztán mentális) folyamatát egy adott helyzetben és rögzített külső feltételek mellett.

Gibbs szerint a feszítőfelület az osztófelület olyan helyzetének felel meg, amelyben a felületi réteg görbülete állandó külső paraméterekkel nem befolyásolja a felületi energiát, és megfelel a feltételnek is:

¶ s/¶ r =0 (26)

Guggenheim így kommentálja Gibbs bizonyítását: "Nehéznek találtam Gibbs vitáját, és minél alaposabban tanulmányoztam, annál homályosabbnak tűnt számomra." Ez a felismerés azt jelzi, hogy a Gibbs-féle feszültségfelület megértése még a termodinamikusok számára is nehéz volt.

Ami Kondo megközelítését illeti, az első pillantásra egyértelmű. Azonban biztosítani kell, hogy a Gibbs és Kondo feszítőfelületek megfelelőek legyenek. Ezt például a felületi feszültség hidrosztatikus meghatározásával lehet kimutatni

Young említette a sűrűséggradiens jelenlétét egy véges vastagságú rétegben, de elvetette ezt a hatást, mivel jelentéktelennek tartotta.

Pt- a nyomástenzor érintőleges komponensének helyi értéke;

r"— radiális koordináta; sugarak R aÉs Rb korlátozza a felületi réteget.

A (27) differenciálás az osztófelület mentális mozgásával és a fizikai állapot állandóságával (Kondo megközelítés) a (24) egyenlethez vezet. Differenciálás a felületi réteg görbületével és a fizikai állapot állandóságával (Gibbs-megközelítés, ebben az esetben R aÉs Rb változók) ad

(28)

ahol figyelembe veszik azt P t(P a) = P aÉs P t(Pb) = Pb.

A (28) és (24) egyenletekből világos, hogy a (26) feltétel ekvivalens a ( d s/ dr) * = 0, és ezért Kondo egyszerűbb és intuitívabb megközelítése megfelelő Gibbs megközelítéséhez.

Az osztófelület fogalmának bevezetése lehetővé tette a fázishatár korábban tisztán intuitív fogalmának matematikai szigorú meghatározását, és ezáltal pontosan meghatározott mennyiségek alkalmazását az egyenletekben. A Gibbs-féle felületi termodinamika elvileg a jelenségek igen széles skáláját írja le, ezért (a felismeréseken, újrafogalmazásokon, elegánsabb levezetéseken és bizonyításokon kívül) nagyon kevés újdonság született ezen a területen a kezdetek óta. Ennek ellenére meg kell említeni néhány eredményt, amelyek főként azokhoz a kérdésekhez kapcsolódnak, amelyekre Gibbs nem tért ki.

Jung és Laplace elméletei.

ahol sSV, sSL, sLV a fázishatárok felületi feszültségi együtthatói: szilárd - gáz (gőz), szilárd - folyékony, folyadék - gáz, illetve q - érintkezési szög. Ezt a kapcsolatot ma Young-képletként ismerik. Ez a munka még mindig nem volt olyan hatással a tudomány ezirányú fejlődésére, mint Laplace néhány hónappal később megjelent cikke. Úgy tűnik, ez annak a ténynek köszönhető, hogy Jung kerülte a matematikai jelölés használatát, és mindent szóban próbált leírni, így munkája zavarosnak és homályosnak tűnt. Ennek ellenére ma a kapilláris kvantitatív elméletének egyik megalapítójaként tartják számon.

A kohézió és adhézió jelenségei, a gőz folyadékká kondenzálódása, a szilárd anyagok folyadékok általi nedvesítése és az anyag sok más egyszerű tulajdonsága – mind a gravitációnál sokszor erősebb, de csak nagyon kis távolságra ható vonzó erők jelenlétére mutattak rá. molekulák között. Ahogy Laplace mondta, a megfigyelhető jelenségekből következő egyetlen feltétel ezekre az erőkre az, hogy „érzékelhető távolságból észrevehetetlenek”.

A taszító erők további gondokat okoztak. Jelenlétüket nem lehetett tagadni - egyensúlyba kell hozniuk a vonzási erőket és meg kell akadályozniuk az anyag teljes pusztulását, de természetük teljesen homályos volt. A kérdést az alábbi két téves vélemény nehezítette. Először is gyakran azt hitték, hogy az aktív taszító erő a hő (általában a kalóriaelmélet támogatóinak véleménye szerint), mivel (ez volt az érv) a folyadék melegítéskor először kitágul, majd felforr, így a molekulák szétválnak. sokkal nagyobb távolságokra, mint egy szilárd testben A második tévhit abból az elképzelésből fakadt vissza Newtonig, hogy a gáz megfigyelt nyomása a molekulák közötti statikus taszításnak köszönhető, nem pedig a tartály falával való ütközésüknek köszönhető, ahogyan Daniel Bernoulli hiába érvelt.

Tekintsünk két félvégtelen, szigorúan lapos felületű, elhanyagolható sűrűségű gőzréteggel (l vastagságú) elválasztott folyadéktestet (1. ábra), és mindegyikben válasszunk ki egy térfogatelemet. Az első a felsőtestben található az alsó test sík felülete felett r magasságban; térfogata dxdydz. A második a test alsó részén található, és hangerővel rendelkezik , ahol a poláris koordináták origója egybeesik az első elemi térfogat helyzetével. Legyen f(s) két, s távolságra elválasztott molekula között ható erő, d pedig a hatás sugara. Mivel ez mindig vonzó erő, megvan

Ha r a molekulák számának sűrűsége mindkét testben, akkor a két térfogatelem közötti kölcsönhatási erő függőleges összetevője egyenlő

A fenti következtetés azon az implicit feltételezésen alapul, hogy a molekulák egyenletesen oszlanak el r sűrűséggel, azaz. a folyadéknak nincs észrevehető szerkezete a d erők hatássugárával arányos méretskálán. E feltevés nélkül lehetetlen lenne a (2) és (3) kifejezést ilyen egyszerű formában felírni, de ki kellene deríteni, hogy egy molekula jelenléte az első térfogatelemben hogyan befolyásolja a molekula jelenlétének valószínűségét. egy molekula a másodikban.

EGY FOLYADÉKCSEPÉP KONTÚRÁNAK KIVONÁSA A FELÜLI FESZÜLTSÉG MEGHATÁROZÁSÁNAK PROBLÉMÁJÁBAN

Mizotin M.M. 1, Krylov A.S. 1, Protsenko P.V. 2

1 Moszkvai Állami Egyetem M.V. Lomonoszov, Számítógépes Matematika és Matematika Kar

2 Moszkvai Állami Egyetem M.V. Lomonoszov, Kémiai Kar

Bevezetés

A felületi feszültség a folyadékok egyik legfontosabb tulajdonsága, pontos mérése elengedhetetlen a különböző jelenségek vizsgálatához, technológiai folyamatok fejlesztéséhez. A felületi feszültség mérésének számos módja van, de mindegyik között megkülönböztethető a ülő vagy függő csepp módszer. A módszer fő előnye a nagyon széles alkalmazási köre - a könnyű folyékony folyadékoktól a folyékony fémekig, valamint a kísérleti összeállítás viszonylagos egyszerűsége a többi módszerhez képest. Sőt, a digitális számítástechnika és a fényképészeti technológia fejlődésének köszönhetően szinte azonnal lehetővé vált az elemzések elvégzése.

A módszer lényege a következő: egy cseppet vízszintes hordozóra helyezünk (fekvőcsepp módszer) vagy kapilláris csövön felfüggesztjük (függőcsepp módszer), majd a profilképét tanulmányozzuk. Egy egyensúlyi csepp geometriai paramétereinek mérése, amelynek alakját a folyadék sűrűsége és felületi feszültsége közötti összefüggés határozza meg, lehetővé teszi a kívánt felületi feszültség visszaállítását. A beépítési rajz az ábrán látható. 1.

Rizs. 1. 1 – fényforrás (lámpa vagy mikroszkóp tükör), 2 – csepp a hordozóra,

3 – mikroszkóp digitális kamerával.

A meglehetősen jól kidolgozott kísérleti technika ellenére még mindig szükség van egy speciális drága telepítésre a csepp lövéséhez. Ez a cikk egy széles körben elérhető komponensekből készült kísérleti összeállítás algoritmusát javasolja. A telepítés hátrányait a laboratóriumi berendezésekhez képest a javasolt képfeldolgozási módszerek kompenzálják.

Ülő csepp módszer

A ülő csepp módszer alapegyenlete, a Young-Laplace egyenlet egy vízszintes hordozón forgásszimmetrikus csepp felületét írja le. A probléma megoldására egy hatékony technikát javasoltak, amelyet utólag továbbfejlesztettek és kiegészítettek.

Ez a technika a Young-Laplace egyenlet numerikus differenciálásán alapul. A Young-Laplace egyenlet megkülönböztetése érdekében a görbe paraméterezését vezetjük be
, Ahol t– a görbe ívének hossza a csepp tetejétől (2. ábra).

Rizs. 2. A leejtési kontúr paraméterezése.

Ez a paraméterezés kielégíti a feltételt
, és az egyenletrendszerhez vezet

(1)

kezdeti feltételekkel
,
,
,
és további feltétel
. A kifejlesztett szoftvercsomagban a Cauchy-probléma (1) megoldása a Runge-Kutta módszerrel, negyedrendű pontosságú.

A ülő csepp paramétereinek visszaállításához meg kell oldani a kapilláris állandó meghatározásának fordított problémáját
, a cseppcsúcs koordinátái
és annak görbületi sugara a csepp vízszintes szakaszának sugarának függvényében a hordozó feletti magasságból. Ennek a funkciónak a mérése hibával történik, és bizonyos esetekben a leejtési kontúrnak csak egy részének mérése érhető el. Ennek az inverz problémának a megoldása során a (2) hiba minimálisra csökken

kísérleti pontok között
és a (2) feladat numerikus megoldása eredményeként kapott görbe. A kísérleti pontok és a görbe közötti különbséget az egyes kísérleti pontok és a görbe közötti távolságok négyzetösszegének gyökeként definiáljuk.

Ezzel kapcsolatban a következő képfeldolgozási feladat merül fel: egy csepp körvonalának automatikus megszerzése, amelyet bonyolít a képeken lévő por és törmelék jelenléte (ami a hagyományos fényképezőgép „házi” körülmények közötti használatához kapcsolódik), valamint változó fényviszonyok.

Hiba funkció

A módszer egyik fő része a hibafüggvény számítása (2). Számítsa ki a távolságot egy pont és egy görbe között (3)

ebben az esetben nagyon munkaigényes, hiszen számunkra ismeretlenek, és számszerűen is meg kell őket találni egydimenziós keresési módszerrel.

A hibafüggvény hatékony kiszámításához a következő algoritmust javasoljuk. Először is az összes kísérleti pontot úgy kell rendezni, hogy növekvő pontszámmal én a megfelelő paraméter is nőtt. Ezután, amikor minden következő ponthoz paramétert keres, használhatja a paraméterértéket kezdeti közelítésként , és az első pontra a kezdeti közelítés a következő lesz
. A csepp körvonalának megrajzolásával kapcsolatos további információkért lásd alább.

Másodszor, a hibafüggvény kiszámítása közvetlenül elvégezhető az (1) rendszer integrálása során a Runge-Kutta módszerrel. Valójában minden iterációnál az értékek a rendelkezésünkre állnak, és a ponttól való legkisebb távolságot a (4) egyenlet megoldásával találhatjuk meg.

Newton módszere. Azaz az (1) rendszer numerikus integrálásakor figyelni kell a (4) függvény értékét minden következő pontra, és emlékezni kell a legkisebb hibák értékére, ha szükséges, csökkentve a lépést az eredmények pontosságának növelése érdekében.

Egy csepp körvonalának kiválasztása

Mint fentebb említettük, a hiba hatékony kiszámításához a (4) képlet segítségével ki kell vonni a képről a csepp kontúrját oly módon, hogy a pontszám növekedésével én a megfelelő paraméter is nőtt. Ezt a műveletet 2 lépésben hajtják végre: az élek közvetlen kijelölése a Canny detektor segítségével, és a kapcsolódó szekvenciális pontkészletek kiválasztása a kapott bináris éltérképből.

A következő algoritmust élkövetésre fejlesztették ki. Először is el kell végezni egy élritkítási műveletet, mivel a Canny detektor nem garantálja, hogy az összes eredményül kapott él 1 pixel vastagságú lesz (ez a helyzet főleg a csomópontoknál fordul elő), és ez a feltétel szükséges a további feldolgozáshoz. A peremritkító műtét az ismert élritkítási technikák egyikével végezhető el. Ebben a munkában az algoritmust használtam.

A további feldolgozás a kérdéses pixel körüli 3x3 pixeles környék elemzésén alapul. ábrán. A szomszédságban lévő 3 pixel értéket változók képviselik , 0 vagy 1 értéket vesz fel.

Rizs. 3. 3x3 környék a kérdéses pixel körül ,
.

Az összekapcsolt pontsorozatok azonosítására szolgáló algoritmus általános sémája:

Ha
És
, akkor a központi pixel tartalmazza a kontúrok metszéspontját.

Ha
és , akkor a kontúr vége a központi pixelben található.

Ugyanakkor ezeknek a feltételeknek az ellenőrzése gyorsan és hatékonyan elvégezhető keresőtáblák segítségével, mivel a lehetséges összes bemeneti érték 512 = 2 9 .

Kezdje a kontúrok egyik talált végétől.

Adja hozzá az aktuális képpontot a kontúrpixelek listájához az aktuális szám alatt, és jelölje meg az aktuális képpontot az éltérképen az aktuális kontúr számával.

Keressen egy 1-es értékű pixelt az aktuális pixel szomszédai között.

Ha a talált szomszéd nem egy körvonal vagy egy metszéspont vége, és még nincs megjelölve számokkal az éltérképen, akkor mozgassa az aktuális pixelt a talált szomszéd helyére, és folytassa a 3. lépéssel. Ellenkező esetben fejezze be a aktuális kontúrt, és lépjen a következőre (2. lépés).

Következtetés

A paraffinolaj/dekán rendszer különböző koncentrációiban végzett kísérleti vizsgálatai a javasolt algoritmus alkalmazásával megmutatták a javasolt megközelítés hatékonyságát.

A munka az „Innovatív Oroszország tudományos és tudományos-pedagógiai személyzete” 2009–2013 közötti szövetségi célprogram támogatásával valósult meg.

Irodalom

Maze C., Burnet G. Nemlineáris regressziós módszer a felületi feszültség és az érintkezési szög kiszámítására egy ülő csepp alakja alapján // Hullámtörés. Sci. 1969. V. 13. 451. o.

Krylov A. S., Vvedensky A. V., Katsnelson A. M., Tugovikov A. E.. Szoftvercsomag folyékony fémek felületi feszültségének meghatározásához // J. Nem-Cryst.Szilárd anyagok. 1993. V. 156-158. 845. o.

O. I. del Río és A. W. Neumann. Tengelyszimmetrikus csepp alakelemzés: Számítási módszerek határfelületi tulajdonságok mérésére a függő és ülő cseppek alakja és méretei alapján // Journal of Colloid and Interface Science, 196. kötet, 2. szám, 1997. december 15., 136-147. oldal.

M. Hoorfar és A. W. Neumann. A tengelyszimmetrikus csepp alakelemzés közelmúltbeli fejlődése // Előrelépések a kolloid- és interfésztudományban, 121. kötet, 1-3. szám, 2006. szeptember 13., 25-49. oldal.

Canny, J., Számítógépes megközelítés az élészleléshez // IEEE Trans. Mintaelemzés és gépi intelligencia, 8(6):679–698, 1986

Lam L., Lee S.-W., Suen C.Y. Ritkítási módszerek – Átfogó felmérés // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence archívum, 14. kötet, 9. szám, 1992. szeptember.

Z. Guo és R. W. Hall, „Párhuzamos vékonyítás két szubterációs algoritmusokkal”, Comm. ACM, vol. 32. sz. 3, pp. 359-373, 1989.

CSEPPÉLEK ÉRZÉKELÉSE A FELÜLI FESZESSÉG MEGHATÁROZÁSÁHOZ

Mizotyin M. 1, Krilov A. 1, Protsenko P. 2

1 Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem Számítógépes Matematikai és Kibernetikai Kar, Képfeldolgozási Matematikai Módszerek Laboratóriuma,

2 Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem, Kémiai Tanszék

A felületi feszültség a folyadék egyik legfontosabb tulajdonsága, ezért mérése kulcsfontosságú a különféle jelenségek, mint például a nedvesedés és a technológiai folyamatok fejlesztése szempontjából. Ott a ülő és függő csepp technikák az egyik leggyakrabban használt technikák egyetemességük és a mérési folyamat egyszerűsége miatt.

A módszer a tengelyszimmetrikus esésprofil vizsgálatán alapul. A gravitációs erő és a felületi feszültség egyensúlya alkotja a különálló profil alakot, így a felületi feszültség a Young-Laplace egyenlet inverz feladatának megoldásával számítható ki.

Ebben a munkában a felületi feszültség meghatározására szolgáló cseppkontúr extrakciós módszert mutatjuk be. A javasolt módszer kulcsfontosságú különbsége az olcsó kísérleti beállításokban való orientációja, amely széles körben elérhető alkatrészeket, például szabványos mikroszkópot, digitális fényképezőgépet és hordozótartót használ. A javasolt képfeldolgozási technikák lehetővé teszik a legtöbb probléma elkerülését, amely a mérési pontosságot megőrző, olcsó beállítással nyert cseppképek gyengébb minőségével kapcsolatos.

A munkát az „Innovatív Oroszország tudományos és tudományos-pedagógiai személyzete 2009-2013-ban” című szövetségi célprogram támogatta.



A morfológiai amőbák módszerének alkalmazása
VAL VELEREK A FUNDUS KÉPEKEN

Nasonov A.V. 1, Chernomorets A.A. 1, Krylov A.S. 1, Rodin A.S. 2

Moszkvai Állami Egyetem, amelyet M. V. Lomonoszov,

1 Számítástechnikai Matematikai és Kibernetikai Kar, Képfeldolgozási Matematikai Módszerek Laboratórium /
2 Alapvető Orvostudományi Kar, Szemészeti Klinika

A munka a szemfenéki felvételeken az erek azonosítására szolgáló algoritmust dolgozott ki a morfológiai amőbák módszerének felhasználásával. Megvizsgáljuk az algoritmus alkalmazását az erek kiterjesztésének problémájára olyan pontokból, amelyekről ismert, hogy hajópontok.

1. Bemutatkozás

A szemfenéki fényképeket a retina betegségek diagnosztizálására használják. A retina keringési rendszer ereinek szegmentálása és jellemző méreteinek felmérése nagy érdeklődésre tart számot számos szembetegség diagnosztizálásában és kezelésében.

Az erek azonosítása a retinaképeken meglehetősen nehéz feladat a képfeldolgozás során a magas zajszint, az egyenetlen megvilágítás és az erekhez hasonló tárgyak jelenléte miatt. A szemfenéki képeken az erek kimutatására szolgáló módszerek közül a következő osztályok különböztethetők meg:

Olyan módszerek osztálya, amelyek képkonvolúciót használnak kétdimenziós irányszűrővel, majd a válaszcsúcsok detektálásával. Az érhálózat szegmentálására kétdimenziós lineáris szűrőt javasoltak, amelynek profilja Gauss-féle. Ennek a megközelítésnek az előnye a hajók egyenes szakaszainak stabil azonosítása és szélességük kiszámítása. A módszer azonban nem érzékeli jól a vékony és kanyargós ereket, téves riasztások lehetségesek olyan tárgyaknál, amelyek nem erek, például váladékok.

Ridge-detektálást használó módszerek. Primitíveket találnak - rövid szegmenseket, amelyek a vonalak közepén helyezkednek el, majd gépi tanulási módszerekkel olyan primitíveket választanak ki, amelyek megfelelnek azoknak az ereknek, amelyek mentén az érfa helyreáll.

Az érkövetést használó módszerek, amelyek magukban foglalják az erek egy pár ponton történő összekapcsolását és az erek folyamatos áramlását. Ennek a megközelítésnek az előnyei közé tartozik a vékony ereken végzett munka nagy pontossága és a megrepedt erek helyreállítása. Hátránya az elágazó és keresztező edények feldolgozásának nehézsége.

Pixelenkénti osztályozás a gépi tanulási módszerek alkalmazása alapján. Itt minden pixelhez egy jellemzővektor készül, amely alapján megállapítható, hogy a pixel az ér része-e vagy sem. A módszer betanításához a szemfenék képeit használják, amelyeken az ereket szakértő jelölte meg. A módszer hátrányai közé tartozik a szakértői vélemények nagy eltérése.

Ebben a munkában a morfológiai amőbák módszerét használják az erek azonosítására - egy morfológiai módszert, amelyben minden pixelhez adaptív módon választanak ki egy szerkezeti elemet.

2. Morfológiai amőbák

-ban leírt morfológiai amőba módszert alkalmazzuk, módosított távolságfüggvénnyel.

Vegyünk egy szürkeárnyalatos képet
. Képzeljük el egy gráf formájában, amelyben minden pixel bizonyos súllyal („költség”) élekkel kapcsolódik nyolc szomszédos pixelhez. Majd minden pixelhez
megtalálhatja az összes pont halmazát
, amelyre a tól ig tartó út költsége
nem haladja meg t. Az így kapott halmaz lesz a pixel szerkezeti eleme.

Az alábbi pixeltávolság függvényt használjuk és
:

Szorzó
alacsony költséget határoz meg a sötét területeken való mozgáshoz, és magas költségeket a világosakhoz, ezáltal megakadályozza, hogy az amőba átterjedjen az éren kívüli pontokra, és a kifejezés bünteti a pixelek közötti mozgást nagyon változó intenzitással. Paraméter meghatározza a büntetés jelentőségét ehhez az átmenethez.

Példa az amőbák megtalálására
ábrán látható. 1.

Rizs. 1. Példák a morfológiai amőbák formáira. A bal oldalon az eredeti kép látható megjelölt pontokkal, ahol az amőbákat számítják, a jobb oldalon - a talált szerkezeti elemek fehérrel vannak jelölve.

3. Erek azonosítása morfológiai amőbák segítségével

A keringési rendszer ereinek szemfenéki felvételeken történő nyomon követésére egy algoritmust fejlesztettek ki, amely a következő lépésekből áll:

4. Eredmények

ábrán látható egy példa az algoritmus működésére. 2.

Rizs. 2. Az erek azonosításának eredménye morfológiai amőbák segítségével. A bal oldalon a szemfenék képe (zöld csatorna), középen olyan pontok láthatók, amelyek nyilvánvalóan azok az erek pontjai, amelyekből amőbák épülnek, jobb oldalon pedig az erek azonosításának eredménye a javasolt módszerrel.

Következtetés

Megfontolandó a morfológiai amőbák módszerének alkalmazása szemfenéki felvételeken az erek azonosítására.

A kifejlesztett algoritmust a tervek szerint egy automatizált retinabetegségek kimutatására szolgáló rendszerben alkalmazzák.

A munkát az „Innovatív Oroszország tudományos és tudományos-pedagógiai személyzete” 2009–2013-as szövetségi célprogram és az Orosz Alapkutatási Alapítvány 10-01-00535-a számú pályázata támogatta.

Irodalom

S. Chaudhuri, S. Chatterjee, N. Katz, M. Nelson, M. Goldbaum. Vérerek detektálása a retinális képeken kétdimenziós illesztett szűrők használatával // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 8, sz. 3, 1989, pp. 263–269.

J. Staal, M. D. Abramoff, M. Niemeijer, M. A. Viergever, B. Ginneken. Ridge-Based Vessel Segmentation in Color Images of the Retina // IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 23, sz. 4, 2004, pp. 504–509.

M.Patasius, V.Marozas, D.Jegelevieius, A.Lukosevieius. Rekurzív algoritmus a véredények kimutatására szemfenéki képeken: előzetes eredmények // IFMBE Proceedings, Vol. 2009.11.25., pp. 212–215.

J. Soares, J. Leandro, R. Cesar Jr., H. Jelinek, M. Cree. Retinális érszegmentáció a 2-D Gabor Wavelet és a felügyelt osztályozás segítségével // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 25, sz. 9, 2006, pp. 1214–1222.

A MORPHOLÓGIAI AMOEA MÓDSZER ALKALMAZÁSAVÉREK KITEKINTÉSÉHEZ A SZEMFUNDUS KÉPEKEN

Nasonov A. 1, Csernomorec A. 1, Krilov A. 1, Rodin A. 2

Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem,
1 Számítástechnikai Matematikai és Kibernetikai Kar, Képfeldolgozási Matematikai Módszerek Laboratórium, /
2 Alapvető Orvostudományi Kar, Szemészeti Klinika

Kidolgoztak egy algoritmust a szemfenéki képeken a vérerek kimutatására. Az erek szegmentálása és elemzése a szemfenéki képeken a legfontosabb információkkal szolgál a retina betegségek diagnosztizálásához.

A véredények észlelése a szemfenéki felvételeken kihívást jelent. A képeket megsérti az egyenetlen megvilágítás és zaj. Néhány tárgyat is helytelenül lehet véredényként érzékelni.

A javasolt algoritmus a morfológiai amőbák módszerén alapul. A morfológiai amőba egy adott pixelhez olyan pixelkészlet, amelynek minimális távolsága az adott pixeltől kisebb, mint egy küszöb t. Az átlagos intenzitásérték euklideszi távolság és a távolság pixelintenzitásértékei közötti különbség abszolút értékének szorzatát használjuk. Ebben az esetben a távolság kicsi lesz az általában sötét erek esetében, és nagy a világos területeken és széleken, és az amőba az ér mentén kiterjed, de nem az érfalakon.

A véredények kimutatásának javasolt algoritmusa a következő lépésekből áll:

Bontsa ki a zöld csatornát, mint a leginformatívabbat, és végezze el a megvilágítás korrekcióját a módszerrel. Lehetővé teszi az egyesített amőba paraméterek használatát különböző képekhez.

Keresse meg a pixelkészletet ( p n) a kapott képen, amelyek minden bizonnyal az erek képpontjai

Számítsa ki az amőbát! A(p én). A fennmaradó képpontok véredények pixelként vannak megjelölve.

Ha ki kell terjesztenünk az ereket, a harmadik lépést megismételjük az összes újonnan hozzáadott pixelnél az erek területén.

A kidolgozott algoritmust a retina betegségek felismerésének automatikus rendszerében tervezzük alkalmazni.

A munkát a szövetségi célprogram „Az innovatív Oroszország tudományos és tudományos-pedagógiai személyzete 2009-2013-ban” és a 10-01-00535-a számú RFBR támogatás támogatta.

Irodalom

R. J. Winder, P. J. Morrow, I. N. McRitchie, J. R. Bailie, P. M. Hart. Algoritmusok digitális képfeldolgozáshoz diabetikus retinopátiában // Computerized Medical Imaging and Graphics, Vol. 33, 2009, 608–622.

M. Welk, M. Breub, O. Vogel. Differenciálegyenletek morfológiai amőbákhoz // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 5720/2009, 2009, pp. 104–114.

G. D. Joshi, J. Sivaswamy. Színes retina képjavítás a tartományi ismeretek alapján // Hatodik indiai konferencia a számítógépes látásról, grafikáról és képfeldolgozásról (ICVGIP"08), 2008, 591–598.

képek Tomográfiás módszerrel kézzel írt ... a jellemző impulzuszaj jelenléte

A ülőcsepp módszernél ismert felületi feszültségű folyadékot fecskendő segítségével szilárd felületre helyeznek. A csepp átmérőjének 2-5 mm-nek kell lennie; ez biztosítja, hogy az érintkezési szög független legyen az átmérőtől. Nagyon kis cseppek esetén magának a folyadéknak a felületi feszültségének befolyása lesz nagy (gömb alakú cseppek képződnek), a nagy cseppeknél pedig a gravitációs erők kezdenek dominálni.

A ülő csepp módszernél a szilárd felület és a folyadék közötti szöget mérik három fázis érintkezési pontjában. Három fázis érintkezési pontjában a határfelületi és felületi feszültségi erők aránya Young-egyenlettel írható le, amely alapján az érintkezési szög meghatározható:

Speciális eset a „fogságban buborékos” módszer: az érintkezési szöget a felület alatt mérik folyadékban.

Kezdetben a méréseket goniométerrel (érintkezési szög mérésére alkalmas kézi eszköz) vagy mikroszkóppal végezték. A modern technológiák lehetővé teszik egy csepp képének rögzítését és az összes szükséges adat megszerzését programok segítségével.

Statikus érintkezési szög

A statikus módszerrel a cseppméret a mérés során nem változik, de ez nem jelenti azt, hogy az érintkezési szög mindig állandó marad. Éppen ellenkezőleg, a külső tényezők hatása az érintkezési szög időbeli változásához vezethet. Az ülepedés, párolgás és hasonló kémiai vagy fizikai kölcsönhatások következtében az érintkezési szög idővel spontán megváltozik.

Egyrészt a statikus érintkezési szög nem képes abszolút megbecsülni a szilárd felület szabad energiáját, másrészt lehetővé teszi az olyan folyamatok időfüggésének jellemzését, mint a tintaszárítás, a ragasztó felvitele, a folyadékok abszorpciója és adszorpciója. papír.

A tulajdonságok időbeli változásai (egy csepp szétterülése) gyakran megzavarják a kutatást. A mintán lévő folt vagy karcolás is hibaforrást jelenthet, az egyenetlen felület negatív hatással van a mérési pontosságra, ami dinamikus módszerekkel minimalizálható.

Dinamikus érintkezési szög

A dinamikus érintkezési szög mérésekor a fecskendőtű a cseppben marad és térfogata állandó sebességgel változik. A dinamikus érintkezési szög a szilárd/folyadék határfelületen zajló folyamatokat írja le a csepptérfogat növekedése (áramlási szög) vagy a cseppek csökkenésekor (áramlási szög), pl. nedvesítés és szárítás során. A határ nem azonnal alakul ki, időbe telik a dinamikus egyensúly eléréséhez. A gyakorlatból a folyadékáramot 5-15 ml/perc értékre javasolt beállítani, a nagyobb áramlási sebességek csak szimulálják a dinamikus módszereket. A nagy viszkozitású folyadékok (pl. glicerin) esetében a cseppképződés sebességének különböző határai vannak.

Szivárgási szög. Az áramlási szög mérésekor a fecskendőtű az egész kísérlet alatt a cseppben marad. Először egy 3-5 mm átmérőjű csepp keletkezik a felületen (0,5 mm-es tűátmérővel, amit a KRUSS használ), majd szétterül a felületen.
A kezdeti pillanatban az érintkezési szög nem függ a cseppmérettől, mert erős adhéziós erők a tűvel. Egy bizonyos cseppméretnél az érintkezési szög állandóvá válik, és ebben a pillanatban kell méréseket végezni.
Ez a fajta mérés rendelkezik a legnagyobb reprodukálhatósággal. A dőlésszögeket általában mérik a felületi szabadenergia meghatározására.

Áramlási szög. A kifolyási szög mérésénél a cseppméret csökken, mert a felületet megszárítjuk: egy nagy (kb. 6 mm átmérőjű) cseppet helyezünk a felületre, majd a tűn keresztül szívással lassan csökkentjük.
A beáramlási szög és a kifolyási szög különbsége alapján következtetést vonhatunk le a felületi érdességre vagy annak kémiai heterogenitására. A kifolyási szög NEM alkalmas a SEP kiszámítására.

Módszerek a ülő csepp alakjának felmérésére

Young-Laplace módszer. A legmunkaigényesebb, de egyben a legpontosabb módszer az érintkezési szög kiszámítására. Ennél a módszernél a csepp kontúrjának megalkotásakor figyelembe veszik a korrekciókat, hogy ne csak a határfelületi kölcsönhatások rontják el a csepp alakját, hanem a folyadék saját tömegét is. Ez a modell feltételezi, hogy a csepp alakja szimmetrikus, így nem használható dinamikus érintkezési szögekre. Bejövő cseppnél az érintkezési szög is csak 30°-ig határozható meg.

Hosszúság-szélesség módszer. Ennél a módszernél a csepp terjedési hosszát és magasságát becsüljük meg. A kör részét képező kontúrt egy téglalapba írjuk, és az érintkezési szöget a szélesség és magasság arányából számítjuk ki. Ez a módszer pontosabb olyan kis cseppekre, amelyek alakja közelebb van egy gömbhöz. Nem alkalmas dinamikus érintkezési szögre, mert a tű a cseppben marad, és a csepp magassága nem határozható meg pontosan.

Kör módszer. Ebben a módszerben a cseppet egy kör részeként ábrázoljuk, mint a hossz-szélesség módszernél, de az érintkezési szöget nem téglalap, hanem körszakasz segítségével számítjuk ki. A hossz-szélesség módszerrel ellentétben azonban a cseppben maradó tű kevésbé befolyásolja a mérési eredményeket.

Tangenciális módszer 1. A ülő csepp teljes kontúrja illeszkedik a kúpos szegmens egyenletéhez. Ennek az egyenletnek a deriváltja a kontúr és az alapvonal metszéspontjában megadja a dőlésszöget az érintkezési pontban, azaz. élszög. Ez a módszer használható dinamikus értékelési módszerekkel, ha a cseppet nem rontja el súlyosan a tű.

Tangenciális módszer 2. A ülő csepp kontúrjának az alapvonal melletti része egy y=a + bx + cx 0,5 + d/lnx + e/x 2 típusú polinomfüggvényhez igazodik. Ezt a függvényt számos matematikai szimuláció eredményeként kaptuk meg. A módszer pontosnak tekinthető, de érzékeny a folyadékban lévő szennyeződésekre és idegen anyagokra. Alkalmas dinamikus érintkezési szögek meghatározására, de tiszta képalkotást igényel, különösen a fázis érintkezési pontján.

Az ülő ejtés módszerét a DSA érintkezési szögmérő műszerekben valósítják meg, amelyeket széles körben alkalmaznak laboratóriumokban a felületek tulajdonságainak vizsgálatára. Ezek az eszközök lehetővé teszik a folyadékok felületi és határfelületi feszültségének mérését is