Sztori
1. definíció
Leonhard Eulernek feltették a kérdést: lehetséges-e Königsberg körül járva a város összes hídját megkerülni anélkül, hogy kétszer átmennénk valamelyiken? Tartalmaz egy várostervet hét híddal.
Egy általa ismert olasz matematikusnak írt levelében Euler rövid és szép megoldást adott a königsbergi hidak problémájára: ilyen elrendezéssel a probléma megoldhatatlan. Egyúttal jelezte, hogy a kérdés érdekesnek tűnik számára, mert... "Sem a geometria, sem az algebra nem elegendő a megoldáshoz...".
L. Euler sok feladat megoldása során körökkel ábrázolta a halmazokat, ezért kapták a nevet "Euleri körök". Ezt a módszert korábban Gottfried Leibniz német filozófus és matematikus alkalmazta, aki a fogalmak közötti logikai összefüggések geometriai magyarázatára használta őket, de gyakrabban használt lineáris diagramokat. Euler elég alaposan kidolgozta a módszert. Főleg híres grafikus módszerek John Venn angol logikusnak és filozófusnak köszönhető, aki bevezette a Venn-diagramokat és a hasonló diagramokat gyakran ún. Euler-Venn diagramok. Számos területen használják őket, például a halmazelméletben, a valószínűségszámításban, a logikában, a statisztikában és a számítástechnikában.
A diagramkészítés elve
Eddig az Euler-Venn diagramokat széles körben használták több halmaz összes lehetséges metszéspontjának sematikus ábrázolására. A diagramok az n tulajdonság összes $2^n$ kombinációját mutatják. Például, ha $n=3$, a diagram három olyan kört mutat, amelyek csúcsaiban középpontok vannak egyenlő oldalú háromszögés ugyanaz a sugár, ami kb hosszával egyenlő a háromszög oldalai.
A logikai műveletek igazságtáblázatokat határoznak meg. Az ábra egy kört mutat az általa képviselt halmaz nevével, például $A$. Az $A$ kör közepén lévő terület a $A$ kifejezés igazságát, a körön kívüli terület pedig hamisat jelez. A logikai művelet megjelenítéséhez csak azok a területek kerülnek árnyékolásra, amelyekben a $A$ és $B$ halmazok logikai műveletének értékei igazak.
Például két $A$ és $B$ halmaz konjunkciója csak akkor igaz, ha mindkét halmaz igaz. Ebben az esetben a diagramban $A$ és $B$ konjunkciójának eredménye a körök közepén lévő terület lesz, amely egyszerre tartozik a $A$ halmazhoz és a $B$ halmazhoz (a metszéspont a készletek közül).
1. ábra: $A$ és $B$ halmazok konjunkciója
Euler-Venn diagramok használata logikai egyenlőségek bizonyítására
Nézzük meg, hogyan használható az Euler-Venn diagramok elkészítésének módszere a logikai egyenlőségek bizonyítására.
Bizonyítsuk be De Morgan törvényét, amelyet az egyenlőség ír le:
Bizonyíték:
4. ábra: $A$ inverziója
5. ábra: $B$ inverziója
6. ábra: $A$ és $B$ inverziók konjunkciója
A bal és jobb oldali rész megjelenítési területének összehasonlítása után azt látjuk, hogy egyenlők. Ebből következik a logikai egyenlőség érvényessége. De Morgan törvényét Euler-Venn diagramokkal igazoljuk.
Internetes információkeresés problémájának megoldása Euler-Venn diagramok segítségével
Az interneten történő információkereséshez kényelmes a logikai kapcsolatokkal rendelkező keresési lekérdezések használata, amelyek jelentése hasonló az orosz nyelv „és”, „vagy” kötőszavaihoz. A logikai konnektívumok jelentése világosabbá válik, ha Euler-Venn diagramok segítségével szemléltetjük őket.
1. példa
A táblázat példákat mutat be a keresőkiszolgálóhoz intézett lekérdezésekre. Minden kérésnek saját kódja van - egy $A$ és $B$ közötti levél. A kéréskódokat az egyes kérésekhez talált oldalak számának megfelelő csökkenő sorrendbe kell rendeznie.
7. ábra.
Megoldás:
Készítsünk Euler-Venn diagramot minden egyes kéréshez:
8. ábra.
Válasz: BVA.
Logikai értelmes probléma megoldása Euler-Venn diagramok segítségével
2. példa
A téli szünetben a 36 dolláros tanulók közül a 2 dolláros osztály tanulói nem mentek moziba, színházba vagy cirkuszba. 25 dolláros ember járt moziba, 11 dolláros ember színházba, 17 dolláros ember cirkuszba; mind a moziban, mind a színházban - 6 $; mind a moziba, mind a cirkuszba - 10 $; a színházba és a cirkuszba pedig 4 dollár.
Hányan voltak moziban, színházban és cirkuszban?
Megoldás:
Jelöljük $x$-ként azoknak a gyerekeknek a számát, akik moziba, színházba és cirkuszba jártak.
Készítsünk egy diagramot, és nézzük meg a srácok számát az egyes területeken:
9. ábra.
Még nem jártam színházban, moziban vagy cirkuszban - 2 dollár személyenként.
Tehát 36-2 dollár = 34 dollár ember. rendezvényeken vett részt.
6$-os ember járt moziba és színházba, ami azt jelenti, hogy csak moziba és színházba (6-x)$ ember.
10$-os ember járt moziba és cirkuszba, ami azt jelenti, hogy csak moziba és cirkuszba (10-x$) ember járt.
4$ ember járt színházba és cirkuszba, ami azt jelenti, hogy csak 4 - x$ ember járt színházba és cirkuszba.
$25$ ember ment moziba, ami azt jelenti, hogy 25$ - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ ment el egyedül a moziba.
Hasonlóképpen csak ($1+x$) ember járt színházba.
Csupán ($3+x$) ember járt a cirkuszba.
Szóval, elmentünk színházba, moziba és cirkuszba:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 USD;
Azok. csak egy ember járt színházba, moziba és cirkuszba.
VENN DIAGRAMOK - grafikus módszer logikai-matematikai elméletek és képleteik feladat- és elemzése. Úgy alkotják meg őket, hogy a sík egy részét zárt körvonalú cellákra (részhalmazokra) osztják (Jordan görbék). A cellák a vizsgált elméletet vagy képletet jellemző információkat mutatják be. A diagramok készítésének célja nem csak szemléltető, hanem operatív - algoritmikus információfeldolgozás is. A Venn diagramkészítő apparátust általában az analitikaival együtt használják.
A particionálás módja, a cellák száma, valamint az információ rögzítésének problémái a vizsgált elmélettől függenek, amely grafikusan is bevezethető (leírható) - néhány, kezdetben meghatározott Venn-diagrammal, különösen a algoritmusok transzformációihoz, amikor egyes diagramok operátorként működhetnek, más diagramokra hatnak. Például a klasszikus esetében propozíciós logika n különböző propozíciós változóból álló képleteknél a sík (univerzum) egy része az alkotóelemeknek megfelelő 2"-os cellákra van osztva (konjunktív vagy diszjunktív formában). Az egyes formulák Venn-diagramja ilyen síknak tekinthető a cellákban amelyből csillag van elhelyezve (vagy nincs) *. Tehát a képlet
(¬ a& ¬ b&c) V (a&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)
három propozíciós változóval a, b és c az ábrán látható diagram határozza meg, ahol a cellákban lévő csillagok e tökéletes normál diszjunktív képlet konjunktív komponenseinek felelnek meg. Ha nincsenek csillaggal jelölt cellák, akkor a Venn-diagram például egy azonos hamis képlethez van társítva, mondjuk (a&¬a).
A sík 2"-os cellákra való felosztásának induktív módszere J. Venn angol logikus munkáira nyúlik vissza, Venn-módszernek nevezik, és a következőkből áll:
1. Ha n = 1, 2, 3, a köröket nyilvánvaló módon használjuk. (Az ábrán n = 3.)
2. Tegyük fel, hogy n = k (k ≥ 3) esetén k alakzat elrendezése úgy van megadva, hogy a síkot 2k cellára osztjuk.
Ezután ahhoz, hogy ezen a síkon k+1 alakzatot keressünk, először is elegendő egy nyitott görbét választani (vö. önmetszéspontok nélkül, azaz egy nyitott Jordan-görbe, amely az összes 2k cella határaihoz tartozik, és csak egy közös Másodszor, körbeírjuk φ zárt Jordan-görbe Ψ k+1 úgy, hogy a görbe Ψ k+1 áthaladt az összes 2k cellán, és csak kétszer lépte át az egyes cellák határát. Ez n= k+1 alakzat elrendezését eredményezi úgy, hogy a síkot 2k+1 cellára osztjuk.
A Venn-diagram módszerét kiterjesztették más logikai-matematikai elméletekre is. Maga az elmélet úgy van megírva, hogy a nyelvezet elemeit megfelelő módon kiemelje grafikus kép forma. Például a klasszikus predikátumlogika atomi formuláit P(Y1..Yr) alakú szavakként írjuk le, ahol P predikátum, Y1,..., Yr pedig alanyi változók, amelyek nem feltétlenül különböznek egymástól; az Y1,..., Yr szó alany infix. A Venn-diagramok nyilvánvaló halmazelméleti jellege lehetővé teszi, hogy ábrázoljuk és tanulmányozzuk segítségükkel, különösen a halmazelméleti számításokat, például a Zermelo-Fraenkel halmazelmélet ZF-számítását. A logikai és matematikai grafikus módszerek régóta fejlődnek. Ezek különösen a logikai négyzet, az Euler-körök és L. Carroll eredeti diagramjai. A Venn-diagram módszer azonban jelentősen eltér a hagyományos szillogisztikában jól ismert Euler-kör módszertől. A Venn-diagramok azon az elgondoláson alapulnak, hogy egy Boole-függvényt alkotóelemekre bontják - központi szerepet töltenek be a logikai algebrában, amely meghatározza azok működési jellegét. Venn diagramjait elsősorban osztálylogikai problémák megoldására használta. Diagramjai hatékonyan használhatók propozíciós és predikátumlogikai problémák megoldására, premisszákból származó következmények áttekintésére, logikai egyenletek megoldására, valamint egyéb kérdésekre, egészen a megoldhatóság problémájáig. A Venn-diagram apparátust a matematikai logika és az automataelmélet alkalmazásaiban használják, különösen a neurális áramkörökkel kapcsolatos problémák megoldására, valamint a viszonylag gyengén megbízható elemekből megbízható áramkörök szintetizálásának problémáira.
A. S. Kuzicsev
Új filozófiai enciklopédia. Négy kötetben. / Filozófiai Intézet RAS. Tudományos szerk. tanács: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G. Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, I. kötet, A–D, o. 645.
Irodalom:
Venn J. Szimbolikus logika. L., 1881. Szerk. 2, rev. L., 1894;
Kuzichev A. S. Venn diagramok. Történelem és alkalmazások. M., 1968;
Ez ő. Néhány matematikai logikai feladat megoldása Venn-diagramok segítségével. - A könyvben: Logikai rendszerek tanulmányozása. M., 1970.
A halmazok egyenlősége.
Készletek AÉs BAN BEN egyenlőnek tekintendők, ha állnak ugyanabból elemeket.
A halmazok egyenlőségét a következőképpen jelöljük: A = B.
Ha a halmazok nem egyenlőek, akkor írjuk A¹ B.
Két halmaz egyenlőségének felírása A = B egyenértékű az írással AÌ BAN BEN, vagy BAN BENÌ A.
Például az egyenlet megoldásainak halmaza x 2 - 5x A + 6 = 0 ugyanazokat az elemeket tartalmazza (a 2-es és 3-as számokat), mint az ötnél kisebb prímszámok halmaza. Ez a két halmaz egyenlő. (Prómszámot hívnak természetes szám, amely maradék nélkül csak 1-gyel és önmagával osztható; míg 1- prímszám nem.)
Halmazok metszéspontja (szorzása).
Egy csomó D, amelyhez tartozó összes elemből áll és állítsa be az A-t és állítsa be a B-t, halmazok metszéspontjának nevezzük AÉs BAN BENés ki van jelölve D = A BAN BEN.
Tekintsünk két halmazt: x= (0, 1, 3, 5) és Y= (1, 2, 3, 4). Az 1-es és 3-as számok és csak ezek tartoznak egyszerre mindkét halmazhoz xÉs Y. A belőlük összeállított (1, 3) halmaz tartalmazza az összes gyakori halmazt xÉs Y elemeket. Így az (1, 3) halmaz a figyelembe vett halmazok metszéspontja xÉs Y:
{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.
A [-1; 1] és ]0 intervallum; 3[ metszéspont, azaz közös elemekből álló halmaz a ]0 intervallum; 1] (1. ábra).
Rizs. 1. A szakasz metszése [-1; 1] és ]0 intervallum; 3[ a ]0 intervallum; 1]
A téglalapok halmazának és a rombuszhalmaznak a metszéspontja négyzethalmaz.
Egy adott iskola nyolcadik osztályos tanulóinak halmazának és az azonos iskola kémia szakkörének taghalmazának metszéspontja a nyolcadik osztályos tanulók halmaza, akik egy kémia szakkör tagjai.
A halmazok (és egyéb műveletek – lásd alább) metszéspontját jól szemlélteti a halmazok síkon történő vizuális ábrázolása. Euler a körök használatát javasolta ehhez. A halmazok metszéspontjának képe (szürkével). AÉs BAN BENábrán látható az Euler-körök használata. 2.
Rizs. 3. A halmazok metszéspontjának Euler-Venn diagramja (szürkével kiemelve). AÉs BAN BEN, amelyek egy bizonyos univerzum részhalmazai, téglalapként ábrázolva
Ha a készletek AÉs BAN BEN nincs közös elemük, akkor azt mondják, hogy ezek a halmazok nem metszik egymást, vagy metszéspontjuk az üres halmaz, és írják A BAN BEN = Æ.
Például a halmaz metszéspontja páros számok sok páratlan számmal üres.
A ]-1 numerikus intervallumok metszéspontja is üres; 0] és -1; 0] és )
