A vektorokra épített paralelogramma területe egyenlő ezen vektorok hosszának és a közöttük lévő szög szögének szorzatával.

Jó, ha a feltételek ugyanazon vektorok hosszát adják meg. Előfordul azonban, hogy a vektorokra épített paralelogramma területének képlete csak koordinátákkal végzett számítások után alkalmazható.
Ha szerencséd van, és a feltételek megadják a vektorok hosszát, akkor csak alkalmazni kell a képletet, amelyet a cikkben már részletesen tárgyaltunk. A terület egyenlő lesz a modulok és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával:

Tekintsünk egy példát a vektorokra épített paralelogramma területének kiszámítására.

Feladat: A paralelogramma a és a vektorokra épül fel. Keresse meg a területet, ha , és a köztük lévő szög 30°.
Fejezzük ki a vektorokat értékükön keresztül:

Talán van egy kérdése: honnan származnak a nullák? Érdemes megjegyezni, hogy vektorokkal dolgozunk, és ezekért . azt is vegye figyelembe, hogy ha az eredmény egy kifejezés, akkor azt konvertálja a rendszer. Most végezzük el a végső számításokat:

Térjünk vissza a feladathoz, amikor a vektorok hossza nincs megadva a feltételekben. Ha a paralelogrammája a derékszögű koordinátarendszerben található, akkor a következőket kell tennie.

A koordinátákkal megadott ábra oldalai hosszának kiszámítása

Először megkeressük a vektorok koordinátáit, és a végkoordinátákból kivonjuk a kezdet megfelelő koordinátáit. Tegyük fel, hogy az a vektor koordinátái (x1;y1;z1), a b vektor pedig (x3;y3;z3).
Most megtaláljuk az egyes vektorok hosszát. Ehhez minden koordinátát négyzetre kell emelni, majd össze kell adni a kapott és -ból kapott eredményeket véges szám kivonjuk a gyökeret. A vektoraink alapján a következő számítások lesznek:


Most meg kell találnunk vektoraink skaláris szorzatát. Ehhez a megfelelő koordinátáikat meg kell szorozni és összeadni.

A vektorok hosszának és skaláris szorzatának birtokában megtalálhatjuk a közöttük lévő szög koszinuszát .
Most megtaláljuk az azonos szög szinuszát:
Most már minden szükséges mennyiség megvan, és a már ismert képlet segítségével könnyedén megkereshetjük a vektorokra épített paralelogramma területét.

Először emlékezzünk meg, mi is az a vektorszorzat.

1. megjegyzés

vektoros alkotás$\vec(a)$ és $\vec(b)$ esetén a $\vec(c)$, ami valami harmadik vektor $\vec(c)= ||$, és ennek a vektornak speciális tulajdonságai vannak:

• Az eredményül kapott vektor skalárja a $|\vec(a)|$ és a $|\vec(b)|$ szorzata a $\vec(c)= ||= |\vec(a) szög szinuszával )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Minden $\vec(a), \vec(b)$ és $\vec(c)$ jobboldali hármast alkot;
• Az eredményül kapott vektor merőleges a $\vec(a)$ és $\vec(b)$-ra.

Ha a vektoroknak van néhány koordinátája ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ és $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), akkor a vektorszorzatuk derékszögű koordinátában van a rendszer a következő képlettel határozható meg:

$ = \(y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\)$

A képlet megjegyezésének legegyszerűbb módja, ha determináns formában írjuk le:

$ = \begin(tömb) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(tömb)$.

Ez a képlet nagyon kényelmesen használható, de ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell használni, először meg kell ismerkednie a mátrixok és azok meghatározói témával.

Egy paralelogramma területe, melynek oldalait két $\vec(a)$ és $vec(b)$ vektor határozza meg egyenlő az adott két vektor vektorszorzatának skalárja.

Ezt a kapcsolatot egyáltalán nem nehéz levezetni.

Idézzük fel a képletet egy közönséges paralelogramma területének meghatározására, amely az azt alkotó $a$ és $b$ szakaszokkal jellemezhető:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

Ebben az esetben az oldalak hossza megegyezik a $\vec(a)$ és a $\vec(b)$ vektorok skalárértékeivel, ami nekünk teljesen megfelelő, vagyis a ezeknek a vektoroknak a vektorszorzata lesz a vizsgált ábra területe.

1. példa

Adottak a $\vec(c)$ vektorok $\(5;3; 7\)$ koordinátákkal és a $\vec(g)$ vektorok $\(3; 7;10\)$ koordinátákkal a derékszögű koordinátarendszerben . Keresse meg a $\vec(c)$ és $\vec(g)$ által alkotott paralelogramma területét.

Megoldás:

Keressük meg ezeknek a vektoroknak a vektorszorzatát:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(tömb) - j \cdot \begin(tömb) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(tömb) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Most keressük meg a kapott irányított szakasz moduláris értékét, ez a megszerkesztett paralelogramma területének értéke:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34 $.

Ez a gondolatmenet nemcsak a 3-dimenziós térben, hanem a kétdimenziós térben is érvényes. Nézze meg a következő rejtvényt ebben a témában.

2. példa

Számítsa ki a paralelogramma területét, ha a generáló szakaszait a $\vec(m)$ vektorok adják meg $\(2; 3\)$ és $\vec(d)$ koordinátákkal $\(-5) 6\)$.

Megoldás:

Ez a feladat az 1. feladat speciális példája, amelyet fentebb megoldottunk, de mindkét vektor ugyanabban a síkban van, ami azt jelenti, hogy a harmadik koordináta, a $z$ nullának vehető.

Összefoglalva a fentieket, a paralelogramma területe a következő lesz:

$S = \begin(tömb) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(tömb) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

3. példa

Adott vektorok $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)= 5i$. Határozza meg az általuk alkotott paralelogramma területét.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

Egyszerűsítsük az alábbi táblázat szerint az egységvektorokat:

1. ábra Egy vektor felbontása bázisonként. Szerző24 - diákmunka online cseréje

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Számítási idő:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Az előző feladatok olyan vektorokra vonatkoztak, amelyek koordinátái a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva, de vegyük figyelembe azt az esetet is, ha az alapvektorok közötti szög eltér $90°$-tól:

4. példa

A $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$ vektor, a $\vec(a)$ és a $\vec(b)$ hosszúságok egyenlőek és eggyel , és a $\vec(a)$ és a $\vec(b)$ közötti szög 45°.

Megoldás:

Számítsuk ki a $\vec(d) \times \vec(f)$ vektorszorzatot:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

A vektorszorzatokra tulajdonságaik szerint a következő igaz: $$ és $$ egyenlő nullával, $ = - $.

Használjuk ezt az egyszerűsítéshez:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11 $.

Most használjuk a $(1)$ képletet:

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5 USD.

Ebben a leckében további két műveletet nézünk meg vektorokkal: vektorok vektorszorzataÉs vektorok vegyes szorzata (azonnali link akinek szüksége van rá). Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok skaláris szorzata, egyre többre van szükség. Ez vektorfüggőség. Úgy tűnhet, hogy a vadonba kerülünk analitikus geometria. Ez rossz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában kevés a fa, kivéve talán elég Pinokkiót. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még tipikus feladatok kevesebb lesz. Az analitikus geometriában a legfontosabb, ahogyan sokan meggyõzõdnek vagy már meggyõzõdtek, hogy NE KÖVESSEN HIBÁT A SZÁMÍTÁSBAN. Ismételd, mint egy varázslatot, és boldog leszel =)

Ha valahol távol szikráznak a vektorok, mint a villám a láthatáron, az nem számít, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz a vektorokkal kapcsolatos alapvető ismeretek helyreállítása vagy visszaszerzése. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, igyekeztem minél többet összegyűjteni teljes gyűjtemény példák, amelyeket gyakran találunk praktikus munka

Mitől leszel azonnal boldog? Kicsi koromban két vagy akár három labdával is tudtam zsonglőrködni. Jól sikerült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködnie, hiszen megfontoljuk csak térbeli vektorok, és a két koordinátájú lapos vektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók – a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és beépülve háromdimenziós tér. Máris könnyebb!

Ez a művelet, akárcsak a skalárszorzat, magában foglalja két vektor. Legyenek ezek múlhatatlan betűk.

Maga az akció által jelölve a következő módon: . Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok vektorszorzatát szoktam így jelölni, szögletes zárójelben kereszttel.

És azonnal kérdés: ha bent vektorok skaláris szorzata két vektorról van szó, és itt is két vektort szorozunk, akkor mi a különbség? A nyilvánvaló különbség mindenekelőtt az EREDMÉNYBEN rejlik:

A vektorok skaláris szorzatának eredménye SZÁM:

A vektorok keresztszorzatának eredménye VECTOR: , azaz megszorozzuk a vektorokat és ismét vektort kapunk. Zárt klub. Valójában innen származik a művelet neve. Különféle oktatási irodalom a megnevezések is változhatnak, a betűt használom.

A keresztszorzat definíciója

Először lesz egy definíció képpel, majd kommentek.

Meghatározás: Vektoros termék nem kollineáris vektorok, hozott ebben a sorrendben , neve VECTOR, hossz ami számszerűen egyenlő a paralelogramma területével, ezekre a vektorokra épül; vektor merőleges a vektorokra, és úgy van irányítva, hogy az alap megfelelő tájolású legyen:

Bontsuk szét a definíciót darabonként, sok érdekesség van itt!

Tehát a következő lényeges pontokat lehet kiemelni:

1) Az eredeti vektorok, amelyeket piros nyilak jelölnek, értelemszerűen nem kollineáris. Esemény kollineáris vektorokÉrdemes lesz egy kicsit később megfontolni.

2) Vektorokat veszünk szigorúan meghatározott sorrendben: – "a" szorozva "be", nem a „legyen” az „a”-vel. A vektorszorzás eredménye a VECTOR, amely kék színnel van jelölve. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorozzuk, akkor egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú (málna színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség igaz .

3) Most ismerkedjünk meg a vektorszorzat geometriai jelentésével. Ez egy nagyon fontos szempont! A kék vektor HOSSZA (és így a bíbor vektor) numerikusan egyenlő a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma feketére van árnyékolva.

jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a vektorszorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.

Emlékezzünk az egyikre geometriai képletek: A paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával. Ezért a fentiek alapján érvényes a vektorszorzat HOSSZ-számítási képlete:

Hangsúlyozom, hogy a képlet a vektor HOSSZÁRÓL szól, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati jelentése? És a jelentés az, hogy az analitikai geometria problémáiban a paralelogramma területét gyakran a vektorszorzat fogalmán keresztül találják meg:

Kapjuk meg a második fontos képletet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) kettéosztja egyenlő háromszög. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (piros árnyékolás) a következő képlettel kereshető meg:

4) Ugyanilyen fontos tény, hogy a vektor ortogonális a vektorokra, azaz . Természetesen az ellentétes irányú vektor (málna nyíl) is ortogonális az eredeti vektorokra.

5) A vektort úgy irányítjuk, hogy alapján Megvan jobb irányultság. A leckében kb áttérni egy új alapra Elég részletesen beszéltem róla sík tájolás, és most kitaláljuk, mi az a térorientáció. Az ujjadon elmagyarázom jobb kéz . Szellemileg kombinálni mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és kisujj nyomd a tenyeredbe. Ennek eredményeként hüvelykujj– a vektorszorzat felfelé néz. Ez egy jobboldali alap (az ábrán ez van). Most változtassa meg a vektorokat ( mutató és középső ujj) helyenként a hüvelykujj megfordul, és a vektorszorzat máris lefelé néz. Ez is egy jobboldali alap. Felmerülhet a kérdés: melyik alap balra irányult? „Hozzárendelés” ugyanazokhoz az ujjakhoz bal kéz vektorokat, és megkapja a tér bal oldali bázisát és bal oldali tájolását (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába fog elhelyezkedni). Képletesen szólva, ezek az alapok „csavarják” vagy orientálják a teret különböző oldalak. És ezt a koncepciót nem szabad valami távolinak vagy elvontnak tekinteni - például a tér tájolását a leghétköznapibb tükör megváltoztatja, és ha „kihúzza a visszaverődő tárgyat a szemüvegből”, akkor általános eset nem kombinálható az „eredetivel”. Egyébként tartsd három ujjad a tükör felé, és elemezzed a visszaverődést ;-)

...milyen jó, hogy most már tudsz róla jobbra és balra orientált alapokon, mert ijesztőek egyes oktatók kijelentései az irányváltásról =)

Kollineáris vektorok keresztszorzata

A definíciót részletesen tárgyaltuk, még ki kell deríteni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesre helyezhetők, és a paralelogrammánk is egy egyenesbe „gyűrődik”. Az ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott paralelogramma egyenlő nullával. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusza egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a terület nulla

Így ha , akkor És . Vegye figyelembe, hogy maga a vektorszorzat egyenlő a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran figyelmen kívül hagyják, és azt írják, hogy ez is egyenlő nullával.

Különleges eset– vektor szorzata önmagával:

A vektorszorzat segítségével ellenőrizhető a háromdimenziós vektorok kollinearitása, és többek között ezt a problémát is elemezzük.

A gyakorlati példák megoldásához szüksége lehet trigonometrikus táblázat hogy kikeressük belőle a szinuszértékeket.

Na, gyújtsuk meg a tüzet:

1. példa

a) Határozza meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, ha

b) Határozza meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha

Megoldás: Nem, ez nem elírás, szándékosan tettem azonossá a kiindulási adatokat a tagmondatokban. Mert a megoldások kialakítása más lesz!

a) A feltételnek megfelelően meg kell találnia hossz vektor (kereszttermék). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Ha a hosszról kérdezték, akkor a válaszban megadjuk a méretet - mértékegységeket.

b) A feltételnek megfelelően meg kell találnia négyzet vektorokra épített paralelogramma. Ennek a paralelogrammának a területe számszerűen megegyezik a vektorszorzat hosszával:

Válasz:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a válasz egyáltalán nem szól a vektorszorzatról, megkérdeztük az ábra területe, ennek megfelelően a méret négyzetegység.

Mindig megnézzük, MIT kell az állapotnak megfelelően találnunk, és ennek alapján fogalmazunk egyértelmű válasz. Lehet, hogy szószerintiségnek tűnik, de a tanárok között rengeteg literalista van, és a feladat jó eséllyel visszakerül átdolgozásra. Bár ez nem túl messzire eltalált civakodás – ha a válasz helytelen, akkor az a benyomásunk támad, hogy az illető nem érti egyszerű dolgokés/vagy nem értette a feladat lényegét. Ezt a pontot mindig kézben kell tartani a felsőbb matematika és más tantárgyak bármely feladatának megoldása során.

Hová tűnt a nagy „en” betű? Elvileg pluszban hozzá lehetett volna csatolni a megoldáshoz, de a bejegyzés lerövidítése érdekében ezt nem tettem meg. Remélem, ezt mindenki megérti, és ugyanazt a jelölést jelenti.

Egy népszerű példa a barkács megoldásra:

2. példa

Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha

A háromszög területének vektorszorzaton keresztüli meghatározásának képlete a definíció megjegyzéseiben található. A megoldás és a válasz a lecke végén található.

A gyakorlatban a feladat nagyon gyakori, a háromszögek általában kínozhatnak.

Más problémák megoldásához szükségünk lesz:

A vektorok vektorszorzatának tulajdonságai

A vektorszorzat néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, de ebbe a listába felveszem őket.

Tetszőleges vektorokra és tetszőleges számokra a következő tulajdonságok igazak:

1) Más információforrásokban ez a tétel általában nincs kiemelve a tulajdonságoknál, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Úgyhogy legyen.

2) – az ingatlanról fentebb is van szó, néha ún antikommutativitás. Más szóval, a vektorok sorrendje számít.

3) – asszociatív ill asszociációs vektor szorzat törvényei. A konstansok könnyen áthelyezhetők a vektorszorzaton kívülre. Tényleg, mit csináljanak ott?

4) – terjesztés ill elosztó vektor szorzat törvényei. A konzolok kinyitásával sincs gond.

Ennek bemutatására nézzünk egy rövid példát:

3. példa

Keresse meg, ha

Megoldás: A feltételhez ismét meg kell találni a vektorszorzat hosszát. Festjük meg miniatűrünket:

(1) Az asszociatív törvények szerint az állandókat a vektorszorzat körén kívülre vesszük.

(2) A konstanst a modulon kívülre mozgatjuk, és a modul „megeszi” a mínusz jelet. A hossza nem lehet negatív.

(3) A többi világos.

Válasz:

Itt az ideje, hogy több fát rakjunk a tűzre:

4. példa

Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha

Megoldás: Keresse meg a háromszög területét a képlet segítségével . A bökkenő az, hogy maguk a „tse” és „de” vektorok vektorok összegeként jelennek meg. Az algoritmus itt szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára Vektorok pontszorzata. Az egyértelműség kedvéért a megoldást három szakaszra osztjuk:

1) Az első lépésben a vektorszorzatot a vektorszorzaton keresztül fejezzük ki, valójában fejezzünk ki egy vektort vektorral. A hosszról még nem esett szó!

(1) Helyettesítsd be a vektorok kifejezéseit!

(2) Distributív törvények segítségével kinyitjuk a zárójeleket a polinomok szorzási szabálya szerint.

(3) Az asszociatív törvények segítségével az összes állandót a vektorszorzatokon túlra mozgatjuk. Kis tapasztalattal a 2. és 3. lépés egyszerre is végrehajtható.

(4) Az első és az utolsó tag a szép tulajdonság miatt nullával (nulla vektor) egyenlő. A második kifejezésben egy vektorszorzat antikommutativitásának tulajdonságát használjuk:

(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a vektor egy vektoron keresztül fejeződik ki, amit el kellett érni:

2) A második lépésben megkeressük a szükséges vektorszorzat hosszát. Ez a művelet hasonló a 3. példához:

3) Keresse meg a kívánt háromszög területét:

A megoldás 2-3. szakaszát egy sorba lehetett volna írni.

Válasz:

A vizsgált probléma meglehetősen gyakori tesztek, íme egy példa egy független megoldásra:

5. példa

Keresse meg, ha

Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Lássuk, milyen figyelmes voltál az előző példák tanulmányozásakor ;-)

A vektorok keresztszorzata koordinátákban

ortonormális alapon meghatározott, képlettel fejezzük ki:

A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordináta vektorokat, a második és harmadik sorba a vektorok koordinátáit „rakjuk”, és szigorú sorrendben– először a „ve” vektor koordinátái, majd a „dupla-ve” vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell szorozni, akkor a sorokat fel kell cserélni:

10. példa

Ellenőrizze, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:
A)
b)

Megoldás: Az ellenőrzés a leckében található állítások egyikén alapul: ha a vektorok kollineárisak, akkor a vektorszorzatuk egyenlő nullával (nulla vektor): .

a) Keresse meg a vektorszorzatot:

Így a vektorok nem kollineárisak.

b) Keresse meg a vektorszorzatot:

Válasz: a) nem kollineáris, b)

Itt van talán minden alapvető információ a vektorok vektorszorzatáról.

Ez a szakasz nem lesz túl nagy, mivel kevés probléma adódik a vektorok vegyes szorzatának felhasználásával. Valójában minden a meghatározástól függ, geometriai jelentéseés pár munkaképlet.

Vegyes munka A vektorok három vektor szorzata:

Így hát felsorakoztak, mint egy vonat, és alig várják, hogy azonosítsák őket.

Először is egy definíció és egy kép:

Meghatározás: Vegyes munka nem egysíkú vektorok, ebben a sorrendben szedve, hívott paralelepipedon térfogat, ezekre a vektorokra épülve, „+” jellel, ha az alap jobb, és „–” jellel, ha az alap bal.

Csináljuk a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat pontozott vonalak húzzák:

Merüljünk el a definícióban:

2) Vektorokat veszünk egy bizonyos sorrendben, vagyis a vektorok átrendeződése a szorzatban, ahogy sejthető, nem következik be következmények nélkül.

3) Mielőtt kommentálnám a geometriai jelentést, megjegyzek egy nyilvánvaló tényt: vektorok vegyes szorzata SZÁM: . Az oktatási irodalomban a design kissé eltérhet, a vegyes terméket szoktam jelölni, a számítások eredményét pedig „pe” betűvel.

A-priory a kevert termék a paralelepipedon térfogata, vektorokra épített (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal van megrajzolva). Vagyis a szám megegyezik egy adott paralelepipedon térfogatával.

jegyzet : A rajz sematikus.

4) Ne törődjünk ismét az alap és a tér orientációjának fogalmával. A záró rész jelentése az, hogy mínusz jelet lehet adni a kötethez. Egyszerű szavakkal, a vegyes termék negatív is lehet: .

Közvetlenül a definícióból következik a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának kiszámításának képlete.