Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekel ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az óra célja. Egyenletek megoldása paraméterekkel, modulokkal, függvények tulajdonságainak alkalmazása váratlan helyzetekben és geometriai technikák elsajátítása a feladatok megoldásához. Nem szabványos egyenletek.

Feladatok:

• Nevelési: megtanít néhány egyenlettípus megoldására modulok és paraméterek segítségével;
• Fejlődési: fejlessze a gondolkodási kultúrát, a beszédkultúrát és a jegyzetfüzettel és táblával való munkavégzés képességét.
• Nevelési: fejleszti a függetlenséget és a nehézségek leküzdésének képességét.

Felszerelés: vizuális anyag a fejben történő számításhoz és magyarázathoz új téma. Interaktív tábla, multimédiás taneszközök.

Az óra felépítése:

1. A tanult anyag ismétlése (szóbeli számolás).
2. Új anyagok tanulása.
3. A tanult anyag konszolidációja.
4. Óra összefoglalója.
5. Házi feladat.

AZ ÓRÁK ALATT

1. A legfontosabb elméleti anyag megismétlése témákban: „Modulot tartalmazó egyenletek”, „Egyenletek megoldása paraméterekkel”

1) „Modulust tartalmazó egyenletek”

Egy a szám abszolút értéke vagy modulusa a szám a, Ha a> 0, szám – a, Ha a < 0, нуль, если a= 0. Or

A meghatározásból az következik, hogy | a | > 0 és | a | > a mindenkinek a€ R .
Egyenlőtlenség | x | < a, (Ha a> 0) egyenértékű egy kettős egyenlőtlenséggel – a < x < a.
Egyenlőtlenség | x | < a, (Ha a < 0) не имеет смысла, так как | х | >0.
Egyenlőtlenség | x | > a, (Ha a> 0) ekvivalens két egyenlőtlenséggel
Egyenlőtlenség | x | > a, (Ha a < 0) справедливо для любого x€ R

2) „Egyenletek megoldása paraméterekkel”

Egy egyenlet paraméterekkel való megoldása azt jelenti, hogy jelezzük, hogy a paraméterek milyen értékeinél léteznek megoldások és mik azok.

a) meghatározza az ismeretlen és a paraméterek elfogadható értékeinek halmazát;

b) minden megengedett paraméterérték-rendszerhez keresse meg az egyenlet megfelelő megoldási halmazait.

2. Szájgyakorlatok

1. Oldja meg a | x– 2 | = 5; Válasz: 7; – 3

| x– 2 | = – 5; Válasz: nincs megoldás

| x– 2 | = x + 5; Válasz: nincs megoldás; 1.5

| x– 2 | = | x+ 5 |; Válasz: nincs megoldás; – 1,5; nincs megoldás; – 1,5;

2. Oldja meg az egyenletet: | x+ 3 | + | y– 2 | = 4;

Nézzünk négy esetet

{	x + 3 > 0	{	x > – 3
	y – 2 > 0		y > 2
	x + 3 + y – 2 = 4		y = – x + 3

{	x + 3 > 0	{	x > – 3
	y – 2 < 0		y < 2
	x + 3 – y + 2 = 4		y = x + 1

{	x + 3 < 0	{	x < – 3
	y + 2 > 0		y > – 2
	– x – 3 – y – 2 = 4		y = x + 9

{	x + 3 < 0	{	x < – 3
	y + 2 < 0		y < – 2
	– x – 3 – y – 2 = 4		y = – x – 9

Ennek eredményeként egy olyan négyzetet kapunk, amelynek középpontja (–3; 2), és az átló hossza 8, és az átlók párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

Vizuális megfontolások alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy egy | alakú egyenlet x + a | + | nál nél + b | = Val vel; meghatároz egy négyzetet a síkon, amelynek középpontja a (– A; – b), átlói párhuzamosak az OX és OU tengellyel, és mindegyik átló hossza 2 Val vel. Válasz: (– 3; 2).

2. Oldja meg az aх = 1 egyenletet!

Válasz: ha a = 0, akkor nincs megoldás; Ha a= 0, akkor x = 1/ a

3. Oldja meg a ( A 2 – 1) x = A + 1.

Megoldás.

Nem nehéz belátni, hogy ennek az egyenletnek a megoldásához elegendő a következő eseteket figyelembe venni:

1) A= 1; akkor az egyenlet OX = 2 alakot vesz fel, és nincs megoldása

2) A= – 1; azt kapjuk, hogy OX = O, és nyilvánvalóan x- Bármi.

1
3) ha A = + 1, akkor x = –––
A – 1

Válasz:
Ha A= – 1, akkor x- Bármi;
Ha A= 1, akkor nincs megoldás;

1
Ha A = + 1, akkor x = –––
A – 1

3. Megoldások példákra(C opcióból)

1. A p paraméter melyik értékénél érvényesül a | x 2 – 5x + 6 | + | x 2 – 5x + 4 | = R négy gyökere van.

Tekintsük az y = | függvényt x 2 – 5x + 6 | + | x 2 – 5x + 4 |

Mert x 2 – 5x + 6 = (x – 2)(x– 3) és x 2 – 5x + 4 = (x – 1)(x– 4), akkor y = | (x – 2)(x – 3) | + | (x – 1)(x– 4) |, a számegyenesen jelöljük a négyzetháromtagok gyökét

1 2 3 4 x

A számsor 5 intervallumra van felosztva

{	x < 1	{	x < 1
	y = x 2 – 5x + 6 + x 2 – 5x + 4		y = 2x 2 – 10x + 10

{	1 < x < 2	{	1 < x < 2
	y = x 2 – 5x+ 6 – x 2 + 5x – 4		y = 2

{	2 < x < 3	{	2 < x <3
	y = – 2x 2 + 10x – 10		y = – x 2 + 5x – 6 – x 2 + 5x – 4

{	3 < x < 4	{	3 < x < 4
	y = 2		y = x 2 – 5x + 6 – x 2 + 5x – 4

{	x > 4	{	x > 4
	y = 2x 2 – 10x + 10		y= x 2 – 5x + 6 + x 2 –5x + 4

3. esethez) x 0 = – b | 2a = 2, y 0 = 25: 2 + 25 – 10 = 2,5

Tehát (2.5; 2.5) a parabola csúcsának koordinátái y = – 2x 2 + 10x – 10.

Szerkesszük meg az egyenlőség által adott függvény grafikonját

Amint az ábrán látható, az eredeti egyenletnek négy gyöke van, ha 2 < A < 2,5

Válasz: 2-kor < A < 2,5

4. Önálló munkavégzés szintek szerint

1. szint

1. Oldja meg az egyenletet! x 2 – | x| = 6
2. Milyen a egész értékeire van egyedi megoldása az egyenletnek? Ó 2 – (A + 1) + A 2 + A = 0?

2. szint

1. Oldja meg az egyenletet: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10
A –12) x 2 + 2 = 2(12 – A) két különböző gyökere van?

3. szint

1. Oldja meg a | x – 5 | – | 2x + 3| = 10
2. Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenlet ( A – 12) x 2 + 2 = 2(12 – A) két különböző gyökere van?

5. Óra összefoglalója

1. A modul meghatározása.
2. Mit jelent paraméterrel megoldani egy egyenletet?

6. Házi feladat. C5 opció No. 11 F.F. Liszenko. Matematika, 2012

Egyenletek paraméterekkel

Matematika- az egyetlen tökéletes módszer, amivel becsaphatod magad. Albert Einstein

№ 1 Keresse meg a minden olyan értékét, amelyek mindegyikére az x² + (a + 5)² = |x + a + 5| + |x – a -5| pontosan három gyökere van.

MEGOLDÁS Az egyenlet nem változik, ha kicseréljük x szám -x. Ezért az egyenletnek van páros szám nem nulla megoldások. Eszközök, három megoldás csak akkor van egyenlete, ha az egyik 0. Állítsuk be x = 0 .

A következőt kapjuk: (a + 5)² = 2|a + 5|

Ahonnan a + 5 = 0 vagy |a + 5| = 2.

Ha a + 5 = 0, az egyenlet x² = 2|x| lesz és pontosan három megoldása van: -2, 0, 2. A + 5 = 0-ból kapjuk: a = -5. Ha|a +5| = 2, az egyenlet x² + 4 = |x + 2| lesz + |x – 2|.

A 2 egyenlet x² - 2x + 4 = 0 alakot ölt, és nincs megoldása. Hasonlóképpen nincs megoldás x-re. Válasz: a = -5. "width="640"

-2 ≤ x ≤ 2 esetén az egyenletnek egyedi megoldása 0. x 2 esetén az egyenlet x² - 2x + 4 = 0, és nincs megoldása. Hasonlóképpen nincs megoldás x-re. Válasz: a = -5.

№ 2

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az f(x) = |2a + 5|x egyenlet

6 megoldása van, ahol f páros periodikus függvény, T = 2 periódussal, a teljes számegyenesen definiálva, ahol f(x) = ax², ha 0≤x≤1.

MEGOLDÁS Ha a = 0, az f(x) függvény azonosan egyenlő nullával, és a grafikonjának egyetlen közös pontja van az y = 5x egyenessel.

0, akkor 9a = -25. Nincsenek pozitív megoldások. Ezért az a 0 eset lehetetlen. "width="640"

Legyen a = 0 (1. ábra). Az x = 0 megoldás minden a-ra létezik. Pontosan öt további megoldásra van szükség. Az egyetlen lehetséges eset az ábrán látható: az egyenes átmegy az (5 ; a) ponton. Készítsük el a |2a + 5| egyenletet ∙ 5 = a. Mivel a 0, akkor 9a = -25. Nincsenek pozitív megoldások. Ezért az a 0 eset lehetetlen.

№ 3 Keresse meg a minden értékét, amelyek mindegyikére az f(x) = x² - 3|x - a²| - Az 5x-nek több mint két szélső pontja van. MEGOLDÁS Ha x ≥ a² f (x) = x² - 8x + 3a², ezért a függvény grafikonja egy parabola része, melynek ágai felfelé néznek és szimmetriatengelye x = 4.

Mindkét parabola áthalad a ponton (a²; f(a²)). Az y = f(x) függvénynek kettőnél több szélsőpontja van, nevezetesen három, az egyetlen esetben (1. ábra): 1

Válasz: -2

KÖSZÖNÖM MÖGÖTT FIGYELEM!

„Lineáris egyenlet két változóban” – A két változót tartalmazó egyenletet két változóból álló egyenletnek nevezzük. - Hogyan nevezzük a két változós egyenletet? Adj rá példákat. -Melyik két változós egyenletet nevezzük lineárisnak? Lineáris egyenlet két változóval. Definíció: Egy algoritmus annak bizonyítására, hogy egy adott számpár az egyenlet megoldása:

„Exponenciális egyenletek megoldása” – Egy bázisra redukálás. Konzolozás. T. Vieta. Grafikus módszer. Az exponenciális egyenlet egy kitevővel rendelkező változót tartalmazó egyenlet. Megoldás exponenciális egyenletek. Szóbeli munka. ab+ac=a(b+c). fokok. 2. Oldja meg az egyenletet: Tulajdonság. Az exponenciális egyenletek típusai és megoldási módjai.

„Grafikus módszer egyenletek megoldására” - Válasz: egy gyök, x = -1. Két gyökér. Oldja meg grafikusan az (x+1)/(x-2)=2 egyenletet. Rajzolja meg az y=x?+6x+8 függvény grafikonját! Workshop az egyenletek megoldásáról grafikusan Felkészülés a tesztre. Készítsen függvénygráfokat. Ábrázolja az y=(x+1)/(x-2) függvényt! 1. Mozgassa a 8-ast az egyenlet jobb oldalára. Nincsenek gyökerek.

„Teljes egyenletek megoldása” - „Egyenletek, amelyekben gyökerek, fokozatok és az egyenlőtlenségek szakadéka van. Három nagyszerű matematikus. Sok sikert az egyenletek megoldási módszereinek további tanulásához. Az axiális szimmetria a legtöbb növény- és állatfaj velejárója. Központi. Az állatvilágban kétféle szimmetria létezik. Diktálás. Tengelyirányú. Azonosítsa az egyenletek megoldásának módszereit!

"Egyenletek logaritmussal" - Logaritmikus egyenletek. Oldja meg az egyenleteket szóban. Képletek logaritmusok konvertálására. Az egyenlet. Meghatározás. Logaritmus táblázatok. A logaritmus definíciója. A logaritmus definíciója és tulajdonságai. Logaritmikus vonalzó. Funkció. Fejhallgató vagy hangszóró. Tartomány. Megoldás megközelítései. Oldja meg az egyenletet. Tornaterem.

„Irracionális egyenletek” – Ellenőrzési célból a következők készültek: 419. sz. (c, d) Szafiullina, 418. sz. (c, d) Kulmukhametov, 420. sz. (c, d) Shageev. 2. lecke Egyenletrendszerek megoldása. 1. lecke téma: Megoldás irracionális egyenletek. 1. Az alábbi egyenletek közül melyik irracionális: Célok: A tanulók megismertetése bizonyos típusú irracionális egyenletek megoldásaival.

Összesen 49 előadás hangzik el

Cél:

• két változós lineáris egyenletrendszerek megismétlése
• definiáljon lineáris egyenletrendszert paraméterekkel
• megtanítja, hogyan kell lineáris egyenletrendszereket megoldani paraméterekkel.

Az órák alatt

1. Idő szervezése
2. Ismétlés
3. Új téma magyarázata
4. Konszolidáció
5. Óra összefoglalója
6. Házi feladat

2. Ismétlés:

I. Lineáris egyenlet egy változóval:

1. Határozzon meg egy változós lineáris egyenletet!

[Az ax=b formájú egyenletet, ahol x egy változó, a és b néhány szám, egy változós lineáris egyenletnek nevezzük]

2. Hány gyöke lehet egy lineáris egyenletnek?

[- Ha a=0, b0, akkor az egyenletnek nincs megoldása, x

Ha a=0, b=0, akkor x R

Ha a0, akkor az egyenletnek egyedi megoldása van, x =

3. Nézze meg, hány gyöke van az egyenletnek (opciók szerint)

II. Lineáris egyenlet 2 változóval és lineáris egyenletrendszer 2 változóval.

1. Határozzon meg egy lineáris egyenletet két változóból! Adj egy példát.

[A két változós lineáris egyenlet az ax + by = c alakú egyenlet, ahol x és y változók, a, b és c néhány szám. Például x-y=5]

2. Mit nevezünk kétváltozós egyenlet megoldásának?

[A két változós egyenlet megoldása egy olyan változó értékpár, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé változtatja.]

3. Az x = 7, y = 3 változók értékpárja a 2x + y = 17 egyenlet megoldása?

4. Hogyan nevezzük egy kétváltozós egyenlet gráfját?

[Egy két változós egyenlet grafikonja a koordinátasíkon azon pontok halmaza, amelyek koordinátái ennek az egyenletnek a megoldásai.]

5. Nézze meg, mi az egyenlet grafikonja:

[Kifejezzük az y változót x-ig: y=-1,5x+3

Az y=-1,5x+3 képlet egy lineáris függvény, melynek grafikonja egy egyenes. Mivel a 3x+2y=6 és y=-1.5x+3 egyenletek ekvivalensek, ez az egyenes egyben a 3x+2y=6 egyenlet grafikonja is]

6. Mi az ax+bу=c egyenlet grafikonja x és y változókkal, ahol a0 vagy b0?

[Egy olyan két változós lineáris egyenlet grafikonja, amelyben a változók legalább egyik együtthatója nem nulla, egy egyenes.]

7. Mit nevezünk kétváltozós egyenletrendszer megoldásának?

[A kétváltozós egyenletrendszer megoldása egy olyan változó értékpár, amely a rendszer minden egyenletét valódi egyenlőséggé alakítja]

8. Mit jelent egyenletrendszer megoldása?

[Egyenletrendszert megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek megoldások.]

9. Nézze meg, hogy egy ilyen rendszernek mindig van-e megoldása, és ha igen, hány (grafikus)!

10. Hány megoldása lehet egy két változós lineáris egyenletrendszernek?

[Az egyetlen megoldás, ha a vonalak metszik egymást; nincs megoldása, ha az egyenesek párhuzamosak; végtelenül sok, ha a vonalak egybeesnek]

11. Milyen egyenlet definiál általában egy egyenest?

12. Hozzon létre kapcsolatot a szögegyütthatók és a szabad tagok között:

I. lehetőség: y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2, b 1 b 2, nincs megoldás;

II. lehetőség: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2, egy megoldás;

III. lehetőség: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, sok megoldás.

Következtetés:

1. Ha lejtőkön A függvények grafikonjait képező vonalak különbözőek, akkor ezek az egyenesek metszik egymást, és a rendszernek egyedi megoldása van.
2. Ha az egyenesek szögegyütthatói azonosak, és az y tengellyel való metszéspontok eltérőek, akkor az egyenesek párhuzamosak, és a rendszernek nincs megoldása.
3. Ha a szögegyütthatók és az y tengellyel való metszéspontok megegyeznek, akkor az egyenesek egybeesnek, és a rendszernek végtelen sok megoldása van.

A táblán van egy táblázat, amelyet a tanár és a tanulók fokozatosan kitöltenek.

III. Új téma magyarázata.

Definíció: Nézet rendszer

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

ahol A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 a paraméterektől függő kifejezések, x és y pedig ismeretlenek, két lineáris rendszernek nevezzük. algebrai egyenletek két ismeretlen paraméterrel.

A következő esetek lehetségesek:

1) Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van

2) Ha , akkor a rendszernek nincs megoldása

3) Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van.

IV. Konszolidáció

1. példa

Az a paraméter milyen értékeinél működik a rendszer

• 2x - 3y = 7
• ah - 6 év = 14

a) rendelkezik végtelen halmaz döntések;

b) egyedi megoldása van

Válasz:

a) ha a=4, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van;

b) ha a4, akkor csak egy megoldás van.

2. példa

Oldja meg az egyenletrendszert!

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Megoldás: a) , azaz. Az m1 esetében a rendszer egyedi megoldást kínál.

b), azaz m=1 (2=m+1) és n1 esetén az eredeti rendszernek nincs megoldása

c) , m=1 és n=1 esetén a rendszernek végtelen sok megoldása van.

Válasz: a) ha m=1 és n1, akkor nincs megoldás

b) m=1 és n=1, akkor a megoldás egy végtelen halmaz

• y - bármilyen
• x=n-2y

c) ha m1 és n bármely, akkor

3. példa

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Megoldás: A II egyenletből x = 1-аy és az I egyenletet helyettesítjük az egyenletbe

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Lehetséges esetek:

1) a=0. Ekkor az egyenlet így néz ki: 0*y=3 [y]

Ezért a=0 esetén a rendszernek nincs megoldása

2) a=-3. Ekkor 0*y=0.

Ezért y. Ebben az esetben x=1-ау=1+3у

3) a0 és a-3. Ekkor y=-, x=1-a(-=1+1=2

Válasz:

1) ha a=0, akkor (x; y)

2) ha a=-3, akkor x=1+3y, y

3) ha a0 és a?-3, majd x=2, y=-

Tekintsük az (1) rendszer második megoldási módját.

Oldjuk meg az (1) rendszert algebrai összeadás módszerével: először szorozzuk meg a rendszer első egyenletét B 2-vel, a másodikat B 1-gyel, és adjuk össze ezeket az egyenleteket tagonként, így kiküszöböljük az y változót:

Mert A 1 B 2 -A 2 B 1 0, akkor x =

Most szüntessük meg az x változót. Ehhez szorozza meg az (1) rendszer első egyenletét A 2-vel, a másodikat pedig A 1-gyel, és adja össze mindkét egyenletet tagonként:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 - A 1 C 2

mert A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Az (1) megoldás megkönnyítése érdekében a következő jelölést vezetjük be:

- fő meghatározó

Most az (1) rendszer megoldása determinánsok segítségével írható fel:

A megadott képleteket Cramer-képleteknek nevezzük.

Ha , akkor az (1) rendszernek egyedi megoldása van: x=; y=

Ha , vagy , akkor az (1) rendszernek nincs megoldása

Ha , , , , akkor az (1) rendszernek végtelen számú megoldása van.

Ebben az esetben a rendszert tovább kell vizsgálni. Ebben az esetben általában egy lineáris egyenletre redukálódik. Ebben az esetben gyakran célszerű a rendszert a következő módon tanulmányozni: az egyenlet megoldásával megtaláljuk a paraméterek konkrét értékeit, vagy az egyik paramétert a többivel fejezzük ki, és ezeket a paraméterértékeket behelyettesítjük. a rendszer. Ekkor egy meghatározott numerikus együtthatós vagy kisebb számú paraméterű rendszert kapunk, amit tanulmányozni kell.

Ha a rendszer A 1 , A 2 , B 1 , B 2 együtthatói több paramétertől függenek, akkor célszerű a rendszert a rendszer determinánsaival tanulmányozni.

4. példa

Az a paraméter összes értékére oldja meg az egyenletrendszert

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Megoldás: Keressük meg a rendszer meghatározóját:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582< 0.

Válasz: 1; 2.

6. §. Egyenletek megoldása modulokkal, paraméterekkel

Tekintsünk több olyan egyenletet, amelyben az x változó a modulusjel alatt jelenik meg. Emlékezzünk erre

x, ha x ≥ 0,

x = − x ha x< 0.

1. példa: Oldja meg az egyenletet:

a) x − 2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X=1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x − 1

a) Ha egy szám modulusa 3, akkor ez a szám egyenlő 3-mal vagy (- 3-mal),

azaz x − 2 = 3, x = 5 vagy x − 2 = − 3, x = − 1.

b) A modul definíciójából az következik, hogy

x+1

X + 1, ha x + 1 ≥ 0,

azaz x ≥ − 1 esetén és

x+1

= − x − 1 x-ben< − 1. Выражение

2x-3

2 x − 3, ha x ≥ 3

és egyenlő − 2 x + 3 ha x< 3 .

x< −1

az egyenlet

egyenértékű

egyenlet

− x −1 −

(− 2 x + 3 ) = 1, amiből az következik

x = 5. De az 5-ös szám nem

megfelel az x feltételnek< − 1, следовательно,

x-nél< − 1 данное

az egyenletnek nincsenek megoldásai.

−1 ≤ x<

az egyenlet

egyenértékű

egyenlet

x + 1− (2x + 3) = 1, ami azt jelenti, hogy x = 1;

1. számú elégedett -

megfelel a − 1 ≤ x feltételnek<

2010-2011 tanév évf., 5. szám, 8. évfolyam. Matematika. Másodfokú egyenletek

x ≥

az egyenlet

egyenértékű

egyenlet

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, amelynek megoldása x = 3. És mivel a szám 3

kielégíti az x ≥ feltételt

akkor ez az egyenlet megoldása.

x+2

c) Ha a tört számlálója és nevezője

ugyanaz legyen

x − 1

előjelek, akkor a tört pozitív, ha pedig eltérő, akkor negatív, i.e.

x+2

x+2

Ha x ≤ − 2, ha x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

Ha – 2< x < 1.

−1

x ≤ − 2 esetén

és x > 1 esetén

az eredeti egyenlet ekvivalens az egyenlettel

x+2

X =1, x +2

X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0.

x − 1

Az utolsó egyenletnek nincs megoldása.

-2-kor< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0.

x − 1

Keressük ennek az egyenletnek a gyökereit:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13.

Egyenlőtlenségek

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sledova-

Ezért ez a szám az egyenlet megoldása.

x ≥ 0 adott

az egyenlet

egyenértékű

egyenlet

x 2 − x −6 = 0,

melynek gyökerei a 3 és – 2 számok. 3. szám

megfelel az x > 0 feltételnek,

és a 2-es szám nem felel meg ennek a feltételnek-

Ezért csak a 3-as szám megoldása az eredetire

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH a MIPT-nél. Összeállította: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 tanév évf., 5. szám, 8. évfolyam. Matematika. Másodfokú egyenletek
		x ≥ − 1 adott	az egyenlet	egyenértékű				egyenlet
6 x 2 − x − 1 = 0, keresse meg a gyökereit: x = 1 ±				25, x = 1, x				= −1 .
Mindkét gyök teljesíti az x ≥ − 1 feltételt,					ezért azok
megoldásai ennek az egyenletnek. Nál nél				x< − 1 данное уравнение
ekvivalens a 6 x 2 + x + 1 = 0 egyenlettel, amelynek nincs megoldása.
Legyen adott az f (x, a) és g (x, a) kifejezés,					változásoktól függ
x	és a.	Aztán az egyenlet	f (x, a) = g(x, a)		változásokkal kapcsolatban

noah x-et hívják egyenlet paraméterrel a. Egyenlet megoldása paraméterrel azt jelenti, hogy bármely elfogadható érték paramétert az egyenlet összes megoldásának megtalálásához.

2. példa Oldja meg az egyenletet az a paraméter összes érvényes értékére:

a) ax 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; b) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	4. és 2. kifejezés		3 > 0 bármely a esetén; a > − 2 esetén vannak
	a+2
két megoldásunk van: x =			4a 2 + 3	és x = −	4a 2		Ha	a+2< 0, то
			a+2		a+2

kifejezés 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Válasz: x = ±	4a 2 + 3	Ha a > – 2;	a ≤ − 2 esetén nincs megoldás.
		a+2
				akkor x 2 = a + 3. Ha a + 3 = 0,
	b) Ha a = 3, akkor x. Ha a ≠ 3,
	azok. ha a = -3,	akkor az egyenletnek egyedi megoldása van x = 0. Ec-

hogy a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 és a ≠ 3, akkor az egyenletnek két megoldása van: x 1 = a + 3 és x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH a MIPT-nél. Összeállította: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 tanév évf., 5. szám, 8. évfolyam. Matematika. Másodfokú egyenletek

a = 1 ez az egyenlet a következő alakot veszi fel

4x − 1 = 0,

x = 1

az ő döntése. Nál nél

a ≠ 1 ez az egyenlet

négyzet, D 1 diszkriminánsa egyenlő

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Ha 5 a − 1< 0, т.е. a < 1 ,

akkor ennek az egyenletnek nincsenek megoldásai.

Ha a =

akkor az egyenletnek egyedi megoldása van

a+1

x = −

a - 1

−1

Ha egy >

és a ≠ 1,

akkor ennek az egyenletnek két megoldása van:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a - 1

−(a +1 ) ±

1 órakor

a = 1; x = 3

a

; x =

5a – 1

a - 1

egy > 1 esetén

és a ≠ 1; a< 1

az egyenletnek nincsenek megoldásai.

§7. Egyenletrendszerek megoldása. Másodfokú egyenletekre redukáló feladatok megoldása

Ebben a részben olyan rendszereket fogunk megvizsgálni, amelyek másodfokú egyenleteket tartalmaznak.

Példa 1. Egyenletrendszer megoldása

2x + 3y = 8,

xy = 2.

Ebben a rendszerben a 2 x + 3 y = 8 egyenlet egy elsőfokú egyenlet, az xy = 2 egyenlet pedig egy másodfokú egyenlet. Oldjuk meg ezt a rendszert a módszerrel

© 2011, FZFTSH a MIPT-nél. Összeállította: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 tanév évf., 5. szám, 8. évfolyam. Matematika. Másodfokú egyenletek

helyettesítések. A rendszer első egyenletéből x-et y-n keresztül fejezzük ki, és ezt a kifejezést behelyettesítjük x-re a rendszer második egyenletébe:

	8-3 év	4 −
				y, 4			y y = 2.

Az utolsó egyenlet másodfokú egyenletté redukálódik

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Megtaláljuk a gyökereit:

4 ± 4

4 ± 2

Y=2,y

Az x = 4 − feltételből

azt kapjuk, hogy x = 1, x

Válasz: (1;2) és

2. példa Oldja meg az egyenletrendszert:

x 2 + y 2 = 41,

xy = 20.

Szorozzuk meg a második egyenlet mindkét oldalát 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz

rendszer egyenlet:	x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, innen
ebből következik, hogy x + y = 9 vagy x + y = − 9.
Ha x + y = 9, akkor	x = 9 − y. Helyettesítsük be ezt a kifejezést x helyett
a rendszer második egyenlete:
(9 - y ) y = 20, y 2 - 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1, y = 5, y				4, x = 4, x = 5.
Az x + y = − 9 feltételből (− 4; − 5) és (− 5; − 4) megoldásokat kapunk.
Válasz: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) .
3. példa Oldja meg az egyenletrendszert:
		y = 1,
	x−
	x−y

Írjuk fel a rendszer második egyenletét a formába

( x − y )( x + y ) = 5.

© 2011, FZFTSH a MIPT-nél. Összeállította: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 tanév évf., 5. szám, 8. évfolyam. Matematika. Másodfokú egyenletek

Az x − y = 1 egyenlet felhasználásával a következőt kapjuk: x + y = 5. Így a megadottal egyenértékű egyenletrendszert kapunk.

	x−	y = 1,
		y = 5.

Adjuk össze ezeket az egyenleteket, így kapjuk: 2 x = 6,		x = 3, x = 9.
Az x = 9 behelyettesítése az első egyenletbe			fogadó rendszerek
3 − y = 1, ami azt jelenti, hogy y = 4.
Válasz: (9;4).	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
4. példa Oldja meg az egyenletrendszert: (x 2 + y 2 ) xy = − 160!
				xy = v;
Vezessünk be új változókat	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u -4 ) = -4,
a rendszert az (u 2 − 2 v ) v = − 160 alakra redukáljuk.
Megoldjuk az egyenletet:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Ezt az u értéket behelyettesítjük az egyenletbe:
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
Két egyenletrendszert oldunk meg:
	x + y = 2,
x + y = 2,
	És
xy = 10	xy = − 8.
Mindkét rendszert helyettesítő módszerrel oldjuk meg. Az első rendszerhez a következők tartoznak:
x= 2 − y, ( 2 − y) y= 10, y2 − 2 y+ 10 = 0.

Megkapta másodfokú egyenlet nincsenek megoldásai. A második rendszerhez a következők tartoznak: x= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. Akkorx1 = − 2 Ésx2 = 4. Válasz: (− 2;4 ) És(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH a MIPT-nél. Összeállította: Yakovleva Tamara Kharitonovna

3-mal megszorozva kapjuk:

2010-2011 tanév évf., 5. szám, 8. évfolyam. Matematika. Másodfokú egyenletek

5. példa. Oldja meg az egyenletrendszert:

x 2 + 4 xy = 3,

y 2 + 3 xy = 2.

Az első egyenletből 2-vel szorozva vonjuk ki a második egyenletet,

2 x 2 − xy − 3 y 2 = 0.

Ha y= 0, majd és x= 0, hanem pár szám (0;0 ) nem megoldás az eredeti rendszerre. Osszuk el a kapott egyenlet mindkét oldalát

jogdíj be y2 ,

1 ± 5 , x = 2 y És x = − y .

−3

= 0,

y

Cseréljük

jelentése

x =

3y

első egyenlet

9 y2 + 6 y2 = 3, 11y2 = 4, y=

, x=

, x= −

Cserélje ki az értéket x= − y a rendszer első egyenletébe: y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

Nincsenek megoldások.

9. példa. Keresse meg az összes paraméterértéket a, amelyre az egyenletrendszer

x 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = fejsze 2 .

van legalább egy megoldása.

Ezt a rendszert paraméteres rendszernek nevezzük. Megoldhatók analitikusan, pl. képletek segítségével, vagy használhatja az úgynevezett grafikus módszert.

Vegye figyelembe, hogy az első egyenlet egy kört határoz meg, amelynek középpontja a pontban van (0;2 ) sugárral 1. A második egyenlet at a≠ 0 olyan parabolát határoz meg, amelynek csúcsa az origóban van.

Ha a 2

Az a) esetben a parabola érinti a kört. A rendszer második egyenletéből következik:

igen az x2 = y/ a,

cserélje ki ezeket az értékeket

x 2

az első egyenletbe:

1

+(y−2 )

= 1,

+ y

− 4 y+ 4 = 1, y

4 − ay+ 3

= 0.

Érintés esetén a szimmetria miatt csak egy érték van y, ezért a kapott egyenlet diszkriminánsának olyannak kell lennie

egyenlő 0. Mivel az ordináta yérintkezési pont pozitív stb.

y = 2

− a

kapunk,

> 0; D

1 2

4 − a

4 − a

− 12 = 0,

4 − a

> 0

kapunk: 4

= 2

= 4 −2

a =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Ha a> 2 + 2 3 , akkor a parabola 4 pontban metszi a kört -

© 2011, FZFTSH a MIPT-nél. Összeállította: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 tanév évf., 5. szám, 8. évfolyam. Matematika. Másodfokú egyenletek

Ezért a rendszernek van legalább egy megoldása, ha

a≥ 2 + 2 3 .

10. példa. Egy bizonyos természetes kétjegyű szám számjegyeinek négyzetösszege 9-cel nagyobb, mint e számjegyek szorzatának kétszerese. Miután ezt a kétjegyű számot elosztottuk a számjegyeinek összegével, a hányados 4, a maradék pedig 3. Keresse meg kétjegyű szám.

Legyen a kétjegyű szám 10 a+ b, Ahol aÉs b- ennek a számnak a számjegyei. Ezután a probléma első feltételéből kapjuk: a2 + b2 = 9 + 2 ab, és a második feltételből kapjuk: 10 a+ b= 4 (a+ b) + 3.

a 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Megoldjuk az egyenletrendszert: 6 a− 3 b= 3.

A rendszer második egyenletéből kapjuk

6a− 3b= 3, 2a− b= 1, b= 2a− 1.

Cserélje ki ezt az értéket b a rendszer első egyenletéhez:

a2 + ( 2a− 1) 2 = 9 + 2a( 2a− 1) , 5a2 − 4a+ 1 = 9 + 4a2 − 2a,

a2 − 2a− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, a= 1 ± 3, a1 = 4, a2 = − 2 < 0, b1 = 7.

Válasz: 47.

11. példa. Két oldat összekeverése után, amelyek közül az egyik 48 g, a másik 20 g vízmentes kálium-jodidot tartalmazott, 200 g új oldatot kapunk. Határozza meg mindegyik eredeti oldat koncentrációját, ha az első oldat koncentrációja 15%-kal nagyobb, mint a másodiké.

Jelöljük azzal x% a második oldat koncentrációja és utána (x+ 15 ) % – az első oldat koncentrációja.

(x+ 15 )%			x %
I megoldás			II megoldás

Az első oldatban 48 g van (x+ 15 ) a teljes oldat tömegére vonatkoztatva,

ezért az oldat tömege az x48 + 15 100. A második oldatban 20 g ko-

© 2011, FZFTSH a MIPT-nél. Összeállította: Yakovleva Tamara Kharitonovna